CAPÍTUO 7. Cuerpo rígdo NTODUCCON En el captulo anteror estudamos el movmento de un sstema de partículas. Un caso especal mportante de estos sstemas es aquel en que la dstanca entre dos partículas cualesquera permanece constante en el tempo, esto es un CUEPO GDO. A pesar que no exsten cuerpos que sean estrctamente rígdos, todos los cuerpos pueden ser deormados, sn embargo el modelo del cuerpo rígdo es útl en muchos casos en que la deormacón es desprecable. a descrpcón cnemátca y dnámca de un cuerpo extenso aunque este sea rígdo en un movmento en tres dmensones matemátcamente es muy complejo y es tratado en lbros avanzados de dnámca. Es complejo porque un cuerpo tene ses grados de lbertad; su movmento nvolucra traslacón a lo largo de tres ejes perpendculares y rotacón alrededor de cada uno de estos ejes. No llegaremos a hacer un tratamento general drecto, pero s desarrollaremos el movmento del cuerpo rígdo en dos dmensones. MOVMENTO DE UN CUEPO ÍGDO En esta parte expondremos algunos tpos de movmento de los cuerpos rígdos. TASACON. Por traslacón entendemos al movmento en el que lodos los puntos del cuerpo se mueven en la msma dreccón, con la msma velocdad y la msma aceleracón en cada nstante. a suma de las uerzas que actúan sobre las n partículas determnan la aceleracón del centro de masa. a F M Tal como se mostró para un sstema de partículas, las uerzas nternas se anulan de pares, de orma que solamente mportarán las uerzas externas tal que M a Fext El movmento de traslacón del cuerpo rígdo es como s toda su masa estuvera concentrada en el centro de masa y las uerzas externas actuaran sobre él. Todo el estudo que hemos lecho anterormente para la partícula corresponde a la traslacón de un cuerpo rígdo. No mporta n la orma, n el tamaño. OTACÓN. Es el movmento en que uno de los puntos se consdera jo. Sí se consdera jo un punto, el únco movmento posble es aquel en el que cada uno de los otros puntos se mueve en la superce de una esera cuyo rado es la dstanca del punto móvl al punto jo. S se consderan dos puntos jos, el únco movmento posble es aquel en que todos los puntos con excepcón de aquellos que se encuentran sobre la línea que une los dos puntos jos, conocda como EJE, se mueven en crcunerencas alrededor de éste. Por la dencón de centro de masa, tenemos: r m m r m M Donde M es la masa total del cuerpo rígdo y M r m r Derencando dos veces d d r m dt dt M r M a m a F r Cualquer desplazamento de un cuerpo rígdo puede ser consderado como una combnacón de traslacón y rotacón. En los capítulos anterores ya hemos proundzado bastante sobre movmento de traslacón
estudaremos aquí el movmento de rotacón alrededor de un eje y el movmento de rotacón traslacón. CANTDAD DE MOVMENTO ANGUA DE UN CUEPO ÍGDO a cantdad de movmento angular de una partícula respecto a un punto es r p r m v En coordenadas polares: dr r rrˆ, v rˆ + r& t& dt dr rrˆ m rˆ + r tˆ dt mr rˆ tˆ rˆ tˆ tene la dreccón y sentdo de mr S consderamos al cuerpo rígdo como n partículas que gran alrededor de un eje, la cantdad de movmento angular de éste será la suma de la cantdad de movmento angular de cada una de las partículas. total m r + mr +... + mnrn m r + m r +... + m r n n n m r a cantdad entre paréntess es el MOMENTO DE NECA DE CUEPO ÍGDO alrededor de un eje. ( ) n m r Es mportante darse cuenta que el momento de nerca depende de la dstrbucón de la masa del cuerpo. En el caso de un cuerpo rígdo contnuo, los m tenden a dm y se transorma en M M, de aquí: r dm Como m ρv, donde ρ es la densdad y V el volumen del cuerpo: dm ρdv Tenemos: ρ r dv V Para muchos cuerpos de orma geométrca smple ésta ntegral puede evaluarse áclmente. ) El teorema de Stener o de los ejes paralelos. El momento de nerca del cuerpo respecto a un eje es gual al momento de nerca del cuerpo respecto a un eje paralelo al anteror y que pasa por el centro de masa es el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la dstanca entre los ejes. + Md Demostracón. a gura sguente representa la seccón de un cuerpo en el plano del papel, es el eje normal al plano del papel a través del centro de masa y O es un eje paralelo. Escogendo un elemento derencal de masa dm, escrbamos la expresón para los momentos de nerca con respecto a los dos ejes. M r dm r dm M usando la ley de los cosenos, obtenemos: r r + d r d cosθ reemplazando ( r + d r d cosθ )dm M r dm + d dm d r cosθdm M M M El prmer térmno r dm M El segundo térmno d dm Md M El tercer térmno es cero porque es la suma en todo el cuerpo d los productos del elemento de masa y sus dstancas al eje a través del centro de masa, de aquí: + Md. El teorema de la gura plana. El momento de nerca de una gura plana con respecto a un eje perpendcular a la msma es gual a la suma de los momentos de nerca de la gura plana con respecto a dos ejes rectangulares en el plano de la gura los cuales se ntersecan con el eje dado Demostracón: En la gura sguente el eje z pasa por O perpendcular al pano y. Elegmos un elemento derencal de masa dm y escrbmos los momentos de nerca de la gura para cada uno de los tres ejes. Dos teoremas que smplcan los cálculos del momento de nerca son:
7mb + 5ma Aquí comprobamos + z x y b) Momento de nerca de una varlla delgada rígda de longtud l y masa m, con respecto a un extremo y con respecto al centro de masa. x y dm, y M x dm, z M r dm M con r x + y r dm ( x + y M ) dm M x dm + M y dm M + z x y Ejemplo. A contnuacón evaluaremos los momentos de nerca algunos cuerpos smples. a) Hallar el momento de nerca del sstema mostrado en la gura, las masas son puntuales undas por varllas rígdas de masa desprecable. Tomemos un elemento derencal dx, cuya masa es: M dm dx l El momento de nerca de la varlla es: l M O x dm x dx M l M l M [ ] l l x dx l x M l El momento de nerca de la varlla con respecto al centro de masa Momento de nerca respecto al eje x. y x m ( ) ( ) ( ) ( ) + m + m b 4 m + m b 7mb Momento de nerca respecto al eje y. x y m ( ) ( ) ( ) ( ) + m a + m a 4 m + m M M l [ ] l l l x dx l l x M l Aquí comprobamos: O l + M c) Momento de nerca un anllo de masa M y rado, en el plano xy, Con respecto a los ejes x, y, z. 5ma Momento de nerca respecto al eje z. r z m ( ) ( ) ( ) ( ) + m a + m a + b 4 m + m b a masa del elemento derencal ds dθ es:
M M dm ds dθ π π El momento de nerca del anllo con respecto al eje z es: z dm M M π θ [ ] π π m M dθ π Por el teorema de la gura plana z x + y Por smetría x y uego z x y M d) El momento de nerca de un dsco de rado y masa M con respecto al eje perpendcular que pasa por su centro. Consderemos como elemento derencal al anllo de rado r y ancho dr, su masa es: M M dm πrdr rdr π El momento de nerca de este anllo con respecto al eje perpendcular que pasa por O es M d O r dm r rdr M r dr El momento de nerca del dsco es: 4 M M r O do r dr 4 M e) El momento de nerca de una esera con respecto a un eje que pasa por su centro. Consderemos la esera como una sere de dscos. Tomemos un dsco derencal como se muestra en la gura, su rado es r z, su espesor dz. a masa del dsco es: M M dm π r dz π ( z )dz V V M es la masa de la esera y 4 V π el volumen de la esera. El momento de nerca del dsco con respecto al eje z es: M d z dmr π ( z ) dz V El momento de nerca de la esera lo encontramos ntegrando esta expresón desde z - a z. M z d z π ( z ) dz V M 8 πm π ( z ) 5 dz V 5 V M 5 Para encontrar el momento de nerca con respecto a un eje arbtraro como se muestra en la gura sguente aplcamos el teorema de Stener. P O + Md 5 M + Md P Md + 5 d En el caso en que << d podemos consdera como 4
s uera una masa puntual y el momento de nerca se reduce a: O Md Ejemplo. Hallar el momento de nerca de un dsco de masa M y rado que gra alrededor de un eje paralelo a un dámetro y que pasa por el borde del dsco. Por el teorema de las guras planas z x + y ; Además por smetría x y, Por tanto x z / ¼ M Aplcando el teorema de Stener ¼ M + M 5/4 M los torques producdos por las uerzas externas que actúan sobre el sstema es gual al cambo de la cantdad de movmento angular. d τ dt Esto es váldo tambén para el cuerpo rígdo, donde es la cantdad de movmento angular can respecto al eje x de la gura anteror. Como d d dt dt Sendo el momento de nerca del cuerpo en torno al eje dado, es constante en el tempo y τ Como d dt d α, aceleracón angular del cuerpo dt τ α Esta expresón tene smltud a la ley de Newton F m a Ejemplo. Una barra unorme de longtud y masa M, que gra lbremente alrededor de una bsagra sn rccón, se suelta desde el reposo en su poscón horzontal, como se muestra en la gura. Calcular la aceleracón angular de la barra y su aceleracón lneal ncal de su extremo. SEGUNDA EY DE NEWTON PAA OTACON En esta seccón vamos a analzar el movmento de un cuerpo rígdo que gra en torno a un eje jo en el espaco. El cuerpo gra en torno al eje x. S θ ( t) θ es el desplazamento angular del punto del cuerpo desde la línea reerencal, la velocdad angular del cuerpo es: dθ dt Como cada punto del cuerpo gra a la msma t θ de cualquer punto descrbe el desplazamento del cuerpo como un todo. Para el sstema de partículas vmos que la suma de velocdad angular, el desplazamento ( ) Como el torque de la uerza en la bsagra es cero, se puede calcular el torque en torno a la bsagra producdo por la otra uerza externa que actúa sobre la barra, que es su peso, suponendo que la barra es homogénea y que el peso actúa en su centro geométrco. Entonces: τ rmg Mg τ α M. Como es Se tene:, y el momento de nerca de la barra α Mg 5
Mg g α M Para calcular la aceleracón lneal del extremo de la barra, usamos la ecuacón a t α. eemplazando α : a t α g 5( r b ) gh ( 7r 5b ) senθ Ejemplo 5. Se tene un dsco de masa M y rado, que pueda grar lbremente alrededor de un eje que pasa por su centro. Se enrolla una cuerda alrededor del dsco, se tra la cuerda con una uerza F. S el dsco está ncalmente en reposos Cuál es su velocdad al tempo t? Ejemplo 4. Una esera rueda sobre una barra, con seccón en orma de U, nclnada. Determnar la aceleracón. El momento de nerca del dsco con respecto al eje es: as uerzas que actúan sobre la esera son el peso, P, la reaccón normal del plano,, y la uerza de rozamento F. Como la reaccón y el rozamento F están aplcados en el eje nstantáneo de rotacón no realzan nngún torque, sólo el peso:, sendo h ( r b ) τ hmg senθ El momento de nerca de la esera con relacón al eje nstantáneo de rotacón es 5 mr + mh Aplcando la ecuacón undamental de la dnámca de rotacón: M a dreccón de la cuerda sempre es tangente al dsco por lo que el torque aplcado es: τ F Como τ α τ Tenemos α eemplazando F F α M M Sendo α constante + αt F Como αt t M Ejemplo 6. Se sujeta una masa M a una cuerda lgera enrollada alrededor de una rueda de momento de nerca y rado. Hallar a tensón de la cuerda, la aceleracón y su velocdad después de haber descenddo una dstanca h desde el reposo. τ hmgsenθ hgsenθ α + ( mr / 5 + mh ) ( r / 5 h ) la aceleracón lneal será: a α h a h gsenθ gsenθ ( r / 5 + h ) ( r / 5h + ) a gura sguente muestra los dagramas de cuerpo lbre. 6
