Unidad 5. a ransformada de aplace Inroducción. En nuesro curso de cálculo elemenal aprendimos que la derivación y la inegración son ransformadas, es decir, que esas operaciones ransforman una función en ora. Esas ransformadas poseen la propiedad de linealidad, de que la ransformada de una combinación lineal de funciones; es una combinación lineal de las ransformadas. En ese capíulo analizaremos un ipo especial de ransformada inegral llamada ransformada de aplace. Además de la propiedad de linealidad, la ransformada de aplace iene oras propiedades muy imporanes para resolver problemas con valores iniciales. Es necesario revisar los concepos de las inegrales impropias que aprendimos en nuesro curso de cálculo II, para ener un buen desempeño en ese ema. Es imporane ambién, revisar nuesro conocimieno de la écnica de fracciones parciales que hemos esudiado en el álgebra lineal. 5. Definición. Transformada de aplace Sea f una función definida para, la ransformada de aplace de f() se define como (f())= e -s f ( ) d ~ () siempre que converja la inegral. Cuando la inegral () converge, el resulado es una función de s. a ransformada de aplace se puede escribir ambién como F(s). Una de las principales propiedades de la ransformada de aplace es la linealidad. Eso nos dice que la ransformada de aplace un operador lineal. inealidad de la ransformada Teorema 5.. Sean f, f y f funciones cuyas ransformadas de aplace exisen para s > α y sea c una consane. Enonces, para s > α, f f f f cf c f ~ (3) ~ () Prof. Gil Sandro Gómez.
Condiciones suficienes para la exisencia de la ransformada a inegral que define la ransformada de aplace no iene que converger. Un ejemplo concreo son las funciones f = / la cual decrece rápidamene cuando, de forma similar no exise una ransformada para f = e que crece de manera veloz cuando. as condiciones suficienes que f() son que f sea coninua por pares en garanizan la exisencia de, y que f sea de orden exponencial para > T. Coninuidad por pares Definición. Una función f() es coninua por pares en un inervalo finio [a, b] si f() es coninua en cada puno de [a, b] excepo en un número finio de punos donde f() iene una disconinuidad de salo. Una función f() es coninua por pares en [, ) si f() es coninua por pares en [, N] para odo N >. Orden exponencial Definición. Una función f() es de orden exponencial β si exisen consanes posiivas T y M al que f() Me β, para oda T. Ejemplo. Deermine si la función dada es de orden exponencial en, ) f = Vamos a realizar un análisis gráfico para deerminar si la función dada es de orden exponencial o no. y x Prof. Gil Sandro Gómez.
a gráfica azul represena a f = y la roja la de g = e Para M = y β =. Como podemos observar, g() crece más rápido que f, por ano es de orden exponencial. Teorema 5. Condiciones suficienes para la exisencia de la ransformada Si f() es coninua por pares en [, ) y de orden exponencial β, enonces () f exise para s >. Teorema 5.3. Comporamieno de F(s) cuando s. Si f es coninua por pares en (, ) y de orden exponencial y F s = f(), enonces lim Fs ( ) s. Tabla 5. Transformadas de aplace de algunas funciones básicas f() F(s) K s, s > e a s a, s > a n!, s > sn+ b s + b, s > s s + b, s > n! (s a) n+, s > a k, k = cons. n, n =,, sen(b) cos (b) e a n e a sen(b) e a cos(b) b (s a) + b, s a (s a) + b, s > a s > a 5. Propiedades de la ransformada de aplace No siempre es conveniene usar la definición para hallar la ransformada de aplace de f(). Como es sabido por odos, para deerminar la ransformada de aplace de una función es necesario resolver una inegral por pares, que en algunas ocasiones resula un poco edioso. Analizaremos algunas propiedades de la Transformada de aplace que agilizan el cálculo. Esas Prof. Gil Sandro Gómez. 3
