Trignmetría 3º Añ Matemática Cód. 308-5 P r f. J u a n C a r l s B u e P r f. D a n i e l a C a n d i P r f. V e r ó n i c a F i l t t i P r f. M a r í a d e l L u á n M a r t í n e z P r f. N e m í L a g r e c a Dpt. de Matemática
CAPÍTULO : ÁNGULOS I. Generalización del cncept de ángul Ángul plan cnve Definición: Llamams ángul plan cnve de vértice b se l simbliza abc ba al cnunt de punts del plan barrids pr la semirrecta al pasar de una psición inicial P a una psición final P, describiend el punt a un arc de circunferencia menr igual que una semicircunferencia igual a una circunferencia. Gráficamente: a P Eempl b Ángul plan cóncav Definición: c P Llamams ángul plan cóncav se l simbliza ba abc cóncav al cnunt de punts del plan barrids pr la semirrecta al pasar de una psición inicial P a una psición final P, describiend el punt a un arc de circunferencia mar que una semicircunferencia menr que una circunferencia. Gráficamente: Eempl a P b c P P O L I T E C N I C O
Trignmetría Matemática II. Ánguls rientads En situacines de la vida ctidiana cuand un bet gira, a veces, es necesari saber en qué sentid l hace, es decir, desde el punt vista matemátic saber en qué sentid se mueve la semirrecta que genera el ángul. Es decir: Llamams ángul psitiv a td aquel generad en el sentid cntrari al mvimient de las aguas del rel. P ˆ 60º 3 rad A la medida de un ángul psitiv le antepnems el sign (+) para indicar en qué sentid fue generad. Figura P Llamams ángul negativ a td aquel generad en el mism sentid que se mueven las aguas del rel. P ˆ 30º 6 rad A la medida de un ángul negativ le antepnems el sign (-) para indicar en qué sentid fue generad. P Observación: Es necesari tener en cuenta que la medida de un ángul es un númer n negativ. El sign indica slamente el sentid en el que es generad. Si l hace en sentid antihrari, pr simplicidad, se mite la escritura del sign psitiv. Entnces, cnsiderand el ángul de la Figura ; se puede escribir: 60 rad 3 III. Ánguls simétrics u puests P O L I T E C N I C O
Definición: Ds ánguls sn puests simétrics, si pseen igual medida se generan a partir de una misma semirrecta en sentids cntraris. α α α α sn puests PROBLEMA. Cnstrue el ángul simétric u puest de,, en cada cas IV. Ánguls mares que una vuelta Hasta el mment se ha trabaad cn ánguls menres e iguales a 360 ( π rad ). Per a veces en la vida ctidiana ns encntrams cn situacines dnde se hace necesari utilizar ánguls mares de 360, así cm en la rtación de una rueda que gira sbre su ee. Pr eempl gráfics de ánguls mares que 360º pdrían ser: P O L I T E C N I C O 3
Trignmetría Matemática PROBLEMA:. Cmpleta, indicand el valr del ángul, de acuerd a l indicad en cada apartad: a) ˆ =... w wˆ 35 b) ˆ... θ π θ rad 4 V. Ánguls cterminales: Definición: Llamams ánguls cterminales a aquells dnde las psicines de las semirrectas iniciales finales sn cincidentes difieren en un númer enter de vueltas En símbls: Eempls: es cterminal cn k ; k Z 4 P O L I T E C N I C O
P P P P Observación: Al cnunt de ls ánguls definids en este apartad l llamarems cnunt de ánguls generalizads. PROBLEMA 3. Determina cuáles de ls siguientes ánguls sn cterminales teniend en cuenta que sus lads iniciales cinciden: 300º 50º 0º rad 405º rad 4 3 VI. Relación entre el cnunt de ls ánguls generalizads el cnunt de ls númers reales: Sean G el cnunt de ls ánguls generalizads, R el cnunt de ls númers reales una le que a cada ángul le hace crrespnder un únic númer real, que es su medida en radianes acmpañada de un sign más mens que, cm a sabems, indica su sentid de generación. Además a cada númer de R le hace crrespnder un únic ángul de G, quedand así definida una función biectiva entre ambs cnunts. Mediante un diagrama sagitari se representa la función f / f: G R 4 P O L I T E C N I C O 5
