INTRODUCCIÓN Al abrir el programa se despliega una ventana en la que se localizan varias partes a las que se hará referencia en el guión de trabajo. Estas partes son las que se indican en color rojo en la ilustración: Barra de Menús, Barra de Herramientas, Ventana de Álgebra, Zona Gráfica y Campo de Entrada. En la Barra de Herramientas están los botones desde los que se accede a las Herramientas. Con ayuda de las distintas herramientas se hacen la mayoría de las construcciones geométricas. Numeramos los botones del primero al décimosegundo, según la siguiente ilustración: Para acceder a las herramientas hay que desplegar el botón correspondiente pinchando en la flechita del ángulo inferior derecho. Cada unidad se compone de dos bloques de ejercicios, los Ejercicios Guiados, en los que se explica paso a paso el proceso de construcción, y los Ejercicios Propuestos, que son parecidos a los primeros 1
y que se tendrán que saber hacer consultando los Ejercicios Guiados. Además, al final del cuadernillo hay un resumen donde se describen las herramientas a los que se accede desde cada botón y las opciones del menú contextual del botón derecho del ratón. El dibujo que ilustra cada enunciado debe orientarte para saber cuál es el resultado final de cada Ejercicio Guiado. Los Ejercicios Propuestos debes guardarlos en Mis Documentos con el nombre Ejercicio seguido del número correspondiente para que el profesor pueda corregirlos. Las siguientes instrucciones son comunes a todas las prácticas: a) En la barra de menús elige Vista y desactiva Ejes. b) Al finalizar cada ejercicio y una vez que lo has guardado o que el profesor ha comprobado que está bien hecho, borra todos los objetos de la pantalla; pulsa simultáneamente Ctrl + A para seleccionar todo y borra la selección con la tecla Supr. (Puedes seleccionar todo desde la barra de menús, Edita / Seleccionar todo) 2
Rectas y ángulos EJERCICIOS GUIADOS 1.- Dibuja un punto A en la pantalla. Selecciona la herramienta Puntos - -, en el segundo botón de la Barra de Herramientas y después haz clic en el punto de la Zona Gráfica que desees. Verás que la etiqueta A del punto aparece directamente al dibujar el punto. 2.- Dibuja un segmento PQ en la pantalla. a) Elige Segmento entre dos puntos - - desde el tercer botón de la Barra de Herramientas y luego cliquea en la Zona Gráfica el origen y el extremo del segmento. b) Verás que las etiquetas de los extremos son A y B, y que la etiqueta del segmento es a. Para cambiar la etiqueta A sitúate con el cursor sobre el punto, haz clic en el botón derecho y desde la opción Renombra del menú contextual escribe el nuevo rótulo, P. c) Haz lo mismo con la etiqueta B y cámbiala a Q. 3.- Dibuja un segmento AB y mide su longitud. a) Dibuja un segmento AB - - desde el tercer botón y elige la herramienta Distancia o Longitud - - desde el octavo botón. Haz clic en el origen y en el extremo del segmento y verás en pantalla la longitud de AB. Si el rótulo de la longitud se superpone a la etiqueta del segmento puedes desplazarlo arrastrándolo al lugar que desees. Para mover un objeto debe estar activada la herramienta Elige y Mueve, en el primer botón - - Arrastra uno de los extremos del segmento y verás cómo va cambiando la medida. 3
4.- Dibuja un segmento AB de 3 cm de longitud. a) Elige la herramienta Segmento dados Punto Extremo y Longitud - - desde el tercer botón, haz clic en la Zona Gráfica para marcar el origen y luego introduce la medida del segmento en la ventana abierta. b) Ahora comprueba que su longitud es de 3 cm. Activa Distancia o Longitud - - al que se accede desde el octavo botón, haz clic en el segmento y verás que se visualiza su longitud. Como puedes ver, se puede medir un segmento marcando sus extremos o marcando el segmento. 5.- Dibuja dos rectas paralelas r y s. a) Elige Recta que pasa por Dos Puntos - - (tercer botón) y señala en la ventana gráfica los dos puntos que determinan la recta. b) Activa la herramienta Recta Paralela - -, en el cuarto botón, pincha en la recta dibujada y en el punto (C) por donde quieres que se trace la paralela. c) Cambia las etiquetas de las rectas para que sus rótulos sean r y s. Observa lo que ocurre cuando desplazas alguno de los puntos, A, B ó C. Verás que se modifican las rectas, pero siempre siguen siendo paralelas. Acuérdate que para mover un objeto debe estar activada la herramienta Elige y Mueve, en el primer botón. 6.- Dibuja dos rectas perpendiculares a y b en distintos colores. 4