Aplcando la segunda ley de Newton a la masa M Mg T Ma () Aplcando la segunda ley de Newton para rotacón al dsco T α, como a α α a a T o T a () esolvendo () y () obtenemos M a g, M + M + T Mg Sendo un movmento con aceleracón constante v v + as Conocemos: a, v, s h : v h Mg M + Mg M + v h Ejemplo 7. Un anllo de 5 cm de rado, grosor desprecable y densdad,6 g/cm, se pone en rotacón alrededor de un dámetro cuando se le comunca un momento angular de 79 g cm /s. a) Hallar la expresón analítca y el valor numérco del momento de nerca respecto del eje de gro. b) Con qué velocdad angular empeza a grar? c) S el rozamento con el are y los pvotes orgna un par de uerzas cuyo torque es de 5 dna cm, cuál será la ecuacón del movmento que eectúa el anllo?, cuánto tempo tarda en pararse? (Nota N 5 dnas) a) Por el teorema de las guras planas, tenemos que: z x + y ; Además por smetría x y, Por tanto z x ρ ρ( π) πρ π (,6. )(, 5) 6,8x -5 kg m b) Al comuncarle un momento angular 7,9 x -4 kg m /s, 4 7,9 5 6,8,58 rad/s c) τ 5 dna cm 5x -5 Nx - m 5x -6 N m Por lo tanto la ecuacón del movmento en térmnos angulares será: θ + t,6,79t Sendo para t 58 s. θ + t α,6t,98t Ejemplo 8. Maquna de atwood tomando en cuenta la polea. a polea es un dsco de masa M y rado. a gura muestra los dagramas de cuerpo lbre de cada una de las partes de la máquna de atwood., y 7
Aplcando la segunda ley de Newton a cada una de las partes. Masa M : T M g M a () Masa M : M g T M a () Polea: T T α a M Ma () esolvendo (), () y (), obtenemos: T M ( g + a), T M ( g a) y ( m m ) a m + m + M ( ) g Ejemplo 9. Una polea homogénea de rado, masa M y momento de nerca, gra alrededor de su eje, debdo a la accón de dos masas m y m., m, m 5 kg, m kg, M kg, 8 kg m. Calcular: a) a aceleracón angular de la polea. b) as tensones de las cuerdas. c) a tensón del soporte que ja el sstema al techo Planteando la segunda ley de Newton para cada masa: m g T ma, m g m a T Para la polea: T T α τ a Como el hlo no deslza, a α Por lo tanto tenemos tres ecuacones: m g T ma, m g m a, T a T T Que sumadas dan lugar a: (m m ) g a(m + m + / ). Por lo tanto a vale: m m 5 a g 9, 8 8 m + m + 5 +,, m / s a, y α,7 rad / s, b) De las ecuacones anterores obtenemos: T mg ma 5( g a) 4,7 N. T m ( g + a), N. c) Consderando todas las uerzas que actúan sobre la polea, que debe estar en equlbro: a) Vamos a suponer que el sstema acelera haca el lado de la masa mayor M. F S P + T + T x 9,8 + 46,67 +, 445 N 8
Ejemplo. a gura representa un clndro maczo y homogéneo de rado cm y masa M kg. A su perera va arrollado un hlo deal de cuyo extremo lbre cuelga una masa m 8 kg. Por una henddura muy na se le arrolla otro hlo deal a una dstanca del eje horzontal r cm, a cuyo extremo lbre se le aplca una uerza constante F N. Calcular: a) Momento de nerca del clndro respecto a un eje que concda con una generatrz. b) Aceleracón con que sube la masa m. c) Aceleracón angular del clndro. d) Tensón del hlo que sostene la masa. kg y de la garganta de la polea pequeña pende otra masa de kg que tende a hacer grar a las poleas en sentdo contraro al anteror. El momento de nerca del sstema ormado por las dos poleas es de kg m. Al dejar el sstema en lbertad, se pone en movmento espontáneamente. Se pde: a) En qué sentdo se mueven las poleas? b) Valor de la aceleracón con que se mueve cada una. c) Aceleracón angular de las poleas. d) Tensón de la cuerda que sostene la masa de kg cuando el sstema está en movmento. a) Aplcando el teorema de Stener, ½ M +M / M b) Podemos plantear dos ecuacones: T mg ma y a Fr T M α Que conducen a: Fr mg a m + M. Por lo tanto la aceleracón a vale: Fr mg 5,68 a,6 + m + m c), m / s a α,, 6 rad/s. d) T mg + ma 8 (9,8 +,) 88 N. Ma Ejemplo. Dos poleas cuyos rados son m y, m, están acopladas pegada una a la otra en un plano vertcal, ormando un bloque que gra alrededor de su eje de rotacón común. De la garganta de la polea grande pende una masa de a) Cuando las poleas están ncalmente en reposo, los pesos concden con las tensones. Por tanto T N, y T N. El momento que ejerce T valdrá τ T Nm El que ejerce T valdrá τ T N m. Por tanto, al ser el momento de la uerza T mayor, la polea grará de modo que la masa M suba. b) y c) Planteando la ecuacón undamental de la dnámca a cada masa y a la polea, tendremos: T M g M a T M g M α () M g T M a M g T M α () τ τ α T T α () De las tres ecuacones obtenemos α : M g M g α M + M + + 9 + g,5 rad / s. a aceleracón de cada masa será: a α,5 m/s, a α,75 m/s d) T M g M α 94,7 N Ejemplo. Un rollo de 6, kg de papel con rado 8, cm descansa contra la pared 9
sostendo por un soporte undo a una varlla que pasa por el centro del rollo. a varlla gra sn rccón en el soporte, y el momento de nerca del papel y la varlla alrededor del eje es de,6 kg. m. El otro extremo del soporte está undo medante una bsagra sn rccón a la pared de modo que el soporte orma un ángulo de, con la pared. El peso del soporte es desprecable. El coecente de rccón cnétca entre el papel y la pared es μ k,5. Se aplca una uerza vertcal constante F 4, N al papel, que se desenrolla. a) Qué magntud tene la uerza que la varlla ejerce sobre el rollo de papel al desenrollarse? b) Que aceleracón angular tene el rollo? τ (4,,54)(8, α (,6) 4,7 rad/s ). Ejemplo Se debe aplcar una sola uerza adconal a la barra de la gura para mantenerla en equlbro en la poscón mostrada. Puede desprecarse el peso de la barra. a) Calcule las componentes vertcal y horzontal de la uerza requerda. b) Qué ángulo debe ormar ésta uerza con la barra? c) Qué magntud debe tener? d) Dónde debe aplcarse? En el punto de contacto, la pared ejerce una uerza F de la rccón drgda haca abajo y una uerza normal N drgda a la derecha. Esto es una stuacón donde es cero la uerza neta en el rodllo, pero el torque neto no es cero. a suma de uerzas vertcales F cosθ F + W + F, F μ k N, var as uerzas horzontales F var senθ N. De aquí tenemos: F θ μ N + F + W var cos k F senθ N. var a) Elmnando N y resolvendo para F var da F var W + F cosθ μ snθ k 4, + (6,) (9,8) cos (,5)sen 66 N b) Con respecto al centro del rodllo, la barra y la uerza normal ejercen el torque cero. a magntud del torque neto es ( F F ), y μ N F Puede calcularse reemplazando el valor encontrado para F var en cualquera de las relacones anterores; F μk Fvarsenθ, N. uego, k a) a tensón en el resorte es W 5 N, y la uerza horzontal sobre la barra debe equlbrar la componente horzontal de la uerza que el resorte ejerce sobre la barra, y es gual a ( 5 N) sen 7 N, a la zquerda en la gura. a uerza vertcal debe ser 5 cos 7 + 5 N, arrba b) 5 N arctan 59 N c) ( N) + (5 N) 58 N. d) Tomando torques alrededor (y mdendo la dstanca de) del extremo zquerdo 5 x (4)(5,) x 4, m Donde solamente las componentes vertcales de las uerzas ejercen torques. Ejemplo 4. magne que está tratando de subr una rueda de bccleta de masa m y rado a una acera de altura h; para ello, aplca una uerza horzontal F. Qué magntud mínma de F logra subr la rueda s la uerza se aplca a) al centro de la rueda? b) En la parte superor de la rueda? c) En cuál caso se requere menos uerza?
a) Tome los torques respecto a la esquna superor de la acera. a uerza F actúa a una dstanca perpendcular h y el peso actúa en una dstanca perpendcular ( ) h h h. gualando los torques para encontrar la uerza necesara mínma, h h F mg. h b) El torque debdo a la gravedad es el msmo, pero la uerza F actúa a una dstanca perpendcular tal que la uerza mínma es h, h h F mg. h c) Se requere menos uerza que cuando la uerza se aplca en parte alta de la rueda. Ejemplo 5. Un dsco homogéneo A gra alrededor del eje y bajo la accón de la masa C unda a una cuerda que pasa por una polea sn peso n rozamento enrollada alrededor del tambor clíndrco maczo B, soldara del dsco A. A éste está unda una masa puntual D, como ndca la gura. as masas A, B, C y D son respectvamente 65, 5, 8 y 4 kg. Se supone que la cuerda permanece sempre horzontal. Calcular: a) Aceleracón angular del dsco. b) Aceleracón tangencal de D. c) Aceleracón normal de D, 4 s después de partr del reposo. Aplcando la segunda ley de Newton en la masa C: mc g T m 8 g T 8α C A a Aplcando la segunda ley de Newton de la rotacón en el conjunto gratoro: T B α esolvendo el sstema ormado: 8g B TB 8α B 8 gb 8aB + α TB α 8gB 5,8 α,66 rad/s 8 + 5,8 B α b) a,6 m/s,65 rad/s c) ( ) t 4s α a N D 6,4 m/s EQUBO ESTÁTCO En el capítulo 5 vmos que para que una partícula estuvera en equlbro estátco era sucente que a uerza resultante uese cero. F Esta condcón tambén, es necesara para que un cuerpo rígdo este en equlbro, pero no es sucente que solamente el centro de masa este en reposo, el cuerpo puede grar Es necesaro que el momento de: uerzas o torque con respecto al centro de masa sea nulo. τ A contnuacón desarrollaremos algunos ejemplos de aplcacón. En muchos de ellos la uerza de la gravedad ejercda sobre las dversas partes de un cuerpo puede sustturse por una sola uerza, el peso total actuando en el centro de gravedad. S la aceleracón de la gravedad no varía a lo largo del cuerpo, el centro de gravedad concde con el centro de masa. Ejemplo 6. Demostrar que cuando un cuerpo está en equlbro y el torque con respecto al centro de masa es cero, el torque con respecto a cualquer punto tambén es cero. a) Calculemos en prmer lugar el momento de nerca del sstema A-B-D. maa + mb B + 5,56 kg m m D D En la gura r es el vector del centro de masa a O O
r es el vector del centro de masa al punto donde actúa r O F. F. es el vector del punto O al punto donde actúa De la gura vemos: r ro + ro El torque total alrededor de O es τ O r Ox F ro F r r F ro F τ ro F Como r es constante O τ O τ ro F a) Susttur la uerza vertcal dada por otra gual paralela cuya línea de accón pase por el centro de masa. b) Hacer grar el plano del par, hasta desplazarlo hasta la línea A B. Para un cuerpo en equlbro F tal que τ O τ S τ, el torque alrededor de cualquer punto debe ser cero y vceversa. Ejemplo 7. Par de uerzas. Dos uerzas guales y opuestas que actúan en la gura sguente se denomnan par de uerzas, Según se ndca c) Se camban los módulos de las uerzas a F de tal modo que: F ' b Fa a F ' F b F es el valor de cualquera de las uerzas y d ( x x ) es la dstanca entre ellas. El momento o torque producdo por estas uerzas con respecto a O es: τ O Fx Fx F ( x x ) Fd Este resultado no depende de la seleccón del punto O, el momento producdo por un par es el msmo respecto a cualquer punto del espaco. Ejemplo 8. Una uerza vertcal F que actúa en A. en el sóldo rectangular mostrado en la gura, queremos sustturla por otra cuya línea de accón pasa por el centro de masa más un par de uerzas que actúen horzontalmente aplcados en A y B. Ejemplo 9. Sobre una placa sólda actúan cuatro uerzas de módulos F 8, N, F 6 N, F N y F 4 5 N. Como se ndcan en la gura. Hallar la tuerza resultante sobre la placa y determnar su línea de accón.
