Seminrio Universitrio Mtemátic Módulo 6 Trigonometrí L mtemátic compr los más diversos fenómenos y descubre ls nlogís secrets que los unen Joseph Fourier ÁNGULO ORIENTADO Pr comenzr trbjr con trigonometrí necesitmos primero conocer que es un ángulo orientdo. Considermos un semirrect OM que puede girr lrededor de su origen O. Si est rotción se efectú en sentido contrrio l de ls gujs del reloj, diremos que l semirrect h rotdo en sentido positivo, en cso contrrio, el sentido será negtivo. N L semirrect OM h girdo en sentido positivo hst ocupr l posición ON, engendrndo el ángulo positivo α. α O M Como el sentido de giro es negtivo, el ángulo engendrdo por l semirrect OM l girr lrededor del punto O hst ocupr l posición ON, es negtivo. O α M N Ls semirrects OM y ON reciben el nombre de ldo inicil y ldo terminl del ángulo, respectivmente. 7
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Sistem sexgesiml Módulo 6 De los sistems de medición ngulr el más usdo es el sexgesiml, cuy unidd es el grdo sexgesiml que se define como l novent v prte de un ángulo recto: R = 90 En este sistem hy dos submúltiplos de l unidd: ) el minuto sexgesiml: que es l sesent v prte de un grdo: = ; 60 b) el segundo sexgesiml: que es l sesent v prte de un minuto: 60 = = =. 60 60 600 En este sistem, es usul expresr l mplitud de un ángulo en form complej: α = 4 0 pero veces es necesrio expresr l mplitud del ángulo como un número expresdo en un sol unidd (form incomplej). 0 α = 4 0 = 4 + + = 4,45 60 600 Observción: l myorí de ls clculdors hcen est conversión utomáticmente, consult en el mnul. Sistem Circulr Considermos un sistem de ejes crtesinos y un circunferenci C con centro en el origen del sistem. Si centrmos un ángulo orientdo α, vemos que éste determin sobre l circunferenci un rco AB, orientdo según el mismo sentido que α. y B O α A x En el sistem circulr, se sign como medid del ángulo l longitud del rco subtendido por el mismo, tomndo como unidd el rdio de l circunferenci, por esto es que suele decirse que el ángulo está medido en rdines. S En símbolos: α = r Donde S: longitud del rco y r: rdio de l circunferenci. 7
Seminrio Universitrio Mtemátic Si considermos un ángulo de 60 (un giro), l longitud del rco es l longitud de l circunferenci: π / r 60 = = π / r Es decir, un ángulo de 60 equivle π (rdines). De est equivlenci podemos deducir, dividiendo m..m por y por 4 respectivmente: 80 = π π 90 = Pr convertir un ángulo expresdo en el sistem sexgesiml l circulr nos vldremos de un regl de tres simple. Por ejemplo: Expresr 0 en el sistem circulr: 80º π 0º π π 0º x= = 80º 6 Observción importnte: en el sistem circulr, l mplitud de un ángulo está dd por un número rel (sin uniddes). Si queremos expresr un ángulo del sistem sexgesiml ddo en form complej en el sistem circulr, ntes de hcer l regl de tres, es necesrio psrlo l form incomplej. El psje del sistem circulr l sexgesiml se hce de l mism mner. ACTIVIDAD ) Expresr en el sistem circulr los siguientes ángulos ddos en el sistem sexgesiml: )45 b) α = 56 5 47 c) β = 97 50 4 d) γ = 0 0 ) Expresr en el sistem sexgesiml los siguientes ángulos ddos en el sistem circulr: π π ) δ = b) ε = c) λ = 0,87 d) θ =,6 6 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO Recordemos los elementos de un triángulo rectángulo: B c C Hipotenus: Es el ldo opuesto l ángulo recto. Ctetos: Son los ldos que formn el ángulo recto. α b A 7
