PRÁCTICA 8 Teremas de redes Ojetv. Cmpracón expermental de ls teremas de Susttucón, Tellegen, Superpscón, Thévenn y Nrtn y Recprcdad. Que el alumn se famlarce cn tales teremas y sea capaz de utlzarls ya sea para tener la slucón de prlemas teórcs y práctcs para smplfcar el análss de redes crcuts cmplejs. Tería ásca I. Terema de Susttucón. Este terema al gual que el terema de Tellegen es general y se puede aplcar a crcuts lneales n lneales, varantes nvarantes en el temp. Se restrnge su us a crcuts de parámetrs cncentrads sea que satsfagan las leyes de Krchhff y además que sean determnístcs; es decr, que n haya ncertdumre acerca de ls vltajes y crrentes de rama. El terema estalece que s en una rama k artrara, n acplada a nnguna tra rama, crcula una crrente j k y en sus termnales hay una dferenca de ptencal k, dcha rama puede sustturse pr una fuente ndependente deal de crrente de valr j k una fuente ndependente deal de vltaje de valr k. S el crcut mdfcad tene slucón únca para las crrentes y vltajes de rama, dchas crrentes y vltajes de rama sn déntcs a ls del crcut rgnal. Pruea del Terema. Cnsdere una rama k, artrara, que n está acplada a nnguna tra rama, dnde j k es la crrente que crcula pr ella y k es la dferenca de ptencal que hay entre sus termnales. Supnga que dcha rama es cmún a las mallas y, cm muestra la Fg. I.. 4 Z 4 Z j 4 j j3 5 Z 5 j k k Z k Z 3 3 E j j 7 j 6 Z Z7 Z 6 7 6 Fgura I.. Seccón artrara de un crcut. 57
Para la malla, de la segunda ley de Krchhff, se tene = (I.) k 4 5 6 7 asmsm, para la malla se cumple = (I.) k 3 S la rama k se mdfca pnend en paralel una fuente de vltaje de valr k, cm muestra la Fg. I..(a), las Ecs. (I.) y (I.) n se mdfcan. j k j k k η k k k (a) () Fgura I.. (a) Fuente deal de vltaje en paralel cn un crcut η. () Crcut equvalente. El crcut de la Fg. I.(a) es equvalente al crcut de la Fg. I.(); est puede demstrarse medante la prmera ley de Krchhff aplcada a ls nds y en cada un de ls crcuts. Cm cnsecuenca de l anterr, s el crcut η entre ls nds y se susttuye pr una fuente ndependente deal de vltaje de valr k las leyes de Krchhff del crcut rgnal n se alteran. Experments a realzar Experment I Arme el crcut de la Fg. I.3. a) Mda la dferenca de ptencal de una de las plas. ) Ajuste E hasta que sea gual al vltaje de la pla medd anterrmente. Una vez lgrad est, n varíe en l sucesv el valr de E. c) Mda,, 3 y 4. d) Cmpare ls valres calculads de,, 3 y 4 cn ls valres medds en el ncs anterr. En cas de que haya dferencas explque las psles causas. 58
a 3 E R R R 3 E 4 R 6 R 4 E = 9 R = R 3 = R 5 = kω R = R 4 = R 6 = 0 kω R 5 Fgura I.3. Crcut de tres mallas. Experment II a) Cnecte tra pla entre ls nds a y tal cm muestra la Fg. I.4. ) Mda,, 3 y 4. c) Cmpare ls valres medds en el ncs anterr cn ls valres del ncs I.c). d) Qué cncluye? a 3 R R R 3 E E 9 R 4 4 R 6 R 5 Fgura I.4. Crcut para cmprar el terema de susttucón. Experment III a 3 R R 3 E = 9 R 4 4 Fgura I.5. Crcut en el que se ha aplcad el terema de susttucón. 59
