Capítulo 9: Estimación. Intervalos de confianza

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1 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II: º Bachillerato Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

2 99 Estimació. Itervalos de cofiaza Ídice 1. MUESTREO ESTADÍSTICO 1.1. POBLACIÓN Y MUESTRA 1.. TIPOS DE MUESTREOS ALEATORIOS 1.3. TAMAÑO Y REPRESENTATIVIDAD DE UNA MUESTRA 1.4. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE 1.5. DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL 1.6. DISTRIBUCIÓN DE UNA PROPORCIÓN MUESTRAL. INTERVALOS DE CONFIANZA.1. ESTIMADORES PUNTUALES. PARÁMETROS DE UNA POBLACIÓN Y ESTADÍSTICOS OBTENIDOS A PARTIR DE UNA MUESTRA.. INTERVALOS DE CONFIANZA.3. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL CON DESVIACIÓN TÍPICA CONOCIDA.4. RELACIÓN ENTRE NIVEL DE CONFIANZA, ERROR ADMISIBLE Y TAMAÑO DE LA MUESTRA.5. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN EN MUESTRAS GRANDES.6. DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA UNA PROPORCIÓN 3. CONTRASTE DE HIPÓTESIS 3.1. TEST DE HIPÓTESIS. CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL 3.. CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL 3.3. HIPÓTESIS NULA. ERROR DE PRIMERA Y SEGUNDA ESPECIE 3.4. ANALOGÍA ENTRE INTERVALOS DE CONFIANZA Y CONTRASTE DE HIPÓTESIS Resume Para coocer la opiió de ua població sobre el partido político al que piesa votar, se seleccioa ua muestra adecuadamete, se estudia, y se iduce lo que va a votar toda la població. La iferecia estadística, itervalos de cofiaza y cotraste de hipótesis se utilizará para, de los datos que os sumiistra ua muestra, ser capaces de iducir coclusioes sobre la població. Por ejemplo: Pregutamos a ua muestra a qué partido político tiee iteció de voto, e iducimos el partido que gaará las eleccioes. Para hacer cotrol de calidad e u proceso de producció, para ajustar y programar los semáforos e u cruce, para determiar la capacidad curativa de u medicameto se usa el mismo sistema, se seleccioa ua muestra. Las coclusioes o puede ser del tipo: Esto va a ser así sio que será probabilísticas: Esto va a ser así co tal probabilidad o Esto va a ser a ser co tal ivel de cofiaza. E los capítulos ateriores has utilizado frecuecias, ahora vamos a asigar probabilidades y al estudiar las distribucioes de probabilidad podremos costruir modelos que refleje la realidad y afirmar, co tal probabilidad, tal ivel de cofiaza o tal certeza, lo que va a ocurrir. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

3 300 Estimació. Itervalos de cofiaza 1. MUESTREO ESTADÍSTICO Mediate la iferecia estadística se iteta coocer algo acerca de las características de la població e su cojuto mediate la geeralizació de lo obteido e la muestra. Pero es ecesario ser cosciete de que, e la mayoría de los casos, la verdadera aturaleza y características exactas de la població va a ser descoocidas, y uca va a poderse coocer co exactitud. A lo más que se puede llegar es a u coocimieto aproximado, que se pretederá que sea lo más exacto y objetivo posible, dado el ivel de iformació empírica del que se dispoga. Es por ello por lo que la iferecia proporcioa coclusioes si certeza total, sio e térmios de probabilidad o de ivel de cofiaza. Alguas de las características descoocidas de la població puede ser su distribució de probabilidad y, e muchos casos, el valor de los parámetros que defie dicha distribució. Así, muchos de los procedimietos básicos de la iferecia estadística clásica está cetrados alrededor del valor de dichos parámetros. A cotiuació desarrollamos la metodología de estimació de parámetros. E muchas ocasioes se desea estimar u resultado. Resolver la forma mejor de hacerlo es toda ua parte de la Estadística, la Teoría de Muestras, que os idica varios detalles a teer e cueta: Cómo se debe elegir los elemetos de la muestra? Cuál debe ser el tamaño de la muestra? Hasta qué puto la muestra es represetativa de la població? Si se da como resultado de la estimació u valor umérico cocreto se habla etoces de estimació putual, mietras que si se da u cojuto de valores, etre los cuales se espera que se ecuetre el verdadero valor del parámetro co u cierto grado de cofiaza, se habla etoces de estimació por itervalo. Poiedo otro ejemplo, supogamos que e ua estació de ferrocarril se ecuetra ua máquia automática de café regulada de tal forma que se está iteresado e coocer la catidad media de café que la máquia sumiistra e cada taza. Esa catidad media de café es u parámetro poblacioal y, por tato, su valor exacto es descoocido y siempre lo será. Si embargo, mediate la iformació muestral, es posible estimar, esto es, ofrecer ua aproximació umérica a dicho valor paramétrico descoocido. E este caso, u posible estimador putual de la media de la població puede ser la media de la muestra. Si se realiza la estimació por itervalo se obtiee co ua cofiaza determiada, que la catidad media de café sumiistrada por taza estará etre dos valores uméricos determiados. A la hora de estimar parámetros poblacioales, parece ua buea estrategia iicial utilizar el que aquí se deomiará criterio de aalogía. Segú este criterio, se elige como estimador de u parámetro poblacioal (co sigificado coocido) su correspodiete aálogo e la muestra. E esta primera secció de este capítulo vamos a estimar el valor de u estadístico de ua muestra coociedo la població. E la siguiete haremos algo más útil, estimar el valor de u parámetro de ua població, la media o la proporció, a partir del obteido e ua muestra. Coocer el valor exacto va a ser imposible, por eso estudiaremos los itervalos de cofiaza que os dirá, co u ivel de cofiaza u itervalo e el que puede estar el parámetro de la població. E la tercera secció estudiaremos el cotraste de hipótesis. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

4 301 Estimació. Itervalos de cofiaza 1.1. Població y muestra E cursos ateriores ya has estudiado lo que se etiede por muestra y por població: Defiició: Població estadística, colectivo o uiverso es el cojuto de todos los idividuos (persoas, objetos, aimales, etc.) que cotega iformació sobre el feómeo que se estudia. Ejemplos: Defiició: Si estudiamos el precio de la vivieda e ua ciudad, la població será el total de las viviedas de dicha ciudad. Se va a realizar u estudio estadístico sobre el porcetaje de persoas casadas e la peísula. Para ello o es factible estudiar a todos y cada uo de los habitates por razoes de coste y de rapidez e la obteció de la iformació. Por lo tato, es ecesario acudir a examiar sólo ua parte de esta població. Esa parte es la muestra elegida. Muestra es u subcojuto represetativo que se seleccioa de la població y sobre el que se va a realizar el aálisis estadístico. Muestreo es el proceso mediate el cual se seleccioa la muestra de la població. El tamaño de la muestra es el úmero de sus elemetos. Cuado la muestra comprede a todos los elemetos de la població, se deomia ceso. Ejemplo: Si se estudia el precio de la vivieda de ua ciudad, lo ormal será o recoger iformació sobre todas las viviedas de la ciudad (ya que sería ua labor muy compleja y costosa), sio que se suele seleccioar u subgrupo (muestra) que se etieda que es suficietemete represetativo. E cotrol de calidad, por ejemplo, si se estudia la vida de u electrodoméstico, y para ello debe fucioar hasta que se estropee, es absurdo estudiar todos los electrodomésticos (població) pues os quedamos si fabricació, por lo que es imprescidible seleccioar ua muestra que sea represetativa de la població. Actividades propuestas 1. Señala e qué caso es más coveiete estudiar la població o ua muestra: a) El diámetro de los torillos que fabrica ua máquia diariamete. b) La altura de u grupo de seis amigos.. Se puede leer el siguiete titular e el periódico que publica tu istituto: La ota media de los alumos de º de Bachillerato de la Comuidad de Madrid es de 7 9. Cómo se ha llegado a esta coclusió? Se ha estudiado a toda la població? Si hubiera seleccioado para su cálculo solo a las mujeres, sería represetativo su valor? º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

5 30 Estimació. Itervalos de cofiaza Recuerda que: La media muestral la represetamos por x o por la letra m, y se defie como: x i x i i k x f i1 i i La desviació típica muestral la represetamos por la letra s, y se defie como: s i1 i x x La media muestral y la desviació típica muestral so los estadísticos de la muestra que vamos a usar. La media poblacioal, o la media de ua distribució, la represetamos por la letra griega y se defie: E ( x) x p( ) b i i x i E( x) x f ( x) dx 0 a La desviació típica poblacioal, o de ua distribució, la represetamos por la letra griega y se defie: ( x ) p( x ) E( x ) E ( x) E( x ) E ( x) i i i b a ( x ) f ( x) dx 0 La media poblacioal y la desviació típica poblacioal so los parámetros de la població que vamos a usar. Recuerda que: Estadístico: valor obteido de la muestra. Parámetro: valor de la població. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