Módulo 6 Si considermos el ángulo gudo α, el cteto c se denomin cteto opuesto (es el que no determin el ángulo α) y el cteto b es el cteto dycente, que junto l hipotenus, form el ángulo α. b c b c Con los ldos del triángulo podemos formr seis rzones: ; ; ; ; ; b c c b. Se puede demostrr que ests rzones no dependen de ls longitudes de los ldos sino que dependen exclusivmente del ángulo gudo α, por eso reciben el nombre de funciones trigonométrics. Cd un de ells recibe un nombre especil: Seno: Se llm seno de un ángulo l cociente entre el cteto opuesto l mismo y l hipotenus. c senα = Coseno: Se llm coseno de un ángulo l cociente entre el cteto dycente l mismo y l hipotenus. b cosα = Tngente: Se llm tngente de un ángulo l cociente entre el cteto opuesto y el cteto dycente. c tgα = b Cotngente: Es el cociente entre el cteto dycente y el cteto opuesto. b cotg α = c Secnte: Es el cociente entre l hipotenus y el cteto dycente. secα = b Cosecnte: Es el cociente entre l hipotenus y el cteto opuesto. cosec α = c Enunciemos hor lguns relciones importntes entre ls funciones trigonométrics de un mismo ángulo: ) Relción Pitgóric: L sum de los cudrdos del seno y del coseno de un mismo ángulo es igul : sen α + cos α =. ) L tngente de un ángulo es igul l cociente entre el seno y el coseno del senα mismo: tgα =. cosα ) L cotngente de un ángulo es igul l cociente entre el coseno y el seno del cosα mismo: cotgα =. senα 4) L secnte de un ángulo es el vlor recíproco de su coseno: sec α =. cosα 5) L cosecnte de un ángulo es el vlor recíproco de su seno: cosec α =. senα 74
Identiddes trigonométrics Seminrio Universitrio Mtemátic Ls identiddes trigonométrics son igulddes estblecids entre dos expresiones trigonométrics que se stisfcen pr culquier vlor de los ángulos que figurn como rgumentos. Ls relciones entre ls funciones de un mismo ángulo son identiddes, como sí tmbién los csos triviles tles como cosα = cosα, etc... Verificr un identidd trigonométric signific reducir sus dos miembros un mism expresión. En l verificción de identiddes no está permitido hcer psjes de términos o fctores (lo que signific que debemos trbjr con el primer y segundo miembro por seprdo). Ejemplo: Verificr l identidd + tg α = sec α sen α + = cos α cos α cos α + sen α = cos α cos α = cos α cos α ACTIVIDAD Verificr ls siguientes identiddes: ( ) ( ) cosα ) cos α + tg α cotg α = tgα b) sen α + = sec α sen α sec α c ) cos 4 4 α sen α ( senα + α) cos = cos α sen α + senα cosα FUNCIONES DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Recordemos que dos ángulos son complementrios si su sum es igul un ángulo recto. En un triángulo rectángulo, sus ángulos gudos son complementrios, y que: ˆ A + ˆ B + ˆ C = R B pero ˆ A = R ˆ B + ˆ C = R Notemos demás, que el cteto c es c opuesto pr el ángulo Ĉ pero dycente pr el ángulo ˆB ; lgo similr ocurre con b: es dycente pr el Ĉ, pero opuesto C pr el ˆB. A b En consecuenci: 75