Utlzando el cuadrculado obtenemos: r,ˆ, ˆj, F 8, ˆ 8, ˆj + ˆ + ˆj r,ˆ r,ˆ +, ˆj, F 6 ˆj, ˆj, F ˆ r,ˆ, ˆ 4 + j, F ˆ 5 5 ˆ 4 j 4 4 ˆ 4 ˆj a uerza resultante es F F + F + F + F4 + & + + 5 4 ( ˆ + 4 ˆj )N ( ) ( )j El torque resultante respecto al centro de masa es la suma de los torques ndvduales. τ τ + τ + τ + τ 4 Sendo: r F τ (,ˆ, ˆj ) ( ˆ + ˆj ) r F τ,ˆ, ˆ 6 ˆ 6 ˆ ( j) ( j) k r F τ,ˆ,ˆ ˆ ˆ ( + j) ( j) k 4 r4 F4 τ,ˆ, ˆ ˆ 4 ˆ ˆ ( + j) ( j) k eemplazando: τ Nm 6kˆ Para determnar la línea de accón de la tuerza, consderemos que el punto de aplcacón de la uerza resultante es: ˆ r xˆ + yj ˆ Tal que τ 6kˆ r F ( xˆ + yj ˆ) ( ˆ + 4 ˆj ) ( 4x y)kˆ De aquí: ( 4 x y) 6 x 5y Esta es la ecuacón de la línea de accón de la uerza; s esta tuerza a de stuarse en algún punto del borde neror de la placa, y -, m.. Obtenemos + + ( ) 5y 5, x a gura sguente muestra la uerza resultante: Ejemplo. Se tene una escalera dé masa M y largo apoyada contra la pared.no hay rccón en la pared y el coecente de rccón del pso es μ. Cuál es el mínmo ángulo de nclnacón para que no comence a resbalar? a gura sguente muestra el dagrama del cuerpo lbre de la escalera. Condcón para que el centro de masa no acelere:
Fx N x μn y, Fy Mg N y De aquí obtenemos: N y Mg, N μ N μmg x Condcón de no rotacón: a suma de momentos de uerza con respecto al centro de masa es cero. N y cosθ μn y senθ N x senθ eemplazando las uerzas: Mg cosθ μmg senθ μmg senθ μ θ θ sen cos θ tan μ Otra orma: En lugar de tomar el centro de masa como orgen tomemos extremo neror de la escalera. Tomando momentos con respecto a este punto. Mg cosθ N x senθ eemplazando el valor de N x : Mg cosθ μmgsenθ θ tan μ Obtenemos la msma respuesta porque no mporta con respecto a que eje tomemos el torque. y Ejemplo. Una vga de masa m se empotra a la pared como se muestra en la gura y se sujeta por medo de un alambre. S la tensón en el alambre excede T m el alambre se rompe. Para qué valor de x, el alambre se romperá por una masa M colocada sobre la vga? a gura muestra el dagrama del cuerpo lbre del sstema vga-masa. es a reaccón de la pared. Como el sstema está en equlbro F Fx cosα T cosθ Fy senα Tsenθ Mg mg Con τ alrededor de cualquer punto. Tomamos momentos con respecto a O. Tsen θ mg Mgx De esta últma ecuacón obtenemos Tsenθ mg x Mg S T T m obtenemos el valor máxmo de x. S estuvéramos nteresados en conocer, sería mejor tomar momentos con respecto al otro extremo. Ejemplo. Un albañl de 75 kg camna sobre un tablón de m de largo y 8 kg apoyado sobre dos vgas dstantes m, tal como ndca la gura. Cuál es la máxma dstanca x que puede recorrer, sn que caga? Para que el tablón gre, el torque del peso del albañl respecto del punto O, más el torque del peso de la parte de tablón que sobresale, debe ser mayor o gual que el torque del peso de la parte de tablón apoyada entre las vgas: lamando λ a la densdad lneal del tablón: M λ, hacendo d m, longtud del tablón, M masa tablón, m masa albañl tendremos: ( d ) d mgx + λ d g λdg ( ) M [ ] ( d ) mx d ( d ) + λ, M x d,5 m m ( ) Ejemplo. Un baúl de masa M se empuja sobre un suelo con coecente de rozamento a) Qué uerza F se ejerce s el baúl se mueve con aceleracón constante a? b) S el baúl se mueve con velocdad constante? 4
c) Qué uerza se necesta para nclnar el baúl? a gura sguente muestra el dagrama del cuerpo lbre del baúl. a) Aplcando la segunda ley de Newton. F F ( N N )Ma x μ + k, F y N + N Mg esolvendo las ecuacones: F M ( a + μ k g) b) En el caso que el baúl va con velocdad constante a y F Mμ k g c) Para analzar la nclnacón del baúl tenemos que escrbr la ecuacón de momentos con respecto al borde delantero, sn rotacón α, luego b τ bn hf + Mg Cuando el baúl empece a nclnarse, empezará a rotar en el sentdo horaro y N, de aquí: bmg F h y la aceleracón: F b a μ k g μ k g M h Ejemplo 4. El extremo A de la barra AB de la gura descansa en una superce horzontal sn rccón, y el extremo B tene una artculacón. Se ejerce en A una uerza horzontal F de magntud N. Desprece el peso de la barra. Calcule las componentes horzontal y vertcal de la uerza ejercda por la barra sobre la artculacón en B. a componente horzontal de la uerza ejercda en la barra por la bsagra debe equlbrar la uerza F aplcada, y así tene magntud, N y es haca la zquerda. Tomando torques alrededor del punto A (, N)(4, m) + FV (, m) a componente vertcal es 6 N, el sgno menos ndca una componente haca abajo, ejercendo un torque en una dreccón opuesta a la de la componente horzontal. a uerza ejercda por la barra en la bsagra es gual en magntud y contraro en la dreccón a la uerza ejercda por la bsagra en la barra Ejemplo 5. a caja es arrastrada sobre una superce horzontal con rapdez constante por una uerza. El coecente de rccón cnétca es de,5. a) Calcule la magntud de F. b) Determne el valor de h con el cual la caja comence a volcarse. a) F F μk Ν μkmg (,5)(, kg)(9,8 m s ) N b) Con respecto al borde delantero de la caja. El brazo de palanca del peso es,5,5 m El brazo de palanca h de la uerza aplcada es entonces mg h (,5) (,5) F μ,5,6 m.,5 TABAJO Y ENEGA EN OTACÓN. Consderemos un cuerpo que gra alrededor de un eje tal como se muestra en la gura k a energía cnétca de un elemento de masa dm que gra a una dstanca r del eje de rotacón es: 5
dk, v r dk dmv dm r ntegrando. K dk r dm M como es constante. K dk r dm M El térmno ntegral es el momento de nerca del cuerpo con respecto al eje de rotacón K Para relaconar la energía cnétca, al trabajo eectuado sobre el cuerpo por un torque τ. Supongamos que se aplca una uerza externa únca F, que actúa en el punto P del cuerpo. El trabajo realzado por F a medda que el cuerpo gra recorrendo una dstanca nntesmal ds rdθ en un tempo dt es: dw F d s Fsenφ rdθ Como Fsen φ r es el torque de la uerza F alrededor del orgen se puede escrbr el trabajo realzado para la rotacón nntesmal como: dw τ dθ Cuando el cuerpo gra en torno a un eje jo bajo la accón de un torque. El cambo de su energía cnétca durante el ntervalo dt se puede expresar como: dk dt dt dk dt d dt d dt α dt α dt dt Como τ α y dθ dt Obtenemos: dk τ dθ dw S se íntegra esta expresón se obtene el trabajo total W τ dθ θ θ d K K Δ K E trabajo neto realzado por las uerzas externas al hacer grar un cuerpo rígdo alrededor de un eje jo es gual al cambo en la energía cnétca de rotacón. Por la analogía que exste entre las expresones para el movmento lneal y el movmento angular, podemos decr que un torque será conservatvo a condcón que exsta una uncón potencal U U ( θ ) de tal modo que el trabajo eectuado por τ, cuando el cuerpo sure un desplazamento θ es la derenca U ( θ ) U ( ). angular ( ) θ Así pues se deduce que: U U K K ( ) ( θ ) ( θ ) ó K + U ( θ ) K ( ) constante + U θ Cuando el sstema no es conservatvo W NO CONSEVATVO K + U ( θ ) K + U θ ( ) ( ( θ )) POTENCA a rapdez con que se realza este trabajo es: dw dt dθ τ τ dt Expresón que corresponde a la potenca nstantánea. P τ Ejemplo 6. Para la barra gratora, calcular su rapdez angular y la rapdez lneal de su centro de masa y del punto mas bajo de la barra cuando está vertcal. Usando el prncpo de conservacón de la energía, consderando que la energía potencal se calcula 6
respecto al centro de masa y la energía cnétca es de rotacón: E E K + U g K + U g Cuando la barra esta ncalmente horzontal no tene K y cuando esta vertcal tene solo K, entonces: Mg M g Para calcular la rapdez del centro de masa, se usa: v cm r g En el punto mas bajo la rapdez es v vcm g Ejemplo 7. Para el sstema de la gura, las masas tene momento de nerca en torno a su eje de rotacón, la cuerda no resbala en la polea y el sstema se suelta desde el reposo. Calcular la rapdez lneal de las masas después que una ha descenddo H y la rapdez angular de la polea. mv + mv + + m gh m + m + v ( m m )gh Donde se ha usado la relacón v, despejando v se obtene: v ( m m ) m + m gh + Ejemplo 8. Sobre un clndro homogéneo de rado y masa M. tene El cual tene lbertad de grar sn rccón sobre un eje, como se muestra en la gura. S se le aplca en su borde una uerza tangencal de magntud F. a) Cuál es la aceleracón angular α del clndro? b) Cual es la velocdad angular y la energía cnétca del clndro al tempo t? c) qué cantdad de trabajo aplca la uerza durante este ntervalo t?. El momento de nerca del clndro en torno a su eje es: Como no hay roce en la polea, se conserva la energía, que aplcada a cada masa m y m, suponendo que m se encuentra ncalmente en la parte superor del sstema, es: E E K + K + U + U K + K + K p + U + U + m gh M a) Con τ α tenemos α M b) Sendo α constante τ α, τ F F M F + α t F S, α t, t M a energía cnétca: F t K M M F t M c) El trabajo realzado F W ΔK K K t M F t M 7
Otra orma de calcular es: θ W τ dθ, F θ W F θ θ F τ (constante) ( ) Δθ F Con α, M F F θ αt t t M M Fnalmente F F W F t t M M Ejemplo 9. Un carrete de hlo delgado tene rado y masa M. S se jala el hlo de tal modo que el centro de masa del carrete permanezca suspenddo en el msmo lugar. a) Qué uerza se ejerce sobre el carrete? b) Cuánto trabajo se habrá realzado cuando el carrete gra con velocdad angular? a gura muestra al carrete suspenddo. El carrete solo tene movmento crcular ya que está en equlbro vertcal Aplcando las leyes de Newton: F y T Mg τ α T α Como M, obtenemos: Mg M α g y α a) a uerza que se ejerce sobre el carrete es T Mg b) Como el trabajo realzado es: W τ Δθ, donde τ T Mg Sendo α constante + αδθ S αδθ y Δ θ α 4g uego W Mg M 4g 4 Otra orma de evaluar el trabajo es por la conservacón de la energía. W ΔK K K M M 4 Ejemplo. Una plataorma clíndrca unorme de 8 kg de masa y 4,5 m de rado se rena de, rev/s al reposo en 8 s cuando se desconecta el. motor. Calcular la potenca de salda del motor (hp) para mantener una velocdad constante de, rev/s. Como prmer paso debemos conocer cuál es el torque de renado que tenemos que vencer para mantener la velocdad constante, ese torque lo calcularemos de la sguente manera: τ renado α renado M. Δ α renado Δt t t t M τ renado M t t a potenca es: M P τ t Sendo M 8 kg, 4,5 m, rev π rad rad, 6,4π, s rev s t 8 s. ( 8)( 4,5) ( 6,4π ) P 4889,7 W ( 8) Como hp 75,5 W P 55,6 hp Ejemplo. Se sujeta una masa M a una cuerda lgera enrollada alrededor de una rueda de momento de nerca y rado. Hallar a tensón de la cuerda, la aceleracón y su velocdad después de haber descenddo una dstanca h desde el reposo. esolver desde el punto de vsta de energía. 8
Por el prncpo de conservacón de la energía E total constante Al nco del movmento toda la energía es potencal, s consderamos como nvel cero el ndcado en la gura (a). E Mgh a energía nal es pura energía cnétca, de la nasa M con velocdad v antes de chocar y el dsco con momento de nerca con velocdad angular v, gura (b). E + Mv v M + Como E E v Mgh M + M y v gh M + M M + v gh Mv + Ejemplo. esolver la máquna le Atwood utlzando Conceptos de trabajo y energía, v as masas M y M ncalmente están en reposo en la poscón y, después de soltarlas una sube y la otra baja como muestra la gura. as masas estarán movéndose con velocdad v la Polea tendrá una velocdad angular. Como no hay rozamento por la conservacón de la energía E E + M v + M v + + Mgy M gy v Sendo, M, tenemos: M M + M + v ( M M )gy ( M M ) v gy M M + M + Para un movmento unormemente acelerado v ay Comparando: ( M M ) a M + M + M ( ) g Ejemplo. Una canca sólda unorme de rado r parte del reposo con su centro de masa a una altura h sobre el punto más bajo de una psta con un rzo de rado. a canca rueda sn resbalar. a rccón de rodamento y la resstenca del are son desprecables. a) Qué valor mínmo debe tener h para que la canca no se salga de la psta en la parte superor del rzo? (Nota: r no es desprecable en comparacón con.) b) Qué valor debe tener h s la psta está ben lubrcada, hacendo desprecable la rccón? 9
a) De a a B, la dstanca que la canca ha caído es y h ( r) h + r. 7 g 5 7 g ( h + r) v eemplazando el valor de v : 7 g( h + r) g( r) 7 h + r ( r) 7 ( h + r) v + v v h r + 7 r + ( r) ( r) El rado de la trayectora del centro de masa de la canca es r,. a condcón para que la canca permanezca en la psta es v F r ma c mg m r ( ) v g( r). a velocdad se determna del teorema del trabajo - energía, mgy mv + Se tene: y h ( r) v r Se sabe que para una esera mr 5 eemplazando estos valores en la ecucón de la energía: v mg( h + r) mv + mr 5 r 7 7 r,7, 7r b) En ausenca de rccón no habrá rotacón. uego: mgy mv Susttuyendo las expresones para y y v en térmnos de los otros parámetros da h + r ( r) esolvendo obtenemos 5 h r. Ejemplo 4. a gura muestra tres yoyos déntcos que ncalmente están en reposo en una superce horzontal. Se tra del cordel de cada uno en la dreccón ndcada. Sempre hay sucente rccón para que el yoyo ruede sn resbalar. Dbuje un dagrama de cuerpo lbre para cada yoyo. En qué dreccón grará cada uno? Explca tus respuestas En el prmer caso, F y la uerza de la rccón actúan en dreccones opuestas, y la uerza de rccón tene el torque mayor que hace rotar el yo-yo a la derecha. a uerza neta a la derecha es la derenca F F, tal que la uerza neta es a la derecha mentras que el torque neto causa una rotacón a la derecha.
