Algebra Lineal XVI: La matriz de una transformación lineal José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Divisi on de Ingenierías, Campus Irapuato-Salamanca Universidad de Guanajuato email: jrico@ugtomx En notas anteriores, se ha mostrado que las matrices de m filas y n columnas, cuyos elementos pertenecen a un campo K, junto con las operaciones de suma y multiplicación por escalar, forman un espacio vectorial denotado M m n Por lo tanto, todos los conceptos aplicables a espacios vectoriales, tales como subespacios, independencia lineal, sumas y sumas directas, etc son directamente aplicables a este espacio vectorial En estas notas, se mostrará como existe una relación muy importante entre matrices y transformaciones lineales 1 Matrices representativas de una transformación lineal Definición: Matriz representativa de una transformación lineal Sean V y V dos espacios vectoriales finito dimensionales y sean B V = { v 1, v 2,, v n } y B V = { v 1, v 2,, v m} bases de V y V respectivamente Sea T una transformación lineal de V a V La matriz representativa de la transformación lineal T, respecto a las bases B V y B V es la matriz de m filas y n columnas en la cual, los elementos de la j-ésima columna son las coordenadas de T( v j ) respecto a la base B V De manera mas específica, si T( v 1 ) = m 11 v 1 +m 21 v 2 + +m m1 v m = T( v 2 ) = m 12 v 1 +m 22 v 2 + +m m2 v m = = T( v n ) = m 1n v 1 +m 2n v 2 + +m mn v m = m i1 v i m i2 v i m in v i Entonces, la matriz representativa dela transformación lineal T, respectoalas bases B V y B V, denotada por M T, está dada por m 11 m 12 m 1n m 21 m 22 m 2n M T = Nota Importante: Si T una transformación lineal transforma o mapea un espacio vectorial V en si mismo, es decir T : V V Entonces, es posible emplear la misma base para ambas tareas: Determinar la imagen de los elementos de la base bajo la transformación y determinar los vectores coordenados de la imagen Esta selección es 1
la estándar excepto con las matrices de transición Teorema Sean V y V dos espacios vectoriales finito dimensionales y sean B V = { v 1, v 2,, v n } y B V = { v 1, v 2,, v m} bases de V y V respectivamente Entonces existe una correspondencia uno a uno entre el conjunto de transformaciones lineales T de V a V y el conjunto de matrices de m filas y n columnas Debe notarse que se está definiendo un mapeo del conjunto de transformaciones lineales del espacio vectorial V al espacio vectorial V, denotado L : V V, que ya se demostró que es un espacio vectorial por si mismo al espacio vectorial de matrices M m n, donde dim(v) = n y dim(v ) = m Este mapeo se denotará como Mas aún, el teorema anterior indica que el mapeo M R es biyectivo 2 Suma y multiplicación por escalar de matrices representativas En esta sección mostraremos que la suma de las matrices representativas de dos transformaciones lineales respecto a bases de los respectivos espacios vectoriales es igual a la matriz representativa de la suma de las transformaciones lineales respecto a las mismas bases De manera semejante, la multiplicación por escalar de la matriz representativa de una transformación lineal respecto a bases de los respectivos espacios vectoriales es igual a la matriz representativa de la multiplicación por escalar de la transformación lineal respecto a las mismas bases El objetivo final es mostrar que el espacio de transformaciones lineales de un espacio vectorial a otro es isomórfico al espacio de matrices representativas 21 Suma de matrices representativas Teorema SupongaqueVyV sondosespaciosvectorialesfinitodimensionalesyseanb V = { v 1, v 2,, v n } y B V = { v 1, v 2,, v m} bases de V y V respectivamente Suponga dos transformaciones lineales S y T del espacio vectorial V al espacio vectorial V tales que sus matrices representativas respecto a las bases B V y B V están dadas, respectivamente, por m 11 m 12 m 1n n 11 n 12 n 1n m 21 m 22 m 2n n 21 n 22 n 2n M = y N = n m1 n m2 n mn Entonces, la matriz representativa de la transformación lineal S + T del espacio vectorial V al espacio vectorial V está dada por m 11 m 12 m 1n n 11 n 12 n 1n m 21 m 22 m 2n M +N = + n 21 n 22 n 2n n m1 n m2 n mn m 11 +n 11 m 12 +n 12 m 1n +n 1n m 21 +n 21 m 22 +n 22 m 2n +n 2n = m m1 +n n1 m m2 +n n2 m mn +n nn 2