Trignmetría Matemática CAPÍTULO : FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I. Ánguls en psición nrmal Definición: Direms que un ángul está en psición nrmal respect a un cuand su vértice cincide cn el rigen su lad inicial cn el semiee psitiv de las ;, i Ls ánguls de las siguientes figuras están en psición nrmal i i Sabems que al cnsiderar en el plan el sistema ;, i, éste queda dividid en cuatr regines que numeradas según el sentid de gir antihrari sn: III II 0 i I IV Cada una de estas regines recibe el nmbre de CUADRANTE. Así, para simblizar cada cuadrante indicarems: Ic (Primer cuadrante), IIc (Segund cuadrante), IIIc (Tercer cuadrante) IVc (Cuart cuadrante) Direms que un ángul es del primer cuadrante cuand, clcad en psición nrmal, su lad final está incluid en dich cuadrante n cincide cn ls semiees psitivs (definicines semeantes se aplican a ls trs cuadrantes). 6 P O L I T E C N I C O
Ls ánguls en ls cuales el lad final cincide cn alguns de ls cuatr semiees del sistema de referencia se llaman ánguls cuadrangulares PROBLEMA 4. Cmpleta, cnsiderand en cada cas el ángul en el a) Si b) Si c) Si d) Si es del I c entnces...... 3 es del... entnces rad rad 3 es del III c entnces... rad...es un ángul cuadrangular 0 ; Cnsiderems nuevamente un sistema de referencia rtnrmal figura ubiquems la circunferencia C(;r) ; i,, según crrespnda cm se indica en la q s i p Sea ˆ un ángul generalizad cualquiera en psición nrmal. Para ese ángul tendrems una psición final s de la semirrecta generadra además un únic punt de intersección de s ' cn la circunferencia que llamarems q. En resumen tenems las siguientes crrespndencias (n biectivas): Entnces: ˆ s ' q A cada ángul generalizad le crrespnde un únic punt de la circunferencia. A cada punt de la circunferencia n le crrespnde un únic ángul. P O L I T E C N I C O 7
Trignmetría Matemática Eempl: q p Obsérvese que dad un sistema rtnrmal a cada punt q del plan le crrespnde un únic par de númers (; ) que sn sus crdenadas. De acuerd a l epuest: Dada una circunferencia C(; r) se verifica que: A cada ángul generalizad le crrespnde un par rdenad de númers reales (; ) Es decir queda definida una función n biectiva: ˆ ; II. Definición de las funcines trignmétricas: sen csen de un ángul. Una aplicación de Reales en Reales. Dads en un sistema rtnrmal ;; i, una circunferencia C, radianes) en psición nrmal p; / s ' C, r p s ' r p( ; ) i s r, un ángul (en 8 P O L I T E C N I C O
Definims las siguientes relacines trignmétricas: rdenada de p sen del ángul = sen r medida radi de C( ; r) csen del ángul = cs abscisa de p r medida radi de C( ; r) Para recrdar: Sen se abrevia sen en inglés sin cm se bserva en la calculadra Csen se abrevia cs Estas relacines definidas, serán funcines? Para respnder a esta pregunta cnsiderems C (; r ) C (; r ) cm muestra la figura C ds circunferencias cualesquiera de radis p ( ; ) C p p p ( ; ) i b c b = c = p b = p c = r r Ntams que decir: bp cp. Lueg las medidas de sus lads sn prprcinales, es p b p b p ; p c p c p Teniend en cuenta p ( ; ), p ( ; ) ; las prpiedades de las prprcines las definicines de las relacines trignmétricas dadas, entnces las igualdades anterires pdems epresarlas así: sen cs r r r r De l epuest pdems determinar que las relacines definidas: n dependen de la circunferencia elegida tienen para cada ángul un únic valr En cnclusión las relacines trignmétricas definidas sn funcines P O L I T E C N I C O 9