Para el segundo caso, el torque y la uerza de rccón tenden a dar vuelta al yoyo a la derecha, y el yo-yo se mueve a la derecha. En el tercer caso, la rccón tende a mover al yoyo a la derecha, y puesto que la uerza aplcada es vertcal, el yoyo se mueve a la derecha. Ejemplo 5. Una canca unorme baja rodando sn resbalar por el trayecto de la gura, partendo del reposo. a) Calcule la altura mínma h que evta que la canca caga en el oso. b) El momento de nerca de la canca depende de su rado. Explque por qué la respuesta a la parte (a) no depende del rado de la canca. c) esuelva la parte (a) para un bloque que se deslza sn rccón en vez de una canca que rueda. Compare la h mínma en este caso con la respuesta a la parte (a). a) Encuentre la velocdad v que necesta la canca en el borde del hoyo para hacerlo llegar a la terra plana en el otro lado. a canca debe vajar 6 m horzontalmente mentras cae vertcalmente m. Use el movmento vertcal para encontrar el tempo. Tome + y haca abajo. v, a 9,8 m/s, y y m, t? y y y v y t + a yt t, s y uego x x v xt v x 7,8 m/s. Utlce la conservacón de la energía, donde el punto está en el punto de partda y el punto está en el borde del hoyo, donde v 7,8 m/s. Haga y en el punto, tal que y e y h K + U K + U mgh mv + odar sn resbalar sgnca v, mr r 5 Tal que mv 5 7 mgh mv 7v 7(7,8 m/s) h g (9,8 m/s ) m b) mv, ndependente de r. 5 c) Todo es gual, excepto que no hay el térmno de energía rotaconal cnétca en K: K mv mgh mv v h 6 m. g Comparado con la altura de la parte (a), 6 /,7, es el 7 %. Ejemplo 6. Una esera sólda unorme rueda sn resbalar subendo una colna, como se muestra en la gura. En la cma, se está movendo horzontalmente y después se cae por un acantlado vertcal. a) A qué dstanca del pe del acantlado cae la esera y con qué rapdez se está movendo justo antes de tocar el suelo? b) Observe que, al tocar terra la esera, tene mayor rapdez de traslacón que cuando estaba en la base de la colna. mplca esto que la esera obtuvo energía de algún lado? Explque. a) Use la conservacón de la energía para encontrar la velocdad v de la bola momentos antes que salga de la parte alta del acantlado. Sea el punto en la base de la colna y el punto en la cma de la colna. Tome y en la base de la colna, tal que y e y 8, m. K + U K + U
mv + mgy + mv + odar sn resbalar sgnca v r y mr ( v / r) mv 5 5 7 7 mv mgy + mv v v gy 5,6 m s 7 Consdere el movmento de proyectl de la bola, después de salr de la cma del acantlado hasta justo antes de tocar terra. Tome + y haca abajo. Utlce el movmento vertcal para encontrar el tempo en el are: v y, a y 9,8 m/s y y 8,m, t? y y v y t + a yt t,9 s Durante este tempo la bola vaja horzontalmente x x vxt 5,6 m s,9 s 6,5 Justo antes de tocar terra, vy v y + gt,4 m/s y v v 5,6 m/s v ( )( ) m. x x v x v + y 8, m s b) En la base de la colna, v 5, m s r r a razón de la rotacón no camba mentras la bola está en el are, después de dejar la parte alta del acantlado, tal que momentos antes de tocar terra 5, m/s r a energía cnétca total es gual en la base de la colna y momentos antes de tocar terra, pero momentos antes de tocar terra poco de esta energía es energía cnétca rotatora, así que la energía cnétca de traslacón es mayor. Ejemplo 7. Un clndro sóldo unorme de masa M y rado descansa en una mesa horzontal. Se ata un hlo medante un yugo a un eje sn rccón que pasa por el centro del clndro de modo que éste puede grar sobre el eje. El hlo pasa por una polea con orma de dsco de masa M y rado montada en un eje sn rccón que pasa por su centro. Un bloque de masa M se suspende del extremo lbre del hlo. El hlo no resbala en la polea, y el clndro rueda sn resbalar sobre la mesa. S el sstema se lbera del reposo, qué aceleracón haca abajo tendrá el bloque? Hacer este problema usando la cnemátca mplca cuatro ncógntas (ses, contando las dos aceleracones angulares), mentras que usando consderacones de la energía se smplcan los cálculos. S el bloque y el clndro ambos tenen velocdad v, la polea tene velocdad angular v/ y el clndro tene velocdad angular v/, la energía cnétca total es M () M K Mv + ( v ) + ( v ) + Mv Mv. () Esta energía cnétca debe ser el trabajo hecho por la gravedad; s la masa que cuelga descende una dstanca y, K Mgy. () De () y (): v gy Para aceleracón constante v ay, Por comparacón de las dos expresones obtenemos: g a Ejemplo 8. Una barra de largo y masa M está artculada en un extremo a un punto jo O, ncalmente en reposo y horzontal. S ella se suelta, comenza a rotar respecto a la artculacón bajo el eecto del peso de la barra. Determne la reaccón en la artculacón y la velocdad angular de la barra en uncón del ángulo que ella ha grado.
Por conservacón de energía tenemos que M ( ) θ Mgsenθ uego la velocdad angular de la barra es: g g θ senθ θ sen d Además H M cosθ, dt d V Mg M ( senθ ) dt Entonces H V M sen d senθ θ θ dθ d g M sen θ senθ senθ dθ 9 M senθ cosθ 4 d Mg M ( senθ ) dt d g Mg M cos θ senθ cosθ dθ 5 9 Mg Mg cos θ 4 Ejemplo 9. Una barra de longtud y masa M se coloca vertcalmente sobre un plano horzontal lso, en reposo. S ella es perturbada levemente comenza a caer. Determne: a) a velocdad del centro de masa de la barra justo cuando ella se coloca horzontal. b) a aceleracón angular en dcho nstante. θ a) Momento de nerca de la barra con respecto a un extremo M A Por conservacón de energía. Mg M v g g b) a aceleracón angular en dcho nstante. Mg τ g α AA M Ejemplo 4. Una barra de longtud y masa M se coloca sobre un plano horzontal lso. S la barra es trada por una uerza constante F, ncalmente perpendcular a la barra y aplcada en un extremo, la barra comenza a moverse sobre el plano. a uerza se mantene aplcada a ese msmo extremo mantenendo su dreccón orgnal. Determne una ecuacón para el ángulo que gra la barra en uncón del tempo. El torque respecto al centro de masa conduce a F senθ M θ F θ senθ Ejemplo 4. Una barra de longtud y masa M puede osclar lbremente en torno a uno de sus
extremos que se mantene jo, bajo la accón de su peso. Escrba la ecuacón derencal para el ángulo que ella gra. Por conservacón de energía E M θ Mg cosθ Dervando respecto al tempo M θ θ + Mg θ senθ Fnalmente g θ + senθ Ejemplo 4. Un péndulo de torsón consste en un dsco unorme de masa M y rado suspenddo de una barra delgada y vertcal de masa desprecable y que puede torcerse al dar vuelta al dsco alrededor de su eje, como se ndca en la gura. a barra tene una Constante de elastcdad torsonal k. ncalmente se hace grar el dsco un ángulo θ respecto del equlbro y luego se le suelta desde el reposo. Determnar su velocdad de rotacón cuando llega nuevamente a la poscón de equlbro. puramente energía cnétca. K M M 4 Por conservacón de energía. kθ k θ M 4 M Fnalmente kθ M TASACONES Y OTACONES COMBNADAS Hasta ahora solo hemos tomado en consderacón la rotacón del cuerpo en torno a un eje jo en el espaco. a naldad de esta seccón es estudar el caso en que el eje de rotacón s acelera tambén vamos a presentar tres métodos analítcos de resolver este caso. Prmer método Aplcamos la segunda ley de Newton para traslacón relatva ejes no rotantes a través del centro de masa. Para lustrar este método y los otros tambén, consderemos un cuerpo de rado, masa M y momento de nerca respecto a su entro masa, al que se le oblga a rodar sn deslzamento a lo largo de una superce horzontal por medo de una uerza F que actúa en su centro de masa, a tuerza de rccón F y la reaccón N actúan tal como se muestra en la gura sguente. Con la ley de Hooke para rotacón, τ kθ El trabajo para torcer un ángulo θ es: θ θ W τ dθ ( kθ ) dθ k θ Este trabajo queda como energía potencal. U ( ) θ θ k Al lberarse esta se converte en energía cnétca. Al pasar por el punto de equlbro la energía es E cuerpo se mueve con una aceleracón horzontal a que es la que corresponde a su centro de masa, y a su vez rota con aceleracón angular α. Como rueda sn deslzamento la relacón entre el desplazamento lneal y el desplazamento angular es x θ. a velocdad es dx dθ v dt dt a aceleracón es dv d a α dt dt Aplcando la segunda ley de Newton para traslacón 4
F F Ma Aplcando la segunda ley de Newton para rotacón alrededor del centro de masa F α Elmnando F y α, obtenemos: M + a F a aceleracón F a M + S para t : x, v, Sendo a constante a velocdad es: v v + at v F ( M ) t + El desplazamento es: x x + v t + at F x M + ( ) t Segundo método En este método escrbmos la ecuacón para traslacón gual que en el anteror método, pero para la rotacón se aplca la segunda ley de Newton con respecto al eje de rotacón que pasa a través del punto de reposo nstantáneo (punto de apoyo en el movmento) s tal punto no exste no puede usarse este método Como lustracón veamos el ejemplo anteror. El punto contacto es el punto jo nstantáneo O, consderemos que este no deslza y todos los otros puntos de eje momentáneamente rotan alrededor de el. En este caso como la aceleracón del centro masa es a, la aceleracón angular del cuerpo alrededor de O es α a. Aplcando la segunda ley de Newton para traslacón: F F Ma Aplcando la segunda ley de Newton para rotacón a alrededor de O: F O α Como α a y O + + M : con la segunda ecuacón, a F ( + M ) F a M + Tercer método Este método Consste en usar las ecuacones de la energía drectamente. Es un Sstema Conservatvo K + U Constante esolveremos por este método el ejemplo anteror. Puesto que no hay deslzamento la tuerza de rccón sobre el cuerpo no trabaja sobre el mentras rueda. Sendo un sstema conservatvo la uerza F se puede deducr de una uncón Potencal U - Fx donde x es la coordenada horzontal del centro de nasa. a energía E del cuerpo es: E K + U K + Mv, U Fx uego: E + Mv Fx v Sendo E v + M Fx De aquí podemos evaluar la velocdad consderando que para el nstante ncal x, y v, por consguente E. v + M Fx y v + M Fx Fx v + M 5
Sendo un movmento con aceleracón constante v ax De esto F a + M Otra orma de calcular la aceleracón. Consderando que de E Constante dt de v + M Fx dt dv dx v + M F dt dt Como dv dx a y v dt dt va + M Fv F a M + Ejemplo 4. Analzar el movmento de un cuerpo de rado, momento de nerca respecto a su centro de masa que rueda sn deslzar haca abajo en plano nclnado de ángulo θ. Como se muestra en la gura hay dos uerzas que actúan sobre el cuerpo, Mg actúa en el centro de gravedad y la uerza de contacto que se descompone en la reaccón normal N y la uerza de rccón F. Vamos a resolver por el prmer método. Traslacón: Mgsen β F Ma otacón: F α Por la condcón de no deslzamento: α a Elmnando α y F obtenemos: Mgsenβ a M + Consderando que para t : s, y v. Mgsenβ v t, M + Mgsenβ s t M + Para un anllo: M, s gsenβ t 4 Para un dsco: M, s gsenβ t Para una esera: 5 M, s gsenβ t 5 4 Para un plano sn rccón (sn rodadura) s gsenβ t Por la ecuacón de energía S para t : K y U E K + U lamando h a la caída del centro de masa desde la poscón de reposo, tenemos: K Mv +, U Mgh Mgssen β, v v v M + Mgssenβ Mgsenβ M + Ejemplo 44. Usar la conservacón de la energía para descrbr el movmento de rodadura de un cuerpo rígdo de masa M que rueda por un plano nclnado θ y rugoso. s 6
Estudar el movmento. Se supone que el cuerpo rígdo parte del reposo desde una altura h y que rueda por el plano sn resbalar la conservacón de energía da: E cte K U cte + g K + U g K + U g Pero K y Ug, entonces Mgh cm + Mv cm Como v cm v cm /, se reemplaza en la ecuacón anteror vcm cm + Mvcm Mgh Despejando ν cm se obtene: gh vcm + cm M Por ejemplo, para una esera sólda unorme de momento de nerca cm M, se puede 5 calcular su v cm en el punto más bajo del plano y su aceleracón lneal. gh v ( 5) M gh cm 7 gh + + M 5 v cm gh 7 a aceleracón lneal se puede calcular con la ecuacón vcm vcm vcm + acm x acm x De la geometría de la gura, se tene: h x sen θ, donde x es la longtud del plano, reemplazando en a cm : 5 gxsenθ a 7 cm x 5 7 gsenθ Vamos a resolver prmero por las ecuacones del movmento de Newton. Traslacón.: Mg T Ma otacón.: T α Como: a M, α : a T M De aquí se obtenemos: T Ma y a g Ma El yo-yo uncona según este prncpo, está proyectado para que a sea mucho menor que g. esolvendo por conservacón de la energía E K + U v Mv + M Mgy de Como E constante dt dy dv Tambén v y a dt dt Con esto encontramos que a g Ejemplo 46. Estudar el movmento de un dsco homogéneo de rado y masa M, sobre el que actúa una uerza horzontal F aplcada un punto varable a lo largo de una línea vertcal que pasa por el centro, según se ndca en la gura. Supóngase el movmento sobre un plano horzontal. Ejemplo 45. Un dsco homogéneo de rado y masa M tene una cuerda enrollada alrededor, según vemos en a gura. Sujetando el extremo lbre de la cuerda a un soporte jo, se deja caer el dsco. 7