6 303 Estimació. Itervalos de cofiaza 1.. Tipos de muestreos aleatorios La forma de seleccioar la muestra, muestreo, debe reuir uas determiadas características para que pueda caracterizar a la població, ser represetativa de la població. Debe ser u muestreo aleatorio, es decir, al azar. Todos los idividuos de la població debe teer las mismas posibilidades de ser seleccioados para la muestra. Ejemplos: Se quiere estudiar el ivel adquisitivo de los persoas de ua ciudad, para lo que pasamos ua ecuesta a la puerta del Corte Iglés, te parece u muestreo aleatorio? No lo es. Las persoas que etra e u determiado establecimieto o represeta a toda la població. Vas a hacer u estudio sobre los gustos musicales de los jóvees, y para ello, pregutas a cico de etre tus amistades, te parece u muestreo aleatorio? No lo es. Tus amistades puede teer uos gustos diferetes a los del resto de la població. Si la muestra está mal elegida, o es represetativa, se produce sesgos, errores e los resultados del estudio. Hay muchos tipos de muestreo, que daría para aalizar e u libro sobre Muestreo. Pero es coveiete coocer alguo: Muestreo aleatorio simple Todos los idividuos de la població tiee la misma probabilidad de ser elegidos e la muestra. Muestreo aleatorio sistemático Se ordea los idividuos de la població. Se elige al azar u idividuo, y se seleccioa la muestra tomado idividuos mediate saltos igualmete espaciados. Muestreo aleatorio estratificado Se divide la població e grupos homogéeos de ua determiada característica, estratos, por ejemplo edad, y se toma ua muestra aleatoria simple e cada estrato. Ejemplo: Se estudia el estado de los huesos de la població de u país, y se divide la població e iños, jóvees, edad media y tercera edad. E cada grupo se hace u muestreo aleatorio simple. Muestreo por coglomerados o áreas Se divide la població e coglomerados o áreas, seleccioa al azar uo o varios coglomerados y se estudia. Ejemplo Se estudia la icidecia de efermedades cardiacas e la població rural española. Para ello se hace u ceso de pueblos y se elige varios al azar, dode se estudia a la població Muestreo o aleatorio A veces tambié se usa. Por ejemplo, cooces la estimació de voto que suele hacerse a pie de ura. Es cómodo, barato pero o es represetativo. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

7 304 Estimació. Itervalos de cofiaza 1.3. Tamaño y represetatividad de ua muestra Cuado se elige ua muestra los dos aspectos que hay que teer e cueta so, el tamaño y la represetatividad de la muestra. Si la muestra es demasiado pequeña, auque esté bie elegida, el resultado o será fiable. Ejemplo: Queremos estudiar la estatura de la població española. Para ello elegimos a ua persoa al azar y la medimos. Evidetemete este resultado o es fiable. La muestra es demasiado pequeña. Si la muestra es demasiado grade los resultados será muy fiables, pero el gasto puede ser demasiado elevado. Icluso, e ocasioes, muestras demasiado grades o os proporcioa mejores resultados. Vamos a apreder a ecotrar cuál es el tamaño adecuado para que podamos afirmar que la població tiee tal característica co ua probabilidad dada, grade. Cuado ua muestra tega el tamaño adecuado, y haya sido elegida de forma aleatoria diremos que es ua muestra represetativa. Si la muestra o ha sido elegida de forma aleatoria diremos que la muestra es sesgada. Idica si es població o muestra: 1) E ua gaadería se mejora el pieso de todas las ovejas co u determiado tipo de grao. ) E otra gaadería se seleccioa 100 ovejas para alimetarlas co ese tipo de grao y estudiar su eficacia. E el primer caso, todas las ovejas, so la població. E el segudo se ha elegido ua muestra. E ua serie de televisió tiee dudas sobre qué hacer co la protagoista, si que tega u accidete o si debe casarse. Va a hacer ua cosulta. A toda la població o seleccioado ua muestra represetativa? Observa que o sabemos bie cuál sería la població, los que ve esa serie? o toda la població española? Si so los que ve la serie, cómo los coocemos? Cómo pregutar a todos? Parece más operativo pregutar a ua muestra. El estudio de la vida media de uas bombillas, se puede hacer sobre toda la població? El estudio es destructivo. Si se hiciera sobre toda la població os quedamos si bombillas. Es imprescidible tomar ua muestra. Actividades propuestas 3. Para estudiar el úmero de accidetes de ua població de mil coductores, de los cuales la mitad tiee caret de coducir etre 5 y 0 años, la cuarta parte lo tiee más de 0 años y la otra cuarta parte lo tiee meos de 5 años. Se quiere elegir por muestreo aleatorio estratificado proporcioal, 50 coductores, cuátos seleccioarías de cada grupo? º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

8 305 Estimació. Itervalos de cofiaza 1.4. Teorema cetral del límite Cuado el curso pasado estudiamos la distribució ormal ya cometamos que se pesó que todos los feómeos se ajustaba a esa distribució, co la broma de que los matemáticos pesaba que los físicos lo había comprobado experimetalmete, y los físicos que los matemáticos lo había demostrado. Este ajuste de los feómeos a la distribució ormal se cooce como Teorema Cetral del Límite, que fue euciado por primera vez por el matemático fracés que ya cooces por el cálculo de probabilidades, Pierre Simo Laplace ( ) y demostrado por el matemático ruso Alesksadr Mikhailovich Lyapuov ( ). Teorema Cetral del Límite: Si X es ua variable aleatoria de ua població de media fiita y desviació típica fiita. Etoces: La distribució de la media muestral de tamaño tiee de media y desviació típica, y se aproxima a ua distribució ormal a medida que crece el tamaño de la muestra. El problema es que o especifica qué se etiede por crecer el tamaño. Auque sí sabemos que si la població de partida es ormal, etoces la distribució de las medias muestrales es tambié ormal. Si la població de partida o es ormal etoces la distribució de la media muestral se aproximará a ua ormal cuado el tamaño de la muestra sea suficietemete grade. Vamos a cosiderar que ese tamaño es grade si es mayor que 30. Los parámetros de ua distribució so = 10 y desviació típica =. Se extrae ua muestra de 100 idividuos. Calcula P(8 < x < 1). Por el teorema Cetral del Límite sabemos que la media muestral de ua població ormal se distribuye segú otra distribució ormal N(, ) = N(10, /10) = N(10, 0 ). Para calcular la probabilidad pedida, tipificamos y buscamos e la tabla de la ormal P(8 x 1) P( z ) P( 1 z 1) P( z 1) P( z 1) 0' 0' P( z 1) 1 (0'8416) 1 0'683 Debes recordar para hacerlo las propiedades de la curva ormal, el uso de la tabla y cómo se calcula probabilidades co ella. Actividades propuestas 4. Los parámetros de ua distribució so = 0 y desviació típica = 3. Se extrae ua muestra de 400 idividuos. Calcula P(19 9 < x < 0 3). º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

9 306 Estimació. Itervalos de cofiaza 1.5. Distribució de la media muestral De ua població se seleccioa ua muestra y se calcula su media x y su desviació típica, s. Elegimos otras muestras de la misma població, y de cada ua obteemos su media y desviació típica. Cómo es la distribució de esas medias? Y de esas desviacioes típicas? Las diferetes medias da lugar a ua variable aleatoria que la vamos a represetar por X. El Teorema Cetral del Límite os garatiza que: La media de la variable aleatoria X es la media poblacioal. La desviació típica de la variable aleatoria X es el tamaño de las muestras elegidas., dode es la desviació típica poblacioal y es Para valores de suficietemete grades, ( 30) la distribució de X se aproxima a ua ormal: N(, ). Esta afirmació es cierta, sea cual sea la distribució de la població de partida, tato si es discreta como si es cotiua, tato si es ormal (etoces se aproxima a esta ormal para valores de meores que 30) como si o lo es. Cotrol de las medias muestrales: E el cotrol de calidad de ua fábrica de latas de atú, se embasa latas de 100 gramos co ua desviació típica de gramos. Se empaqueta e cajas de 50 latas. Calcula la probabilidad de que la media de las latas de ua caja sea meor que 99 gramos. Los datos que os da so la media poblacioal, = 100, la desviació típica poblacioal, =, y el tamaño de la muestra, = 50. Sabemos que la media muestral se distribuye segú ua N(, ) = N(100, 0 8). Vamos a recordar como calculábamos esas probabilidades. Queremos calcular P( x < 99). Lo primero tipificamos para pasar a ua distribució N(0, 1) P( x < 99) = P ( z ) P( z 3'54) 1 P( z 3'54) 0'8 º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