a) Descnecte las ramas entre ls nds a y del crcut de la Fg. I.3. El crcut mdfcad se muestra en la Fg. I.5. ) Repta ls ncss II.), II.c) y II.d). Equp necesar. Fuente de almentacón Multímetr. Materal necesar. 3 Resstestres de l0 kω, / watt 3 Resstres de kω, / watt Plas de 9 vlts Cuestnar prev.. Determne ls vltajes,, 3 y 4 del crcut de la Fg. I.3; cnsdere E.0.. Determne ls vltajes,, 3 y 4 del crcut de la Fg. I.4. 3. Determne ls vltajes,, 3 y 4 del crcut de la Fg. I.5. 4. Qué se puede cnclur? II. Terema de Tellegen. El terema estalece que en un crcut de ramas y l mallas se cumple j = (II.) k= k k 0 dnde j k y k representan la crrente y el vltaje de la késma rama, respectvamente. Este terema tene que ver drectamente cn el prncp de cnservacón de la energía. Ya que el prduct j k k representa la ptenca sumnstrada cnsumda en la késma rama; la Ec. (II.) ns dce que la ptenca que se sumnstra a un crcut es gual a la ptenca que se cnsume en dch crcut. Este terema es de carácter general y puede aplcarse a un crcut lneal n lneal, varante nvarante en el temp; la únca restrccón es que se deen satsfacer las leyes de Krchhff, crcut de parámetrs cncentrads, y que el crcut sea determnístc. Pruea del terema. Cnsdere un crcut de ramas y n nds, l que mplca que el númer de mallas es l = (n ) sn cnsderar la malla externa. Asgne a la malla externa el númer l. Sean I e I las crrentes de malla de las mallas y, respectvamente. Supnga que la rama k es cmún a las mallas y cm se muestra en la Fg. II. y sea la dferenca de ptencal en dcha rama. Entnces ( I I ) jk k = (II.) 60
I I jk que tamén puede escrrse cm Fgura II.. Una rama artrara k, cmún a las mallas y. ( I I ) jk k = (II.3) sumand las Ecs. (II.) y (II.3) ((I I ) (I I ) j = ) k k s se cnsderan ahra las ramas y l mallas k k= = l l j k (I I) (II.4) = = Nótese que s n hay una rama cmún a las mallas y, entnces = 0 La Ec. (II.4) puede escrrse de la sguente manera k k= l l l l j k = I I (II.5) = = = = l dnde para cada, es la suma de tds ls vltajes de rama de la malla y, para cada, = es = la suma de tds ls vltajes de rama de la malla. De la segunda ley de Krchhff, cada una de estas sumatras es cer y pr cnsguente jk k = 0 k= l 6 a c 5 j R j j 6 j j4 E I R II R 4 4 R 3 j 3 d 3 e E = 0, R = R 4 = kω y R = R 3 = 8 kω Fgura II.. Crcut de ds mallas, sn cnsderar la malla externa, cn un element n lneal, dd. 6
Experments a realzar Experment I Arme el crcut de la Fg. II.. Mda ls vltajes,, 3, 4, 5 y 6 y a partr de ests, determne las crrentes j, j, j 3, j 4, j 5 y j 6. Para realzar est es necesar cncer el valr exact de las resstencas; mídalas cn ayuda del multímetr. a) Cmpruee la prmera ley de Krchhff en ls nds y e del crcut. ) Cmpruee la segunda ley de Krchhff en las mallas I y II del crcut. Experment II Arme el crcut de la Fg. II.3. 6 a c 5 j R j j j 6 j E 4 R 5 I R II R 4 4 d 3 j 3 e E = 0, R = R 5 = 8 kω y R = R 4 = kω Fgura II.3. Crcut de ds mallas, sn cnsderar la malla externa, cn un element n lneal, dd. Mda ls vltajes,, 3, 4, 5 y 6 y a partr de ests, calcule las crrentes j, j, j 3, j 4, j 5 y j 6. a) Repta ls ncss a) y ) del experment I. ) Cn ls dats tends en ls experments I y II verfque que se cumplen las sguentes expresnes 6 k= 6 k= k jk = 0 k j = 0 k 6 k= k j = 0 k 6 k jk = k= 0 c) Qué cncluye? Equp necesar Fuente de almentacón Multímetr Materal necesar Resstres de kω, / watt 6