En la gura vemos que la uerza F se aplca a una dstanca h sobre el centro. Suponendo que F actúa haca la zquerda. Aplcando las leyes de Newton del movmento: Traslacón F F Ma () N Mg () otacón alrededor del centro de masa Fh + F α M α () a Consderando α h F + F Ma (a) gualando () y (a) h F F F + F h F F Dscusón: h a) F, cuando h Esto quere decr s F se aplca a / del centro, la uerza de rozamento es cero. b) S h F F F F F el rozamento es en sentdo contraro al ndcado y la ecuacón () se converte en: F F ( ) M α F Mα 4F α M Esto ndca que el clndro rueda haca la derecha. ( ) F F F F F En la ecuacón () F F( ) + α M α F M α F α M El clndro rueda haca la derecha. d) S F se hace muy grande tal que F tende a aumentar, tan pronto como sobrepase el valor máxmo posble de la tuerza de rozamento (μn), el dsco deslzará. Se debe hacer una nueva hpótess, esta vez se tenen tambén las ecuacones (), () y () pero α a. Ejemplo 47. Un carrete de rado nteror y rado exteror se halla sobre un suelo áspero. Se tra de él con una tuerza F medante un hlo arrollado en torno a su clndro nteror. Se mantene un ángulo θ con la horzontal. Se observa que hay un ángulo Crítco θ, tal que θ < θ o, el carrete rueda sn deslzar en el sentdo del cual se tra de él, y para θ > el carrete rueda sn deslzar en sentdo θ o contraro, Cuál es el valor del ángulo crtco. Aplcando las leyes de Newton del movmento; Traslacón: F cosθ F Ma Mα () Fsen θ Mg + N otacón: F + F α F F α F F α () Elmnando la uerza F., reemplazando () en (): c) S dsmnuye h hasta que h. 8
F cos θ F α Ma F cosθ F + α Mα θ cos M F ( θ ) d α F cos M ( ) dt α a rotacón hará que el movmento del carrete será d haca adelante cuando > dt cosθ > cosθ > d El movmento será haca atrás cuando < dt cosθ < cosθ < d El ángulo crítco es cuando dt cosθ cosθ Ejemplo 48. Un dsco de masa M y rado se apoya sobre un plano horzontal áspero de modo que puede rodar sn resbalar con su plano vertcal. S se tra del centro del dsco con una uerza horzontal constante F, determne: a) a aceleracón del centro de masa del dsco. b) a aceleracón angular del dsco. c) a uerza de roce. Aquí F F Ma, N Mg, F M α Ma Entonces F Ma Que susttuda en la prmera da: F a) a, M a F b) α, M F c) F Ma Ejemplo 49. Un dsco de masa M y rado se apoya sobre un plano horzontal áspero de modo que puede rodar sn resbalar con su plano vertcal. El dsco tene un resalto de rado como se ndca en la gura, en el cual se enrolla una cuerda que se tra con una uerza horzontal constante F, determne: a) a aceleracón del centro de masa del dsco. b) a aceleracón angular del dsco. c) a uerza de roce. Ahora F F Ma, N Mg F ( ) + F M α a M Ma Smplcando: F + F Ma F F F De donde resulta: F a) a m F b) α M c) F 9
Ejemplo 5. Un dsco de masa M y rado tene enrollada una cuerda en su perera y cae partendo del reposo mentras la cuerda que se sostene de su extremo se desenrolla. Determne: a) a aceleracón de bajada del dsco. b) a tensón de la cuerda. A partr del punto A en que el pso es áspero deslzará prmeramente sobre el plano áspero, pero acabará rodando sn deslzar. En la parte ntermeda habrá una aceleracón a que dsmnuye a la velocdad de v a v y una aceleracón angular α que dsmnuye a, la hace gual a cero y camba su rotacón hasta que llega la velocdad angular a un valor tal que. v Aplcando las leyes de Newton en la gura sguente. Traslacón: μ N Ma, N Mg Aquí Mg T Ma, T M α Ma De donde Mg Ma Ma a) a g b) T Ma Mg Ejemplo 5. Se da a un clndro homogéneo de rado y masa M con una velocdad horzontal v y una velocdad angular en sentdo opuesto a las agujas del reloj v en la parte sn rozamento de la superce horzontal. Más allá del punto A, camba la superce de manera que a la derecha de A el coecente de rozamento es μ. otacón: μ N α M α μg De esto obtenemos: a μg, α a velocdad es: v v + at v μgt a velocdad angular es: v μg α t t Parta encontrar el tempo en que el dsco deja de resbalar, debe cumplrse: v vˆ kˆ j ˆ ˆ v μg ( v μgt) t v v μgt t μg con este valor de t v v v v μ g μg a velocdad nal es un terco de la ncal En la parte lsa el cuerpo se mueve con velocdad horzontal constante v haca la derecha, rotando con velocdad angular en el sentdo anthoraro. Ejemplo 5. Se lanza una bola de bllar con una velocdad ncal v sobre una mesa horzontal,
exstendo entre la bola y la mesa un coecente de rozamento μ. Calcular la dstanca que recorrerá hasta que empece a rodar sn deslzamento. Qué velocdad tendrá en ese nstante? Aplcar para el caso v 7 m/s, μ,. a uerza de rozamento µn µmg se opone al movmento, sendo además la uerza resultante, por lo que: μ mg ma, a μg a velocdad de la bola comenzará a dsmnur de tal modo que: v v at v μgt. Al msmo tempo, sobre la bola que ncalmente no rueda, ( ) actúa un momento de uerza: τ F μmg τ que producrá una aceleracón angular α τ μmg 5μg α m 5 Por lo que la velocdad angular rá aumentando: 5μgt αt a velocdad de un punto de la perera de la esera vale v P, que rá aumentando con el tempo, porque aumenta con el tempo. Por tanto, observamos que la velocdad de la bola dsmnuye, y la velocdad de la perera de la bola aumenta. En el momento en que la velocdad de la perera se guale a la velocdad de traslacón, se consegurá la rodadura, es decr el no deslzamento. v v v P 5μgt v v μ gt t 7μg la velocdad en ese nstante es 5 v v 5 m/s, t, s 7 a dstanca recorrda x v gt t μ v v v μg 7μg 7μg 49μg 6, m. Ejemplo 5. Un tambor tene un rado de,4 m y un momento de la nerca de 5, kg m. El torque producdo por la uerza de rccón de los cojnetes de anllo del tambor es, Nm. Un anllo en un extremo de una cuerda se deslza en una clavja corta en el borde del tambor, y una cuerda de 5 m de longtud se enrolla sobre el tambor. El tambor está ncalmente en reposo. Una uerza constante se aplca al extremo lbre de la cuerda hasta que la cuerda se desenrolla y se deslza totalmente de la clavja. En ese nstante, la velocdad angular del tambor es de rad/s. El tambor después decelera y se detene. a) Cuál es la uerza constante aplcada a la cuerda? b) Cuál es la cantdad de movmento angular del tambor en el nstante en que la cuerda deja el tambor? c) Cuál es el trabajo negatvo realzado por la rccón? d) Qué tempo el tambor estuvo en movmento? Movmento con la cuerda? a) Trabajo de la uerza F + trabajo de la rccón Energía cnétca ganada al termnarse la cuerda F Δ s + τ Δθ O 5 F ( 5 ), ( 5,)( ) F,5 N b) 5 O,4 ( )( ) 6 kg.m /s c) Movmento con la cuerda
5 W τ Δθ -,5 J,4 Movmento sn la cuerda W O O 5, Trabajo total W W + W 48, 5J d) τ Oα ( )( ) 6 O F τ Oα,5(,4), 5,α,5(,4), α Por otra parte 5,,9 rad s o α t t 6,5 s α,9 Movmento sn la cuerda τ O Oα 5α rad α,6 5 s + α t t α,6 El tempo total es 6,5 s s Ejemplo 54. Una rueda tene un rado de,4 m y se monta en cojnetes sn rccón. Un bloque se suspende de una cuerda que se enrolla en la rueda. a rueda se lbera de reposo y el bloque descende,5 m en, segundos. a tensón en la cuerda durante el descenso del bloque es N. a) Cuál es la masa del bloque? b) Cuál es el momento de nerca de la rueda? a) h at h,5 a t ( ) ( ) m,75 s mg T ma T m g a 9,8,75, kg b) a,75 α,4 rad,875 s τ O Oα T O α T,4 α O 4,7 kg m ( ),875 Ejemplo 55. El rado de una rueda de, klogramos es 6, centímetros. a rueda se suelta del reposo en el punto A en un plano nclnado. a rueda gra sn deslzar y se mueve,4 m al punto B en,s. a) Cuál es el momento de nerca de la rueda? b) Cuál es la aceleracón angular de la rueda? a) ( kg)(,6 m ) O m,54 kg m b) mgsen º F ma F α O O F α O mgsen º α mα mgsenº 9,8,5 α O,54 + m +,6 4,7 rad 54,4,7 s ( )( ) (,6) Ejemplo 56. Una masa de kg se halla sobre un plano nclnado º, con el que tene un rozamento cuyo coecente vale,, unda a una cuerda sn masa e nextensble que pasa por una polea de M P 6 kg, cuyo rado geométrco es de cm y rado
de gro r g 5 cm. De dcha cuerda pende una masa de 4 kg que es abandonada lbremente. Calcular: a) Aceleracón con que se mueve el sstema. b) Tensones en la cuerda. c) En qué rango de valores de la masa que pende, el sstema estará en equlbro? Momento de nerca de la polea P Mr g. a) Partendo de la suposcón de que la masa colgante acelera haca abajo, plantearemos las tres ecuacones correspondentes al movmento de las tres masas: m g - T m a T mgsen θ + μm g cosθ ma, a T T α M Prg Sumando las tres ecuacones sguentes g T m a, m T mgsen θ + μm g cosθ rg T T M P a m a Obtenemos: m gsen g m θ + μm g cosθ r g a m + m + M P m msenθ + μm cosθ a g rg m + m + M P 4 5, g 5 6 + 6,6 m/s b) T m ( g a) 7 N, rg T T a 8 N. c) El valor mínmo que hace que la masa m acelere haca abajo se produce cuando a, es decr: m sen m θ + μm cosθ + 5, 5, kg. S la masa m se hace aún menor, llegará un momento en que será arrastrada por m. Esto producría una nversón en el sentdo de la uerza de rozamento. El valor máxmo de m deberá cumplr ahora: m sen m θ + μm cosθ 5, 4,8 kg. Por tanto, entre y 4,8 kg el sstema acelerará de modo que m suba; entre 4,8 y 5, kg, permanecerá en equlbro; y para más de 5, kg m acelerará haca abajo. Ejemplo 57. Porqué una esera que rueda se detene? En esta parte vamos a tratar de explcar la resstenca al rodamento. a gura sguente muestra una esera de masa M y rado la cual está rodando con una velocdad angular y avanza con una velocdad v. a uerzas que actúan sobre la esera son el peso Mg a reaccón del pso N y la uerza de rccón F. S aplcamos la segunda ley de Newton a la traslacón. M g F debe haber una aceleracón a y v decrecería. S aplcamos segunda ley de Newton a la rotacón. F α la aceleracón angular α depende de F. por consguente F actúa ncrementando. En resumen: en traslacón F. acelera, en rotacón F. desacelera, esto aparentemente es una contradccón. Por otra parte Mg y N están en la línea vertcal que por el centro de masa y no causan eecto en el
movmento horzontal. S la esera y el plano son rígdos, de modo que la esera esté en contacto solo en un punto, tampoco orgnan alrededor del centro de masa..porque actúan a través de él Para resolver la Contradccón suprmamos la dealzacón de que todos los cuerpos son rígdos, la esera se aplana un poco y el nvel de a superce se hunde geramente (ver la gura a contnuacón) a reaccón N actúa delante del centro de masa, producendo un torque τ N dn de resstenca al rodamento. F τ N α Como a N Mg, F Ma, α : τ N Ma a τ N a + M Para una esera: M 5 7 uego: τ N Ma, como N Mg 5 N 7 d τ a Mg 5g Ejemplo 58. a gura muestra una varlla homogénea de masa M y longtud en poscón vertcal. a cual se deja caer desde el reposo. a) A que ángulo θ entre la varlla y la vertcal, la varlla ya no presonará al pso? b) Con qué coecente de rccón el extremo de a varlla no resbalará hasta este momento? a) a gura sguente muestra.la varlla cuando orma un ángulo θ con la vertcal. Sobre la varlla actúa el peso Mg y la reaccón. a velocdad angular en este nstante se puede encontrar aplcando la ecuacón de la energía. Mg Mg cos β + O Como O M Mg Mg cos β + M g cos β ( ) 6g β g β sen sen 6g β sen Aplcando la segunda ey de Newton para traslacón a lo largo de la varlla. F mac Mg cos β M Cuando a varlla deja de presonar, y: Mg cos β M reemplazando el valor de encontrado 6g β Mg cos β M sen Smplcando β β cos β 6 sen cos 5 sen β 5 tan β 5 De aquí: β 48,º b) Para que la varlla no resbale tenemos en la gura sguente. as componentes de son: senβ ˆ + cos βˆj 4
a condcón para que la varlla no resbale es: F senβ Con μn y N cos β F μ cos β senβ μ tan β El coecente de rozamento del pso debe ser cuando menos gual a tan β para que llegue sn deslzar hasta el ángulo β. Para β 48,º μ, CONSEVACON DE A CANTDAD DE MOVMENTO ANGUA. Anterormente hemos vsto que: d p d F y tambén dt dt τ y mostramos que para un cuerpo rígdo. d total τ ext dt S no hay torque externo con respecto a algún eje la cantdad de movmento angular será constante con respecto a ese eje. total Constante o expresado en uncón del momento de nerca apropado. Constante Esta relacón nos va a ser muy útl como veremos a contnuacón. Ejemplo 59. Un estudante está sentado sobre un banco gratoro montado sobre cojnetes sn rccón que puede grar lbremente alrededor de un eje vertcal como se muestra en la gura (a). El estudante sostene en las manos extenddas dos pesas. Su momento de nerca en esta poscón es y su velocdad angular. No actúan sobre él torques no equlbrados y en consecuenca su cantdad de movmento angular tene que conservarse. Cuando el estudante acerca las manos al cuerpo, su momento de nerca varía, gura ( b) ahora es y su velocdad angular será Por la conservacón de la cantdad de movmento angular. Sendo <, resulta > Su velocdad aumenta. Ejemplo 6. Esta vez el msmo estudante sentado sobre el msmo banco, sostene en sus manos en poscón vertcal al eje de rotacón de una rueda de bccleta, la rueda gra alrededor de ese eje vertcal con velocdad angular, el estudante y el banco están en reposo (a). El estudante gra el eje de la rueda en ángulo θ con la vertcal (b), como no hay torque respecto al eje vertcal, la cantdad de movmento angular con respecto al eje vertcal debe conservarse. ncalmente se tene kˆ Cuando se nclna la rueda (respecto al eje vertcal) estudante+ banco + rueda ' e e + cos kˆ θ Sendo e el momento de nerca del estudante y banco respecto al eje vertcal, e su velocdad angular con respecto a ese eje. ' Como e e + cos kˆ kˆ θ 5