10 307 Estimació. Itervalos de cofiaza Recuerda: La distribució ormal es simétrica, por eso e la tabla o aparece valores egativos, pues los calculamos usado los positivos. Buscamos e la tabla 3 54 y obteemos que P(z < 3 54) = P( x < 99) = 1 P(z < 3 54) = = 0 000, ua probabilidad muy pequeña. Cotrol de la suma: E el mismo ejemplo aterior determia la probabilidad de que u lote de 400 latas pese más de gramos. xi i Como la media muestral es igual a x 1, etoces xi x, por lo que su distribució es ua i1 ormal de media y desviació típica : N(, ). E uestro caso N(, ) = N(400100, 400 ) = N(40000, 40) Queremos calcular P( x i > 40100) = P ( z ) P( z '5) 1 P( z '5) = = i 1 40 Uas 6 cajas de cada mil pesará más de 40 1 kg. Actividades propuestas 5. Los pesos de las ovejas de ua cierta gaadería tiee ua media de 50 kg co ua desviació típica de 4. Elegimos al azar ua muestra aleatoria simple de 100 ovejas. A) Determia la probabilidad de que su media sea superior a 51 kg. B) Sea iferior a 56 kg. C) Sea superior a 48 kg. D) Esté etre 48 kg y 5 kg. 6. Ua població tiee ua media = 400 y ua desviació típica = 0. Extraemos ua muestra de 1000 idividuos. Halla el itervalo característico, para ua probabilidad de 0 95, de la media muestral. Lo mismo para ua probabilidad del El peso de ua població se estima que tiee de media = 70 kg y ua desviació típica = 10. Se elige ua muestra aleatoria simple de 100 idividuos y se pesa todos jutos. Calcula la probabilidad de que dicho peso sea superior a 7010 kg. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

11 308 Estimació. Itervalos de cofiaza 1.6. Distribució de ua proporció muestral Hemos estudiado el curso pasado la distribució biomial. Era ua situació e que las úicas posibilidades era éxito y o éxito. Queremos saber cómo se distribuye la proporció muestral (úmero de éxitos etre el úmero de veces que se repite el experimeto). Cada muestra que obtegamos de tamaño se distribuye segú ua distribució biomial B(1, p), por tato la suma de variables B(1, p) es ua biomial B(, p) por el pricipio de reproductividad de la distribució. Por el Teorema Cetral del Límite se puede afirmar que la distribució de la proporció muestral p : Media: = p. Desviació típica: p ( 1 p) A medida que crece la distribució de la proporció muestral, se aproxima a ua ormal N( p, p(1 p) ), siempre que p o tome valores próximos a 0 o a 1. Ua evasadora detecta que el 5 % de los paquetes de kilo de arroz tiee exceso de peso. Toma ua muestra de 50 paquetes. Qué distribució sigue la proporció de paquetes co exceso de peso? Calcula la probabilidad de que e la muestra elegida exista más de u paquete co exceso de peso. La proporció sigue, para grade, ua distribució: p(1 p) 0'050'95 N( p, ) N(0'05, ) N(0'05, 0'03) 50 Calculamos la probabilidad y tipificamos: P( p 1 0'05 > 1) = P( z ) P( z 30'8) 1 P( z 30'8) 0 0'03 Actividades propuestas 8. E los exámees de selectividad la proporció de aprobados es del 98 %. U cetro escolar preseta a 78 estudiates al exame. a) Qué distribució sigue la proporció de aprobados? b) Calcula la probabilidad de que e la muestra elegida haya meos de 3 suspesos. c) Calcula la probabilidad de que e la muestra elegida haya más de 10 suspesos. d) Calcula la probabilidad de que e la muestra elegida o haya igú suspeso. 9. E ua fábrica de bombillas de bajo cosumo hay que rechazar por defectos al % de la producció. Se toma ua muestra aleatoria simple de 100 bombillas. a) Qué distribució sigue la proporció de bombillas defectuosas? b) Calcula la probabilidad de que e la muestra elegida haya meos de 5 bombillas defectuosas. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

12 309 Estimació. Itervalos de cofiaza. INTERVALOS DE CONFIANZA.1. Estimadores putuales E el apartado aterior hemos obteido iformació sobre las muestras aleatorias extraídas de ua població coocida. Pero es más usual querer obteer iformació de la població a partir de la iformació sumiistrada por ua muestra. So varios los procesos posibles a seguir: estimació putual o por itervalos de parámetros, cotraste de hipótesis Deseamos coocer algo sobre la població, por ejemplo, la media y para ello se seleccioa de forma aleatoria ua muestra. E ella podemos calcular esa media A ese valor lo deomiamos estimador o estimador putual, y al hecho de hacerlo, ua estimació putual, es decir, cuado teemos la muestra cocreta ese estimador tomará u valor cocreto. Co dicha estimació podremos iferir esa media sobre la població. Ya sabemos que o se puede asegurar que la població tega esa media, sio que la tiee co ua cierta probabilidad. Pero al hacerlo así se dice que hemos hecho ua estimació putual. Todo parámetro poblacioal, media, desviació típica, variaza tiee u estadístico paralelo e la muestra. Decimos que u estimador es isesgado o cetrado si su media coicide co el valor del parámetro que se quiere estudiar. La media muestral y la proporció muestral so estimadores cetrados. Si o lo es, al error cometido de le deomia sesgo. U estimador es eficiete si su variaza es míima. Para medir la eficiecia de u estimador cetrado se utiliza la iversa de la variaza. Ejemplos: La media muestral es u estimador cetrado de la media poblacioal de eficiecia: /. La proporció muestral es u estimador cetrado de la proporció de la població de eficiecia:. p( 1 p) Al aumetar el tamaño de la muestra aumeta la eficiecia de la media muestral y de la proporció muestral. Actividades propuestas 10. Determia la eficiecia de la media muestral si el tamaño de la muestra es 100 y la desviació típica poblacioal es. 11. Determia la eficiecia de la proporció muestral si el tamaño de la muestra es 100 y la proporció poblacioal es 50 %. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

13 310 Estimació. Itervalos de cofiaza.. Itervalos de cofiaza Ahora queremos, a partir de ua muestra de tamaño, estimar el valor de u parámetro de la població dado u itervalo e el que cofiamos que esté dicho parámetro. A este itervalo lo deomiamos, itervalo de cofiaza, y se calcula la probabilidad de que eso ocurra a la que se deomia ivel de cofiaza. Este curso úicamete estudiaremos estimacioes para la media y para la proporció. Ates de cocretarse e u valor para ua muestra determiada, cualquier estadístico puede ser tratado como ua variable aleatoria cuya distribució de probabilidad depederá de la distribució de la variable que represete el comportamieto de la població objeto de estudio. Parece razoable aprovechar la distribució de probabilidad del estadístico utilizado como estimador putual de u parámetro para, basádose e ella, llegar a determiar u itervalo de cofiaza para el parámetro que se desea estimar. El método que se utiliza para la obteció del itervalo se cooce como método del estadístico pivote y costa básicamete de los siguietes pasos: Se elige u estadístico t(x), deomiado estadístico pivote, que cumpla los siguietes requisitos: o o Su expresió debe depeder del parámetro que se quiere estimar. Por último, su distribució de probabilidad ha de ser coocida (y e muchos casos tabulada) y o debe depeder del valor de. Para u determiado ivel de cofiaza,, utilizado la distribució de probabilidad de t(x;) se calcula los valores k 1 y k, coocidos como valores críticos. E el siguiete apartado se muestra los desarrollos ecesarios co vistas a obteer itervalos de cofiaza para estimar uo de los parámetros de distribució ormal, es decir, la media. Tambié se detalla el cálculo de itervalos de cofiaza para la proporció de éxitos e pruebas biomiales (1, p). Coceptos: Itervalo de cofiaza: Si P ( a X b) 0' 95 teemos el itervalo de cofiaza (a, b) Nivel de cofiaza o coeficiete de cofiaza: 1 =, e uestro ejemplo, 0 95 Nivel de sigificació o de riesgo:, e uestro ejemplo, 0 05 Valor crítico: k 1 y k, que deja a la derecha (o a la izquierda) u área /. E la N(0, 1) so 1 96 y 1 96 para = Marge de error: Diferecia etre los extremos del itervalo de cofiaza. Máximo error admisible: Valor prefijado que o puede superar el valor absoluto de la diferecia etre el estimador y el parámetro. Otros coceptos ya los hemos trabajado: Població. Parámetro de la població (media, proporció) Muestra. Estadístico de la muestra. Tamaño de la muestra. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