a) Dibuja la recta a con Recta que pasa por Dos Puntos - -, tercer botón, y la perpendicular con la herramienta Recta Perpendicular - -, en el cuarto botón. Para dibujar ésta, al igual que en el caso de la paralela, debes marcar la recta inicial y el punto por donde se va a trazar la perpendicular. b) Para cambiar el aspecto de un objeto (color, estilo de punto, de una línea, tipo de etiqueta, etc) sólo tienes que marcarlo con el puntero y utilizar las herramientas que aparecen en la ventana gráfica. También puedes hacerlo accediendo a las Propiedades de Objeto para lo que tendrás situarse con el cursor sobre él, hacer clic con el botón derecho elegir la opción indicada. En la ventana emergente verás que hay varias pestañas para modificar el Color, Estilo, etc. Cambia los colores de los puntos y las rectas para que tengan un aspecto similar al de la imagen. Si desplazas alguno de los objetos dibujados, verás que siempre se mantiene la perpendicularidad de las dos rectas. Observa también puedes mover el punto C pero no la recta b y esto ocurre porque depende de las construcciones anteriores. En la Ventana de Álgebra verás que hay objetos libres y objetos dependientes 7.- Dibuja un ángulo agudo y mide su amplitud a) Dibuja dos semirrectas con el mismo origen (el punto A) con la opción Semirrecta que pasa por Dos Puntos - -, a la que se accede desde el tercer botón. b) Con la herramienta Ángulo - -, del octavo botón, mide la amplitud del ángulo haciendo clic en los dos lados que, recuerda, son las semirrectas. Debes pinchar primero en el lado a y después en el lado b. Si lo haces en orden inverso verás que el ángulo medido es el cóncavo, el comprendido entre las semirrectas b y a en sentido contrario a las agujas. Cuando te equivoques puedes deshacer la última operación desde la Barra de Menús, Edita / Deshace. Mueve alguno de los objetos y observa cómo cambia la amplitud y la medida del ángulo. 5
8.- Dibuja un ángulo de 59º. a) Dibuja el primer lado trazando una semirrecta con la opción Semirrecta que pasa por Dos Puntos - -, tercer botón. b) Ahora girarás este lado el ángulo indicado, desde la opción Rota objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado - - en el noveno botón. Activa esta herramienta, haz clic en el lado, después marca el vértice (origen de la semirrecta) y teclea la medida del ángulo (sin borrar el símbolo de los grados º) dejando activado el sentido antihorario. c) Por último, comprueba que la medida del ángulo es 59º con Ángulo - -. Si mueves el primer lado o alguno de los puntos que determinan esta semirrecta (A y B) verás como se mueve el ángulo manteniendo su amplitud de 59º. 9.- Dibuja ángulos suplementarios y ángulos opuestos por el vértice y estudia sus propiedades. a) Dibuja dos rectas no paralelas, r y s. 6
b) Marca el punto intersección de las dos rectas (el punto donde se cortan) con la opción Intersección de Dos Objetos - -, el segundo botón. c) Mide todos los ángulos que se forman marcando en cada caso los tres puntos que lo determinan. En el dibujo, para el ángulo α, debes hacer clic en los puntos B, E, D en este orden; para el ángulo β, los puntos serán D, E, A, en este orden, etc. El orden es muy importante y debe ser el contrario al sentido de giro de las agujas del reloj. Si los rótulos de los ángulos se superponen muévelos de manera que se distingan. d) Comprueba que hay ángulos suplementarios y ángulos iguales. Los ángulos iguales son los opuestos por el vértice. α + β = 180º; α + δ = 180º; β + γ = 180º; γ + δ = 180º. Estas parejas de ángulos son suplementarios α = γ; α y γ son ángulos opuestos por el vértice. δ = β; δ y β son ángulos opuestos por el vértice. Si arrastras cualquiera de los objetos de la construcción verás que se siguen cumpliendo las propiedades de los ángulos suplementarios y opuestos por el vértice. 10.- Dibuja un segmento de 4 cm y traza su mediatriz (1) Construcción según la definición: recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio. a) Dibuja un segmento de 4 cm de longitud (ver Ejercicio 4). b) Mide su longitud, de punto a punto, y comprueba que mide 4 cm (ver Ejercicio 3). c) Oculta la etiqueta del segmento. Para ello sitúate sobre el segmento, pulsa el botón derecho y desactiva Muestra Rótulo. d) Elige Punto Medio o Centro - - desde el segundo botón. e) Observa la parte derecha de la Barra de Herramientas. Se ve la herramienta activa, en negrita, y una indicación de la utilidad de ésta. 7
