Curso de Estadística Aplicada a las Ciecias Sociales Tema 11. Estimació de ua (Cap. 1 del libro) Tema 11. Estimació de ua Itroducció 1. Distribució de la e el. La muestral es cetrada 3. El error típico de la estimació 4. Itervalos de cofiaza 5. Estimació para poblacioes pequeñas Resume Ejercicios 1 Tema 11, Estimació de ua Itroducció Tema aterior: teemos ua muestra. Calculamos ua proporció primero e la muestra y luego e la població. Ahora: lo que queremos iferir es la de ua variable e la població Ejemplos: gasto, edad, putuació de u líder, úmero de hijos de cada familia... Itroducció () Procedimieto (como ates): tomar ua muestra aleatoria simple (lo vimos e tema 8); Calcular la que tiee la variable e la muestra (estimador) Calcular el valor de la e la població, para lo que teemos que teer ua idea sobre la precisió del estimador Tema 11, Estimació de ua 3 Tema 11, Estimació de ua 4
Itroducció (3) El mismo estimador puede teer iveles de precisió muy diferetes Ejemplo, estimació de tres variables de gasto co ua muestra de 5 estudiates Itroducció (4) La muestral es igual e los 3 casos Es fácil deducir que la estimació o es igualmete precisa e los tres La precisió depederá de Desplaz. Ocio Libros Est 1. 1. Est. 3.5 Est 3. 4. Est 4 1.8 1.5 Est 5. 1. Media muestral... La variabilidad de los datos e la població: más variabilidad, meos precisa la estimació El tamaño muestral: más grade la muestra, más precisa la estimació Tema 11, Estimació de ua 5 Tema 11, Estimació de ua 6 1. Distribució de la e el Como e lecció aterior, vamos a imagiar situació ficticia co ua variable co distribució coocida Ejemplo: variable úmero de hijos e las familias Distribució e la població es: La es 1,95 La desviació típica es 1,359 Número Tema 11, Estimació de ua 7 1 3 4 5 Proporció,15,5,3,15,1,5 1. Distribució de la e el Partimos de ua població muy grade Represetamos la població como ua ura co bolas. Ua bola por familia, co valor de a 5 (ura A), e proporció correspodiete Sacamos muestra co 1 elemetos. Calculamos de la muestra. Ejemplo 1,6. Escribimos la e ua papeleta: otra ura distita (ura B) Devolvemos bolas a ura A y seguimos sacado muestras de 1 elemetos Tema 11, Estimació de ua 8
1. Distribució de la e el Al fial, ura B, llea de papeletas que represeta las s de cada ua de las muestras Qué valores tedríamos e ura B? La mayor parte de los valores: e toro a la e la població (1,95) Si las muestras ha sido pequeñas (1, 15, 5): habrá alguas muestras co valores alejados de 1,95:,5; 1;,5; 3 Si muestras más grades (más de 3 elemetos): casi todas las muestras co poca variació respecto a 1,95 Tema 11, Estimació de ua 9 1. Distribució de la e el La forma del histograma de las s muestrales es la de ua distribució ormal (propiedades coocidas) Como e lecció aterior: cuato mayor sea la muestra, más se acerca la forma de la distribució de las s muestrales a la distribució ormal Tema 11, Estimació de ua 1 1. Distribució de la e el,18,16,14,1,1,8,6,4, 3. muestras de 1 elemetos 1. Distribució de la e el,16,14,1,1,8,6,4, 3. muestras de 1 elemetos,7,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9,3,5,7,9 3,1 3,3 3,5 3,7 3,9 4,1 4,3 11 1,5 1,55 1,6 1,65 1,7 1,75 1,8 1,85 1,9 1,95,5 5,,5,3,35,4 1
. La muestral es cetrada La variable muestral estimada (la variable cuyos valores está e la ura B) se puede describir como cualquier variable Se puede demostrar que la de la ura B de la ura A Lógico: ura B valores ura A cotados muchas veces 3. El error típico Recuperamos el cocepto visto e el tema 1 El error típico de estimació es la desviació típica de la variable aleatoria costituida por los valores de la de todas las muestras que potecialmete podríamos sacar Es ua medida de la dispersió de los estimadores respecto de su Tema 11, Estimació de ua 13 Tema 11, Estimació de ua 14 3. El error típico La fórmula es la misma que veíamos e el tema aterior: s ET Es decir, como etoces: el