Resstres de 8 kω, / watt dd BY7 equvalente Cuestnar prev. Para el crcut de la Fg. II.4, desarrlle las Ecs. (II.4) y (II.5). 3 I I I I 3 4 4 5 Fgura II.4. Crcut de cnc ramas y tres nds. III. Terema de Superpscón. Este terema puede aplcarse úncamente a crcuts lneales, varantes nvarantes en el temp, de parámetrs cncentrads. El terema estalece que la respuesta de estad cer de un crcut ded a varas fuentes de entrada actuand smultáneamente, es gual a la suma de las respuestas de estad cer dedas a cada una de las fuentes de entrada actuand pr separad. Pruea del terema. La respuesta de estad cer y zs (t), de un crcut cuy mdel en varales de estad es ( ) x( t) B( t) u( t) x (t) = A t ( t) C( t) x( t) y = está dada pr la sguente expresón t ( t) = C(t) Φ( t, λ) B( λ) u( λ) dλ yzs (III.) 0 T dnde u ( t) es el vectr de entrada de dmensón (rx) de la frma u( t) [ u (t) u (t) L u (t)] expresarse cm ( t) = y que puede u 0 0 ( ) 0 u t 0... r u( t) =.. L. = u ( t) (III.) =...... ( ) 0 0 u r t r y Φ ( t,λ) es la matrz de transcón de estads de dmensón (nxn) y que se puede determnar a partr de la sguente expresón 63
Φ λ t 0 t 0 t 0 t 0 t t (, t ) = I A( λ) dλ A( λ ) A( λ ) dλ dλ... La respuesta de estad cer yzs (t) deda a la ésma fuente ndependente, está dada pr t ( t) = C( t) Φ( t, λ) B( λ) u ( λ) dλ yzs (III.3) 0 cmparand las Ecs. (III.) y (III.3) y tenend en cuenta a la Ec. (III.), se tene y zs r ( t) = y ( t) = cmprándse el terema. zs Experments a realzar kω kω a pla 9 0 kω Fuente de almentacón pla 9 Fgura III.. Crcut lneal para cmprar el terema de superpscón. kω kω a' 0 kω 9 ' Fgura III.. Crcut de la fgura III. cn una fuente de vltaje cancelada. Experment I Arme el crcut de la Fg. III.. a) Mda la dferenca de ptencal a. Susttuya la pla de 9 pr un crt crcut. ea la Fg. III. ) Mda la dferenca de ptencal a. uelva a cnectar la pla y ahra susttuya la fuente de almentacón pr un crt crcut. ea la Fg. III.3. c) Mda la dferenca de ptencal a. 64
kω kω a'' E 0 kω '' Fgura III.3. Crcut de la Fg. III. cn una fuente de vltaje cancelada. d) Cmpruee que a = a a cn ayuda de las lecturas tendas en ls ncss a), ) y c). e) Qué cncluye? Experment II Alamre el crcut de la Fg. III.4 y repta ls ncss del experment I. kω a kω E 0 kω 0 Fgura III.4. Crcut n lneal. Equp necesar Fuente de almentacón Multímetr Materal necesar Plas de 9 vlts Resstres de l kω, / watt Resstr de l0 kω, /watt dd BY7 equvalente Cuestnar prev. Determne para el crcut de la Fg. III. la dferenca de ptencal a.. Determne para el crcut de la Fg. III. la dferenca de ptencal a. 3. Determne para el crcut de la Fg. III.3 la dferenca de ptencal a. 65
4. erfque cn ls resultads anterres que a = a a I. Terema del crcut equvalente de Thévenn y Nrtn. Este terema puede aplcarse a crcuts lneales varantes e nvarantes en el temp y de parámetrs cncentrads. El terema cnsdera la stuacón que se muestra en el crcut de la Fg. I.. Es mprtante hacer ntar que la únca nteraccón entre el crcut lneal y la carga artrara es la crrente que crcula a través de ésta, nngún tr tp de acplament es permtd. Crcut lneal Carga artrara Fgura I.. Crcut lneal cn una carga artrara. S el crcut lneal se susttuye pr su crcut equvalente de Thévenn su crcut equvalente de Nrtn; tant la crrente en la carga cm la dferenca de ptencal en sus termnales n se mdfcan. Crcut equvalente de Thévenn. El crcut equvalente de Thévenn cnsste de una fuente de vltaje ca en sere cn el crcut que se tene del crcut rgnal al cancelar tdas las fuentes ndependentes de vltaje y de crrente y cn las cndcnes ncales nulas. Las fuentes dependentes n se mdfcan. La Fg. I. lustra esta dea. Crcut lneal ca Crcut lneal cn sus fuentes ndependentes canceladas ca (a) () Fgura I.. (a) Crcut lneal. () Su crcut equvalente de Thévenn. Dnde el valr de la fuente de vltaje ca es gual a la dferenca de ptencal que aparece entre ls nds y, cuand se descnecta la carga. Esta dferenca de ptencal ca es causada pr las fuentes ndependentes y las cndcnes ncales. 66