propiedades nos permiirán aplicar la ransformada de aplace para resolver problemas con condiciones iniciales. Teorema 5.4 Traslación en el eje S Si la ransformada de aplace para s > α + a. f ( ) F( s) exise para s > α, enonces e a f ( ) F( s a) ~ () Teorema 5.5 Transformada de aplace de la derivada Sea f() coninua en [, ) y f () coninua por pares en [, ), ambas de orden exponencial α. Enonces, para s > α, f '( ) s f ( ) f () ~ (). Teorema 5.6 Transformada de aplace de derivadas en orden superior Sean f, f,, f n () coninuas en [, ) y sea f n () coninuas por pares en [, ), con odas esas funciones de orden exponencial α. Enonces, para s > α, ( n ) n n ( ) ( ) n () n f s f s f s f '()... f () ~ (3). os eoremas 5.5 y 5.6 nos muesran la venaja que iene uilizar la ransformada de aplace, porque una ecuación diferencial, la ransformamos en una ecuación algebraica basane simple. Teorema 5.7 Derivadas de la Transformada de aplace y suponga que f() es coninua por pares en [, ) y de Sea F( s) f ( ) orden exponencial α. Enonces, para s > α, n ( n) n d F() s n F( s) f ( ) ( ) ~ (4). ds Prof. Gil Sandro Gómez. 4
Tabla 5. Propiedades de la ransformada de aplace ( f g) ( f ) ( g) ( cf ) c( f ) para cualquier consane c. e a f ( ) F( s a) f '( ) s f ( ) f () f ''( ) s f ( ) sf () f '(). ( n ) n n ( ) ( ) n () '()... ( n f s f s f s f f ) (). d ( ) ( ) ( ) ds n ( n) n f F s n 5.3 a ransformada inversa de aplace Definición. Si F(s) es la ransformada de aplace de una función f(), es decir, f ( ) F( s), decimos enonces que f() es la ransformada de aplace inversa de F(s) y se escribe f ( ) F( s). Teorema 5.8 inealidad de la ransformada inversa Si F, F y consane. Enonces F F F F F cf c F ~ (). exisen y son coninuas en [, ) y sea c cualquier ~ (), Ejemplo. Encuenre la función f() cuya ransformada de aplace es, s s s Primero apliquemos el eorema 5.8 y luego el concepo de ransformada inversa de aplace. s s s s s s, enonces f = + e Prof. Gil Sandro Gómez. 5
5.4 Solución de Problemas con Valores Iniciales Hasa ese momeno habíamos raado el ema de la ransformada de aplace, pero odo eso era para llegar al objeivo principal, que es, resolver ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales sin ener que enconrar primero la solución general como hacíamos en el inicio de nuesro curso. Oras aplicaciones que podemos hacer de la ransformada de aplace es deerminar la solución de una ecuación diferencial con coeficienes variables de una forma sencilla, así como resolver ecuaciones inegrales, sisemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales parciales. Méodo de ransformada de aplace para resolver ecuaciones diferenciales con valores iniciales. Para resolver una ecuación diferencial con condiciones iniciales realizamos los siguienes pasos: a. Aplique la ransformada de aplace en ambos lados de la ecuación. b. Use las propiedades de la ransformada de aplace y las condiciones iniciales para obener una ecuación para la ransformada de aplace de la solución y luego despeje la ransformada en esa ecuación. c. Deermine la ransformada de aplace de la solución, buscándola en una abla o usando un méodo apropiado (como fracciones parciales) juno con la abla. Ejemplo 3. Uilizando ransformada de aplace resuelva el problema con condiciones iniciales. y 4y = 6e 3 3e, y =, y = ~() Apliquemos la ransformada de aplace en ambos lados de la ecuación dada en (). 3 y y e e '' 4 ' 6 3 ~ (3) s F s Sf f 4 sf s f() = 6 s 3 3 s + ~(4) Susiuimos las condiciones iniciales en (4): s F s S + 4SF s + 4 = 6 s 3 3 s + ~(5) Prof. Gil Sandro Gómez. 6