La herramienta Punto Medio o Centro permite determinar el punto medio entre dos puntos, el punto medio de un segmento o el centro de una circunferencia (o de una cónica, aunque de momento no sepas lo que es una cónica) f) Haz clic sobre el segmento y verás que aparece el punto medio, C. g) Traza la perpendicular al segmento que pasa por su punto medio (ver ejercicio 6). h) Oculta el punto medio desactivando Muestra Objeto, en el menú contextual que se despliega con el botón derecho. i) Cambia de color la mediatriz (rojo) y cambia su nombre (m). (2) Construcción con la herramienta Mediatriz. a) Dibuja un segmento de 4 cm de longitud. b) Mide su longitud para que se vea la etiqueta de 4 cm. c) Oculta la etiqueta del segmento. d) Activa Mediatriz - -, del cuarto botón, y haz clic sobre el segmento. e) Cambia de color la mediatriz (rojo) y cambia su nombre (m). En cualquiera de las dos construcciones mueve los extremos o el propio segmento y verás cómo va cambiando la mediatriz. También puedes comprobar que no puedes mover la mediatriz, porque es un objeto dependiente de los anteriores. 11.- Dibuja un ángulo, traza su bisectriz y comprueba que divide al ángulo en dos iguales. a) Dibuja un ángulo agudo trazando las semirrectas que definen sus lados (Ver Ejercicio 7). b) Traza su Bisectriz - - desde la herramienta con este nombre, en el cuarto botón, cliqueando sobre los puntos B, A y C, en este orden. c) Cambia el color de la bisectriz y trázala en color rojo. d) Mide el ángulo que va desde el lado a hasta la bisectriz c. e) Mide el ángulo que va desde la bisectriz c hasta el lado b. f) Comprueba que los dos ángulos son iguales Mueve cualquiera de los objetos dibujados (salvo la bisectriz, que no podrás por ser dependiente de los otros objetos) y verás que el trazado de la bisectriz se adapta dinámicamente al nuevo dibujo. Observa, además, que la medida de los ángulos también se actualiza a los nuevos objetos. 8
EJERCICIOS PROPUESTOS (Si tienes que responder a una pregunta utiliza la herramienta Inserta Texto - -, desde el décimo botón. Escribe la respuesta en la pantalla de GeoGebra donde esté la construcción correspondiente) a) Dibuja un segmento AB de 4,2 centímetros b) Traza la mediatriz del segmento. c) Marca un punto cualquiera sobre la mediatriz y llámalo C. d) Dibuja los segmentos que unen el punto C con los extremos de AB, es decir, los segmentos CA y CB. e) Mide los segmentos CA y CB. Qué relación hay entre las longitudes de estos segmentos? f) Mueve el punto C y observa cómo cambian las longitudes Qué observas? g) Guarda la construcción en Mis Documentos con el nombre Ejercicio1. 2.- Dibuja un ángulo de 127º, traza su bisectriz y comprueba que la bisectriz divide al ángulo en dos ángulos iguales. Guarda la construcción en Mis Documentos con el nombre Ejercicio2. 1.- 3.- 4.- a) Dibuja una recta que se llame r, con Recta que pasa por Dos Puntos, y un punto que se llame P y que no esté en la recta. b) Dibuja una recta perpendicular a r, que pase por P y que tenga un color distinto a r. c) Dibuja la recta paralela a r que pasa por P y en color diferente de las rectas trazadas. d) Dibuja los segmentos que unen P con los dos puntos de la recta r. e) Mide la distancia de estos segmentos. f) Guarda la construcción en Mis Documentos con el nombre Ejercicio3. b) Dibuja un ángulo recto (90º). c) Traza una semirrecta desde el vértice para dividir el ángulo recto en dos ángulos y mídelos. d) Comprueba que los dos ángulos son complementarios es decir, la suma de sus medidas es de 90º (Ten en cuenta que las medidas no son sexagesimales; el grado se divide en décimas de grado, no en minutos). e) Comprueba que al arrastrar el punto C las medidas de los ángulos cambian, pero su suma permanece constante y es 90º. f) Guarda la construcción en Mis Documentos con el nombre Ejercicio 4. 9
Triángulos y cuadriláteros EJERCICIOS GUIADOS 1. Dibuja un triángulo cuyos lados midan a = 6 cm, b = 5 cm y c= 4 cm a) Dibuja un segmento de longitud 6 cm, herramienta Segmento dados Punto Extremo y Longitud - - en el tercer botón. b) Traza una circunferencia con centro A y de radio 5. Para ello activa la herramienta Circunferencia dados su Centro y Radio - -, haz clic en A y después teclea la medida del radio, es decir, 5. c) De manera parecida, traza un circunferencia de centro B y de radio 4. d) Marca el punto intersección de las dos circunferencias, Intersección de Dos Objetos - -, segundo botón. Una vez seleccionada la herramienta debes hacer clic sobre las dos circunferencias. Verás dos puntos nuevos, C y D. e) Dibuja los segmentos AC y BC, Segmento entre Dos Puntos - -, tercer botón. f) Oculta las dos circunferencias y el punto D. Recuerda que para ocultar un objeto tienes que situar el cursor encima de él, pulsar el botón derecho y desactivar Muestra Objeto g) Mide los tres lados del triángulo, Distancia o Longitud - -, octavo botón. 