Inegrales LA INTEGRAL INDEFINIDA Inegral indefinida: Primiiva (aniderivada) Primiivas (Aniderivadas) Dada la función F( es fácil hallar su derivada F (. El proceso inverso: enconrar F ( a parir de F ( se llama aniderivación: F ( (derivación) F ( f ( (aniderivación) F ( A la aniderivada de f ( se le llama primiiva de esa función. Para ver que la primiiva de una función es correca basa con derivar, pues: F ( es una primiiva de f ( F ( f ( Si F(, su derivada es F ( ; enonces: una primiiva de f ( será F(. NOTA: Ora primiiva de f ( es, por ejemplo, F (, pues derivando: F( ( ) f (. Todas la funciones de la forma F( c, donde c es un número, son primiivas de f ( Si F ( ln( ), su derivada es F ( ; en consecuencia, una primiiva de f ( será F ( ln( ). NOTA: Como en el ejemplo anerior, odas las funciones de la forma F( ln( ) c son primiivas de f (. Inegrales indefinidas Dada una función f (, si F ( es una de sus primiivas, la inegral indefinida de f ( es la función F( c, donde c es un número que se llama consane de inegración. Se escribe así: f ( d F( c, (d indica la variable de inegración) En consecuencia, la derivada y la inegral son operaciones inversas; de manera análoga a como lo son la raíz cuadrada y el cuadrado o la eponencial y el logarimo. Eso es, al aplicar sucesivamene la inegral y la derivada a una función se obiene la misma función: d f ( d d f ( y f ( d f ( d d En la segunda igualdad debería sumarse una consane. No lo hacemos para que quede más clara la idea fundamenal. NOTA: Nos permiimos adverir que para poner inegrar con ciero éio es absoluamene necesario saber derivar muy bien. Si el lecor no domina las écnicas de derivación debería refleionar sobre el valor del iempo anes de seguir adelane. José María Marínez Mediano
Inegrales ( ) d c d ln( ) c d d d d. Puedes comprobar que c. Puedes comprobar que ln( ) c Propiedades de la inegral indefinida () La inegral de un número por una función es igual al número por la inegral de la función: kf ( d k f ( d Eso significa que los números que muliplican a una función pueden enrar y salir del f ( inegrando, según convenga. Así, por ejemplo: f ( d kf( d k d. k k () La inegral de una suma de funciones es igual a la suma de las inegrales de cada una de esas funciones: ( f ( ) d f ( d d Esas propiedades significan que la inegral se compora como un operador lineal. Número por función: ( ) d ( ) d ( c) c (da igual poner c que c ). OJO: Esa propiedad sólo se refiere a facores numéricos. Así: ( ) d ( ) d Suma de funciones: ( ) d d d ( c ) ( c ) c (las consanes c y c no son necesarias; basaría con poner una sola c). Las propiedades aneriores se uilizan según convenga, de denro a fuera o de fuera a denro. Así, por ejemplo: 8 d 6 d 6 d 6(ln( ) c) 6ln( ) c Siempre se buscará un inegrando del que sepamos hallar la primiiva. José María Marínez Mediano
Inegrales Relación de inegrales inmediaas Conviene saber de memoria la inegral de las funciones elemenales. Las más usuales son las siguienes. TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Función simple Función compuesa Ejemplos kd k d ; ( )d n n d, n n d d d ln n n f f f d, n d ; d n f d f d f f d ln f d ln( ) f f a f a a d a f d d ; d ln a ln a ln ln f f e d e e f d e e d e ; e ( ) d e cos d sen f cos fd sen f cos( ) d sen ( ) sen d cos f sen fd cos f 8 sen d cos f d ag d ag f cos d ag cos f cos ( ag ) d ag f ( ag f ) f d ag f ( ag ( )) d a -) f / d arcsen d arcsen f d arcsen (ln f (ln f d arccos d arccos f e d arccos e f e f d arcag d arcag f d arcag f ( NOTA: En odos los casos se omie (por fala de espacio) la suma de la consane de inegración, c. Proponemos algunos ejemplos más: ( ( d c 6 ( ) ( ) 6 d c 6 cos d sen c d ln( 6) c 6 José María Marínez Mediano