Módulo 6 ˆ c senc = = cos ˆ B cos ˆ b C = = sen ˆ B Utilizndo ls relciones entre funciones de un mismo ángulo: sen ˆ cos ˆ ˆ C B tg C = = =cotg ˆ B cos ˆ C sen ˆ B Si hcemos lo mismo con ls demás funciones veremos que, ls funciones y cofunciones de un ángulo, son respectivmente ls cofunciones y funciones de su complemento. (coseno, quiere decir, justmente seno del complemento...) CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Es un circunferenci con centro en el origen de un sistem de coordends y rdio unitrio. y O r = x Pr culquier número rel, existe un rco de l mism que tiene longitud y en consecuenci qued determindo un ángulo centrl cuy medid en rdines es tmbién. y A (x; y) O ρ x y x El extremo libre del rco determin el punto A cuys coordends son (x; y). El segmento OA recibe el nombre de rdio vector. Podemos hor definir ls funciones trigonométrics del número rel en función de ls coordends del punto A. Result: 76
Seminrio Universitrio Mtemátic ordend y sen = = rdio vector ρ bscis x cos = = rdio vector ρ ordend y tg = = bscis x bscis x cotg = = ordend y rdio vector ρ sec = = bscis x rdio vector ρ cosec = = ordend y De cuerdo l cudrnte l que pertenezc el punto A, ls funciones trigonométrics tendrán diferentes signos, que dependen de los signos de su bscis y su ordend. (El rdio vector es siempre positivo.) y Segundo cudrnte: bscis negtiv y ordend positiv O Tercer cudrnte: bscis y ordend negtiv Primer cudrnte: bscis y ordend positiv Curto Cudrnte: bscis positiv y ordend negtiv x Podemos resumir los signos de ls funciones en el siguiente cudro: seno coseno tngente cotngente secnte cosecnte I C + + + + + + II C + + III C + + IV C + + ACTIVIDAD 7 ) Si sen α = α I C, clculr ls demás funciones. 5 ) Sbiendo que cos α = sen α < 0, clculr ls demás funciones. 5 77
Módulo 6 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES Los ángulos notbles son: 0, 0, 45, 60 y 90. Sus funciones trigonométrics se obtienen por métodos geométricos. No dremos quí ls demostrciones sino que simplemente mostrmos un cudro de sus vlores. seno coseno tngente cotngente secnte cosecnte 0 0 0 0 45 60 90 0 0 Estos vlores son fáciles de recordr teniendo en cuent l siguiente regl mnemotécnic: 0 4 Los senos de los ángulos notbles son respectivmente ; ; ; ;. Es n decir, todos tienen l form con n = 0;;;;4. Teniendo en cuent que 0 y 90, 0 y 60 son complementrios y que 45 es complemento de sí mismo, l column correspondiente l función coseno, es l del seno escrit en form invers. Pr ls demás funciones, se utilizn ls relciones entre ls funciones de un mismo ángulo. ACTIVIDAD 4 Hllr el vlor excto de ls siguientes expresiones: ) sen60 cos 45 + cos 60 sec 60 sen 45 cotg0 = cos 0 + cos 60 cos 0 cos 60 ) + = sen0 sen90 sen0 + sen90 LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS Son segmentos cuys medids, tomndo l rdio de l circunferenci trigonométric como unidd, representn los vlores y signos de ls funciones trigonométrics de los ángulos. 78
Seminrio Universitrio Mtemátic L E A F D c 0 B C H t sen α = med BA cosα = med OB tgα = med CD cotgα = medef sec α = medoh cosec α = med OL Ls rects t y c se llmn respectivmente ejes de tngentes y de cotngentes. Como ctividd te proponemos grficr ls línes trigonométrics pr ángulos de los demás cudrntes. Importnte: Los ejes de tngentes y de cotngentes no cmbin de posición. GRÁFICOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ) y = sen x: Sinusoide o Senoide Crcterístics: ) Es continu b) Es periódic (período π) c) Su dominio es. d) Su recorrido es {y / y } e) Alcnz su vlor máximo pr x = π y todos sus congruentes. f) Alcnz su vlor mínimo pr x = π y todos sus congruentes. g) Sus ceros son x = 0 + k π ; x = π + k π Observción: k π, k indic un número excto de giros, l sumrlo l ángulo estmos indicndo todos sus congruentes. 79