2. Dibuja un triángulo de lados a = 5,4 cm, b = 3 cm y con el ángulo que forman de 60º. a) Dibuja un segmento de 3 cm. b) Rota este segmento 60º sobre el punto A, Rota Objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado - - en el noveno botón. c) Dibuja un segmento de 5.4 cm cuyo origen sea el punto A. (al introducir la medida debes teclear 5.4, no 5,4) d) Cambia de nombre al punto B y llámalo B. e) Dibuja el segmento BC. f) Oculta el punto B 1. g) Mide los lados AB, AC y el ángulo que forman. 3. Dibuja un triángulo con un lado a = 5 cm y con los ángulos de este lado de 30º y 100º. 10
a) Dibuja un segmento de 5 cm. b) Rota el segmento 30º alrededor del punto A. c) Rota el segmento 100º en sentido horario alrededor del punto B. En este ejemplo el triángulo no queda completo. Falta un poco de trabajo. d) Dibuja la semirrecta de origen A y que pasa por B, herramienta Semirrecta que pasa por Dos Puntos - -, tercer botón. e) Dibuja el punto intersección del segmento girado 100º y la semirrecta, Intersección de Dos Objetos - -, segundo botón. f) Oculta la semirrecta, los segmentos que has dibujado por rotación y los puntos que no sean A, B y C. g) Dibuja los segmentos AC y BC. h) Mide el lado a y los ángulos de este lado. 4. Comprueba que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º. a) Dibuja un triángulo con la herramienta Polígono - - en el quinto botón. Haz clic en los puntos de la Zona Gráfica donde quieras que estén los tres vértices y cierra el triángulo cliqueando otra vez en el primer vértice. 11
b) Mide los tres ángulos del triángulo. Recuerda que no da igual el orden en que señales los lados para medir al ángulo; debes moverte del primer lado al segundo en sentido contrario al de giro de las agujas del reloj. Los ángulos son menores de 180º. c) En el Campo de Entrada, en la parte inferior de la pantalla vas a escribir la fórmula de la suma de los ángulos, α + β + γ. Para escribir los símbolos de las letras griegas de los ángulos utiliza la ventana de símbolos, a la derecha del Campo de Entrada. d) Una vez aceptada la entrada fíjate en la parte izquierda de la pantalla, en la Ventana de Álgebra. El último objeto dependiente es δ = 180º. Si sitúas el cursor sobre este objeto verás la fórmula que representa. La suma de los tres ángulos es 180º. Sitúate sobre cualquier vértice y muévelo. Puedes ver en la Zona Gráfica y en la Ventana de Álgebra que cambian la medida de los ángulos, pero la suma permanece constante: δ = 180º. 5.- Dibuja un rombo cuyas diagonales midan 3 cm y 5 cm respectivamente. a) Dibuja un segmento de 5 cm. b) Dibuja su punto medio, en el segundo botón. c) Dibuja una circunferencia cuyo centro sea el punto medio y de radio 1.5, que es la mitad de la longitud de la diagonal menor. Para dibujarla se activa la herramienta Circunferencia dados su Centro y Radio - -, sexto botón. d) Dibuja una recta perpendicular al segmento AB y que pase por su punto medio, cuarto botón. e) Dibuja los puntos de intersección de la recta perpendicular y la circunferencia, en el segundo botón. Son los puntos D y E. f) Dibuja los lados del rombo uniendo los extremos de la primera diagonal (A y B) con los puntos de intersección de la perpendicular con la circunferencia (D y E). g) Oculta el punto medio de AB, la circunferencia, la recta perpendicular y las etiquetas de los lados. h) Dibuja segunda diagonal. i) Cambia el color para que los cuatro vértices y sus etiquetas tengan el mismo color. j) Mide las dos diagonales. 12
6.- Dibuja un triángulo cualquiera, traza sus mediatrices y dibuja la circunferencia circunscrita. a) Dibuja un triángulo con la herramienta Polígono - - del quinto botón. b) Traza las mediatrices de los tres lados, en el cuarto botón, Mediatriz - -. c) Marca el circuncentro, que es el punto de intersección de las mediatrices, segundo botón, Intersección de Dos Objetos - -. d) Traza la circunferencia de centro el circuncentro y que pasa por uno cualquiera de los vértices. Observa que contiene a los tres vértices. Ahora cambiaremos el aspecto de las mediatrices. e) Sitúa el cursor sobre una mediatriz, pulsa el botón derecho y elige Propiedades. f) En Propiedades / Color puedes elegir el color que quieras para el objeto seleccionado. g) El estilo de la línea lo puedes cambiar en Propiedades / Estilo / Estilo de trazo. Recuerda que también puedes cambiar el aspecto de un objeto desde las herramientas que aparecen en la parte superior de la Ventana Gráfica. Arrastra un vértice cualquiera del triángulo y verás cómo cambian las mediatrices y la circunferencia circunscrita, que siempre contiene a los tres vértices. Dónde está el centro de la circunferencia cuando el triángulo es acutángulo? Dónde está el centro de la circunferencia cuando el triángulo es obtusángulo? 7.- Dibuja un triángulo cualquiera, traza sus bisectrices y dibuja la circunferencia inscrita. 13