Prueba: A partir de la definición de la matriz representativa de una transformación lineal, se sabe que la imagen, bajo S y T, del j ésimo vector de la base B V = { v 1, v 2,, v n } está dado por y S( v j ) = m 1j v 1 +m 2j v 2 + +m nj v n j = 1,2,,n T( v j ) = n 1j v 1 +n 2j v 2 + +n nj v n j = 1,2,,n Note que los escalares son las coordenadas de S( v j ) y T( v j ) con respecto a la base B V y aparecen en la j ésima columna de las matrices M y N respectivamente Entonces, la imagen, bajo S +T, del j ésimo vector de la base B V = { v 1, v 2,, v n } estará dado por (S +T)( v j ) = S( v j )+T( v j ) = (m 1j v 1 +m 2j v 2 + +m nj v n)+(n 1j v 1 +n 2j v 2 + +n nj v n) = (m 1j +n 1j ) v 1 +(m 2j +n 2j ) v 2 + +(m nj +n nj ) v n j = 1,2,,n Por lo tanto, la j ésima columna de la matriz representativa de S + T con respecto a las bases B V y B V está dada por la suma de la j ésima columna de la matriz representativa de S mas la j ésima columna de la matriz representativa de T Debe notarse que a la luz de la definición del mapeo este último teorema muestra que el mapeo M R es aditivo Teorema Suponga que V y V son dos espacios vectoriales finito dimensionales y sean B V = { v 1, v 2,, v n } y B V = { v 1, v 2,, v m} bases de V y V respectivamente Suponga un escalar λ K y unatransformación lineal S delespaciovectorial V alespaciovectorial V tal quesumatrizrepresentativa respecto a las bases B V y B V está dada por m 11 m 12 m 1n m 21 m 22 m 2n M = Entonces, la matriz representativa de la transformación lineal λs del espacio vectorial V al espacio vectorial V está dada por m 11 m 12 m 1n λm 11 λm 12 λm 1n m 21 m 22 m 2n λm = λ = λm 21 λm 22 λm 2n λm m1 λm m2 λm mn Prueba: A partir de la definición de la matriz representativa de una transformación lineal, se sabe que la imagen, bajo S, del j ésimo vector de la base B V = { v 1, v 2,, v n } está dado por S( v j ) = m 1j v 1 +m 2j v 2 + +m nj v n j = 1,2,,n Note que los escalares son las coordenadas de S( v j ) con respecto a la base B V y aparecen en la j ésima columna de la matriz M Entonces, la imagen, bajo λs, del j ésimo vector de la base B V = { v 1, v 2,, v n } estará dado por (λs)( v j ) = λs( v j ) = λ(m 1j v 1 +m 2j v 2 + +m nj v n) = (λm 1j ) v 1 +(λm 2j ) v 2 + +(λm nj ) v n j = 1,2,,n 3
Por lo tanto, la j ésima columna de la matriz representativa de λs con respecto a las bases B V y B V está dada por la multiplicación del escalar λ de la j ésima columna de la matriz representativa de S Debe notarse que a la luz de la definición del mapeo este último teorema muestra que el mapeo M R es homogeneo Ambas pruebas muestran que el mapeo M R es una transformación lineal biyectiva y que los espacios vectoriales L : V V y M m n son isomórficos Teorema Sea V un espacio vectorial, finito dimensional de dimensión n, sobre un campo K y sea I V : V V la transformación lineal identidad Entonces, su matriz representiva con respecto a una base arbitraria B V es la matriz identidad de orden n; es decir 1 0 0 0 1 0 I V = 0 0 1 3 Problemas Propuestos Problema 1 Considere la transformación lineal T : R 3 R 2 donde T(x 1,x 2,x 3 ) = (x 1 +x 2,x 1 x 3 ) Encuentre la matriz representativa de T respecto a las siguientes bases de R 3 y R 2 1 B R 3 = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} y B R 2 = {(1,0),(0,1)} 2 B R 3 = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} y B R 2 = {(1, 1),(1,1)} 3 B R 3 = {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)} y B R 2 = {(2,1),( 1, 2)} Problema 2 Considere la transformación lineal identidad I R 3 Encuentre su matriz representativa respecto a las siguientes bases de R 3 1 B R 3 = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} 2 B R 3 = {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} 3 B R 3 una base arbitraria Problema 3 Considere la transformación lineal identidad I R 3 Encuentre su matriz representativa respecto a las siguientes bases de R 3 Emplee la primera base para determinar las imagenes y la segunda base para determinar el vector coordenado 1 B R 3 = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} y B R 3 = {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)} 2 B R 3 = {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)} y B R 3 = {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} Las matrices representativas del mapeo identidad respecto a dos bases distintas se denomina matrices de transición Problema 4 Considere las siguientes transformaciones lineales del espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que 3, P 3 al espacio vectorial R 3 Encuentre las matrices representativas de las transformaciones respecto a las bases B P 3 = {1,x,x 2,x 3 } y B R 3 = {ê 1 = (1,0,0),ê 2 = (0,1,0),ê 3 = (0,0,1)} 1 T(p(x)) = (p(0),p(1),p(2)) 4
2 T(p(x)) = (p(0),p (0),p (0)) 3 T(p(x)) = (0,p(0), 1 0 p(x)dx) Problema 5 Repita el problema 4, empleando la siguiente base B R 3 = {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} Problema 6 Repita el problema 4, empleando la siguiente base B P 3 = {1,x 1,(x 1) 2,(x 1) 3 } Problema 7 Considere el espacio vectorial de funciones generado por el conjunto B = {e x,e 2x }, como el conjunto B es linealmente independiente, B es una base del espacio Para cada una de las transformaciones de [B] a [B] mostradas a continuación, muestre que la transformación es lineal y encuentre su matriz representativa respecto a esa misma base 1 D, donde D = d dt 2 D 2 3 D I, donde I es el mapeo idéntico 4 (D I)(D 2I) 5