14 311 Estimació. Itervalos de cofiaza Sabemos que e ua distribució ormal estádar P(1 96 < z < 1 96) = Determia u itervalo de cofiaza co u ivel de cofiaza del 0 95 de ua N(, 0 1). Determia el marge de error. X P(1 96 < Z < 1 96) = 0 95 P ( 1'96 1'96) 1 0' 95 01' P (( 01' ( 1'96)) X (01' 1'96) ) 0'95 P ( 1'8 X ') 0' 95 La variable aleatoria X estará e el itervalo (1 8, ) co u ivel o coeficiete de cofiaza de El marge de error viee dado por la amplitud del itervalo: Marge de error: 1 8 = 0 4. Actividades propuestas 1. Determia u itervalo de cofiaza co u ivel de cofiaza del 95 % de ua N(5, 0 01). Determia el marge de error. 13. Determia u itervalo de cofiaza co u ivel de cofiaza del 99 % de ua N(100, 4). Determia el marge de error..3. Itervalo de cofiaza para la media poblacioal co desviació típica coocida Cuado se quiere costruir u itervalo de cofiaza para estimar la media de ua població ormal e la que se supoe que la desviació típica de la distribució,, es coocida, se utiliza como estimador la media muestral, es decir, se recurre a ua muestra de tamaño de la que se obtiee la media muestral. Ya sabemos que la media muestral, x sigue ua distribució ormal de media y desviació típica si la població de partida es ormal, o si, auque o lo sea, el tamaño de la muestra es suficietemete grade, f(z) Para obteer, etoces u itervalo de cofiaza co u ivel de cofiaza 1 = debemos buscar dos 0.30 N(0,1) valores tales que divida el área bajo la curva ormal 1- e tres zoas, de áreas, /, 1 y /. ( ) z 1 / ; ( 1 ) z 1 / La siguiete figura ilustra la localizació de estos valores z 1 / y z 1 /. Sabemos que º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF z 4 1-/ 0 z 0 1-/ 4 z

15 31 Estimació. Itervalos de cofiaza xi i x 1 x ; X : N(, ) ; Z : : N(0, 1) Se observa que el estadístico depede del parámetro que se va a estimar y que su distribució de probabilidad (ormal tipificada) es coocida y o depede de dicho parámetro. Así pues, dado u ivel de cofiaza 1 = se busca dos valores z 1 / y z 1 / que verifique: P ( z 1 x ) z 1 ) 1 Llamamos z 1 / al valor de la N(0, 1) que deja u área a la derecha de valor /. Etoces, por la simetría de la distribució ormal, a la izquierda de z 1 / quedará u área igual a /. Por tato: P ( z 1 Z z 1 (Recuerda: Si (1 )100 % = 95 %, etoces z 1 / = 1 96). ) 1 A cotiuació se puede despejar la media poblacioal para obteer el itervalo de cofiaza: x P ( z Z z ) 1 P ( z z ) P ( z x z ) 1 P ( x z ) Ua vez obteida la media muestral determiamos, co u ivel de cofiaza 1 = el itervalo de cofiaza. La media poblacioal, puede perteecer o o a dicho itervalo. Por tato, se obtiee para la media poblacioal el itervalo al (1 )100 % de cofiaza: x z 1, x z 1 Por último, es iteresate recordar que el itervalo de cofiaza se iterpreta de la siguiete maera: si tuviésemos u úmero ifiito de muestras de la població, y costruyésemos co cada ua u itervalo, etoces el 100 % de dichos itervalos cotedría al verdadero valor del parámetro μ. E la práctica, sólo teemos ua muestra, y por eso sólo podemos costruir u itervalo. No tiee etoces setido iterpretar el itervalo como la regió e la que estará μ co probabilidad, puesto que e el itervalo calculado, la media μ estará o o estará. Por eso, para expresar uestra icertidumbre sobre si el itervalo calculado co uestra muestra cotiee o o al parámetro μ emplearemos la expresió ivel de cofiaza. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

16 313 Estimació. Itervalos de cofiaza x z Si se puede realizar la hipótesis de que el cosumo de combustible sigue ua distribució ormal, veamos el itervalo de cofiaza para la media al 95 %, supoiedo coocida la variaza (igual a l ). Se recoge ua muestra aleatoria simple de tamaño 0, y se obtiee ua media muestral de l. Para u ivel de cofiaza del 95 % la tabla de la ormal estádar os da que z 1 / = x z 1, x z 1 87'66 87' '9 1'96, 3937'9 1' '5, '3 El tiempo de reovació de u teléfoo móvil, expresado e años, se puede aproximar mediate ua distribució ormal co desviació típica 0 4 años. Se toma ua muestra aleatoria simple de 100 usuarios y se obtiee ua media muestral igual a 1 5 años. Determíese u itervalo de cofiaza al 95 % para el tiempo medio de reovació de u teléfoo móvil. Buscamos e la tabla de la ormal estádar y se obtiee que z 1 / = 1 96 para u ivel de cofiaza del 95 %. Coocemos la desviació típica poblacioal = 0 4, y la muestra os da ua media x = 1 5. El itervalo de cofiaza pedido es: 1, x z 1 1'5 1'96 0'4,1'5 1' ' '5 0'0784,1'5 0'0784 1'416,1'5784 Teemos la cofiaza de que el 95 % de los casos la media poblacioal perteecerá al itervalo: Actividades propuestas (1 416, ). 14. Determia u itervalo de cofiaza para la media poblacioal co u ivel de cofiaza del 95 % de ua població de desviació típica coocida, =, si hemos escogido ua muestra aleatoria simple de tamaño 400 y calculado la media muestral que es Determia u itervalo de cofiaza para la media poblacioal co u ivel de cofiaza del 98 % de ua població de desviació típica coocida, =, si hemos escogido ua muestra aleatoria simple de tamaño 400 y calculado la media muestral que es Compara co el aterior itervalo de cofiaza. 16. Se ha tomado ua muestra aleatoria simple de 16 pacietes y se ha aotado el úmero de días que ha recibido tratamieto para los trastoros del sueño que sufre. Los resultados ha sido: 80; 85; 95; 330; 90; 350; 360; 30; 95; 310; 300; 305; 95; 80; 315; 305. Se sabe que la duració, e días, del tratamieto se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de media descoocida y desviació típica 34 5 días. Determia u itervalo de cofiaza co u ivel del 95 % para la media poblacioal.. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

17 314 Estimació. Itervalos de cofiaza.4. Relació etre ivel de cofiaza, error admisible y tamaño de la muestra Hemos visto que Defiició: P ( x z ) 1, es decir, el (1 )100 % de las muestras cumple que: 1 x z 1 Se llama error máximo admisible al valor E z 1. Observa que depede del tamaño de la muestra y del ivel de cofiaza. Al aumetar el tamaño de la muestra dismiuye el error máximo admisible, y al aumetar el ivel de cofiaza tambié aumeta el error máximo admisible. Puedes comprobarlo co la tabla de la ormal estádar, y los iveles de cofiaza más usados: 1 º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF z Si os fija el error máximo admisible, E, y el ivel de cofiaza 1, podemos determiar el míimo tamaño que debe teer la muestra simplemete despejado: E z 1 z 1 E 1 z. E Observa que el tamaño de la muestra debe ser más grade cuato meor sea el error máximo admisible: Para estimacioes más precisas se debe aumetar el tamaño de la muestra. Al aumetar el ivel de cofiaza 1 aumeta el tamaño de la muestra, luego: Para aumetar el ivel de cofiaza se debe aumetar el tamaño de la muestra. Cuál es el úmero míimo de estudiates que debemos elegir de ua població de =, para ua muestra aleatoria simple si el error míimo admisible es de 0 1, y el ivel de cofiaza del 95 %? La muestra debe teer al meos 1537 estudiates. 1 z 1' ' 64 E 01'

18 315 Estimació. Itervalos de cofiaza Coocido el tamaño de la muestra y el error máximo admisible, despejado y buscado e la tabla, tambié podemos determiar el ivel de cofiaza. E z 1 z 1 E El otorrio cooce que la desviació típica del tiempo de respuesta a u soido es de u segudo. Desea estudiar dicho tiempo de respuesta co u error máximo admisible de 0 1 haciedo u estudio co 100 pacietes: Determia co qué ivel de cofiaza obtedrá el itervalo de cofiaza. Buscamos e la tabla: z 1 E 01' P ( Z z ) 1 P ( Z 1) 0' es decir que el ivel de cofiaza es del %. E la població de estudiates de desviació típica =, se quiere pasar ua prueba a 100 estudiates para determiar sus coocimietos de Matemáticas co u error míimo del 0 5. Cuál es el ivel de cofiaza obteido? Buscamos e la tabla: z 1 E 0'5 100 '5 P ( Z z ) 1 P ( Z '5) 0' es decir que el ivel de cofiaza es del %. Actividades propuestas 17. Qué tamaño míimo debe teer ua muestra para que el error máximo cometido e la estimació de la media sea meor de 0,1 uidades, co u ivel de cofiaza del 95 %, sabiedo que la desviació típica poblacioal es coocida y vale 4? 18. Determia el tamaño muestral míimo ecesario para que el valor absoluto de la diferecia etre la media muestral y la media poblacioal sea meor o igual a 0 0 años co u ivel de cofiaza del 90 % sabiedo que la població se distribuye segú ua ormal de desviació típica E el estudio aterior se toma ua muestra de 49 idividuos. Queremos que el error máximo admisible sea de 0 0. Cuál será el ivel de cofiaza? º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