a) Dibuja un triángulo con Polígono - - del quinto botón. b) Traza las bisectrices interiores de los tres ángulos, desde el cuarto botón, Bisectriz - -. Debes hacer clic en los tres vértices en sentido de giro contrario al de las agujas del reloj y siendo el segundo el del ángulo de la bisectriz c) Marca el incentro, que es el punto de intersección de las bisectrices. d) Dibuja la recta perpendicular a uno de los lados y que pasa por el incentro con Recta Perpendicular - -, en el cuarto botón. e) Marca el punto intersección de esta recta y el lado y después oculta la recta. f) Traza la circunferencia cuyo centro es el incentro y que pasa el punto intersección del apartado f). g) Modifica el color y el trazado de las bisectrices. Arrastra un vértice cualquiera del triángulo y verás cómo cambian las bisectrices y la circunferencia inscrita. Observa si hay algún cambio cuando el triángulo es obtusángulo. 14
EJERCICIOS PROPUESTOS (guarda cada construcción con el nombre Ejercicio seguido de su número. Las respuestas a las preguntas las insertas en la construcción del ejercicio correspondiente con la herramienta Inserta Texto - -, desde el décimo segundo botón) 5.- Dibuja un triángulo cuyos lados midan a = 7 cm, b = 3 cm y c = 2 cm. Qué ocurre? Por qué? 6.- Dibuja un triángulo, traza las tres medianas y marca el baricentro. 7.- Dibuja un triángulo cualquiera, traza sus alturas y marca el ortocentro. 8.- Dibuja un rectángulo de lados 3.6 cm y 2.3 cm respectivamente. 9.- Dibuja un trapecio y mide sus lados. 10.- Dibuja un romboide de lados de 3.1 cm, 2.4 cm y con el ángulo que forman de 50º. 11- a) Dibuja un triángulo con un lado de 5,6 cm y con los ángulos de este lado de 70º y 30º. b) Dibuja sus bisectrices. c) Traza la circunferencia inscrita. 12.- a) Dibuja un triángulo cuyos lados midan a = 5,2 cm, b = 4,3 cm y c = 6,1 cm. b) Dibuja sus mediatrices y marca el circuncentro. c) Traza la circunferencia circunscrita. 13.- a) Dibuja un triángulo rectángulo cualquiera. b) Dibuja las mediatrices. Dónde se cortan las mediatrices? c) Borra las mediatrices. Para borrar un objeto puedes hacerlo desde la opción Borra del menú contextual del botón derecho. También puedes marcar el objeto con Elige y Mueve - - del primer botón y una vez marcado teclear Supr. d) Traza las tres alturas. Dónde se cortan? 15
Polígonos y circunferencias. Simetrías EJERCICIOS GUIADOS 1.- Dibuja un polígono irregular de 6 lados y mide las longitudes de sus lados. a) Dibuja el polígono desde Polígono - -, en el quinto botón. Para cerrar el polígono después de dibujar el sexto vértice debes marcar de nuevo el primer vértice. b) Mide la longitud de sus lados con la herramienta Distancia o Longitud - -. Arrastra cualquier vértice y observa cómo cambia la forma del polígono y las longitudes de los lados. 2.- Dibuja un hexágono regular y traza sus elementos: lado, vértice, centro, ángulo interior y ángulo central, radio y apotema. a) Dibuja el polígono regular de seis lados desde Polígono Regular - -, quinto botón. Debes dibujar primero dos puntos, que van a determinar la longitud del lado, y luego introducir el número de vértices (6) en la ventana de Puntos. b) Para dibujar el centro date cuenta de que el centro del polígono es el punto medio de algunos vértices. Dibuja el centro con la herramienta Punto Medio o Centro eligiendo dos vértices adecuados. c) Para la apotema tienes que dibujar el punto medio de un lado y después trazar el segmento que une este punto con el centro. d) Traza dos radios consecutivos, el ángulo central y el ángulo interior. e) Oculta los objetos o los rótulos de objetos que no tengan que verse. f) Puedes cambiar los nombres de los objetos desde la opción Renombra, en el menú contextual al que se accede con el botón derecho del ratón. g) Cambia los colores de algunos elementos para que se distingan mejor unos de otros. Si arrastras el primer vértice que has dibujado verás que la figura cambia de tamaño, pero sus elementos permanecen dibujados, así como los rótulos. 16