) y = cos x: Cosinusoide o Cosenoide Crcterístics: ) Es continu b) Es periódic (período π) c) Su dominio es. Módulo 6 d) Su recorrido es {y / y } e) Alcnz su vlor máximo pr x = 0 + k π. f) Alcnz su vlor mínimo pr x = π + k π. g) Sus ceros son π π x = + k π ; x = + k π ) y = tg x: Tngentoide Crcterístics: ) Es discontinu, present sltos infinitos en π π x = + k π ; x = + k π b) Es periódic (período π) c) Su dominio es: π π { + k π ; + k π} d) Su recorrido es e) No tiene vlor máximo ni mínimo f) Sus ceros son x = 0 + k π. 4) y = cotg x: Cotngentoide Crcterístics: ) Es discontinu, present sltos infinitos en x = 0 + k π ; x = π + k π b) Es periódic (período π) c) Su dominio es: {0 + k π ; π + k π} d) Su recorrido es e) No tiene vlor máximo ni mínimo f) Sus ceros son x = π + k π 80
Seminrio Universitrio Mtemátic 5) y = sec x: Secntoide Crcterístics: ) Es discontinu, present sltos infinitos en π π x = + k π ; x = + k π. b) Es periódic (período π) c) Su dominio es: π π { + k π ; + k π} d) Su recorrido es Rec = {y/ y } e) No tiene vlor máximo ni mínimo f) No tiene ceros. 6) y = cosec x: Cosecntoide Crcterístics: ) Es discontinu, present sltos infinitos en x = 0 + k π ; x = π + k π. b) Es periódic (período π) c) Su dominio es: {0 + k π ; π + k π} d) Su recorrido es Rec = {y/ y } e) No tiene vlor máximo ni mínimo f) No tiene ceros. INVERSAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Llmremos problem directo l siguiente: Ddo un ángulo, encontrr el vlor de un función trigonométric, por ejemplo, hciendo uso de l clculdor: cos º5 = 0,9879 El problem inverso es: Ddo el vlor de un función trigonométric, hllr el ángulo. Por ejemplo: Si sen α = 0,44; hllr α Se dice que α es el rco seno de 0,44 y se expres: α = rc sen 0,4 α = 5º 44 6 De igul mner se procede pr ls demás funciones. Pero notemos que el vlor de α no es único, porque demás de los infinitos congruentes con él, existe otro ángulo menor que un giro que es solución del problem. Pr ello, recordemos que el seno es positivo en el primer y segundo cudrnte, entonces, el ángulo del segundo cudrnte es: 80º (5º 44 6 ) = 54º 5 54 8
Módulo 6 Es conveniente trbjr siempre con el vlor positivo de l función (entonces obtendremos un ángulo del primer cudrnte) y después, de cuerdo l signo de l función, ubicr los ángulos correspondientes de l siguiente form: Llmndo α l ángulo del primer cudrnte: ) Segundo cudrnte: 80º α b) Tercer cudrnte: 80º + α c) Curto cudrnte: 60º α Ejemplo: Si tgα =, hllr α. α = rc tg ( ) como l tngente es negtiv, los ángulos que cumplen con est condición son del segundo o del curto cudrnte. Buscmos rc tg = 60 En consecuenci, el ángulo del segundo cudrnte es α = 80 60 = 0 y el del curto cudrnte es α = 60 60 = 00. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Resolver un triángulo rectángulo es clculr sus elementos teniendo como dtos dos de ellos. Se dn cutro csos, llmdos csos clásicos:. Dtos: L hipotenus y un ángulo gudo. Dtos: Un cteto y un ángulo gudo. Dtos: L hipotenus y un cteto 4. Dtos: Los dos ctetos. Pr resolver triángulos rectángulos son suficientes ls definiciones de seno, coseno y tngente y el teorem de Pitágors. No desrrollremos quí los csos clásicos, que pueden consultrse en culquier texto de trigonometrí, sino que veremos plicciones problems. Ejemplo : Clculr l longitud de l sombr que proyect un poste verticl de m de ltur, cundo el sol está 48 sobre el horizonte. Resolución: Es fundmentl hcer un gráfico de l situción pr sber qué debemos plicr: 48 Sombr: x Poste: h = m 8