19 316 Estimació. Itervalos de cofiaza El itervalo sobre el valor del parámetro, que se costruirá utilizado las propiedades del estimador, se deomia itervalo de cofiaza. Cuato más estrecho sea dicho itervalo, meos icertidumbre existirá sobre el verdadero valor del parámetro. Además del cocepto de cofiaza, que se acaba de aalizar, e los itervalos aparece los coceptos de precisió y de amplitud. La amplitud es, la diferecia etre los extremos del itervalo, es decir, t S (X) t I (X). Para ua muestra cocreta, la amplitud del itervalo costruido a partir de ella será: t S (X 0 ) t I (X 0 ). La precisió es ua forma de evaluar el grado de eficacia del itervalo, y está iversamete relacioado co el cocepto de amplitud. E pricipio será deseable que los itervalos costruidos tega la máxima precisió posible, auque el tamaño muestral siempre será ua limitació, ya que si es muy pequeño, o se puede coseguir ua precisió elevada. Ya se ha dicho que etre precisió y amplitud existe ua relació iversa: a mayor precisió deseada, meor ha de ser la amplitud del itervalo costruido. Por ello, e pricipio lo deseable es que el itervalo presete la meor amplitud posible. Si se obtiee u itervalo a partir de ua muestra de tamaño 100, cómo puede mejorarse este itervalo? Ua posibilidad es aumetar la precisió. Pero para aumetar la precisió (lo que equivale a dismiuir la amplitud), mateiedo el tamaño muestral el úico istrumeto que existe es el ivel de cofiaza. Así, es ecesario dismiuir la cofiaza (ya que la precisió ha mejorado). Es decir, si la cofiaza pasa del 99 % a ser, por ejemplo, del 95 %, se puede obteer ua amplitud meor. Otra posibilidad es aumetar la cofiaza. E tal caso, de maera aáloga, debería dismiuirse la precisió (lo que equivale a aumetar la amplitud). Si existe la posibilidad de aumetar el tamaño muestral (es decir, si se puede dispoer de más iformació, lo que supoe ua situació mejor), se puede aumetar la precisió si modificar la cofiaza o aumetar la cofiaza si modificar la precisió. Por ejemplo, si se aumeta el tamaño muestral a 00, se puede aumetar la precisió o aumetar la cofiaza del itervalo, si modificar la otra característica. Realmete, aumetado el tamaño muestral siempre mejorará el itervalo costruido, pero dicho aumeto suele teer u coste. Por lo tato, cuado se quiere costruir u itervalo de cofiaza para u parámetro, ates de obteer la muestra, puede ser iteresate realizar u estudio previo para obteer el valor de óptimo e térmios de relació coste beeficio. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

20 317 Estimació. Itervalos de cofiaza.5. Itervalo de cofiaza para la proporció e muestras grades La costrucció de u itervalo de cofiaza para la proporció de éxitos e ua prueba de Beroulli se puede llevar a cabo utilizado el estimador putual que se ha visto e el apartado de estimació putual. Etoces, se había demostrado que el estimador de la proporció poblacioal es u estimador isesgado p. Sabemos por el teorema cetral del límite que la proporció muestral p(1 p) distribució ormal N( p, ) para suficietemete grade. Tipificado la variable obteemos ua distribució N(0, 1), por lo tato: se distribuye segú ua Dado u ivel de cofiaza 1 =, se puede buscar dos valores z 1 / y z 1 / que verifique: ( ) z 1 / ; ( 1 ) z 1 / De maera que costruimos el itervalo de cofiaza para la proporció de éxitos p. La variaza es p (1 p) descoocida y por tato se utiliza como desviació típica su estimador putual, : p p P z 1 / z1 / 1 p (1 p) p (1 p) p (1 p) P p z1 / p p z1 / 1 Multiplicamos por 1, y cambiamos el setido de la desigualdad: p (1 p) p (1 p) P p z1 / p p z1 / 1 Teemos el itervalo para la proporció poblacioal: p p z 1 / p (1 p), p z 1 / p (1 p) Co lo que se obtiee el itervalo de cofiaza para la proporció de éxitos al ivel de cofiaza,. Se puede demostrar que es el itervalo de meor amplitud dado u ivel de cofiaza. Determia el itervalo de cofiaza al 99 % para la proporció de compoetes defectuosos que se produce e ua fábrica. Para ello se ha elegido ua muestra aleatoria simple de 1000 compoetes y e ella se ha obteido que la proporció de defectuosos es del 3 7 %. Buscamos e la tabla de la ormal el valor de z para ua probabilidad de 0 99, y se obtiee 58, es decir z 1 / = 58. Coocemos p = 0 037, = 1000, por lo que el itervalo de cofiaza pedido es: º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

21 318 Estimació. Itervalos de cofiaza p z 1 0'037 '58 p(1 p), p z 0'0370'963, p(1 p) 0'037 '58 99% 0'0370' % (0'016, 0'054) Co u ivel de cofiaza del 99 % la proporció de defectuosos poblacioal está etre 16 % y 5 4%. Determia el itervalo de cofiaza al ivel de cofiaza del 90 % y del 99 % para estimar la proporció efermos de la gripe e la població si de ua muestra de 10 persoas hay 0 co gripe. Determia e cada caso el marge de error. Buscamos e la tabla de la ormal los valores de z 1 / para esos iveles de cofiaza y obteemos para 90 %, z 1 / = 1 645, y para el 99 %, z 1 / = 575. Coocemos = 10, p = 0/10 = 1/6. Calculamos: 1 5 p(1 p) '034 Por tato los itervalos de cofiaza pedidos so: (1 ) (1 ) p p p p, p z 1 p z 1 90 % 90% 1 1 1'6450'034, 1'6450' % (0' 111, 0'3) 909% Marge de error = = Podemos iterpretarlo como que habrá etre u 11 % y u % de persoas co gripe. (1 ) (1 ) p p p p, p z 1 p z 1 99 % 99% 1 1 '580'034, '580' % (0'079, 0'54) 99% Marge de error = = Podemos iterpretarlo como que habrá aproximadamete etre u 8 % y u 5 % de persoas co gripe. Observa que: Al aumetar el ivel de cofiaza, aumeta la amplitud del itervalo y por lo tato aumeta el marge de error. Actividades propuestas 0. Determia el itervalo de cofiaza para la proporció de árboles efermos e Madrid co u ivel de cofiaza del 95 %, si se ha elegido ua muestra aleatoria simple de 100 árboles de los que hay 0 efermos. 1. Se quiere estudiar la proporció de estudiates que hace actividades extraescolares. Para ello se ha seleccioado ua muestra de 400 estudiates de los cuales 100 hace actividades extraescolares. Determia el itervalo de cofiaza para la proporció co u ivel de cofiaza del 95 %. 99% º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

22 319 Estimació. Itervalos de cofiaza.6. Determiació del tamaño de la muestra para ua proporció Para determiar el tamaño partimos de dos situacioes diferetes 1. Que se coozca la media o la proporció poblacioes. Que o se coozca Ya hemos determiado el tamaño de la muestra para la media poblacioal, ahora veremos algú ejemplo para la proporció. El procedimieto es el mismo que ates. La diferecia va a estar e despejar el tamaño pues vamos a teer ua desigualdad co raíces cuadradas. Como el tamaño buscado tambié es ua desigualdad podremos simplificar esa desigualdad. Veámoslo co uos ejemplos: Cuál debe ser el tamaño de la muestra e ua població de 8 milloes de votates para coocer si tiee la iteció de votar a u determiado partido político co ua probabilidad de acierto del 0 95 y u marge de error iferior a 0 0? Se cooce la proporció poblacioal: 35 %. Utilizamos itervalos de cofiaza: Es ua distribució biomial, pues u votate o vota a dicho partido, o o lo vota. Llamamos al tamaño de la muestra, p al úmero de los que votará al partido e la població, X a los que vota al partido e la muestra. X P ( 0'0 p 0'0) P(( 0'0 p) X (0'0 p) ) 0'95 E la distribució biomial teemos que la media es p y la variaza pq = p(1p). Pasamos de la distribució biomial a la distribució ormal, añadiedo 0 5 de la logitud de los itervalos: Tipificamos: X P ( 0'0 p 0'0) P( 0'0 p 0'5 X 0'0 p 0'5) 0'95 0'0 0'5 X p 0'0 0'5 P ( ) 0'95 p(1 p) p(1 p) p(1 p) 0'0 0'5 P ( z ) 1 0'95 p(1 p) 0'0 0'5 P ( z ) 0'975 p(1 p) Buscamos e la tabla de la ormal estádar y obteemos que 0'0 0'5 1'96. p(1 p) (1) º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