e ( cos )kˆ θ e Es la velocdad angular del estudante con el sentdo de gro ncal de la rueda. Cuando la rueda se nverte se nverte totalmente θ π, y: e e kˆ Ejemplo 6. Una persona está sentada en una slla gratora mantenendo los brazos extenddos con una pesa en cada mano. Gra con una recuenca de Hz. El momento de nerca de la persona con los pesos es de 5 kg m. Hallar: a) la nueva recuenca cuando encoja los brazos y dsmnuya el momento de nerca a kg m. b) a varacón de energía cnétca del sstema. c) De dónde procede este ncremento de energía cnétca? de rad/s durante 6 segundos, momento en el cual encoge los brazos y acerca sus pernas al eje hasta tener un momento de nerca de 4 kg.m. Determnar su velocdad de gro nal. Después de un tempo t de ncar el gro, su velocdad angular será: () ( )( 6) t at 6 rad/s al acercar brazos y pernas al eje, el torque de las uerzas sgue sendo nulo, por lo que se conserva la cantdad de movmento angular, ( ) Antes ( ) Después a) Al encoger los brazos, están actuando uerzas y torques de uerzas nternas, por lo que podemos admtr que se conserva la cantdad de movmento angular., π π, 5 5 Hz b) ΔK ( π ) kg m s 5 π ; ΔK π 6π J. 5 El sgno postvo nos ndca que hay un aumento de energía cnétca. c) Este ncremento de energía cnétca procede de la energía químca almacenada en los músculos del brazo. Ejemplo 6. Un patnador, con los brazos extenddos y las pernas abertas y con un momento de nerca respecto a su eje vertcal de 7 kg.m, nca un gro sobre s msmo con una aceleracón Antes Después Antes Después 7 6 4 6 rad/s Ejemplo 6. Un muchacho de 5 kg corre con velocdad de,5 m/s haca un tovvo en reposo de rado m cuyo, momento de nerca vale 5 kg m. Hallar la velocdad angular y recuenca del conjunto después de que el muchacho suba al tovvo justo en el borde. a cantdad de movmento angular del muchacho respecto al centro del tovvo es: mv 5,5 5 kg m /s ( )( )( ) 6
El momento de nerca del conjunto tovvomuchacho es m + T 5x + 5 6 kg m Planteando la gualdad entre la cantdad de movmento angular ncal y nal, tendremos:, mv ( m + T ) mv 5 ( m + T ) 6,8 rad/s π, Hz,99 r.p.m. Ejemplo 64. Una tornamesa con rado de 8, m y momento de nerca de, kg.m. a placa tornamesa rota con una velocdad angular de,5 rad/s sobre un eje vertcal que pasa a través de su centro en cojnetes sn rccón. Una bola de,4 kg se lanza horzontalmente haca el eje de la tornamesa con una velocdad de, m/s. a bola es cogda por un mecansmo con orma de tazón en el borde de la tornamesa. a) Cuál es cantdad de movmento angular de la bola alrededor del eje de la tornamesa? b) Qué raccón de energía cnétca se perde durante la captura de la bola? O ' ' O rad, s eemplazando: ' J Se perde 4,5 -,5,,56,5 ',56, Energía después ( )( ),5 raccón de energía,5 4,5 O Ejemplo 65. Una barra rígda de masa M y largo gra en un plano vertcal alrededor de un eje sn rccón que pasa por su centro. En los extremos de la barra se unen dos cuerpos de masas m y m. Calcular la magntud del momento angular del sstema cuando su rapdez angular es y la aceleracón angular cuando la barra orma un ángulo φ con la horzontal. a) a cantdad de movmento angular de la bola alrededor del eje de la tornamesa es cero b) Energía antes mv + O ( )( ),4, + (,)(, 5 ) 4,5 J Energía después ' O ' Para calcular esta energía necestamos conocer y. ' + m, + (,4)(, 8 ) O O,56 kg/ m ' ' antes después O O El momento de nerca por el eje de rotacón del sstema es gual a la suma de los momentos de nerca de los tres componentes, con los valores de la tabla se obtene: M + m + m M m + m + 4 Como el sstema gra con rapdez angular, la magntud del momento angular es: M m + m + 4 Para calcular la aceleracón angular usamos la relacón τ α t τ α t, al calcular el torque total en torno el eje de rotacón, se obtene: τ t mg cosφ m g cosφ ( m m ) g cosφ 7
eemplazando en α los valores de y de τ t, se obtene la aceleracón angular: τ t ( m m ) g cosφ α m + m + M ( ) Ejemplo 66. En la gura las masas m y m se conectan por una cuerda deal que pasa por una polea de rado y momento de nerca alrededor de su eje. a mesa no tene roce, calcular la aceleracón del sstema. Prmero se calcula en momento angular del sstema de las dos masas más la polea: v m v + mv + uego se calcula el torque externo sobre el sstema, la únca uerza externa que contrbuye al torque total es m g, entonces el torque es τ m g. Entonces se tene: d τ dt d v m g ( m + m ) v + dt dv dv m g ( m + m ) + dt dt m g m + m + a m g a m + m + Ejemplo 67. Una varlla de 5 g y 75 cm de longtud, lleva soldada en un extremo una esera de cm de rado y 5 g de masa. Calcular: a) El momento de nerca cuando gra, alrededor de un eje perpendcular a la varlla que pasa por el extremo lbre. b) a cantdad de movmento angular del conjunto s gra a rpm. a) El momento de nerca será la suma del momento de nerca de una varlla, más el de la esera. Como la esera está a + del eje, aplcamos Stener: ( ) e me + me +, V mv 5 e + V me + me ( + ) + mv 5 ( )( ) ( )( ),5, +,5,85 + (,5)(, 75 ) 5,7 kg.m π,7,7(π ) T,54π,45 kgm / s 6 b) Ejemplo 68. Un clndro de 5 kg y cm de rado, gra respecto de un eje vertcal que concde con su eje de smetría, debdo a una uerza constante, aplcada a su perera que, después de 4 s de ncado el movmento, alcanza r.p.m. Calcular: El valor de la uerza y el torque de la uerza aplcada. a recuenca de rotacón adqurda vale: Hz 6 a velocdad angular: rad π π π 6 s a aceleracón angular: Δ π rad α Δt 6 s Por otra parte el momento de nerca del clndro vale: m ( 5)(,) kgm. uego el torque de la uerza aplcada τ F α π,5 Nm. () 6 a uerza tangencal: τ,5 F,6 N, 8
Ejemplo 69. Un anllo de masa M y rado ( M ), cae en rodadura pura sobre un plano nclnado que orma un ángulo θ con la horzontal. a) Hacer el DC. del anllo. b) Hallar la aceleracón del centro de masa del anllo. c) Encontrar el valor de la rccón entre el plano nclnado y el anllo. d) Cuál debe ser el mínmo valor del coecente de rozamento estátco entre el plano y el anllo para que este se encuentre en rodadura pura? longtud l Ml se sostene de un extremo medante un pvote sn rccón. a barra se encuentra ncalmente en reposo en orma vertcal cuando un proyectl de masa m mpacta sobre ella y queda ncrustado nstantáneamente. a velocdad ncal del proyectl es v. Hallar: a) a cantdad de movmento angular del sstema respecto del pvote justo antes de la colsón. b) a velocdad angular de gro del sstema después que el proyectl se ncrusta en la barra. c) a altura máxma que alcanzará el de la barra. d) El trabajo del proyectl cuando se ncrusta contra la barra. a) El DC. del anllo. b) Segunda ley de Newton para la traslacón Mgsenθ F Ma Segunda ley de Newton para la rotacón a α F M F F Ma eemplazando el valor de F en la prmera ecuacón. Mgsen θ Ma Ma Mgsen θ Ma Fnalmente a g senθ c) El valor de la uerza de rccón entre el plano nclnado y el anllo. F Ma Mg senθ d) El mínmo valor del coecente de rozamento estátco entre el plano y el anllo para que este se encuentre en rodadura pura debe de cumplr F μk N Mg senθ Mgsenθ μk tanθ Mg cos θ Ejemplo 7. Una barra unorme AB de masa M y a) a cantdad de movmento angular del sstema respecto del pvote justo antes de la colsón. antes mv d b) a velocdad angular de gro del sstema después que el proyectl se ncrusta en la barra. antes después mvd Ml + ( d )d mvd Ml + md c) a altura máxma que alcanzará el de la barra. Energía justo después del choque 9
Mg + mgd O l O Ml + md Energía cuando alcanza el punto más alto Mg l + mgd ( cosθ ) Por conservacón de energía: Energía justo después del choque energía cuando alcanza el punto más alto. Mg + mgd O l Mg l + mgd ( cosθ ) l O Mg + mgd cosθ O cosθ l Mg + mgd ( mv d ) Ml + md Ml + md l Mg + mgd m v d l M + md Ml + md g l cosθ h ( ) máx d) El trabajo del proyectl cuando se ncrusta contra la barra. W ΔE l mv Mg mgd - + Mg mgd O l mv O Ejemplo 7. Un bloque de masa M se pega a una plataorma crcular, a una dstanca b de su centro. a plataorma puede rotar, sn rccón, alrededor de un eje vertcal alrededor de su centro. Sendo p su momento de nerca con respecto a ésta. S un proyectl de masa m que se mueve con una velocdad horzontal v, como se muestra en la gura, ncde y queda en el bloque. Encontrar la velocdad angular del bloque después del choque. Cantdad de movmento angular antes del choque con respecto al eje O. antes r p rmv sen kˆ θ mbv kˆ Para encontrar la cantdad de movmento angular después del choque, según la gura sguente. [ + ( m M ) b ] después + p Por conservacón de la cantdad de movmento angular antes después [ b ] senθ kˆ + ( m + M ) rmv p rmv senθ [ ( m M ) b ] k + + p Ejemplo 7. Se tene una plataorma crcular que puede rotar sn rccón alrededor de un eje perpendcular al centro. E momento de nerca de la plataorma con respecto al eje es. Un nsecto de masa m se coloca sobre la plataorma a una dstanca b del eje. El sstema se hace grar con una velocdad angular en el sentdo horaro. El nsecto empeza a correr en una crcunerenca de rado b alrededor del eje con una velocdad de magntud constante v, medda relatva a terra. a) Cual es la cantdad de movmento angular total s el nsecto corre con la plataorma? b) Cuál será s corre en oposcón a la rotacón de la plataorma? c) Es posble que el pequeño nsecto pueda detener la gran plataorma? Cómo? a cantdad de movmento angular del sstema antes que el nsecto comence a correr es: ˆ p 4
( + mb ) ( + mb ) kˆ p p esolver usando la conservacón de la cantdad de movmento angular. a) Cuando el nsecto corre en el msmo sentdo del gro con módulo de velocdad v su cantdad de movmento angular es: ' ( + mb ) ' mbv kˆ p Pero como la cantdad de movmento angular es constante. a cantdad de movmento angular total es: ( + mb ) kˆ ' p o En la parte lsa no hay uerza de rccón, en la parte áspera aparece la tuerza de rccón, cuya línea de accón está en el plano. Por tanto, la cantdad de movmento angular del dsco respecto a un punto de reerenca en el plano permanecerá Constante durante todo el movmento (por ejemplo A). a cantdad de movmento antes de llegar a A. b) En este caso, como en el caso anteror ' ( + mb ) kˆ ' p c) S es posble, tomando el caso a) ' ( p + mb ) ' mbvokˆ ( + mb ) kˆ p a plataorma se detene cuando ', es decr: mbv kˆ ( p mb ) kˆ + Esto sucede cuando ( p mb ) v + mb En el sentdo ndcado en el caso a). Ejemplo 7. Se da a un clndro homogéneo de rado y masa M con una velocdad horzontal v y una velocdad angular en sentdo opuesto a las agujas del reloj v en la parte sn rozamento de la superce horzontal. Más allá del punto A, camba la superce de manera que a la derecha de A el coecente de rozamento es μ. r M v Como r v rvsen kˆ v kˆ θ, v M, kˆ k ˆ Mv kˆ Mv kˆ Mv kˆ + a cantdad de movmento angular después de pasar A y haber legado a rodar sn deslzar. Se traslada con velocdad v tal que ' r M v v. Como r v rvsen kˆ v kˆ θ, v M, kˆ k ˆ ' Mv kˆ Mv kˆ Mv kˆ 4
gualando ', tenemos: Mv kˆ Mv kˆ v v Ejemplo 74. Un proyectl de masa m y velocdad v se dspara contra un clndro sóldo de masa M y rado. El clndro está ncalmente en reposo montado sobre un eje horzontal jo que pasa por su centro de masa. El proyectl se mueve perpendcular al eje y se encuentra a una dstanca D < sobre el eje. Calcular la rapdez angular del sstema después que el proyectl golpea al clndro y queda adherdo a su superce. El momento angular del sstema se conserva, entonces mv D M + m mvd M + m Ejemplo 75. Un dsco de masa M y rado gra en un plano horzontal en torno a un eje vertcal sn roce. Un gato de masa m camna desde el borde del dsco haca el centro. S la rapdez angular del sstema es cuando el gato está en el borde del dsco, calcular: a) la rapdez angular cuando el gato ha llegado a un punto a /4 del centro, b) la energía rotaconal ncal y nal del sstema. lamando d al momento de nerca del dsco e g al momento de nerca del gato, el momento de nerca total ncal y nal del sstema es: d + g M + M M + m 4 a) Como no hay torques externos sobre el sstema en torno al eje de rotacón, se puede aplcar la conservacón de la cantdad de movmento angular M + m M + m M + m 6 M + m M m + 6 M + m b) K M + m ( M + m) 4 K M + m 4 M + m M + m 4 6 M + m m M + m M + 4 8 M + m /8 M + m ( M + m) 4 M + m /8 Como M + m > M + m /8 a energía rotaconal aumenta. 4 Ejemplo 76. a barra horzontal de la gura tene un momento de nerca respecto al eje de rotacón de 5x - kg m, y cada una de las bolas que pueden deslzar sobre ella pesan 5 g y se consderan de dmensones desprecables. El conjunto está grando lbremente alrededor del eje O-O con las bolas dspuestas smétrcamente respecto al eje y sujetas por un hlo AB de cm. S se rompe el hlo cuando el conjunto gra a rad/s, determnar la nueva velocdad angular cuando las bolas lleguen a los topes del extremo de la barra. 4