3.- Dibuja un octógono regular de lado 2 cm. a) Dibuja un segmento de 2 cm. b) Con Polígono Regular dibuja el octógono marcando los dos primeros puntos en los extremos del segmento dibujado previamente. c) Mide la longitud de un lado. d) Oculta los objetos y los rótulos que no se tengan que ver. 4.- Dibuja una circunferencia de 1.5 centímetros de radio y en ella traza el centro, el radio, una cuerda y un arco. a) Dibuja la circunferencia de 1.5 centímetros de radio desde Circunferencia dados su Centro y Radio - -, en el sexto botón. b) Dibuja el radio trazando un segmento que una el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. c) Mide el radio. d) Dibuja una cuerda trazando un segmento que una dos puntos de la circunferencia. e) El arco lo puedes dibujar con Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos - -, en el sexto botón, marcando tres puntos de la circunferencia. f) Renombra los objetos y cambia sus colores para que se distingan los distintos elementos. g) Oculta los objetos o los rótulos que no den ninguna información. 5.- Dibuja un sector circular en una circunferencia de radio 1.8 cm. 17
a) Dibuja una circunferencia de radio 1.8 cm desde la opción Circunferencia dados su Centro y Radio - -, del sexto botón. b) Para dibujar el sector utiliza Sector Circular con Centro entre Dos Puntos - - también en el sexto botón. Tienes que pinchar en el centro y en dos puntos de la circunferencia. c) Mide el radio midiendo la distancia del centro a un punto de la circunferencia. d) Mide el ángulo del sector circular dibujado. En este caso debes hacer clic sobre los tres puntos con los que has dibujado el sector, siendo el segundo el centro y moviéndote en sentido contrario al de giro de las agujas del reloj. Si arrastras alguno de los puntos de la circunferencia verás como cambia el sector y su medida. 6.- Dibuja un triángulo y su simétrico respecto de una recta. a) Dibuja un triángulo cualquiera con Polígono. b) Dibuja una recta que no corte al triángulo. c) Para dibujar el triángulo simétrico respecto a la recta utilizarás Refleja Objeto en Recta - -, en el noveno botón. Debes señalar el objeto que vas a reflejar y después el eje de simetría, que es la recta. d) Mide los lados de los dos triángulos y comprueba que los dos triángulos son iguales. Si mueves algún vértice del triángulo, el triángulo completo o el eje de simetría verás cómo cambian las figuras, que seguirán siendo simétricas. 18
EJERCICIOS PROPUESTOS 14.- a) Dibuja un pentágono regular de 1.7 cm de lado, su centro y dos radios consecutivos. b) Mide uno de sus ángulos interiores. c) Dibuja y mide un ángulo central y comprueba que su amplitud es igual a 360º 5. 15.- Dibuja un triángulo equilátero de 2 cm de lado y comprueba que sus ángulos miden 60º. 16.- a) Dibuja un cuadrado de 3 cm de lado. b) Mide sus ángulos y comprueba que son ángulos rectos. c) Dibuja sus dos diagonales. 17.- Dibuja un sector circular con el radio de 1.9 cm y el ángulo de 70º. 18.- Dibuja una circunferencia de 2.1 cm de radio y tres rectas, una secante, otra exterior y otra tangente. 19.- a) Dibuja dos circunferencias exteriores. b) Mide el radio de las dos circunferencias. c) Mide la distancia entre los centros de las dos circunferencias. d) Qué es mayor, la suma de las longitudes de los radios o la distancia entre los centros? 20.- a) Dibuja una circunferencia de radio 1 cm. b) A 1.5 cm del centro dibuja otra circunferencia de radio 2.5 cm. c) Cuál es la posición de las dos circunferencias? 21.- a) Dibuja una circunferencia de radio 1.2 cm. b) A 2 cm del centro dibuja otra circunferencia de radio 1.5 cm. c) Cuál es la posición de las dos circunferencias? 22.- a) Dibuja un triángulo inscrito en una circunferencia de manera que un lado sea un diámetro. b) Mide el ángulo opuesto al diámetro. c) Desplaza el vértice opuesto al diámetro. Cambia la medida de este ángulo? 23.- a) Dibuja un pentágono convexo que no sea regular. b) Dibuja una recta que contenga a uno de los lados. c) Dibuja el pentágono simétrico al dibujado respecto a la recta trazada. d) Mide los ángulos de los dos pentágonos y comprueba que son iguales dos a dos. 19