Reagrupando los érminos en (5) s F s 4SF s = 6 s 3 3 s + 5 + S s F s 4SF s = 6 S + 3 S 3 5 S S 3 + S S S 3 S S 3 Sacamos a F s facor común: Despejamos a F s de (6): s F s 4SF s = S3 7S + S + 5 S S 3 F(s)(S 4S) = S3 7S + S + 5 S ~(6) S 3 F(s) = S3 7S + S + 5 (S 4S)(S S 3) ~(7) De nuesro conocimieno de Álgebra hacemos uso de las fracciones parciales S 3 7S + S + 5 (S 4S)(S S 3) = S3 7S + S + 5 S S 4 (S 3)(S + ) F s = S3 7S + S + 5 S S 4 (S 3)(S + ) = A S + Muliplicamos (7) por S S 4 (S 3)(S + ): B S 4 + S 3 7S + S + 5 = C S 3 + D S + ~(8) A S 4 S 3 S + + BS S 3 S + + CS S 4 S + + DS S 4 S 3 ~(9) Desarrollando (9), enemos: S 3 7S + S + 5 = S 3 A 6S A + 5SA + A + S 3 B S B 3SB +CS 3 3S C 4SC + S 3 D 7S D + SD Aplicando la eoría de la igualdad enre polinomios obenemos que: A + B + C + D = 6A + B + 3C + 7D = 7 5A 3B 4C + D = A = 5 ~() Resolviendo (), enconramos los valores de A, B, C y D, donde: Prof. Gil Sandro Gómez. 7
Susiuyendo () en (8): A = 5 4, B = 7, C = 3 4, D = 3 ~() F s = 5 4S + 7 (S 4) 3 4(S 3) + 3 (S + ) ~() Haciendo uso del crierio de la inversa de la ransformada de aplace en (): F(s) = 5 4 S + 7 Tenemos que la solución es: S 4 3 4 y = 5 4 + 7 e4 3 4 e3 + 3 e S 3 + 3 S + Hemos podido observar lo úil que resula usar ransformada de aplace para enconrar la solución de un problema con condiciones iniciales. 5. 5 a ransformada de aplace y funciones especiales Transformada de inegrales En algunas aplicaciones de ingeniería, en comporamieno de un sisema puede esar represenado por una ecuación inegro-diferencial, que es una ecuación que coniene ano derivadas como inegrales de una incógnia variable. Un caso recurrene es cuando esamos analizando un circuio elécrico en el dominio del iempo; en cuyo caso nos enfrenamos a ecuaciones ales como: di d + Ri + C i τ dτ = E ~() Para resolver ese ipo de ecuaciones, es necesario poder obener la ransformada de aplace de inegrales ales como Asumamos f τ dτ. g = f τ dτ~() de ahí que: g = f ~ 4, g = ~(5) Aplicando ransformada de aplace en (4): Prof. Gil Sandro Gómez. 8
g = f ~(6) Eso nos da: SG s g = F s ~(7) Aplicando las condiciones iniciales en (7) y despejando a G s : G s = S F s = f ~(8) S De la ecuación (8) podemos concluir que: { f τ dτ} = f = F s S S Coninuamos analizando oras funciones especiales que surgen frecuenemene cuando usamos el méodo de la ransformada de aplace a problemas de ingeniería. Enre esas funciones endremos la que inrodujo el ingeniero elécrico anglosajón Oliver Heaviside, que la denominó función escalón. Función escalón uniario Definición. a función escalón uniario H() esá dada por H =, <,, >. Transformada de aplace de la función escalón uniario Por definición de ransformada de aplace, la ransformada de H a, a, esá dada por H( a) e s sa Demosración: s s s H ( a) H ( a) e d () e d () e d a s b sb sa s( ) sa sa b s e e e e e e lim () e d lim lim b a b s b s s s s s En el caso de a a a Prof. Gil Sandro Gómez. 9
H ( a) s Ejemplo 4. Escriba a f() en érminos de funciones escalón uniario 3 4 f ( ) 3 4 6 5 6 Escribiendo a f() usando el concepo de función escalón uniario, enemos que: f = 3 H + 3 3 H 4 + 5 + 3 H 6 f = 3 H + 3 3 H 4 + 8 H 6 ~() Teorema 5.9 Teorema de Traslación en Suponga que F s = f() posiiva, enonces exise para S > α. Si a es una consane f a H( a) = e as F s, y recíprocamene, una ransformada inversa de aplace de e as F(s) esá dada e as F(s) = f a H a. A ese eorema, ambién se le llama segundo eorema de raslación. Ejemplo 5. Encuenre la ransformada de aplace. 5. cos u( ) Como podemos observar, la expresión (5) no se ajusa al formao del segundo eorema de raslación, por al moivo enemos que acomodar la expresión para poder aplicar el eorema. Hagamos la siguiene conversión: Prof. Gil Sandro Gómez.