Inegrales Técnicas y méodos de inegración Descomposición elemenal Siempre que sea posible se operará en el inegrando, buscando escribirlo como ora epresión equivalene que sea fácil de inegral; para ello hay que ener presenes las fórmulas de inegrales inmediaas. Las operaciones algebraicas básicas son: muliplicar o dividir por una consane apropiada; sumar o resar; efecuar las operaciones indicadas ( ) d d d d = c ( ) d ( ) d d d d c d d d d d ln c 6 d d ln( 6 c 6 6 6 6 d d d d = = d d arcan ln( ) c sen d sen sen d sen cos d send ( sencos d = = cos cos c (En la ª inegral se aplica la fórmula f n n f f d c.) n Para aplicar ese méodo es necesario conocer muy bien las fórmulas de inegrales inmediaas; ambién es imprescindible operar con solura, como se pone de manifieso a coninuación. Ejemplo: Para calcular d es imprescindible saber que 9 ( ) f ( d arcsenf ( c. [El elemeno fundamenal es que aparece la raíz ( f ( ) cuadrada y el érmino ( ) ; de donde supondremos que f (.] A coninuación hay que saber ransformar la epresión buscando que aparezca ( f ( ) en el inerior de la raíz y f ( en el numerador. El proceso puede ser el siguiene: d = d = d = d = 9 ( ) ( ) 9 9 = arcsen c José María Marínez Mediano
Inegrales Descomposición de fracciones racionales en fracciones simples Si la descomposición en fracciones no es an fácil como las visas en ejemplos aneriores, puede uilizarse el proceso que eplicamos a coninuación. P( Las fracciones racionales son de la forma. Si el denominador es de grado menor o igual Q( que el numerador, la epresión anerior puede escribirse así: P( R( C(, Q( Q( donde C( y R( son, respecivamene, el cociene y el reso de la división. (Como debe saberse, el grado de R( es menor que el de Q() Con eso: P( R( d C( d d Q( Q( La inegral que puede presenar dificulades es la úlima. Vamos a resolverla en dos supuesos fáciles: m m n () d () d a b a b c La inegral () es inmediaa (se resuelve por descomposición simple), pues: m m a f ( m d d d ln f ( ln( a b) c a b a a b f ( a 7 d d ln(7 ) c 7 7 7 7 Para hallar d hay que dividir anes (el méodo de Ruffini es adecuado). Se obiene: De donde d d d d Por ano: d ln( ) c Para resolver la inegral () hay que deerminar las raíces del denominador, a b c 0, y pueden darse res casos:.º Hay dos raíces reales simples: =, =..º Hay una sola raíz real doble, =..º El denominador no iene raíces reales. En el caso.º la descomposición que se hace es: m n A B a b c a( ) ( ) José María Marínez Mediano
Inegrales 6 m n A B En el caso.º se hace la descomposición: a b c a( ) ( ) m n k(a b) B En el caso.º la descomposición es: a b c a b c ( p q) donde a b c ( p q) Pracicamos cada caso con un ejemplo fácil., Caso.º Para hallar la inegral d se procede así: Se hallan las raíces de 0. Son = y =. Por ano, la descomposición en fracciones simples será: A B A( ) B( ) = A( ) B( ) ( )( ) Calculamos A y B dando valores a : si = : = A A = / si = : = B B = / / / Con eso: d d d = ln( ) ln( ) c Caso.º d Las raíces de 0 son =, doble. Por ano: A B A B( ) = A B( ) ( ) ( ) Calculamos A y B dando valores a : si = = A A = si = 0 = A + B B = Con eso: d d d = ln( ) c ( ) Caso.º d ( ) Se hace la descomposición: ( ) Observa que el numerador: ( ) ; y que el denominador: ( ) Por ano: d = d d = ( ) = ln( ) arcan( ) c José María Marínez Mediano