Perímetros y Áreas EJERCICIOS GUIADOS 1.- Dibuja un triángulo cualquiera y calcula su perímetro. a) Dibuja un triángulo cualquiera. Primero vas a hacer el cálculo sumando las longitudes de los lados. Sigue las instrucciones en el orden en el que se describen. b) Sitúate en el Campo de Entrada, escribe a + b + c y acepta la entrada pulsando en Intro. Observa en la Ventana de Álgebra que aparece un nuevo objeto dependiente (d en el dibujo) y su valor numérico. Al situar el cursor sobre este objeto verás que, momentáneamente, se despliega la fórmula que representa. Ahora el cálculo lo harás con la herramienta que dispone GeoGebra. c) Activa Distancia o Longitud, en el octavo botón, y haz clic en el interior del triángulo. Verás en pantalla el rótulo con el perímetro. En el dibujo se ve Perímetro ABC = 25.94. Este objeto también se ve en la Ventana de Álgebra como perímetropolígono1 y su valor. d) Observa que el valor de perímetropolígono1 y el de la fórmula (d en el dibujo) coinciden. Arrastra cualquiera de los elementos del triángulo y fíjate que al cambiar sus dimensiones también lo hace su perímetro. Observa que el cálculo de la fórmula (d) y el de la herramienta Distancia o Longitud (perímetropolígono1) coinciden. 2.- Dibuja un triángulo acutángulo y calcula su área. 20
a) Dibuja un triángulo acutángulo. Primero vas a calcular el área aplicando la fórmula: es la altura. b a A =, donde b es la base del triángulo, y a 2 b) Dibuja la recta que pasa por los vértices A y B. c) Dibuja la recta perpendicular a la anterior que pasa por el vértice opuesto (C). d) Marca el punto de intersección de las dos rectas dibujadas (punto D en el dibujo). e) Oculta la recta perpendicular. f) Dibuja el segmento de la altura ( DC en el dibujo). g) Mide la base ( AB ) y la altura. Ahora introduce la fórmula del área en el Campo de Entrada. Sigue las instrucciones y el orden. h) En el Campo de Entrada escribe (c*f)/2 y acepta la entrada (c es la base y f la altura de este lado). Al aceptar la entrada verás en la Ventana de Álgebra una nueva letra con un valor numérico. Si sitúas el cursor sobre la letra verás fugazmente la fórmula que representa. En el dibujo es la letra g. Ahora calcularás el área del triángulo con Área, - -, en el octavo botón. i) Activa Área, sitúate sobre el triángulo y haz clic. Verás en pantalla un rótulo con el área. En la ilustración se puede ver Area ABC = 18.61. Observa que el valor del área coincide con la fórmula guardada como letra g. Si arrastras cualquiera de los elementos del triángulo verás que cambian sus dimensiones y que el área, calculada de las dos maneras, coincide. En la Ventana de Álgebra la fórmula corresponde a la letra g y el cálculo con Área se ve como polígono1. 3.- Dibuja un pentágono regular y calcula su área. Como en los ejercicios anteriores, el cálculo del área lo harás de dos formas: con la fórmula del área de un polígono regular y con Área de GeoGebra. a) Dibuja el pentágono regular. 21
p a La fórmula del área de un polígono regular es A =, donde p es el perímetro y a la apotema. 2 Como el polígono es regular el perímetro es igual al número de lados (en el pentágono son 5 lados) multiplicado por la longitud de uno de ellos. Para trazar la apotema tienes que determinar el centro del polígono. Puedes hacerlo trazando rectas perpendiculares a dos lados que pasen por el vértice opuesto y determinando el punto de intersección. b) Dibuja la recta perpendicular al lado a que pasa por el vértice opuesto (D) y la perpendicular a b que pasa por E. c) Marca el punto de intersección de las dos rectas, Intersección de Dos Objetos - -, desde el segundo botón. d) Oculta las dos rectas. e) Marca el punto medio del segmento a, desde el segundo botón. f) Traza la apotema uniendo los puntos F y G. Introducción de la fórmula del área. g) En el Campo de Entrada vas a escribir la fórmula del área. El perímetro es cinco veces un lado, por ejemplo, a, y la apotema es h. Escribe (5*a*h)/2 y acepta con Intro. h) Observa que en la Ventana de Álgebra hay una nueva letra con su valor numérico actual. Recuerda que situándote sobre la letra se ve, durante unos instantes, la fórmula que representa esta letra. i) Calcula el área del pentágono con Área. j) Comprueba que ambos cálculos coinciden. Al igual que en los ejercicios anteriores, puedes comprobar que arrastrando los vértices A ó B se modifica el tamaño del pentágono y también el cálculo de su área realizado por los dos procedimientos. 4.- Dibuja una circunferencia de radio 1.3 cm, calcula su longitud y el área del círculo interior. º circunferencia con la opción Distancia o Longitud. a) Dibuja una circunferencia de radio 1.3, Circunferencia dados su Centro y Radio - -, sexto botón. b) Dibuja un radio y mídelo. c) Calcula la longitud de la Ahora cambiarás el rótulo, pues el que se ve es PerímetroCónica = 8.17. 22