Seminrio Universitrio Mtemátic Como se desprende del gráfico, clculr l longitud de l sombr es hllr el cteto dycente l ángulo de 48, conociendo el cteto opuesto que es l ltur del poste. El siguiente pso es buscr un función trigonométric del ángulo ddo como dto, que relcione l ltur del poste (cteto opuesto) con l longitud de l sombr (cteto dycente). Dich función es l tngente. En consecuenci: m m tg48 = x = =,70m x tg 48 Ejemplo : L bse de un rectángulo mide 4 cm y su ltur cm. Clculr: ) l longitud de su digonl; b) el ángulo que form l digonl con l bse. 4 cm Resolución: Pr hllr l longitud de l digonl, vemos que ést es l hipotenus del triángulo rectángulo que tiene por ctetos l bse y l ltur del rectángulo. Por teorem de Pitágors: ( ) ( ) d = 4cm + cm = 6cm + 4cm = 0cm = 5 cm Pr clculr el ángulo, buscmos un función del mismo que vincule los dtos, est función es l tngente: cm tgα = = 4cm α = rc tg α = 6 54 α d cm Ángulos de elevción y de depresión Se llm líne horizontl l rect imginri prlel l superficie de referenci horizontl. Se llm líne de visión, o líne visul, l rect imginri que une el ojo de un observdor con el objeto observdo. El ángulo de elevción es el ángulo gudo determindo entre l horizontl que ps por el ojo de un observdor y l líne de visión dirigid hci un objeto situdo por encim de l horizontl. 8
Módulo 6 El ángulo de depresión es el ángulo gudo determindo entre l horizontl que ps por el ojo de un observdor y l líne de visión dirigid hci un objeto situdo por debjo de l horizontl. Con respecto un observdor, los ángulos de elevción y de depresión constituyen ángulos lternos internos entre prlels, por lo tnto, sus medids son igules. Áre de un triángulo b h ) L conocid fórmul: Áre =. En el cso prticulr de un triángulo rectángulo, considerndo como bse uno de los ctetos, el otro es l ltur. En consecuenci, el áre de un triángulo rectángulo es igul l semiproducto de sus ctetos. Pero tmbién existen otrs expresiones que permiten clculr el áre de un triángulo: ) El áre de un triángulo es igul l semiproducto de dos ldos, multiplicdo por el seno del ángulo que ellos formn: Áre = b c sen ˆ A ) Fórmul de Herón: Áre = p ( p ) ( p b) ( p c ), donde p se denomin semiperímetro y es + b + c p =. B c A b C FUNCIONES DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS Ls funciones trigonométrics no son distributivs con respecto l sum ni l rest de ángulos. Ls expresiones que permiten hllr el seno, coseno y tngente de l sum o diferenci de dos ángulos son ls siguientes: ) Seno de l sum y diferenci de dos ángulos sen α + β =senα cosβ + cosα senβ ( ) ( ) sen α β = senα cosβ cosα senβ b) Coseno de l sum y diferenci de dos ángulos cos ( α + β) = cosα cos β senα senβ cos α β = cosα cos β + senα senβ ( ) 84