Crcut equvalente de Nrtn. El crcut equvalente de Nrtn cnsste de una fuente de crrente cc en paralel cn el crcut que se tene del crcut rgnal al cancelar tdas las fuentes ndependentes y las cndcnes ncales. La Fg. I.3 lustra esta dea. Crcut lneal cc Crcut lneal cn sus fuentes ndependentes canceladas cc (a) () Fgura I.3. (a) Crcut lneal. () Su crcut equvalente de Nrtn Dnde el valr de la fuente de crrente cc es gual a la crrente que crcula entre ls nds y cuand se crtcrcuta la carga. La crrente cc es causada pr las fuentes ndependentes y las cndcnes ncales. Es mprtante recalcar que sre la carga artrara n se ha hech nnguna supscón, a excepcón de que n hay nngún tp de acplament entre ella y el crcut lneal, pudend ser la carga lneal n lneal, varante nvarante en el temp. Pruea del terema. A cntnuacón se demuestra úncamente el terema crrespndente al equvalente de Nrtn. El terema de Thévenn se puede demstrar de manera smlar. El prmer pas cnsste en susttur las cndcnes ncales pr fuentes ndependentes. Un capactr cn un vltaje ncal puede sustturse pr tr capactr descargad en sere cn una fuente de vltaje de valr gual al vltaje ncal y una nductanca cn una crrente ncal puede sustturse pr tra nductanca cn crrente ncal nula en paralel cn una fuente de crrente de valr gual al de la crrente ncal. Aplcand el terema de susttucón, la carga artrara de la Fg. I. se susttuye pr una fuente de vltaje de valr gual a. ea la Fg. I.4. Crcut lneal Fgura I.4. Crcut para demstrar el terema de Nrtn. 67
La crrente, en el crcut de la Fg. I.4, se puede cnsderar cm la respuesta de estad cer deda a ds cnjunts de fuentes, a saer: la fuente de vltaje que susttuye a la carga y las fuentes ndependentes del crcut lneal. Cm el crcut es lneal se puede determnar su valr empleand el terema de superpscón. La crrente deda a la fuente de vltaje cuand se cancelan las fuentes ndependentes y las cndcnes ncales del crcut lneal; puede calcularse medante la expresón sguente ( t) h(t, τ)( τ) dτ (I.) = t 0 Dnde h(t, τ) es la respuesta al mpuls del crcut lneal, es decr, la respuesta del crcut lneal en el temp t cuand se aplca un mpuls untar en el temp τ, cn las fuentes ndependentes canceladas. La crrente deda a las fuentes ndependentes del crcut lneal al cancelarse la fuente de vltaje de la Fg. I.4 es cc. Pr cnsguente, la crrente ttal es la suma de e cc, sea t ( t) ( t) ( t) = h(t, τ)( τ) dτ ( t) = (I.) cc 0 cc Al susttur el crcut lneal de la fgura I. pr su crcut equvalente de Nrtn, el resultad es el que se muestra en la Fg. I.5. Crcut lneal cn sus fuentes ndependentes canceladas cc Carga artrara Fgura I.5. Crcut equvalente de Nrtn. Aplcand la prmera ley de Krchhff en el nd se tene t ( t) ( t) ( t) = h(t, τ)( τ) dτ ( t) = (I.3) cc 0 La Ec. (I.3) es déntca a la Ec. (I.), pr l que queda demstrada la valdez del terema. cc Experments a realzar Experment I Arme el crcut de la Fg. I.6. a) Mda la dferenca de ptencal = R. ) Descnecte el resstr R y mda la dferenca de ptencal = E. c) Cn la sguente expresón determne la resstenca nterna de la pla 68