d) Sitúate sobre el rótulo, pulsa el botón derecho y ve a Propiedades. En Texto, borra el texto PerímetroCónica antes del signo de igualdad y escribe Longitud sin cambiar nada más; haz clic en OK después en Cierra. e) Abre Área y calcula la superficie del círculo. Para acabar vas a dar color y sombreado a la figura. f) Con el cursor sobre la circunferencia, pulsa el botón derecho y elige Propiedades. En Color elige el que te guste y en Estilo desplaza el botón de Sombreado hasta el 25. 5.- Dibuja un sector circular de 120º y comprueba que su área es un tercio del área del círculo. a) Dibuja una circunferencia cualquiera con Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos, - - en el sexto botón. Debes marcar primero el centro y luego un punto de la circunferencia. b) Dibuja el radio ( AB ) uniendo los dos puntos con los que has trazado la circunferencia. c) Gira 120º en sentido antihorario el segmento AB. Debes utilizar Rota Objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado - - en el noveno botón, marcando el segmento, el centro y tecleando el ángulo. d) Mide el ángulo del sector. e) Oculta los objetos que no den información. f) Con Área, mide el área del círculo. g) Dibuja el sector sobre el círculo. En el sexto botón, elige Sector Circular con Centro entre Dos Puntos - -. h) Con Área mide la superficie del sector. Para hacerlo debes hacer clic sobre un punto interior del sector circular. i) El ángulo del sector (120º) es una tercera parte del ángulo completo del círculo (360º) por lo que el área del sector es una tercera parte del área del círculo. Compruébalo. 23
Si desplazas uno de los puntos, A ó B, que son los objetos libres a partir de los que se hace toda la construcción, podrás observar que el ángulo del sector permanece constante (120º) y que cambian la medida del área del sector y del círculo y siempre se cumple que el área de la primera figura es un tercio del área de la segunda. 6.- Dibuja una corona circular y calcula su área. (Una corona circular es el recinto comprendido entre dos círculos concéntricos) a) Dibuja dos circunferencias con el mismo centro. b) Dibuja los radios de las dos circunferencias y mídelos. c) Calcula el área de los dos círculos. Observa que el valor del área se ve en la Zona Gráfica y en la Ventana de Álgebra. El área de la corona es la diferencia entre el área del círculo mayor y la del más pequeño. Ahora escribirás la fórmula en el Campo de Entrada. d) Escribe areac aread en el Campo de Entrada y pulsa Intro. e) En la Ventana de Álgebra se ve una nueva letra que corresponde a la fórmula escrita y su valor numérico. En la ilustración se ha cambiado el nombre a corona. Si te sitúas sobre la letra verás brevemente la fórmula que contiene. Arrastrando los puntos que han definido las circunferencias concéntricas cambian sus dimensiones y también los valores de sus áreas. En la Ventana de Álgebra puedes ver que también cambia el valor del área de la corona. 24
EJERCICIOS PROPUESTOS 24.- Dibuja un cuadrado y calcula su perímetro y su área. 25.- Dibuja un rectángulo de lados 3 cm y 2.5 cm y comprueba que su área es 7,5 cm 2 y su perímetro 11 cm. 26.- a) Dibuja un rombo cuyas diagonales midan 2.5 cm y 1.6 cm, respectivamente. b) Mide la longitud de sus lados. c) Calcula su perímetro. d) Calcula su área. 27.- Dibuja un heptágono irregular, mide su perímetro y su área. 28.- Dibuja un trapecio y calcula su perímetro y su área. 29.- Dibuja un polígono irregular de 9 lados y calcula su perímetro y su área. 30.- a) Dibuja un trapezoide. b) Traza una diagonal y dibuja sobre el trapezoide los dos triángulos en que descompone la diagonal al cuadrilátero. c) Calcula el área de los dos triángulos. d) Calcula el área del trapezoide. e) Comprueba, introduciendo una fórmula, que el área del trapezoide es igual a la suma de las áreas de los dos triángulos. 31.- a) Dibuja una circunferencia cualquiera, mide su radio, su perímetro y el área del círculo. b) Aplica las fórmulas correspondientes para calcular la longitud de la circunferencia, el área del círculo (ayúdate de la calculadora) y comprueba que los valores que obtienes coinciden con los que da GeoGebra. 32.- a) Dibuja una circunferencia de 1.3 cm de radio. b) Dibuja un sector circular de 45º. c) Comprueba que el área del sector es 1 8 parte del área del círculo (45º es 1 8 parte de 360º). 33.- a) Dibuja una circunferencia cualquiera y un arco de 270º. b) Comprueba que la longitud del arco es 3 4 partes de la longitud de la circunferencia completa (270º es 3 4 partes de 360º). Indicación: la construcción es muy similar a la del Ejercicio Guiado 5, pero en este caso debes utilizar Arco de circunferencia en lugar de Sector circular. 25
Botones de la Barra de Herramientas 1º Botón 5º Botón 2º Botón 6º Botón 3º Botón 7º Botón 4º Botón 8º Botón 26
9º Botón 11º Botón 12º Botón 10º Botón Menú contextual del botón derecho del ratón 27