co cos( ) cos ( ) Usando la idenidad rigonomérica del coseno de la suma de dos ángulos, enemos que: co cos( ) cos ( ) cos ( ) cos( )cos sen( ) sen cos( )() sen( )() cos( ) cos( ) ~ (6) Usando (6), podemos reescribir la expresión: cos( ) u( ) ~ (7) Observamos que la expresión (7) si se ajusa al segundo eorema de raslación. Haciendo uso de la abla de la ransformada de aplace: cos( ) s s 4. a solución final viene expresada como: s Función periódica s e 4 Anes habíamos calculado la ransformada de aplace para funciones periódicas como cosb y senb, que son funciones coninuas suaves (diferenciables). Pero, en muchas aplicaciones de ingeniería, frecuenemene nos enconramos con funciones periódicas que ienen un comporamieno disconinuo. Podemos ver algunos ejemplos como los que se muesran a coninuación: Prof. Gil Sandro Gómez.
Esas funciones pueden represenarse como series infinias de érminos que involucran funciones escalonadas; una vez expresada en al forma, podemos usar ese resulado para obener la ransformada de aplace. Definición. Una función f() es periódica con período T si para odo en el dominio de f. f + T = f() Teorema 5.. Transformada de una función periódica Si f iene período T y es coninua en, T, enonces s F () () T s e f d f ( ). st st e e En érminos de la función escalón uniario de Heaviside, el eorema 5. puede ser expresado de la siguiene manera: Sea f(), definida para odo >, es una función periódica con período T f T = f (u u T ) T enonces f () f () T st e. Ejemplo 6. Halle la ransformada de aplace de la función dada, siendo ésa periódica. 6. f =, < <, y f iene período. Aplicando el eorema 5. en su segunda versión: f ( ) ( ) ( ) ( ) T f u u T Prof. Gil Sandro Gómez.
T f ( ) u( ) u( ) ~ (7) Desarrollamos (7): f ( ) u( ) u( ) u( ) ( ) u( ) T f ( ) u( ) ( ) u( ) u( ) ( ) u( ) u( ) ~ (8) T Como la función dada es periódica enonces, s u u u e ( ) ( ) ( ) ( ) s s s s e se e e s s e s s s e s e se s s ( e ) s s Función gamma Definición. a función gamma se define como Γ = e u u du, >. Una propiedad imporane de la función gamma es la relación recursiva Γ + = Γ. Para Z, digamos = n, enonces la relación recursiva puede aplicar varias veces para obener Γ n + = nγ n = n n Γ n = = n n n Γ De la definición enemos que: Γ n + = n!. Prof. Gil Sandro Gómez. 3
5.6 Convolución, Función Impulso y Dela de Dirac Definición. Sea f() y g() funciones coninuas por pares en [, ). a convolución de f() y g(), se denoa por f g, se define como f g = f τ g τ dτ. Propiedades de la convolución Teorema 5.. Sean f, g() y () coninuas por pares en [, ). Enonces. f g = g f,. f g + = f g + f, 3. f g = f g, 4. f =. Teorema de Convolución Teorema 5.. f y g() coninuas por pares en [, ) y de orden exponencial α; sean F s = f() y G s = g(). Enonces o en la forma inversa más usual, f g () = f g = F s G s, F s G s = f g. Ejemplo 7. Use el eorema de la convolución para deerminar la ransformada inversa de aplace de la función dada. s + (s + ) = s + (s + Sabemos que: e y e s s Por el eorema de la convolución: e * e, ( s)( s enonces Prof. Gil Sandro Gómez. 4
3v v v 3v e 3 e * e e e dv e dv e e 3 3 a función impulso y dela de Dirac e e 3 Definición. a función dela de Dirac () se caraceriza por las dos propiedades siguienes: ). ( ) y -,,, ). f ( ) ( ) d f () Para cualquier función f() que sea coninua en un inervalo abiero que coniene a. Función Impulso Algunos sisemas mecánicos suelen esar someidos a una fuerza exerna (o a una ensión elécrica en el caso de los circuios elécricos) de gran magniud, que solamene acúa durane un iempo muy coro. Por ejemplo, una descarga elécrica podría caer sobre el ala vibrane de un avión; a un cuerpo sujeo a un resore podría dársele un fuere golpe con un marillo, una peloa (de beisbol, de golf o de enis) inicialmene en reposo, podría ser enviada velozmene por los aires al ser golpeada con violencia con un objeo como un bae de beisbol, un basón de golf o una raquea de enis. a función impulso uniario puede servir como un modelo para al fuerza. Definición. Esa función esá simbolizada por δ(n) y se define como 4 δ n =, n =, n De manera coloquial, decimos que una función impulso uniario, es una señal que vale cero para n y su valor es uno cuando n =. Prof. Gil Sandro Gómez. 5