Empecemos calculando el momento de nerca del conjunto, cuando las bolas están separadas cm. barra + bolas barra + m r 5x - kg m +,x, 6x - kg m Cuando se alejen hasta los topes: barra + bolas barra + m r 5x - kg m +,x,5,5x - kg m a rotura del hlo lbera uerzas exclusvamente nternas, por lo que se conservará la cantdad de movmento angular del sstema: 6,67 rad / s,5 Ejemplo 77. Un dsco de kg de masa y cm de rado gra alrededor de su eje a 8 r.p.m.. Encma, pero sn que exsta contacto, se encuentra otro dsco de kg de masa, del msmo rado y en reposo. Cuando el dsco superor se deja caer, ambos se mueven soldaramente. Calcular la velocdad angular nal. ( + ) 8 rpm. GOSCOPOS Y TOMPOS - MOVMENTO DE PECESON El gróscopo es una rueda montada en rodamentos sn rccón, en tal orma que la rueda tene lbertad de rotar en cualquer dreccón con respecto al marco que lo sujeta. Para lograr esto se necestan tres gímbalos (correspondentes a los tres espacos dmensonales). Como los rodamentos no tenen rccón no se ejercen torques sobre la rueda. Esto sgnca que una vez ncado el gro, el eje de rotacón permanecerá jo no mportando que movmento se de al mareo exteror. a dreccón en el espaco del eje no varará. Hasta ahora vmos el movmento rotaconal en que el eje de rotacón está jo, o tene movmento de traslacón sn cambo en su dreccón. a mayoría de los movmentos rotaconales quedan en estas categorías, pero en el caso de un trompo o gróscopo en rotacón no se cumple lo anteror. S se hace grar rápdamente el rotor de este aparato y luego se coloca un extremo lbre del eje de rotacón sobre un soporte jo, como se muestra en la gura. El gróscopo no caerá del soporte sno que se mantene en poscón cas horzontal mentras que el eje de su rotor gra lentamente en un plano horzontal, esta rotacón lenta del eje se conoce como PECESON. Cuando el dsco superor se posa sobre el neror, el torque de las uerzas sgue sendo nulo por lo que se conserva la cantdad de movmento angular,. ( ) Antes ( ) Después ( ) + + Veamos como se orgna la precesón. Consderemos un gróscopo smplcado mostrado en la gura sguente, un dsco clíndrco muy maczo de masa M y rado a que tene lbertad para grar sn rccón en torno a una varlla muy lgera y delgada, a lo largo de su eje. Como el Momento de nerca de un dsco es ½.m. se obtene: m m + m En este caso partcular: m ( m + m ) Un extremo de la varlla se apoya en A. que está a una dstanca l del dsco. S se mantene la varlla 4
horzontal, y se hace grar al dsco con una velocdad angular en torno a su eje y luego, se suelta. Como actúan dos úncas uerzas el peso Mg y la reaccón del apoyo, podría pensarse que el dsco caería. S uera cero sucedería esto, pero el torque que produce Mg es: ( l ˆ ) ( Mgkˆ ) Mglˆj τ este torque produce un cambo en la cantdad de movmento angular d τ dt ( Mglˆj )dt la magntud. de este cambo es: d Mgldt Por otra parte: d dθ dθ Mgl De aquí Mgl dt dθ y dt Como Ma ; dθ Mgl gl dt Ma a Por consguente el dsco no caerá, en lugar de ello grará en el plano horzontal xy (ver la gura sguente) en torno al eje vertcal a través del punto de apoyo A. a velocdad angular de esta precesón es: dθ τ gl Ω dt a Ejemplo 78. Una proesora de ísca se encuentra sentada en una slla gratora mantenendo en sus manos una rueda de bccleta como se ndca en la gura. El momento de nerca de la rueda respecto a su eje es de, kg m, y el momento de nerca de la proesora más la rueda respecto del eje de la slla es de,7 kg m. a velocdad angular ncal de la rueda es de 55 rad/s en sentdo anthoraro. En un momento dado la proesora gra 8º el eje de la rueda pasando a grar con -55 rad/s en sentdo contraro al anteror. Calcular: a) a velocdad angular adqurda por la slla y el sentdo de gro. b) El trabajo realzado por la proesora. a) Dado que no hay momentos externos sobre la slla gratora podemos consderar que el momento angular no varía., UEDA UEDA + ( ) SA UEDA ( ) SA UEDA + UEDA SA (,) 55,7 8,5 rad /s (Postvo, por tanto en el sentdo de rotacón ncal de la rueda) b) W ΔE E E SA + UEDA ( ) UEDA SA 89,6 J El trabajo es por tanto la energía adqurda por la slla, ya que la energía de la rueda no varía. Dcho trabajo, postvo, es producdo por la uerza muscular (nterna) de la proesora. PEGUNTAS Y POBEMAS. El centro de masa de una pelota de rado, se mueve a una rapdez v. a pelota gra en torno a un eje que pasa por su centro de masa con una rapdez angular. Calcule la razón entre la energía rotaconal y la energía cnétca de traslacón. Consdere la pelota una esera unorme.. Un volante en la orma de un clndro sóldo de rado,6 m y masa M 5 kg puede llevarse 44
hasta una velocdad angular de rad/s en,6 s por medo de un motor que ejerce un torque constante. Después de que el motor se apaga, el volante eectúa rev antes de detenerse por causa de la rccón (supuesta constante). Qué porcentaje de la potenca generada por el motor se emplea para vencer la rccón? espuesta..8%.. Un bloque de masa m y uno de masa m se conectan por medo de una cuerda sn masa que pasa por una polea en orma de dsco de rado, momento de nerca y masa M. Así msmo, se deja que los bloques se muevan sobre una superce en orma de cuña con un ángulo θ como muestra la gura. El coecente de rccón cnétco es μ para ambos bloques. Determne a) la aceleracón de los dos bloques y b) la tensón en cada cuerda. espuesta. a) (m sen θ - μ)(m + m cos θ)g/(m + m + M), b) T μm g + m a, T T + ½Ma. 4. Una masa m y una masa m están suspenddas por una polea que tene un rado y una masa m. a cuerda tene un masa desprecable y hace que la polea gre sn deslzar y sn rccón. as masas empezan a moverse desde el reposo cuando están separadas por una dstanca D. Trate a la polea como un dsco unorme, y determne las velocdades de las dos masas cuando pasan una rente a la otra. 5. Un dsco sóldo unorme de rado y masa M puede grar lbremente sobre un pvote sn rccón que pasa por un punto sobre su borde. S el dsco se lbera desde el reposo en la poscón mostrada por el círculo. a) Cuál es la rapdez de su centro de masa cuando el dsco alcanza la poscón ndcada en el círculo punteado? b) Cuál es la rapdez del punto más bajo sobre el dsco en la poscón de la crcunerenca punteada? c) epetr para un aro unorme. espuesta. a) (g/) ½, b) 4(g/) ½, c) (g) ½. 6. Un peso de 5 N se une al extremo lbre de una cuerda lgera enrollada alrededor de una pelota de,5 m de rado y kg de masa. a polea puede grar lbremente en un plano vertcal en torno al eje horzontal que pasa por su centro. El peso se lbera 6 m sobre el pso. a) calcular la tensón de la cuerda, la aceleracón de la masa y la velocdad con la cual el peso golpea el pso. b) Calcular la rapdez con el prncpo de la conservacón de la energía. espuesta. a),4n, 7,6 m/s, 9,5 m/s, b) 9,5 m/s. 7. Una lgera cuerda de nylon de 4 m está enrollada en un carrete clíndrco unorme de,5 m de rado y kg de masa. El carrete está montado sobre un eje sn rccón y se encuentra ncalmente en reposo. a cuerda se tra del carrete con una aceleracón constante de,5 m/s. a) Cuánto trabajo se ha eectuado sobre el carrete cuando éste alcanza una velocdad angular de 8 rad/s? b) Suponendo que no hay la sucente cuerda sobre el carrete, Cuánto tarda éste en alcanzar esta velocdad angular? c) Hay sucente cuerda sobre el carrete? espuesta. a) 4 J,,6 s, c) sí. 8. Una barra unorme de longtud y masa M gra alrededor de un eje horzontal sn rccón que pasa por uno de sus extremos. a barra se suelta desde el reposo en una poscón vertcal. En el nstante en que está horzontal, encuentre a) su rapdez angular, b) la magntud de su aceleracón angular, c) las componentes x e y de la aceleracón de su centro de masa, y d) las componentes de la uerza de reaccón en el eje. espuesta. a) (g/) ½, b) g/, c) (/î + ¾ĵ)g, d) (-/î + ¼ ĵ)mg. 9. os bloques mostrados en la gura están undos entre s por una polea de rado y momento de nerca. El bloque sobre la pendente sn rccón 45
se mueve haca arrba con una aceleracón constante de magntud a. a) Determne las tensones en las dos partes de la cuerda, b) encuentre el momento de nerca de polea. espuesta. a) T m ( a + gsenθ ) T m ( g a), g g b) m m m m senθ a a. Un cuerpo plano está sometdo a cuatro uerzas como se ndca en la gura. a) Hallar el módulo y dreccón del torque actuante respecto a un eje perpendcular al plano y que pasa por el punto A. b) especto a un eje que pasa por el punto B. e) especto a un eje que pasa por el punto C. d) Determnar la uerza equvalente y su línea de accón. e) Susttur esta uerza por otra que esté aplcada en A y un par de uerzas o cupla aplcadas en los puntos B y C y hallar el valor mínmo de estas uerzas. espuesta. x ( μ ). Determnar la tensón en el cable AB que mpde que el poste BC deslce. En la gura se ven los datos esencales. a masa del poste es de 8 kg. Suponer que todas las superces son lsas. espuesta. T 46, N. Un hombre de 7 kg, sostene un objeto de,9 kg. Como se ndca en la gura. a polea carece de rozamento. a plataorma sobre la que está stuado el hombre está colgada medante dos cuerdas en A y otras dos en B. Cuál e tensón de una de las cuerdas en A? s espuesta. a) τ Nm, b) τ Nm, c) τ 4 Nm, d) F ˆ + ˆj, y x, e) FB ( ˆ + 4 ˆj ) F 5 C espuesta. 4,5 N 4. eemplace la uerza de N de la gura por una uerza que pasa por A y una cupla cuyas uerzas actúan vertcalmente a través de B C.. Un marco cuadrado de lado. Se cuelga de un clavo rugoso de coecente de rozamento estátco μ s. A qué dstanca del vértce está clavado s el marco está a punto de deslzar? 46
espuesta. F C F A 467 ˆj F B 8 ˆ + 6 ˆj, 467 ˆj, espuesta.,8 s 8. S se aplca a uerza F a una cuerda lgera atada a un bloque con el sstema de poleas mostrado en la gura. Cuál es el máxmo peso que puede levantar? 5. Un hombre de 6 kg que camna a m/s atravesa un tabla de kg y m de largó a) Cuál es la uerza sobre el soporte B en uncón d tempo? b) S la máxma uerza que puede resstr B es 49 Cuándo y dónde caerá al río el hombre? Consderar que el peso del hombre sempre actúa en dreccón de la vertcal que pasa por su centro de masa. F B t N, b) t,9 s, x 5,8 m de A. espuesta: a) ( +5) 9, 8 6. Un hombre de masa m quere subr por una escalera. a escalera tene masa M, largo y orma un ángulo θ con e pso. El coecente de rccón entre la escalera y e peso es μ, mentras que la pared no tene rccón. a) A qué altura de la escalera puede llegar antes que comence a resbalar? b) S el ángulo θ es el mayor sn que la escalera sola puede estar sn resbalar, cuál es la altura a la que puede llegar el hombre? espuesta. a) ( m + M ) μsenθ M cosθ μm cosθ b) μ 7. El dsco A tene una masa de kg y un rado de 7,5 cm, se coloca en contacto con una correa que se mueve con una velocdad v 5 m/s. Sabendo que el coecente de rozamento entre el dsco y la correa es,, calcular tempo necesaro para que el dsco alcance una velocdad angular constante. espuesta. F 9. El rodllo que se ve en la gura tene una masa de 9 kg Que uerza F es necesara para subr el rodllo sobre el bloque? espuesta. F 949,4 N. a línea de accón de una uerza de N está en el plano xz y corta el eje z en un punto que dsta,6 m del orgen. a) Cuál es el torque respecto al eje y s el ángulo comprenddo entre la dreccón de la uerza y el eje z es 6º? b) S el ángulo e l8º? c) S el ánguo es º? espuesta. a) τ,5 N m, b) τ c) τ -, N m. Dos dscos de masa kg y rado, m cada uno están conectados medante una cuerda. En el nstante mostrado en la gura, la velocdad angular del dsco B es de rad/s en sentdo horaro. Calcular cuánto sube el dsco A cuando la velocdad angular del dsco B sea de 4 rad/s. 47
