1 Muestreo Tema 1 1. Muestreo. Muestreo aleatorio 3. Tipos de muestreo aleatorio 3.1. Muestreo aleatorio si reposició 3.. Muestreo aleatorio co reposició (muestreo aleatorio simple) 3.3. Muestreo aleatorio e població ifiita (muestreo aleatorio simple) 4. Distribució muestral 4.1. Distribució muestral de la media 4.. Distribució muestral de la proporció
1. Muestreo Població Parámetros (fijos) µ: media σ : variaza π : probabilidad Muestreo Iferecia: Estimació Cotraste Muestra Estadísticos (variables o aleatorios) : media S : variaza P : proporció
3 Muestreo: Proceso de obteció de ua muestra procedete de ua població Muestreo aleatorio: Todos los elemetos de la població tiee la misma probabilidad de aparecer e la muestra. Se deomia muestra aleatoria Ejemplo. Població: Persoa Edad A 1 B C 3 N 3 1+ + 3 µ 3 1 + σ 3 + 3 0,67
4 3. Tipos de muestreo aleatorio 3.1. Muestreo aleatorio si reposició Los elemetos o so devueltos a la població. Sólo puede aparecer ua vez e la muestra. Número de muestras posibles: Ejemplo Població: N3. Elemetos (1,, 3) Muestras co V N, N! ( N )! µ, σ V 0,67 N! ( N )! 3! 1! N, 6 Muestra 1 Prob. 1 1 1,5 0,5 1/6 1 3,0 1 1/6 3 1 1,5 0,5 1/6 4 3,5 0,5 1/6 5 3 1,0 1 1/6 6 3,5 0,5 1/6 S
5 3.. Muestreo aleatorio co reposició Los elemetos so devueltos a la població. Puede aparecer más de ua vez e la muestra. Muestreo aleatorio simple (muestreo aleatorio) Número de muestras posibles: V N N
6 Ejemplo Població: N 3 µ σ 0,67 Muestras: Elemetos (1,, 3) N 3 9 Muestra 1 Prob. 1 1 1 1 0 1/9 1 1,5 0,5 1/9 3 1 3 1 1/9 4 1 1,5 0,5 1/9 5 0 1/9 6 3,5 0,5 1/9 7 3 1 1 1/9 8 3,5 0,5 1/9 9 3 3 3 0 1/9 S
7 3. 3. Muestreo aleatorio e població ifiita Se asume que la població tiee ifiitos elemetos. El úmero de posibles muestras es ifiito. Muestreo aleatorio simple: 1. Co reposició.. E població ifiita.
8 4. Distribució muestral Distribució de u estadístico e todas las posibles muestras de tamaño que es posible extraer de ua població Ejemplo. Muestreo si reposició Muestra 1 Prob. 1 1 1,5 0.5 1/6 1 3,0 1 1/6 3 1 1,5 0,5 1/6 4 3,5 0,5 1/6 5 3 1,0 1 1/6 6 3,5 0,5 1/6 S f ( ) 1,5 /6 /6,5 /6 E ( ) 1,5 + +,5 6 6 6 Var ( ) 0,166 S f ( S ) 0,5 4/6 1 /6 E ( S Var ( ) S ) 0,5 0,15
9 4.1. Distribució muestral de la media Se asume muestreo aleatorio simple Sea ua variable co E ( ) µ y Se cumple que: σ σ. E ( ) µ σ σ Además: Si es ormal o si es grade (aú o siedo ormal) es ormal ( µ, σ / ) Por tato Z es ormal ( 0,1) µ σ /
10 Distribució muestral de la media co σ descoocida E caso de que se descoozca σ calcularse: puede T S S µ / 1 1 µ / Cuya distribució es t co -1 grados de libertad
11 Ejemplo La variable edad de la clase tiee µ0 y σ. Asumiedo que es ormal: a) Tomamos todas las posibles muestras de 4 y calculamos. Obteer () σ E y b) Obteer la probabilidad de ecotrar u sujeto co > c) Obteer la probabilidad de ecotrar ua muestra co >
1 a) σ E ( ) µ σ 4 0 0,5 b) Z µ σ 0 1,41 P ( > ) P( Z > 1,41) 0,0793 c) Z µ σ / / 0 4,83 P ( > ) P( Z >,83) 0,003
13 4.. Distribució muestral de la proporció variables dicotómicas: 1,,..., E ( i ) π Var ( i ) π (1 π ) Ejemplo. El 0% de los pasajeros de u avió tiee fobia. Si se toma u pasajero al azar: E ( i ) π 0, Var ( i ) π (1 π ) 0, (0,8) 0,16 1 + L + Suma: i i 1 Proporció: P / Ejemplo. Si hay tres pasajeros, uo co fobia y dos que o: P 1 + 1 3 + 3 0,33 1
14 El valor esperado y variaza de y P so: E ( ) π E (P) π π (1 σ π (1 π ) σ P π Ejemplo. Etre tres pasajeros, cabe esperar que tega fobia: E ( ) π 3(0,) σ π (1 π ) Proporció co fobia: 3(0,)0,8 0,6 ) 0,48 σ P E ( P) π 0, π (1 π ) 0,(0,8) 3 0,05
15 Muestras pequeñas: es biomial (, π) Muestras grades (>5): es ormal (π, π( 1 π) ) P es ormal (π, π( 1 π) / ) Z Es ormal (0, 1) π π (1 π ) P π π (1 π )/ Ejemplo. La probabilidad de que haya más de 30 co fobia e u avió de 100 pasajeros es: π 30 100(0,) Z,5 π (1 π ) 100(0,)0,8 P (Z,5) 0,006
16 f (x) 0,60 0,50 0,40 0,30 Biomial (3, 0,) E () π 3(0,) 0,6 0,0 0,10 0,00 0 1 3 Var() π(1-π) 3(0,)0,8 0,48 0,0 Biomial (30, 0,) f (x) 0,15 0,10 0,05 0,00 0 5 10 15 0 5 30 E () π 30(0,) 6 Var() π(1-π) 30(0,)0,8 4,8
17 Ejemplo U sujeto respode al azar u exame de 5 pregutas, cada ua co 5 alterativas. a) Obteer y π. b) Obteer E ( 1 ) y σ 1 c) Obteer E (), σ, E (P) y σ P d) Obteer P ( 3) e) Obteer P (P > 0,4)
18 a) 5 π 1/5 0, b) E ( 1 ) π 0, σ 1 π (1-π) 0,(0,8) 0,16 c) E () π 5(0,) 1 σ π(1 π) 5(0,)0,8 0,8 E (P) π 0, σ P π (1 π)/ 0,(0,8) / 5 0,03
19 d) Biomial (5, 0,), P ( 3) 0,993 Z π π (1 π ) 3 1 0,8,4 P ( 3) P (Z,4) 0,9875 e) P / ; 0,4 / 5; Biomial (5, 0,), P ( > ) 1 - P ( ) 1-0,94 0,058 Z P π π (1 π ) / 0,4 0, 0,03 1,3 P (P > 0,4) P (Z > 1,3) 0,0934
0 Formulario del tema 1 Muestreo aleatorio si reposició: V N, N! ( N )! Muestreo aleatorio co reposició: V N N Distribució muestral de la media: µ Z σ / Z ~ Normal (0, 1) T S S µ / 1 T ~ t -1 1 µ /
1 Distribució muestral de la proporció: Z π π (1 π ) P π π (1 π )/
Ejercicios recomedados del libro 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 1.9 1.15 1.16