error típico es siempre meor que la desviació típica e la població Y será meor cuato mayor sea la muestra Pero teemos el mismo problema que e el tema aterior: si la fórmula para calcular ET icluye la desviació típica e la població (s ), estamos e u círculo vicioso Tema 11, Estimació de ua 15 3. El error típico Solució: se puede demostrar (aquí o), que la desviació típica de la població se aproima bastate al valor modificado de la desviació típica de la muestra, segú la siguiete fórmula ( i ) 1 Cuado el tamaño muestral es grade, la diferecia etre usar e el deomiador o -1 o es demasiado importate E resume, calculamos ET co la fórmula ET Tema 11, Estimació de ua 16 ( ) i 1
3. El error típico Ejemplo: muestra de 1. ecuestados. Pregutamos cuátas veces ha ido al cie e el último mes. La de la muestra es 1,3 y la desviació típica (corregida co -1) es. ET 1 31,63,664 Tema 11, Estimació de ua 17 4. Itervalos de cofiaza Como e el tema aterior: podemos usar el ET para estimar u rago de valores, o itervalo detro del que debe de estar el valor medio e la població Ejemplo aterior: muestra de 1. persoas, de 1,3 y ET de,664 Cuado la muestra es grade (más de 3 elemetos), la variable aleatoria formada por las s de las muestras tiee tambié ua distribució ormal Su es la de la població Su desviació típica es ET Sabemos eactamete qué proporció de los casos está a diferetes distacias de la, medidas e ET (valores z) Tema 11, Estimació de ua 18 4. Itervalos de cofiaza Recordamos que las las distribucioes ormales tiee esta propiedad: 68,3% de los valores a meos de 1dt de la 95,5% de los valores a meos de dt de la 99,7% de los valores a meos de 3 dt de la Tema 11, Estimació de ua 19 4. Itervalos de cofiaza Por esa razó, cuado teemos ua muestra, e la que hemos calculado ua y u ET (que es la desviació típica de las muestras) Podemos decir que la e la població estará co u 68,3% de cofiaza (o de probabilidad) e el itervalo: estimador ± ET 95,5% de cofiaza (o de probabilidad) e el itervalo: estimador ± ET 99,7% de cofiaza (o de probabilidad) e el itervalo: estimador ± 3 ET El itervalo de cofiaza es rago de valores que icluye, co ua determiada probabilidad, el valor del parámetro e la població
4. Itervalos de cofiaza E el ejemplo que poíamos ( de 1,3 y ET de,664) Podemos decir que el verdadero parámetro, co u 68,3% de cofiaza está e e el itervalo de 1,3 ±,664 (es decir, etre 1,336 y 1,3664) 95,5% de cofiaza está e el itervalo de 1,3 ± *,664 (es decir, etre 1,167 y 1,438) 99,7% de cofiaza está e el itervalo de 1,3 ± 3*,664 (es decir, etre 1,18 y 1,499) (Precisió eagerada) Tema 11, Estimació de ua 1 5. Estimació e poblacioes pequeñas Al igual que sucedía co la estimació de proporcioes, cuado el tamaño de la població es pequeño comparado co el tamaño de la muestra y se hace u si reposició (por ejemplo, se etrevista a 6 alumos de clase de 9): la fórmula del ET cambia La de las muestras sigue siedo la de la població Tema 11, Estimació de ua 5. Estimació e poblacioes pequeñas Pero: el error típico (la desviació típica de las s e las muestras respecto a la de la població) es meor que el caso de població muy grade Fórmula: si la fracció de es f /N ET 1 f 5. Estimació e poblacioes pequeñas Ejemplo. Si el estudio aterior sobre etradas de cie estuviera hecho de ua població de 5. persoas (f 1./5.,) ET 1 f 31,63 1 1,,8,664,894,5936 Correspodiete, los itervalos de cofiaza será tambié más pequeños Tema 11, Estimació de ua 3 Tema 11, Estimació de ua 4
Resume Distribució e el Media de las s de las muestras població Desviació típica de las s muestrales error típico Fórmula del ET ET Itervalos de cofiaza: para el 95,5% de cofiaza, muestral ± ET ET corregido e poblacioes pequeñas Tema 11, Estimació de ua 5 Ejercicios recomedados Del maual: 1.4 (El itervalo co cofiaza del 95% es la ± 1,96 ET) 1.6 De los eámees: Feb4: 1 Jul4: 11 Feb6: 8 Jul6: 9 Jul7: 8 Ee8, Ju8: 9 Tema 11, Estimació de ua 6