R R = R r E r Pla R = 470 Ω Fgura I.6. Crcut para calcular el crcut equvalente de Thévenn de una pla. d) Susttuya el resstr de 470 Ω pr un de 00 Ω y repta ls ncss a), ) y c). e) Determne ls crcuts equvalentes de Thévenn y Nrtn de la pla. Experment II Arme el crcut de la Fg. I.7. r Fuente de almentacón E R = 470 Ω Fgura I.7. Crcut para calcular el crcut equvalente de Thévenn de la fuente de almentacón. Para E = 5 a) Mda la dferenca de ptencal en el resstr = R. ) Descnecte el resstr R y mda la dferenca = E. c) Determne ls crcuts equvalentes de Thévenn y Nrtn de la fuente de almentacón. 69
Equp necesar Fuente de almentacón Multímetr Materal necesar Resstr de 470 Ω, / watt Resstr de 00 Ω, / watt Pla de 9 vlts Cuestnar prev Del crcut η lneal e nvarante en el temp, frmad pr resstencas y fuentes de vltaje de cd, se tene la nfrmacón mstrad en la Fg. I.8. Crcut lneal e nvarale η 0 Crcut lneal e nvarale η 5 0 Ω. Determne su crcut equvalente de Thévenn.. Determne su crcut equvalente de Nrtn. Fgura I.8. Crcut lneal e nvarante en el temp.. Terema de Recprcdad. Este terema presenta más restrccnes, ya que sól se puede aplcar a crcuts lneales e nvarantes en el temp que n cntengan fuentes ndependentes n dependentes, y que satsfagan las leyes de Krchhff. La dea ásca que estalece este terema es que en un crcut que satsface las restrccnes mencnadas se pueden ntercamar la entrada y la respuesta, sn que esta últma se mdfque para una entrada dada. A cntnuacón se lustran las tres stuacnes que pueden presentarse. Prmer cas: El terema asegura que s entnces ( t) = (t) para td t ( t) = (t) para td t 70
Crcut recprc ' ' Crcut recprc ' ' Fgura. Prmer cas del terema de recprcdad. Segund cas: Crcut recprc ' ' Crcut recprc ' ' Fgura.. Segund cas del terema de recprcdad. El terema asegura que s 7
( t) = (t) para td t entnces ( t) = (t) para td t Tercer cas: Crcut recprc ' ' Crcut recprc ' ' Fgura.3. Tercer cas del terema de recprcdad. El terema asegura que s entnces ( t) (t) para td t = (Admensnalmente) ( t) (t) para td t = (Admensnalmente) Experments a realzar Experment I Arme el crcut de la Fg..4. a) Mda la dferenca de ptencal en R y calcule el valr de la crrente. A cntnuacón arme el crcut de la Fg..5. 7
Fgura.4. Crcut recíprc. ) Mda la dferenca de ptencal en R y calcule el valr de la crrente î. c) De las lecturas tendas en ls ncss a) y ), anterres. Qué cncluye? Fgura.5. Crcut recprc. Fgura.6. Crcut n recíprc. 73
Fgura.7. Crcut n recíprc. Experment II Arme el crcut de la Fg..6. a) Mda la dferenca de ptencal en R y calcule el valr de la crrente. A cntnuacón arme el crcut que se muestra en la Fg..7. ) Mda la dferenca de ptencal en R y calcule el valr de la crrente. c) De las lecturas tendas en ls ncss a) y ), anterres. Qué cncluye? Equp necesar Fuente de almentacón Multímetr Slende Materal necesar Pla de 9 vlts Capactr de 47 ηf Resstr de 0 kω, / watt Resstr de kω, / watt Resstr de 3.3 kω, / watt Cuestnar prev Demuestre el Terema de Recprcdad. BIBLIOGRAFÍA Deser C. A., and Kuh E. S. Basc Crcut Thery Mc Graw Hl, 969 74
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