Inegrales 7 Méodo de inegración por pares Si se hace la diferencial del produco de dos funciones, u f ( y v, se iene: d f ( d f ( f ( d f ( d f ( d Noa: Recuerda que df ( f ( d Despejando: f ( d d f ( f ( d. Inegrando miembro a miembro se obiene la fórmula de inegración por pares: f ( f ( d d f ( d f ( d f ( f ( d. Más escueamene: du v du v u dv vdu udv udv du v vdu) udv uv vdu NOTA: Para la elección de las pares u y dv no hay crierio concreo; puede ser recomendable omar dv como la pare más grande del inegrando que se pueda inegral con facilidad. El reso del inegrando será u. Ejemplo: Para inegral sen d puede omarse: () = u y sen d = dv d = du y v send cos () sen = u y d = dv cos d = du y v d () sen u y d = dv (sen + cos d = du y v d Si hemos hecho (): send cos cos d cos sen c Si hacemos (): send sen cos d (La segunda inegral es más complicada que la primera. Esa parición no es buena). Si decidimos (): inegral es más complicada que la inicial.) Oros ejemplos: e d. Tomando: Se iene: send sen ( sen cos d (También la segunda u = du = d e d = dv v = e e d = e e d = e e c ln d ln d ln 9 c José María Marínez Mediano
Inegrales 8 u ln du d Hemos omado: dv d v Para calcular e cos d hay que reierar el méodo. Veamos: Haciendo u e y cos d = dv, se iene du e d, v = sen e cos d.= e sen e sen d. La segunda inegral, Tomando: Luego, e e sen d, ambién debe hacerse por el méodo de pares. u y sen d = dv du e d y cos = v e cos d.= e sen e cos e cos d.= e sen e sen d = e sen e ( cos e ( cos d Por ano, e cos d.= e sen e cos e cos d = e (sen cos c e cos d Ejercicios complemenarios Descomposición elemenal d d d ln( ) arcan c d d ln c Fracciones simples d d d ln( ln( c / 7 / 7 d d d ln( ) ln( ) 6 7 7 d ln( 6 0) arcan( ) c 6 0 Inegración por pares ln d ln c cos d sen ln d = ln c cos 6sen 6cos c c José María Marínez Mediano
Inegrales 9 Cambio de variable La inegral de la forma f ( u) du se puede escribir f ( ) d, haciendo u y du d Eso es: f ( u) du = f ( ) d, Nauralmene, la segunda inegral deberá ser más fácil; y una vez resuela habrá que deshacer el cambio inicial. Para calcular ( ) d podemos hacer: Con eso: u ( ) u ( ) y du d d u du d du 6 6 u c ( ) Para calcular e d podemos hacer: u du d d du u u Luego, e d e du e c e c La inegral d, hecha más arriba, se puede resolver haciendo el cambio: 6 u 6 du 6d d du Luego, d 6 du u 6 6 Para hallar d podemos hacer: Luego, u u udu u u du 6 du ln u c u 6 c ln( 6 6 c u u ; d udu u u c = ( ( c NOTA: Dependiendo de la función que haya de inegrarse puede hacerse un cambio u oro; muchos de ellos son esándar. Ese eo no es el lugar para raar de ellos. El lecor ineresado puede consular una gran variedad de libros al respeco; enre oros: SalasHille, Calculus, Ed. Reveré. Piskunov, Calculo diferencial e inegral, Ed Mir Cambios de variable para inegrales rigonoméricas Los cambios más frecuenes son:. Si el inegrando es una función f ( impar en cos, se hace el cambio sen =. (Una función es impar en cos cuando al cambiar cos por cos la epresión cambia de signo. Por ejemplo, f ( cos.) Así se obiene las siguienes equivalencias: sen sen = cos sen ; ag ag cos d cos d d d José María Marínez Mediano
Inegrales 0 Ejemplo: d (cos (cos d d ( cos ) d = = ( ) d c sen sen sen c. Si el inegrando es una función f ( impar en sen, se hace el cambio cos =. (Una función es impar en sen cuando al cambiar sen por sen la epresión cambia de signo. Por ejemplo, f ( sen.)) Así se obiene las siguienes equivalencias: Ejemplo: cos = sen cos ; send d d sen ag ag cos d sen d sen cos ( sen d d ( = ( ) d c cos cos c cos ) d =. Si el inegrando no cambia al susiuir sen por sen y cos por cos, se hace el cambio ag =. Así se obiene las siguienes equivalencias: ag = ag cos cos d ( ag d d d sen ag sen = ag cos sen cos Ejemplo: Para inegrar ag d, haciendo ag = se iene: ag d d = d Esa segunda inegral se hace por descomposición, pues dividiendo: Con eso, d = d = ln( ) c Deshaciendo el cambio inicial, se endrá: ag ag ag d = ln( ag c ln(cos c José María Marínez Mediano