23 30 Estimació. Itervalos de cofiaza La proporció es coocida p = 0 35, q = 0 65, 0'0 0'5 1'96 p(1 p) 0'0 0'5 1'96 0'350' 65 Podemos resolver la desigualdad pero tambié podemos simplificarla, pues se seguirá verificado para este caso (auque o e el otro setido): Elevamos al cuadrado y despejamos: 0'0 1'96 0'350' Por tato se debe pasar la ecuesta a 185 votates o más. Cuál debe ser el tamaño de la muestra e ua població de 8 milloes de votates para coocer si tiee la iteció de votar a u determiado partido político co ua probabilidad de acierto del 0 95 y u marge de error iferior a 0 0? Se descooce la proporció poblacioal. Es el mismo problema aterior, pero descoocemos la proporció. Partimos de la desigualdad (1): 0'0 0'5 p(1 p) 1'96 0'0 0'5 1'96 p(1 p) Dode teemos dos variables y p. Vamos a acotar p(1 p). Dibujamos la parábola y = x(1 x) que alcaza su valor máximo, 1/4, para x = 1/, por lo que p(1 p) 1/4. Sustituimos este valor. 0'0 0'5 1'96 p(1 p) 1'96 4 Elimiamos 0 5 (para simplificar cálculos), elevamos al cuadrado, y obteemos que: 401. La ecuesta debe de realizarse para más de 401 votates. Hemos calculado el tamaño de la muestra co u marge de error o superior a 0 0 y ua certeza del 95 %. Actividades propuestas. Cuátas veces se debe lazar ua moeda para que la proporció de caras o se aparte de la teórica, 1/, más de ua cetésima, co u grado de certeza o iferior al 95 %? Cuátas, co el mismo marge de error y ua certeza o iferior al 99 %? Lo mismo co 99 9 % de certeza? (Solucioes: 9504, 1641, 663) º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

24 31 Estimació. Itervalos de cofiaza Volvemos al problema de las ecuestas de votos. E ua població de 8 milloes de votates elegimos ua muestra aleatoria de 000 de la que 700 persoas os afirma que va a votar a u determiado partido. Qué podemos asegurar sobre el úmero de votos que recibirá dicho partido? Como 700/000 = 35, ua primera respuesta podría ser que = votos, pero qué cofiaza podemos teer de ese resultado. Fijamos u ivel de sigificació, o u grado de cofiaza, 1 =. Sea = 0 05 y = 1 = Sea p la proporció de votates al partido estudiado. Teemos ua distribució biomial de media = p = 000p y pq 000 p(1 p). Calculamos la probabilidad de que el úmero de votates al partido estudiado de la muestra sea: P( k X + k) 0 95 Pasamos de la distribució biomial a la ormal para calcular k y p: Tipificamos: P( k 0 5 X + k + 0 5) 0 95 k 0' 5 P( Z k 0' 5 ) 0 95 k 0' 5 Obteemos que z = 1 96, por lo que k Debemos sustituir y e fució de p como se hizo ateriormete y se obtiee que: p , es decir que la proporció de votates debe estar etre el 33 % y el 37 %. Actividades propuestas 3. Rehaz los cálculos de la actividad aterior para u ivel de cofiaza del 99 % 4. Se ivestiga los hábitos de cosumo de ua població de dos milloes de persoas. Se pasa ua ecuesta a mil persoas y se les preguta si e su domicilio se cocia co gas, de los que 600 respode afirmativamete. Qué puedes afirmar sobre el úmero de persoas e las que e su domicilio se usa gas co u ivel de cofiaza del 95 %. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

25 3 Estimació. Itervalos de cofiaza 3. CONTRASTE DE HIPÓTESIS 3.1. Test de hipótesis. Cotraste de hipótesis para la proporció poblacioal Empecemos co u ejemplo. La probabilidad de curarse ua efermedad co u cierto medicameto es Se ivestiga u uevo medicameto que queremos mejore el úmero de curacioes. Se trata 00 efermos de los que se cura 150. Podemos estar seguros de que el uevo medicameto es mejor que el atiguo? E primer lugar vamos a calcular la probabilidad de que co el primer medicameto se hubiera curado 150 efermos. Teemos ua distribució biomial de media = p = = 136, y pq 000'680'3 43'5 6'6 Ajustamos la biomial co ua ormal, tipificamos y buscamos e la tabla: 150'5 136 P ( z ') 1 P( z ') 1 0'9861 0'0139 6'6 La probabilidad ha salido muy pequeña. Rechazamos la hipótesis. Auque es posible que sí hubiera co el primer medicameto 150 curacioes, pero sólo e el 1 39 % de los casos. Nivel de sigificació E el ejemplo hemos partido de cosiderar cierta ua hipótesis, que los medicametos fuera iguales. Si la probabilidad sale meor que u cierto valor, llamado ivel de sigificació, rechazamos la hipótesis. Se suele tomar como iveles de sigificació 5 %, 1 %, 0 1 % segú la aturaleza del problema. E la actividad aterior diríamos que rechazamos la hipótesis de que ambos medicametos sea igual de efectivos co u ivel de sigificació del 5 %, pero o podríamos rechazarla co u ivel de sigificació del 1 % por ser 1 39 > 1. E la actividad aterior, el úmero de curacioes observadas, 150, es compatible co que el medicameto sea efectivo e el 69 % de los casos, co u ivel de sigificació del 5 %? Y e el 70 % co igual ivel de sigificació? Repetimos el proceso para estos uevos valores: p Z P(x 150) 0 69 p = = 138 pq 000'690' p = = 140 pq 00 0'7 0' '5 138 =1 9 6'5 150'5 140 =1 6 6' = = Rechazamos la hipótesis co u ivel de sigificació del 5 % de que el porcetaje de curacioes sea del 68 %, y del 69 %. Esperamos que el porcetaje de curacioes del segudo medicameto sea superior al 70 %. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

26 33 Estimació. Itervalos de cofiaza Test uilateral y test bilateral Hemos cosiderado e las actividades ateriores la hipótesis de que ambos medicametos tiee u porcetaje de curacioes iguales, y la hipótesis cotraria de que el segudo medicameto tiee u mayor porcetaje de curacioes. Hemos calculado P(x 150), es decir, la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores a la derecha de 150. Este tipo de test se deomia uilateral. Si debemos calcular probabilidades simétricas a ambos lados, se deomia bilateral. Queremos comprobar si ua moeda o está trucada, co u ivel de sigificació del 5 %. Lazamos la moeda al aire 100 veces y obteemos 60 caras. Aceptamos la hipótesis de que la moeda o está trucada? Teemos las siguietes hipótesis: H 0 = la moeda tiee ua probabilidad de salir cara de 1/. H 1 : La moeda está trucada, la probabilidad de cara es distita de 1/. Es ua distribució biomial de media = 100(1/) = 50, y variaza = 100(1/)(1/) = 5 = 5. La hipótesis H 1 idica que p podría ser mayor que 1/ o meor que 1/, por lo que debemos cosiderar tato que se obtega más de 50 caras como que se obtega meos. Hemos obteido 60 caras, que supera e 10 al valor medio, 50, luego vamos a calcular: P(x 50 > 10), es decir, P(x 50 > 10) + P(x + 50 < 10) De uevo aproximamos la biomial co la ormal: P(x > 60 5) + P(x < 39 5) = P(z > 1) + P(z < 1) = (1 P(z 1)) + (1 P(z 1)) = (1 P(z 1)) = ( ) = (0 0179) = Como 3 58 < 5, podemos rechazar la hipótesis de que la moeda esté equilibrada (tega ua probabilidad de 1/, sea de Laplace:..) al ivel de sigificació del 5 %. E ambos ejemplos teemos duda sobre si el parámetro poblacioal toma u valor determiado. Para salir de esa duda hacemos u test estadístico, tomado ua muestra aleatoria que os permita sacar coclusioes de la població, y aceptar o rechazar la hipótesis previamete emitida Caso H o H 1 Curacioes p = 69 % p > 69 % Moeda p = 1/ p 1/ Actividades propuestas 5. Repite los cálculos de la actividad aterior supoiedo que se ha obteido 65 caras. Es ua moeda de probabilidad 1/? 6. Se ha calculado que etre los deportistas que juega al futbol hay u porcetaje de accidetes del %. Se ha estudiado el úmero de accidetes etre 400 persoas que practica la atació y ha resultados accidetadas 36 persoas. Es la atació igual de peligrosa que el futbol? º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

27 34 Estimació. Itervalos de cofiaza 3.. Cotraste de hipótesis para la media poblacioal Podemos ecotrar dos casos, que la hipótesis ula H 0 sea del tipo = 0, o que sea co ua desigualdad: 0, o bie 0. Paso 1: Hipótesis H 0 : = 0, H 1 : 0. Paso : Zoa de aceptació. 0 Cosideramos que la media se distribuye segú N( 0, ) lo que es cierto si la distribució poblacioal es ormal o si el tamaño de la muestra es suficietemete grade. La zoa de aceptació de la hipótesis es el itervalo: x z, x z 1 1 Paso 3: Verificació: Se extrae la muestra y se calcula x. Paso 4: Decisió: Se acepta o se rechaza la hipótesis. Se piesa que el tiempo de reovació de u teléfoo móvil, expresado e años, se puede aproximar mediate ua distribució ormal de media y co desviació típica 0 4 años. Para cotrastar esta hipótesis se pasa ua ecuesta a 100 persoas, y el tiempo medio de reovació de sus teléfoos móviles ha sido de 1 8 años. Se puede aceptar la hipótesis co u ivel de sigificació del 5 %? Paso 1: Hipótesis H 0 : =, H 1 :. Paso : Zoa de aceptació: x z 1 Paso 3: Verificació: 0'4 0'4, x z 1 = 1'96, 1'96 = (1 9, 08) Al extraer la muestra la media ha sido 1 8 que o perteece al itervalo de aceptació. Paso 4: Se rechaza la hipótesis de que la media sea. Para el cotraste uilateral la zoa de aceptació o será simétrica. E la actividad aterior se quiere cotrastar la hipótesis de que la media es superior a. Paso 1: Hipótesis H 0 : >, H 1 :. Paso : Zoa de aceptació: 0'4 x z, 1 = 1'96, = (1 9, +). 100 Paso 3: Verificació: Al extraer la muestra la media ha sido 1 8 que o perteece al itervalo de aceptació. Paso 4: Se rechaza la hipótesis de que la media sea superior a. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