Seminrio Universitrio Mtemátic c) Tngente de l sum y diferenci de dos ángulos tgα + tgβ tg( α + β) = tgα tgβ tgα tgβ tg( α β) = + tgα tgβ Ejemplo: Hllr ls funciones de 75, hciendo 75 = 45º + 0º. Resolución: ( + ) sen75 = sen ( 45 + 0 ) = sen 45 cos 0 + cos 45 sen0 = + = 4 ( ) cos 75 = cos ( 45 + 0 ) = cos 45 cos 0 sen 45 sen0 = = 4 + tg 45 + tg0 + / + tg75 = tg( 45 + 0 ) = = = = = + tg 45 tg0 / ACTIVIDAD 5 Clculr: ) sen ( α β), sen ( α β), cos ( α β), cos ( α β) + +, si + si tg α = y sen β =. 4 ) tg ( α β), tg ( α β) sen α = y cos β =. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DUPLO Ls funciones del ángulo duplo pueden deducirse muy fácilmente de ls funciones de l sum de dos ángulos, hciendo α = α + α. Ls fórmuls correspondientes son: sen α = senα cosα ( ) ( ) ( α ) cos α = cos α sen α tgα tg = tg α Ejemplo: Clculr ls funciones de 80 sbiendo que es el duplo de 90. Resolución: sen80 = sen 90 = sen90 cos 90 = 0 = 0 ( ) ( ) cos80 = cos 90 = cos 90 sen 90 = 0 = Surge un problem pr clculr l tngente de 80 pues necesitmos l de 90, pero ést no está definid. Entonces, en lugr de usr l fórmul de l tngente del duplo de un ángulo hcemos: 85
Módulo 6 sen80 0 tg80 = = = 0 cos80 ACTIVIDAD 6 sen α y cos α si cosα =. Clculr ( ) ( ) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD Ddo un ángulo α, el ángulo mitd es α. Ls fórmuls que proporcionn ls funciones de l mitd del ángulo, α, conociendo l de cos α son: α cosα sen = α + cosα cos = α cosα tg = + cos α Por ejemplo, clculremos ls funciones de 0, que es el ángulo mitd de 45 : cos 45 sen 0 = = = = = 4 + + + cos 45 + + cos 0 = = = = = 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos 45 = = = / tg 0 = = + cos 45 + + + + / rcionlizndo = = = = = 4 rcionlizndo nuevmente ACTIVIDAD 7 Verificr ls siguientes identiddes: α tg α α α α α α ) sen cos : = cosα ) + = + α α cos sen sen cos sen tg 86
TRANSFORMACIONES EN PRODUCTO Seminrio Universitrio Mtemátic En ocsiones es conveniente expresr l sum o diferenci de dos senos o dos cosenos como un producto de funciones trigonométrics, (en otrs, conviene expresr un producto como un sum o rest). Pr ello nos vldremos de ls siguientes fórmuls: ) Trnsformción en producto de l sum de dos senos α + β α β senα + senβ = sen cos Ejemplo: 60 + 0 60 0 sen 60 + sen0 = sen cos = sen 45 cos5 = cos5 = cos5 b) Trnsformción en producto de l diferenci de dos senos α + β α β senα senβ = cos sen c) Trnsformción en producto de l sum de dos cosenos α + β α β cosα + cos β = cos cos d) Trnsformción en producto de l diferenci de dos cosenos α + β α β cosα cos β = sen sen Ests fórmuls sirven tmbién pr clculr l sum o diferenci entre un seno y un coseno, por ejemplo: sen0 + cos50 = cos 90 0 + cos50 = cos 60 + cos50 = ( ) por ser ángulos complementrios 60 + 50 60 50 cos cos = cos55 cos5 ACTIVIDAD 8 ) Aplicndo trnsformciones en producto, hllr el vlor numérico de ls siguientes expresiones: ) sen 5 + cos5 = b)cos75 sen 75 = ) Verificr l identidd: sen x + sen x + sen x = tg x cos x + cos x + cos x 87
Módulo 6 SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS Actividd : π ) ) 4 b)0,98488 c),7077 d )5,58840 ) )0 b)70 c)49 50 50 d )7 4 Actividd : A crgo del lumno. 4 7 4 5 5 Actividd : ) cosα = ; tgα = ; cotgα = ; secα = ; cosec α = 5 4 7 4 7 4 4 5 5 ) senα = ; tgα = ; cotgα = ; secα = ; cosec α = 5 4 4 Actividd 4: ) ) Actividd 5: + 5 5 5 5 + ) sen ( α + β) = sen ( α β) = cos ( α + β) = cos ( α β) = 6 6 6 6 ) tg + 5 5 5 5 + = = ( α β) tg ( α β) 4 5 = = 9 9 Actividd 6: sen ( α) cos ( α) Actividd 7: A crgo del lumno. Actividd 8: 6 ) ) b) ) A crgo del lumno (sugerenci: socir ls funciones de x y de x pr plicr trnsformciones en producto). 88