espuesta. μ τ mg espuesta.,54 m. Un clndro de masa n y rado r rueda sn deslzar sobre la cara nteror de una superce clíndrca de rado. Sabendo que la esera parte del raposo en la poscón ndcada en la gura, obtener: a) a velocdad de la esera al paso por B. b) El módulo de la reaccón normal en cada nstante. 4 g, espuesta. a) ( r)( cosθ ) mg b) ( 7 4cosθ ). A que altura sobre la mesa debe golpearse una bola de bllar con un taco mantendo horzontalmente para que la bola comence su movmento sn rozamento entre ella y la mesa? 5. Una esera de l kg de masa y,6 m de dámetro baja rodando, partendo del reposo, por un plano nclnado 5º. recorrendo m.. a) Cuál es su energía cnétca al cabo de los m? b) Cuál es la velocdad de su centro de masa? espuesta. a) 68 kg m, b), m/s 6. Un pasajero vaja de pe en un ómnbus. El ómnbus se mueve con una velocdad de 5 km/h cuando el conductor aplca los renos. El ómnbus desacelera de modo unorme durante una dstanca de 5 n hasta detenerse. Qué ángulo respecto a la vertcal deberá nclnarse el pasajero para evtar su caída? espuesta.,7 haca atrás. 7. a) Cómo podría dstngurse una esera de oro de otra de plata s ambas tuvesen el msmo peso, el msmo rado y las dos estuveron pntadas del msmo color? b) Cómo podría dstngur un huevo duro de uno resco s estuveran juntos? 8. Un carrete clíndrco hueco y unorme tene rado nteror /, rado exteror y masa M. Está montado de manera que gra sobre un eje horzontal jo. Una masa m se conecta al extremo de una cuerda enrollada alrededor del carrete. a masa m descende a partr del reposo una dstanca y durante un tempo t. Demuestre que el torque debdo a la uerza de roce entre el carrete y el eje es: y 5 y τ m g M t 4 t espuesta. 7/5 4. Un clndro homogéneo de masa m y rado descansa sobre un plano horzontal. Se aplca un torque, según se ndca en la gura. Hallar el valor del coecente de rozamento entre la rueda y el plano para que aparezca rodadura pura. 9. Un clndro de kg de masa rueda sn deslzar sobre una superce horzontal. En el nstante en que se su centro de masa tene una rapdez de m/s, determne: a) la energía cnétca traslaconal de su centro de masa, 48
b) la energía rotaconal de su centro de masa, y c) su energía total. espuesta. a) 5 J, b) 5 J, c) 75 J.. Una esera sólda tene un rado de, m y una masa de 5 kg. Cuánto trabajo se necesta para lograr que la esera ruede con una rapdez angular de 5 rad/s sobre una superce horzontal? (Suponga que la esera parte del reposo y rueda sn deslzar).. Un dsco sóldo unorme y un aro unorme se colocan uno rente al otro en la parte superor de una pendente de altura h. S se sueltan ambos desde el reposo y ruedan sn deslzar, determne sus rapdeces cuando alcanzan el pe de la pendente Qué objeto llega prmero a la parte neror?. Una bola de bolche tene una masa M, rado y un momento de nerca de (/5)M. S rueda por la psta sn deslzar a una rapdez lneal v, Cuál es su energía total de uncón de M y v? espuesta.,7mv.. Un anllo de,4 kg de masa de rado nteror de 6 cm y rado exteror de 8 cm sube rodando (sn deslzar) por un plano nclnado que orma un ángulo de θ 7 con la horzontal. En el momento en que el anllo ha recorrdo una dstanca de m al ascender por el plano su rapdez es de,8 m/s. El anllo contnua ascendendo por el plano certa dstanca adconal y después rueda haca abajo. Suponendo que el plano es lo sucentemente largo de manera que el anllo no ruede uera en la parte superor, qué tan arrba puede llegar? 4. Una barra rígda lgera de longtud D gra en el plano xy alrededor de un pvote que pasa por el centro de la barra. Dos partículas de masas m y m se conectan a sus extremos. Determne la cantdad de movmento angular del sstema alrededor del centro de la barra en el nstante en que la rapdez de cada partícula es v. espuesta. ½( m + m )vd. 5. Un péndulo cónco consta de masa M que se mueve en una trayectora crcular en un plano horzontal. Durante el movmento la cuerda de longtud mantene un ángulo constante con la θ vertcal. Muestre que la magntud de la cantdad de movmento angular de la masa respecto del punto de soporte es: gm sen 4 θ cosθ 6. Una partícula de masa m se dspara con una rapdez vo ormando un ángulo θ con la horzontal. Determne la cantdad de movmento angular de la partícula respecto del orgen cuando ésta se encuentra en: a) el orgen, b) el punto más alto de su trayectora, c) justo antes de chocar con el suelo. mv espuesta. a), b) sen θ cosθ, g mv c) sen θ cosθ g 7. Un dsco sóldo unorme de masa M y rado gra alrededor de un eje jo perpendcular su cara. S la rapdez angular es, calcular la cantdad de movmento angular del dsco cuando el eje de rotacón a) pasa por su centro de masa, y b) pasa por un punto a la mtad entre el centro y el borde. 8. Una partícula de,4 kg de masa se une a la marca de cm de una regla de, kg de masa. a regla gra sobre una mesa horzontal sn rccón con una velocdad angular de 4 rad/s. Calcular la cantdad de movmento angular del sstema cuando la regla se artcula en torno de un eje, a) perpendcular a la mesa y que pasa por la marca de 5 cm, b) perpendcular a la mesa y que pasa por la marca de cm. espuesta. a),4 kgm /s, b),7 kgm /s. 9. Una mujer de 6 kg que está parada en el borde de una mesa gratora horzontal que tene un momento de nerca de 5 kg m y un rado de m. a mesa gratora al prncpo está en reposo y tene lbertad de grar alrededor de un eje vertcal sn rccón que pasa por su centro. a mujer empeza a camnar alrededor de la orlla en sentdo horaro (cuando se observa desde arrba del sstema) a una rapdez constante de,5 m/s en relacón con la Terra. a) En qué dreccón y con qué rapdez angular gra la mesa gratora b) Cuánto trabajo realza la mujer para poner en movmento la mesa gratora? espuesta. a),6 rad/s, anthoraro. 4. Una barra unorme de masa M y longtud d gra en un plano horzontal en torno de un eje vertcal jo sn rccón que pasa por su centro. Dos pequeñas cuentas, cada una de masa m, se montan sobre la barra de manera tal que pueden deslzar sn rccón a lo largo de su longtud. Al prncpo las cuentas se jan por medo de retenes ubcados en las poscones x (donde x < d/) a cada lado del centro, tempo durante el cual el sstema gra una rapdez angular. epentnamente, los retenes se qutan y las pequeñas cuentas se deslzan salendo de la barra. Encuentre, a) la rapdez angular del sstema en el nstante en que las cuentas alcanzan los extremos de la barra, y 49
b) la rapdez angular de la barra después de que las cuentan han saldo de ella. 4. Un bloque de madera de masa M que descansa sobre una superce horzontal sn rccón está undo a una barra rígda de longtud l y masa desprecable. a barra gra alrededor de un pvote en el otro extremo. Una bala de masa m que se desplaza paralela a la superce horzontal y normal a la barra con rapdez v golpea el bloque y queda ncrustada en él. a) Cuál es la cantdad de movmento angular del sstema bala-bloque? b) Qué raccón de la energía cnétca orgnal se perde en la colsón? espuesta. a) mv l, b) M/(M+m). 4. Una cuerda se enrolla alrededor de un dsco unorme de rado y masa M. El dsco se suelta desde el reposo con la cuerda vertcal y su extremo superor amarrado a un soporte jo. A medda que el dsco descende, demuestre que a) la tensón en la cuerda es un terco del peso del dsco. b) a magntud de la aceleracón del centro de masa es g/, y c) la rapdez del centro de masa es (4gh/) ½. Verque su respuesta a la pregunta c) utlzando métodos de energía. 4. Una pequeña esera sólda de masa m y de rado r rueda sn deslzar a lo largo de la psta mostrada en la gura. S parte del reposo en la parte superor de la psta a una altura h, donde h es grande comparada con r a) Cuál es el valor mínmo de h (en uncón de ) de modo que la esera complete la trayectora? b) Cuáles son las componentes de uerza de la esera en el punto P s h? 45. A una bola de bolche se le da una rapdez ncal v o en una canal de manera tal que ncalmente se deslza sn rodar. El coecente de rccón entre la bola y la canal es μ. Demuestre que durante el tempo en que ocurre el movmento de rodamento puro, a) la rapdez del centro de masa de la bola es 5v o /7, y b) la dstanca que recorre es v o /49 μg. (Sugerenca: Cuando ocurre el movmento de rodamento puro, v cm. Puesto que la uerza de rccón proporcona la desaceleracón, a partr de la segunda ley de Newton se concluye que a cm μg.) 46. El alambre de un carrete de masa M y rado se desenrolla con una uerza constante F. Suponendo que el carrete es un clndro sóldo unorme que no deslza, muestre que, a) la aceleracón del centro de masa es 4F/M, y b) la uerza de rccón es haca la derecha y su magntud es gual a F/. c) S el clndro parte del reposo y rueda sn deslzar, Cuál es la rapdez de su centro de masa después que ha rodado una dstanca D? espuesta. c) (8FD/M) ½. 44. Un proyectl de masa m se mueve a la derecha con rapdez v. El proyectl golpea y queda jo en extremo de una barra estaconara de masa M y longtud D que está artculada alrededor de un eje sn rccón que pasa por su centro. a) Encuentre la rapdez angular del sstema justo después de la colsón. b) Determne la pérdda racconara de energía mecánca debda a la colsón. 47. Suponga un dsco sóldo de rado al cual se le da una rapdez angular o alrededor de un eje que pasa por su centro y después se baja hasta una superce horzontal y se suelta, como en la. Suponga tambén que el coecente de rccón entre el dsco y la superce es μ. a) Calcular la rapdez angular del dsco una vez que ocurre el rodamento puro. b) Calcular la pérdda racconara de energía cnétca desde el momento en que el dsco se suelta hasta que ocurre el rodamento puro c) Muestre que el tempo que tarda en ocurrr el movmento de rodamento puro es o / μ g. d) Muestre que el tempo que recorre el dsco antes de que ocurra el rodamento puro es o /8 μ g. 5
48. a gura muestra un carrete de alambre que descansa sobre una superce horzontal. Cuando se tra, no se deslza en el punto de contacto P. El carrete se tra en las dreccones ndcadas por medo de los vectores F, F, F y F 4. Para cada uerza determne la dreccón en que rueda el carrete. Adverta que la línea de accón de F pasa por P. espuesta. β sen M r + m M r reposo solo s + m -. Estará en 5. os dscos A y B son del msmo materal y tenen el msmo espesor, pudendo grar bemente alrededor de un eje vertcal. El dsco B se encuentra en reposo cuando se deja caer sobre el dsco A. el está grando con una velocdad angular de 4 rpm. Sabendo que la masa del dsco A es de 4 kg, calcular: a) a velocdad angular nal de los dscos. b) a varacón de la energía cnétca expermentada por el sstema., m,, 5 m, A B 49. El carrete mostrado en la gura tene un rado nteror r y un rado externo. El ángulo θ entre la uerza aplcada y la horzontal puede varar. Demuestre que el ángulo crítco para el cual el carrete no rueda y permanece estaconaro está dado por cosθ r/. (Sugerenca: En el ángulo crítco la línea de accón de la uerza aplcada pasa por el punto de contacto.) espuesta. a) 4 rpm,.b).- 6,5l J 5. Una bala de g se dspara, con una velocdad horzontal de 55 m/s, contra. Una varlla de madera AB de longtud,75 m. a varlla que ncalmente está en reposo, se encuentra suspendda de una cuerda de longtud,75 m. Sabendo que h,5 m, calcular las velocdades de cada uno de los extremos de la varlla nmedatamente después de que la bala se haya ncrustado. 5. Se tene un carrete sobre un plano nclnado, el cual tene enrollado un hlo delgado y su extremo lbre sujeta una masa m por medo de una polea sn rccón y masa desprecables. Se asume que la masa del carrete M está dstrbuda unormemente en un círculo de rado. Determnar el ángulo de nclnacón β al cuál el centro de gravedad del carrete estará en reposo. espuesta. v A,566ˆ, v B 6,ˆ 5. Un tablón masa M se apoya sobre un pequeño pvote D. Un gmnasta A de masa m está de pe sobre el extremo C del tablón, un segundo gmnasta B de la msma masa m salta desde la altura h y cae 5
sobre el tablón en E. Suponendo que este choque es perectamente nelástco, determnar la altura que alcanzará el gmnasta A. (El gmnasta A permanece de pe completamente rígdo). espuesta. Ω, rad/s m espuesta. ( ) h m + M 54. Un dsco maczo de, kg de masa y cm de dámetro está montado en un extremo de un eje de masa desprecable que está pvotado alrededor de un punto a 6 cm del, centro del dsco en el otro extremo del eje, a una dstanca de cm del pvote, se cuelga un objeto de,96 kg de masa. S la velocdad angular de gro del dsco es 7,7 rad/s. Cuál es la velocdad de precesón? 55. Una rueda de bccleta de 8 cm de dámetro tene una platna de acero enrollada en su parte exteror de modo que la masa resultante del sstema puede suponerse que está stuada toda ella en la perera de la rueda, sendo M 7, kg sostenendo los dos extremos del eje con las manos en la poscón horzontal. El eje sobresale 5, cm a cada lado de la rueda. Mentras la rueda está grando con una velocdad angular de 5, rad/s se hace grar el eje con las manos en un plano horzontal alrededor de su centro. Calcular el valor y dreccón de la uerza que deberá ejercer en cada mano para producr una velocdad angular de precesón de,68 rad/s alrededor del centro. espuesta. un par de uerzas de 64,6 N aplcadas en cada extremo del eje. 5