28 35 Estimació. Itervalos de cofiaza 3.3. Hipótesis ula. Error de primera y seguda especie Hemos visto ejemplos e los que hemos hecho ua hipótesis, (que ambos medicametos era iguales, que la moeda o estaba trucada ). La hipótesis, H 0, de que o hay cambios se llama hipótesis ula. La hacemos co la iteció de rechazarla, y aceptar la hipótesis cotraria, H 1, de que sí hay cambios (el segudo medicameto es mejor, la moeda está trucada ). Para decidir si rechazamos H 0 hemos fijado u ivel de sigificació,, hemos realizado u test que os sumiistra ua zoa crítica D e la que: Si supoiedo que H 0 es verdadera ocurre que P(x D) <, etoces rechazamos H 0. Si supoiedo que H 0 es verdadera ocurre que P(x D), etoces NO rechazamos H 0. Podemos cometer dos tipos de errores, el error de tipo 1, es rechazar H 0 siedo verdadera; y el error del tipo, de aceptar H 0 siedo falsa. La probabilidad de cometer u error del primer tipo es el ivel de sigificació. Actividades propuestas 7. La tasa de atalidad de ua regió ha sido del 8 7 por mil habitates durate u cierto año. Supoemos que la tasa de atalidad es la misma al año siguiete, hasta qué úmero de acimietos etre 3000 habitates estarías dispuesto a cofirmar dicha hipótesis? 3.4. Aalogía etre itervalos de cofiaza y cotraste de hipótesis Existe ua gra relació etre el itervalo de cofiaza para u parámetro de ua distribució y el cotraste de hipótesis sobre el mismo. Si al costruir el itervalo de cofiaza, el estimador muestral o perteece a él, se rechaza la hipótesis ula de que la població tega dicho parámetro. El ivel de sigificació de u cotraste de hipótesis es el complemetario del ivel de cofiaza de ua estimació: 1. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

29 36 Estimació. Itervalos de cofiaza CURIOSIDADES. REVISTA EL EFECTO PLACEBO Y EL EFECTO NOCEBO Ates de que u medicameto pueda comercializarse debe superar ua serie de estrictas pruebas que arroje seguridad acerca de su eficacia curativa. Ua de las pruebas más comues cosiste e seleccioar ua muestra de efermos y dividirlos aleatoriamete e dos grupos; u grupo recibe el medicameto, y el otro, si saberlo, ua sustacia e apariecia igual, pero si igú poder terapéutico: u placebo. De esta forma, al fial del esayo puede compararse los resultados etre los dos grupos y determiar la eficacia del medicameto. Para ello se emplea herramietas estadísticas como la correlació. Sorpredetemete, hay u úmero sigificativo de pacietes que, habiedo recibido el placebo, mejora de forma ostesible. Por ejemplo, esta cotrastado que, e muchas efermedades relacioadas co el dolor, etre el 10 % y el 15 % de los pacietes experimeta u alivio otable habiedo seguido u tratamieto exclusivamete de placebo. Moivre Laplace Gauss Distribució Normal La importacia de esta distribució se debe a que se utiliza para modelar umerosos feómeos aturales, médicos y sociales. So feómeos e los que ifluye muchas variables difíciles de cotrolar, por lo que podemos supoer que es suma de distitas causas idepedietes. Ejemplos clásicos de feómeos que se distribuye segú ua ormal so: Feómeos morfológicos como la estatura o el peso Fisiológicos como los efectos de u fármaco Sociológicos como los de cosumo Psicológicos como el cociete itelectual El ruido e las telecomuicacioes Los errores cometidos al medir ua magitud La historia de la distribució ormal. Aparece por primera vez co Abraham de Moivre e u artículo publicado e 1733, sobre la distribució biomial para valores grades de. El resultado fue trabajado por Laplace e su libro sobre la Teoría de las probabilidades trabajado sobre errores. Tambié sobre errores la utilizó Gauss, aalizado datos astroómicos. E su hoor tambié se deomia a la curva ormal, campaa de Gauss. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

30 37 Estimació. Itervalos de cofiaza RESUMEN Muestra aleatoria simple Todos los idividuos de la població tiee la misma probabilidad de ser elegidos e la muestra. Se umera la població y se usa úmeros aleatorios para elegir la muestra. Teorema cetral del límite Si X es ua variable aleatoria de ua població de media fiita y desviació típica fiita. Etoces: La distribució de la media muestral de tamaño tiee de media y desviació típica y se aproxima a ua distribució ormal a medida que crece el tamaño de la muestra Població N(10, ) Muestra de tamaño = 100. Distribució de la media muestral: N(10, 0 ) Media muestral N( x, ) P(8 x 1) P( 1 z 1) P( z 1) 1 0'683 Proporció muestral N ( p, p(1 p) ) Proporció: 5 %. Muestra de tamaño = 100 N(0 05, 0 03) Itervalo de cofiaza Itervalo de cofiaza: Si P ( a X b) 0' 95 teemos el itervalo de cofiaza (a, b) Nivel de cofiaza o coeficiete de cofiaza: 1 =, e uestro ejemplo, 0 95 Nivel de sigificació o de riesgo:, e uestro ejemplo, 0 05 Valor crítico: k 1 y k, que deja a la derecha (o a la izquierda) u área /. E la N(0, 1) so 1 96 y 1 96 para = Marge de error: Diferecia etre los extremos del itervalo de cofiaza. Itervalo de cofiaza para la media x z 1, x z 1 N(, 1), 1 = = 0 95; P(1 96 < (X-)/1 < 1 96) = 0 95 P ( 1'8 X ') 0' 95 Error máximo admisible. Tamaño míimo de la muestra E z 1 z 1 E N(, 1), 1 = 0 95; = 100 E = 1 96(1/10) = Si E = 0 5 = (1 96(1/0 5)) 16 Itervalo de cofiaza para la proporció p p z 1 / p (1 p), p z1 / p (1 p) Proporció:1/6. Muestra de tamaño = = 0 95 z 1 / = 1 645; s = (0 111, 0 3) Cotraste de hipótesis Paso 1: Hipótesis H 0 : = 0, H 1 : 0. Paso : Zoa de aceptació. x z, x z 1 1 Paso 3: Verificació: Se extrae la muestra y se calcula x. Paso 4: Decisió: Se acepta o se rechaza la hipótesis. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

31 38 Estimació. Itervalos de cofiaza EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Utiliza las tablas de la ormal estádar y comprueba las probabilidades siguietes: a) P(z < 1) = ; b) P(z 0 7) = ; c) P(z > 1) = = ; d) P(z 1 86) = ; e) P(1 83 < z < 1) = 0 151; f) P(z > 1 38) = ; g) P(1 83 z < 0 75) = Utiliza las tablas de la ormal estádar para calcular las probabilidades siguietes: a) P(z < 0 7); b) P(z 1 1); c) P(z > 0 93); d) P(z 1 86); e) P(1,0 < z < 0 85); f) P(0 65 < z < 1 4); g) P(1 76 > z > 0 7); h) P(0 9 > z > 0 51). 3. Ua variable aleatoria X sigue ua distribució ormal de media 5 y desviació típica 0 5. Calcula las siguietes probabilidades: a) P(X < 6); b) P(X 4); c) P(X > 3); d) P(X 5 5); e) P(3 < X < 1); f) P(X > ); g) P(3 X < 7); h) P(6 > X > ). 4. E u cetro escolar hay 900 estudiates, que so 600 de ESO y 300 de Bachillerato. Se quiere tomar ua muestra aleatoria por muestro estratificado proporcioal de tamaño 50. Cuátos estudiates se debe escoger de forma aleatoria de ESO y cuátos de bachillerato? 5. El úmero de megabytes (Mb) descargados mesualmete por u grupo de clietes de ua compañía de telefoía móvil se aproxima por ua distribució ormal co media 4 Mb y desviació típica igual a 1 5 Mb. Se toma ua muestra aleatoria simple de tamaño 64. a) Cuál es la probabilidad de que la media muestra sea iferior a 3 5 Mb? b) Sea superior a 4 5 Mb? c) Se supoe ahora que la media poblacioal es descoocida y que la media muestra toma el valor 3 7 Mb. Obté u itervalo de cofiaza al 95 % para la media de la població. Obté tambié u itervalo de cofiaza al 99 % para la media de la població. Es mayor o meos que el aterior? Explica este resultado 6. La duració e horas de u cierto tipo de bombillas de bajo cosumo se puede aproximar por ua distribució ormal de media y desviació típica igual a 3600 horas. Se toma ua muestra aleatoria simple. a) Qué tamaño muestral se ecesitaría como míimo para que, co u ivel de cofiaza del 95 %, el valor absoluto de la diferecia etre y la duració media observada X de esas bombillas sea iferior a 100 horas? b) Si el tamaño de la muestra es 11 y la duració media observada X es de 4000 horas, obté u itervalo de cofiaza al 95 % para la media poblacioal. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