Trignmetría Matemática Entnces definims: Función SENO Dad un ángul llamams sen al cciente entre la rdenada del punt p (intersección entre el lad terminal del ángul la circunferencia) la medida del radi de la circunferencia. En símbls sen r cn R Función COSENO Dad un ángul llamams cs al cciente entre la abscisa del punt p (intersección entre el lad terminal del ángul la circunferencia) la medida del radi de la circunferencia. En símbls cs cn R r PROBLEMA 5. Cnsiderand al ángul α en ls distints cuadrantes, cmpleta el cuadr cn ls signs (+) (-) según crrespnda sen cs Ic IIc IIIc IVc 0 P O L I T E C N I C O
V. Relación Pitagórica: Dada una circunferencia C(;r), un ángul un punt p(; ) m p ( ;) p=r q En el triángul rectángul qp resulta: p () Per: p = r; q = qp = m = ; entnces reemplazand en la epresión () ns queda: Entnces: r 0 Dividiend ambs miembrs de la igualdad pr ) Cm r cs r r r r r () ; sen, la epresión () resulta: r (r Aclaración: En general: n n (senν) =sen ν n n n (csν) =cs ν n El hech de ecluir para el valr n = se debe a n crear cnfusines cn la función inversa. cs sen Esta epresión se la cnce cm Relación Pitagórica, vincula el sen el csen del mism ángul. P O L I T E C N I C O
Trignmetría Matemática III. Circunferencia trignmétrica En la definición de las funcines sen csen hems pensad en una circunferencia de radi r cualquiera. Entre ls valres que puede asumir r cnsiderems r =. La circunferencia de radi igual a la denminams circunferencia trignmétrica. Si C(;r) es una circunferencia trignmétrica, un ángul en radianes de lad final s C(;r) s' p ; Teniend en cuenta la definición de sen csen de un ángul, ns queda: sen cs r r s' resulta: Entnces en tda circunferencia trignmétrica el sen del ángul es la rdenada el csen C α i p(;) es la abscisa, del punt p (intersección entre s' la C(;r)). En símbls: sen = cs = IV. Valres de las funcines trignmétricas de ánguls particulares En l sucesiv, para simplificar la btención de cada una de las epresines trabaarems cn la circunferencia trignmétrica ns referirems indistintamente al ángul al númer real que l identifica. a) Funcines sen csen del ángul 0 i p Observams en la figura que cuand = 0 el punt p tiene cm rdenada 0 cm abscisa, es decir, según la definición de las funcines sen csen: sen 0 0 cs 0 P O L I T E C N I C O
b) Funcines sen csen del ángul p i Observams en la figura que cuand el punt p tiene cm rdenada el númer cm abscisa el 0, es decir, según la definición de las funcines sen csen resulta: sen cs 0 c) Funcines sen csen del ángul 6 Para determinar las funcines sen csen del ángul crdenadas del punt p. 6 debems encntrar las Cmencems marcand el punt p, simétric de p cn respect al ee unams dich punt cn el rigen del sistema. Así pdems bservar el el pp '? pp ', qué clase de triángul es p 6 m p P O L I T E C N I C O 3
Trignmetría Matemática p ôp' = pr cnstrucción. () 3 p = p' pr ser radis de la circunferencia trignmétrica. Lueg: El triángul pp' es isósceles pp' p' p 3 3 3 () De () () pp' pp es equiángul ' es equiláter lueg: p p pp' Siend m bisectriz de pp' en el triángul pp' mediana de dich triángul, lueg: equiláter, entnces m es mediatriz pm = es la rdenada de p, entnces sen 6 Pr aplicación del Terema de Pitágras en el triángul pm : p pm m 3 m m m es la abscisa de p, entnces 3 cs 6 En resumen 3 sen cs 6 6 4 P O L I T E C N I C O
d) Funcines sen csen del ángul 4 Para determinar las funcines sen csen del ángul 4 debems encntrar las crdenadas del punt p. p es radi de la circunferencia trignmétrica p Cnsiderems el triángul pm, dnde: 4 m i pôm 4 mˆ p = pr cnstrucción pr cnstrucción ˆ pm 4 Entnces el triángul pm es isósceles, m mp; además p =, aplicand el Terema de Pitágras en dich triángul : p pm m pm pm pm es la rdenada de p, entnces: sen 4 Cm m es la abscisa de p, tenems: cs 4 En resumen sen cs 4 4 P O L I T E C N I C O 5
Trignmetría Matemática e) Funcines sen csen del ángul 3 Para determinar las funcines sen csen del ángul 3, cnstruams p ' simétric de p respect del ee. p m p Resulta así que p' p pr l tant el pp ' es isósceles. Además lueg p' m = pp' 3 mp mp 6 pr cnstrucción, i Cm el pp' tres ánguls mide Lueg: es isósceles el ángul puest a la base mide 3 3, entnces cada un de ls, el triángul es equiángul en cnsecuencia es equiláter: p = p = pp = m es bisectriz de p Cm p ' ô de dich triángul. Entnces:, en el pp' equiláter, entnces m es mediatriz mediana () () pm mp' m p pm 3 3 m 4 4 de () () 3 p ; Lueg: cs 3 sen 3 3 6 P O L I T E C N I C O
PROBLEMAS 6. Cmpleta según crrespnda sen 0... cs0... sen... cs... sen... cs( )... sen( )... cs( )... sen( 3 )... cs( 4 )... sen(6 )... sen... cs... 3 cs( )... cs... 3 sen... 7. Determina ls valres eacts de en cada apartad a) b) c) d) sen cs sen cs 6 3 6 sen sen cs 4 sen sen cs 3 4 6 sen sen cs cs 3 4 3 8. Cmpleta la siguiente tabla indicand a qué cuadrante pertenece el ángul cs 0 cs 0 sen 0 sen 0 9. Verifica las siguientes identidades a) b) c) a) 4 sen.cs cs - sen (sen cs ) (sen - cs ) 3 sen sen cs sen - sen cs cs sen P O L I T E C N I C O 7
Trignmetría Matemática 0. Encuentra el valr del: a) b) c) cs si sen si cs si 5 sen 6 cs 3 4 sen 5 3 0 CAPITULO 3. ESTUDIO DE LA FUNCIÓN SENO, COSENO Y TANGENTE A md de eempl cmenzarems estudiand en frma cmpleta, la función sen. I. FUNCIÓN SENO Dad f : R -; / f() sen a) Dmini de definición de la le De acuerd a la definición de la función sen pdems epresar que Dm(f) R b) Cnunt imagen Si cnsiderams ls infinits ánguls generads (en ambs sentids) a partir del semiee psitiv de las, cm se bserva en la figura, pdems epresar que ls psibles valres de las rdenadas de ls punts de intersección del lad terminal del ángul cn la Im f -; circunferencia trignmétrica varían entre. Resulta entnces: a b e i c d c) Biectividad Para estudiar si la función es biectiva, tendrems que analizar si es surectiva e inectiva simultáneamente. 8 P O L I T E C N I C O
Surectividad: a la función sen la definims sbre su cnunt imagen, entnces es surectiva. Inectividad: la función n es inectiva, a que pr definición de ánguls cterminales es inmediat que: sen sen( k ) cn k Z; R k i Del análisis anterir cncluims que la función sen n es biectiva. d) Peridicidad Pr definición de ánguls cterminales recrdand la definición de función periódica, resulta: sen sen k cn kz sen sen sen 4 sen Entnces pdems cncluir que f e) Paridad k k k sen es periódica, de períd Cnsiderems un ángul cualquiera su puest (-) cm muestra la figura - i P O L I T E C N I C O 9
Trignmetría Matemática Pdems bservar que ls punts b c sn simétrics respect del ee pr l tant tienen rdenadas puestas. En cnsecuencia: sen = -sen (-) R f es impar f) Crecimient Sabems que la función sen es impar periódica cn períd 0; estudiarems el crecimient en el cnunt. Pr l tant d c b a i e Observems en la circunferencia que el sen de crece hasta llegar a, en hasta llegar a 0, en. Resumiend: La función f() sen en 0; : f) Intersección cn ls ees es creciente en 0 ; es decreciente en ; decrece cn el ee f() 0 sen 0 k cn k Z ls punts k ; 0 Gf (gráfica de la función) el punt 0; 0 Gf cn el ee 0 f(0) sen0 0 0 P O L I T E C N I C O
Cmpleta, resumiend td l estudiad de la función sen: Dmini:... Cnunt imagen:... Surectiva:... Inectiva:... Biectiva:... Periódica:... Períd:... Par:... Impar:... Intersección cn el ee :... Intersección cn el ee :... Cn las cnclusines anterires estams en cndicines de graficar la función sen. g) Gráfica 0.5-0.5 3 - PROBLEMA:. Representa gráficamente las siguientes funcines e indica dmini de definición de la le cnunt imagen. a) sen si 0 g() sen si 0 sen si b) s() sen c) r() sen 4 d) l() sen P O L I T E C N I C O
Trignmetría Matemática e) m() sen sen f) t() sen sen II. FUNCIÓN COSENO Cnsiderems un sistema de referencia trignmétrica ls ánguls ; i; centrad en una circunferencia según se muestra en la fugura. Observand el gráfic cmparand ls triánguls ac bd, pdems cncluir que resultan cngruentes. Lueg las medidas de ls lads hmólgs sn iguales, es decir: ac = d c = db b d b c a Teniend en cuenta las crdenadas de ls punts a(a ; a ) b(b ; b ), las igualdades anterires pdems epresarlas: () () a b a b Además sabems que: sen a cs( ) b cs a sen( ) b de () () resulta: sen cs cs sen De la relación cs sen, pdems cncluir que para cnstruir la gráfica de la función csen bastará efectuar una traslación hrizntal a la gráfica de la función sen: sen 0.5-0.5-3 csen P O L I T E C N I C O
De acuerd cn l estudiad sbre la función sen teniend en cuenta la btención de la gráfica de la función csen, prpnems para el lectr estudiar para ésta última: a) Dmini de definición de la le cnunt imagen b) Biectividad peridicidad c) Paridad d) Crecimient e) Intersección cn ls ees crdenads Relacines especiales Dad que la función csen es simétrica respect del ee, la función sen tiene la misma gráfica desplazada sen es simétrica respect de la recta = en el sentid psitiv del ee, resulta que la gráfica del pr l tant: 0.5 lueg: Es decir: -0.5 - sen sen sen cs sen cs 3 El csen de un ángul el sen de su cmplementari sn iguales P O L I T E C N I C O 3
Trignmetría Matemática PROBLEMA. Representa gráficamente las siguientes funcines e indica dmini de definición de la le su cnunt imagen: a) g() 3cs b) () cs c) c() cs cs III. FUNCIÓN TANGENTE Definición: Definirems una nueva función trignmétrica que a cada númer real le hace crrespnder un únic númer que resulta de efectuar el cciente entre el sen de el csen de, a la que llamarems tangente de e indicarems tg. Simbólicamente: Estudi de la función tangente sen tg ; cs 0 cs a) Dmini de definición de la le La función tangente estará definida para aquells valres dnde el cs sea distint de cer, es decir: Dmf R / k ;kz b) Cnunt imagen Para determinar el cnunt imagen de la función tangente, intentarems encntrar un punt cua rdenada representa a la tangente de cada un de ls ánguls del dmini. Sea entnces una circunferencia trignmétrica, un sistema de referencia ; i; ls punts aa ; a ; b ; 0 pp ; p 4 P O L I T E C N I C O
a c i p b R Cnsiderems un ángul cualquiera del primer cuadrante una recta R dnde esté incluida la semirrecta (psición final de ), al trazar una recta perpendicular al ee que pase pr el punt b(;0), queda determinad el punt p, intersección de la recta = cn la psición final del ˆ ˆ a Así resulta que el ac pb c b pb es semeante al dnde ac a; c a ; pb p b Entnces pdems epresar: sen a p tg cs a ac pr l tant sus lads sn prprcinales lueg: tg p Es decir: El númer que representa la tangente de un ángul es la rdenada del punt de intersección del lad terminal del mism cn la recta de ecuación =. De este md si cnsiderams un ángul cualquiera en el cuart cuadrante también pdems bservar que el númer que representa la tangente del ángul es la rdenada del punt de intersección de la semirrecta final del ángul cn la recta de ecuación =. Para encntrar la tangente de un ángul del II c del III c, basta cn determinar, el punt de intersección de la semirrecta final del ángul cn la recta de ecuación: = -. En ests cass la tangente del ángul es la rdenada puesta de la del punt de intersección. Cn tdas estas cnsideracines, prcedems a determinar el cnunt imagen de la función tangente: Si 0 tg 0 P O L I T E C N I C O 5
Trignmetría Matemática Si se aprima a desde valres menres a, el valr de la tangente es mar que cualquier númer psitiv dad. En símbls: tg pues la recta R tiende a ser paralela al ee. Observams que cuand el valr del ángul va creciend también crece el valr de la tangente del ángul, cmpletand así tds ls punts de abscisa de la () Si se aprima a desde valres mares que tangente es menr que cualquier númer negativ dad., el valr de la bp En símbls: tg Observams que cuand el valr del ángul va decreciend también decrece el valr de la tangente del ángul, cmpletand así tds ls punts de abscisa de la bq () i p p p b q De () () bservams que cn sól estudiar la tangente para ánguls de I c IV c quedan cubiertas tds ls punts de la recta = que relacinad cn el ee ns permite determinar que: Im(f) =R q q 6 P O L I T E C N I C O
c) Biectividad peridicidad a(a ;a ) d(d ;d ) a d c b i Además sabems que: a = sen a = cs Si cnsiderams entnces es elemental que el punt d es el simétric de a respect de, lueg: d = sen d = cs cm: d a sen sen( ) sen d a cs cs( ) cs Entnces: tg( ) tg En cnclusión: La función tangente es PERIÓDICA de períd Pr ser una función periódica n es inectiva pr l tant: f() tg NO ES BIYECTIVA P O L I T E C N I C O 7
Trignmetría Matemática d) Paridad: Cnsiderems una circunferencia trignmétrica centrada en un sistema ánguls ; i ; ls a(a;a) - i a (a ;a ) Teniend en cuenta que a es simétric de a respect del ee pr cnstrucción, resulta: sen a sen sen( ) a' a cs a cs cs( ) a' a a a' a a a' a tg tg tg( ) () De () () Lueg: tg tg( ) La función tangente es IMPAR, pr l tant su gráfica resulta SIMÉTRICA RESPECTO DEL PUNTO (0; 0) e) Gráfica de la función tangente 0.5-0.5 0 3-8 P O L I T E C N I C O
f) Crecimient: Deams al lectr el estudi del crecimient de la función tangente en el períd ; g) Intersección cn ls ees Intersección cn el ee 0 f() 0 tg 0 k cn k Z, k ;0 G ls punts f Intersección cn el ee 0 f(0) 0 tg0 0 (0;0) Gf PROBLEMAS: 3. Representa gráficamente e indica dmini recrrid de cada un de las siguientes funcines a) f() tg 3 b) g() tg 3 4. Dada f : ; R / f() tg -, determina: a) gráfica de f() b) un interval dnde f es creciente. c) la gráfica de g()/ g() f() d) 3 z / z f( ) f 4 4 3 5. Calcula cs sen sabiend que tg 3 CAPITULO 4: OTRAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE USO FRECUENTE Sabems que una función, si es periódica, n es biectiva, lueg n admite función inversa. En particular las funcines trignmétricas pr ser periódicas n tienen inversa. Sin embarg es psible restringir ls dminis de dichas funcines, de tal manera que resulten biectivas. Entnces llamams funcines trignmétricas inversas, a las inversas de las funcines trignmétricas restringidas a dminis cnvenientes adptads cnvencinalmente de la frma que se indica a cntinuación: P O L I T E C N I C O 9
Trignmetría Matemática a) Se llama función arc sen la indicams arcsen a la inversa de la función sen tmand cm dmini de definición de la función sen el interval: ; es decir: arcsen sen ; De la gráfica de la función sen de la gráfica de la función inversa de una función dada, resulta que la gráfica de la función arc sen es : =arcsen = 0.5 =sen -0.5 - Dm ( arcsen) ; Im ( arcsen) ; b) Se llama función arc csen la indicams arccs a la inversa de la función csen tmand cm dmini de definición de esta última el interval 0;. Es decir arccs cs ; 0 La gráfica resultante se muestra en la siguiente figura: 30 P O L I T E C N I C O
= = arccs 0 = cs Dm (arccs) (arccs) ; Im 0; c) Se llama arc tangente la indicams arctg a la inversa de la función tangente, tmand cm dmini de definición para ésta última, el interval ; Es decir: arctg tg ; - La gráfica es la que se muestra en la siguiente figura: = tg = = arctg 0 Dm ( arctg ) R Im ( arctg ) ; P O L I T E C N I C O 3
Trignmetría Matemática PROBLEMAS: 6. Calcula el valr de empleand tu calculadra a) arcsen b) arccs 3 c) cs arcsen 7 d) sen arcsen 4 e) sen arccs 5 arcsen arccs0 f) arcsen Recuerda: En tu calculadra bservarás que las funcines circulares inversas se indican: Función arc sen sin Función arc cs cs Función arc tg tan II- FUNCIONES RECÍPROCAS Habiend definid las funcines sen, csen tangente pasams ahra a definir sus crrespndientes funcines recíprcas, de las siguiente manera: Función Csecante: Se llama función csecante de un númer, la indicams csec, a la recíprca de la función sen. Es decir: Dm (cs ec) csec R sen / k;k Z Im (cs ec) ; ; 3 P O L I T E C N I C O
Función Secante: Se llama función secante de un númer, la indicams sec, a la recíprca de la función csen. Es decir: sec cs Dm (sec) R / Im (sec) k ;k Z ; ; Función Ctangente: Se llama función ctangente de un númer, la indicams ctg, al cciente entre el csen de el sen de. Es decir Dm ctg) cs ctg sen ( R / k;k Z Im ( ctg) R PROBLEMAS 7. Calcula tdas las funcines trignmétricas del 0 < <,sabiend que sen 0, 65 P O L I T E C N I C O 33
Trignmetría Matemática 8. Demuestra las siguientes identidades: a) ctg csec b) sec csec sec csec c) sec csec tg sec csec tg d) tg sen sec sen 3 cs e) sec csec ctg tg f) sen cs csec cs sen g) tg ctg tg tg ctg ctg h) sec sen tg csec sen cs sen cs i) 9. Calcula a) csec, sabiend que II c cs = -0,4 b) sec, si sen = - 0, tg > 0 c) ctg, si cs = 0,5 IV c d) cs sen,sabiend que la csec= 5 0. Si: tg β = - 0,5 β es un ángul del segund cuadrante, calcula el valr eact de: sen β + csβ. 34 P O L I T E C N I C O
III. REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Teniend en cuenta ls gráfics que se presentan a cntinuación en la circunferencia trignmétrica, resuelve la siguiente actividad: Qué relación puede establecerse entre las funcines trignmétricas de cas? en cada Cas I Cnsiderams que sn suplementaris es decir ; Además supndrems, el cas en el que ˆ I ˆ c ; IIc b p a m i Analiza la cngruencia de ls bp am, cnclue cmpleta: sen.....cs.....tg..... P O L I T E C N I C O 35
Trignmetría Matemática Cas II: Supngams que difieren en, es decir ; En este cas que I c ; IIIc Analiza cmpleta, teniend presente l efectuad en el cas I b i a Cas III: sen.....cs.....tg..... sn cmplementaris a una vuelta u puests, supngams En este cas I c ; IVc ; a b i Analiza nuevamente cmpleta: sen.....cs.....tg..... Observación: El análisis se ha realizad para I, per sn válidas para cualquier ángul; habría que estudiar, pr separad, el cas en el que pertenezca al segund, al tercer al cuart cuadrante; para pder generalizar las cnclusines btenidas. Supnems que la tarea está realizada. Entenderems pr reducir al primer cuadrante la tarea de epresar las funcines trignmétricas de un ángul del II c, III c IV c en relación a las funcines trignmétricas de un ángul del I c, a partir de prpiedades que ls vinculen (suplementaris, difieren en, etc. ) c 36 P O L I T E C N I C O
PROBLEMAS. Siend I c, analiza cmpleta: sen( )... cs( )... tg( ).... Verifica las siguientes identidades: a) cs( ) sen( ) tg sen b) c) d) e) f) sen cs cs tg cs tg cs sec tgw.sec w sen w senw sen cs sec cs sen cs sen sen cs tg ct g P O L I T E C N I C O 37