Teorema 5.3. Área Bajo la Función Impulso a función δ a se llama impulso uniario, porque posee la propiedad de inegración ( ) d. Demosración: a a a a a a ( ) () () d d d d a a a a a ( a a) ( a) a a Q. E. D Propiedad del Filrado Una propiedad imporane de la función impulso uniario que es de significado prácico es la llamada propiedad del filrado, que esablece que si f() es coninua en = a enonces f ( ) ( a) d f ( a) Eso se conoce como la propiedad del filrado porque provee un méodo que permie aislar, o separar, el valor de la función en cualquier puno paricular. Por razones puramene eórica es conveniene usar límies infinios en la ecuación anerior, aunque en la realidad pueden ser susiuidos por límies finios. Eso es ciero, dado que para α a β, donde α y β son consanes f ( ) ( a) d f ( a) a ransformada de aplace de las funciones impulsos Usando la definición de ransformada de aplace, enemos que para cualquier a > s ( a) ( a) e d la cual, aplicando la propiedad de filrado, da el imporane resulado ( a) e as Prof. Gil Sandro Gómez. 6
Expresando en érmino de la inversa de la ransformada de aplace, e ( a) as Función de ransferencia Definición. a función de ransferencia H(s) de un sisema lineal invariane en el iempo es la razón de la ransformada de aplace de la función de salida del sisema y() a la ransformada de aplace de la función de enrada g(), bajo el supueso que odas las condiciones iniciales se anulan (el sisema inicialmene esá en esado de reposo). Función Respuesa al Impulso Ys () Hs () Gs () Definición. Es la respuesa del sisema a un impulso uniario aplicado en el iempo = cuando odas las condiciones iniciales son cero. Esa viene dada por h( ) H( s) Teorema 5.4. Solución Mediane la Función de Respuesa al Impulso Sea I un inervalo que coniene al origen. a solución única del problema con condiciones iniciales ay + by + cy = g ~(5); y = y, y = y, donde a, b y c son consanes y g() es coninua en I, esá dada por Siendo () y( ) h( )* g( ) y ( ) h( v) g( v) dv y ( ) ~ (6) k h la función de respuesa al impulso y y () es la solución única. Ejemplo. Un sisema lineal queda descrio por el problema de condiciones iniciales dado. Deermine la función de ransferencia para el sisema, la función de respuesa al impulso y dé una fórmula para la solución del problema con valores iniciales.. y'' 9 y g) ); y(), y'() -3 k k Prof. Gil Sandro Gómez. 7
Aplicamos ransformada de aplace a la ecuación () en ambos lados: s Y s sy y Y s G s ( ) () '() 9 ( ) ( ) Por la definición de función de ransferencia enemos que: s Y s Y s G s Y s s ( ) 9 ( ) ( ) ( )( 9) G( s) ~ () Despejando de (): Gs () Ys ( ) ~ (3) ( s 9) De la ecuación (3) obenemos la función de ransferencia: Ys ( ) Hs ( ) ~ (4) G( s) ( s 9) Aplicamos la inversa de la ransformada de aplace en (4): h() ( s 9) Enonces, la función de respuesa al impulso es: h () sen3 3 Revolvemos la ecuación homogénea asociada a (): y'' 9y ~ (5) Escribimos la ecuación auxiliar de (5) r 9 r 3i y ( ) c cos3 c sen3 ~ (6) k Derivamos la ecuación (6) y evaluamos = : c cos() c sen() ~ (8) 3 csen() 3ccos() 3 Prof. Gil Sandro Gómez. 8
Resolviendo (8): c, c Enonces, y ( ) cos3 sen3 ~ (9) k a fórmula para la solución del problema con valores iniciales es: y( ) h( v) g( v) dv cos3 sen3 Prof. Gil Sandro Gómez. 9