32 39 Estimació. Itervalos de cofiaza 7. La logitud, e milímetros (mm), de los idividuos de ua determiada platació de mejilloes se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de media descoocida y desviació típica igual a 3 mm. a) Se toma ua muestra aleatoria simple de 64 mejilloes y se obtiee ua media muestral igual a 70 mm. Determia u itervalo de cofiaza para la media poblacioal de la logitud de los mejilloes co u ivel de cofiaza del 99 %. Determia tambié u itervalo de cofiaza para la media poblacioal de la logitud de los mejilloes co u ivel de cofiaza del 95 %. b) Determia el tamaño muestral míimo ecesario para que el error máximo cometido e la estimació de por la media muestral sea meor o igual que 5 mm co u ivel de cofiaza del 95 %. 8. El cosumo mesual de leche (e litros) de los alumos de u determiado colegio se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de media y desviació típica = 3 litros. a) Se toma ua muestra aleatoria simple y se obtiee el itervalo de cofiaza (16; 0) para estimar, co u ivel de cofiaza del 95 %. Calcula la media muestral y el tamaño de la muestra elegida. b) Se toma ua muestra aleatoria simple de tamaño 81. Calcula el error máximo cometido e la estimació de mediate la media muestral co u ivel de cofiaza del 95 %. 9. El cosumo familiar diario de electricidad (e kw) e cierta ciudad se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de media = 6 3 kw y desviació típica 0 9 kw. Se toma ua muestra aleatoria simple de tamaño 100. Calcula: a) La probabilidad de que la media muestral esté compredida etre 6 kw y 6 6 kw. b) El ivel de cofiaza co el que se ha calculado el itervalo de cofiaza (6 1; 6 6) para la media del cosumo familiar diario. 10. Se ha tomado ua muestra aleatoria simple de 9 pacietes y se ha aotado el úmero de días que ha recibido tratamieto para trastoros digestivos que sufre. Los resultados ha sido: 100, 98, 75, 103, 84, 95, 105, 8, 107. Se sabe que la duració, e días, del tratamieto se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de media descoocida y desviació típica 9 días. a) Determia u itervalo de cofiaza co u ivel del 95 % para. b) Qué tamaño míimo debe teer la muestra para que el error máximo cometido e la estimació de la media sea meor de 5 días, co u ivel de cofiaza del 95 %? º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

33 330 Estimació. Itervalos de cofiaza 11. El tiempo de reovació de u teléfoo móvil, expresado e años, se puede aproximar mediate ua distribució ormal co desviació típica 0 años. a) Se toma ua muestra aleatoria simple de 81 usuarios y se obtiee ua media muestral igual a 1 8 años. Determia u itervalo de cofiaza al 95 % para el tiempo medio de reovació de u teléfoo móvil. b) Determia el tamaño muestral míimo ecesario para que el valor absoluto de la diferecia etre la media muestral y la media poblacioal sea meor o igual a 0 03 años co u ivel de cofiaza del 95 %. 1. Se cosidera ua variable aleatoria co distribució ormal de media y desviació típica igual a 1. Se toma ua muestra aleatoria simple de 100 elemetos. a) Calcula la probabilidad de que el valor absoluto de la diferecia etre la media muestral y sea mayor o igual que 4. b) Determia u itervalo de cofiaza del 90 % para ; si la media muestral es igual a La estatura e cetímetros (cm) de los varoes mayores de edad de ua determiada població se puede aproximar por ua variable aleatoria co distribució ormal de media y desviació típica = 15 cm. a) Se toma ua muestra aleatoria simple de 100 idividuos obteiédose ua media muestral x = 174 cm. Determia u itervalo de cofiaza al 95 % para. b) Cuál es el míimo tamaño muestral ecesario para que el error máximo cometido e la estimació de por la media muestral sea meor que 5 cm, co u ivel de cofiaza del 90 %? 14. El míimo tamaño muestral ecesario para estimar la media de ua determiada característica de ua població que puede aproximarse por ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica, co u error máximo de 7 y u ivel de cofiaza del 90 %, supera e 1000 uidades al que se ecesitaría si el ivel de cofiaza fuera del 95 % y el error máximo fuera de 5 3. Expresa los tamaños muestrales e fució de la desviació típica y calcula la desviació típica de la població y los tamaños muestrales respectivos. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

34 331 Estimació. Itervalos de cofiaza AUTOEVALUACIÓN 1. Idica cuál de los siguietes motivos o es por el que se recurre a ua muestra: a) El proceso de medició es destructivo b) La població es muy umerosa c) La població es imposible o difícil de cotrolar d) La població tiee mal carácter. Ua gaadería tiee diez mil ovejas de diferetes razas. Queremos extraer ua muestra de 100 ovejas. Idica el tipo de muestreo más adecuado: a) muestreo aleatorio sistemático b) muestreo aleatorio estratificado c) muestreo o aleatorio d) muestreo aleatorio por coglomerados 3. Idica cuál de las siguietes afirmacioes es falsa e ua distribució N(0, 1): a) P(z < 0) = 1 b) P(z < 0) = 0 5 c) P(z = ) = 0 d) P(z > 0) = De ua població de media 69 y desviació típica 8 se toma ua muestra de tamaño 1. La probabilidad de que u idividuo de la muestra tega u valor mayor que 93 es: a) P(x > 93) = b) P(x > 93) = c) P(x > 93) = d) P(x > 93) = Los parámetros de ua distribució so = 10 y desviació típica = 0. Se extrae ua muestra de 100 idividuos. El valor de P(8 < x < 1) es: a) P(z < 1) = b) c) d) E el cotrol de calidad de ua fábrica de chocolate, se embasa tabletas de 100 gramos co ua desviació típica de gramos. Se toma ua muestra de 50 tabletas. Calcula la probabilidad de que el peso medio de las tabletas sea meor que 99 gramos: a) b) c) d) E el cotrol de calidad de ua evasadora de estuches de jamó, se evasa e estuches de 100 gramos co ua desviació típica de gramos. La probabilidad de que u lote de 400 estuches pese más de gramos es de: a) b) c) d) 0, Determia u itervalo de cofiaza co u ivel de cofiaza del 0 95 de ua N(, 0 1): a) P ( 1'8 X ') 0' 95 b) P ( 1'9 X 1' ) 0' 95 c) P ( 1'8 X ') 0' 99 d) P ( 1 X ) 0' Se ha elegido ua muestra aleatoria simple de 1000 compoetes y e ella se ha obteido que la proporció de defectuosos es del 3 7 %. Determia el itervalo de cofiaza al 99 % para la proporció de compoetes defectuosos que se produce e ua fábrica: a) (0 0371, ) b) (0 058, ) c) (0 016, 0 054) d) (0 0111, 0 0) 10. Cuál debe ser el tamaño de la muestra e ua població de 8 milloes de votates para coocer si tiee la iteció de votar a u determiado partido político co ua probabilidad de acierto del 0 95 y u marge de error iferior a 0 0?: a) 401 b) 1959 c)50 d) 306 º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF

35 33 Estimació. Itervalos de cofiaza ÁREAS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR, N(0, 1) Tabla de la uam: Uiversidad Autóoma de Madrid z 0 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,510 0,5160 0,5199 0,539 0,579 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0, 0,5793 0,583 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,606 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,617 0,655 0,693 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,713 0,7157 0,7190 0,74 0,6 0,757 0,791 0,734 0,7357 0,7389 0,74 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,764 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,785 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,81 0,838 0,864 0,889 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,861 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,903 0,9049 0,9066 0,908 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,916 0,9177 1,4 0,919 0,907 0,9 0,936 0,951 0,965 0,979 0,99 0,9306 0,9319 1,5 0,933 0,9345 0,9357 0,9370 0,938 0,9394 0,9406 0,9418 0,949 0,9441 1,6 0,945 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,955 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,958 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,965 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,976 0,973 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767,0 0,977 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,981 0,9817,1 0,981 0,986 0,9830 0,9834 0,9838 0,984 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857, 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916,4 0,9918 0,990 0,99 0,995 0,997 0,999 0,9931 0,993 0,9934 0,9936,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,995,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,996 0,9963 0,9964,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,997 0,9973 0,9974,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981,9 0,9981 0,998 0,998 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,999 0,999 0,999 0,999 0,9993 0,9993 3, 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 4,0 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. Capítulo 9: Estimació. Itervalos de cofiaza Autora: Raquel Caro Revisores: Leticia Gozález Pascual y Álvaro Valdés Meédez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF