CAPÍTUO II. Análss mtrcl e rmrs. Introccón Un rmr es n tpo e estrctr básc, constr bse e elementos estrctrles, const e n grpo e trntes y pntles seños y conectos e tl mner qe formn n estrctr qe ctú como n vg e grn perlte. os elementos formn comúnmente no o vros tránglos en n solo plno y están spestos en form tl qe ls crgs externs se plcn en los nos, por lo qe teórcmente sólo csn tensón o compresón xl en los elementos, los cles están conectos en ss nos por meo e psores sn frccón, los qe permten qe los extremos e los elementos gren lbremente. En vrt e s peso lgero y s lt resstenc, ls rmrs se sn con mplt y ss plccones son my vrs, por eemplo, pr soportr pentes y teos e efcos. s rmrs moerns se constryen, l conectr los membros, los qe selen ser e cero estrctrl, perfles e lmno o portles e mer, escrs e ensmble por meo e conexones con pernos o sols. Exsten versos métoos pr nlzr rmrs plns. El nálss e rmrs plns estátcmente etermns se pee relzr por el métoo e los noos, el cl consste en l seleccón e n noo con no más e os ferzs esconocs ctno sobre él y, con l plccón e ls os eccones e eqlbro e ferzs, etermnr ess ferzs esconocs. Otro métoo es el e ls seccones, el cl pee ser más convenente cno sólo se ese conocer ls ferzs en nos cntos membros específcos e l rmr; este métoo está relcono con el corte e l rmr en 5
os prtes, el cl no comprenerá más e tres brrs con ferz esconoc. Del eqlbro e cerpos rígos se obtenen ls ferzs ncógnts. Exsten tmbén versos métoos pr el nálss e estrctrs estátcmente netermns: el métoo e ls ferzs y el métoo e ls rgeces. En el métoo e ls ferzs se sprme n número sfcente e renntes (reccones o ferzs nterns o mbs) e l estrctr hperestátc, e moo qe se logre n estrctr estble y estátcmente etermn. Se clcln los esplzmentos en l reccón e ls renntes cncels. s renntes eben ser e n mgnt tl qe fercen ss pntos e plccón volver ss poscones orgnles e eflexón nl. Se estblece n eccón pr l concón e eflexón en c rennte y ésts se espen e ls eccones resltntes. El métoo tlzo en este proyecto será el e ls rgeces, cy vent prncpl consste en qe pee tlzrse tnto en estrctrs sostátcs como, prncplmente, en estrctrs estátcmente netermns. El sro no tene qe escoger ls renntes (como en el métoo e ls ferzs) y no tene qe especfcr, n sqer sber, s l estrctr es sostátc o hperestátc. secel e cálclo se explcrá etllmente en los sgentes cpítlos.. Desrrollo hstórco Dese los ncos e l hstor, l ngenerí estrctrl h so prte esencl el esferzo hmno. Sn embrgo, no fe sno lreeor e l mt el sglo XVII qe los ngeneros empezron plcr el conocmento e l mecánc en el seño e estrctrs. 6
Se cree qe n rqtecto tlno, Anre Pllo (58-58), fe qén nlzó y constryó ls prmers rmrs. Ss extenss nots sobre rqtectr nclyen escrpcones etlls y bos e rmrs e mer bstnte smlres ls ss ctlmente. En generl, Glleo Glle (564-64) se conser el ncor e l teorí e ls estrctrs, en s lbro ttlo Dos Cencs Nevs, pblco en 638, one nlzó l fll e lgns estrctrs smples. Despés e los trbos e Glleo, el conocmento el nálss estrctrl vnzó pso rápo en l segn mt el sglo XVII y hc el XVIII. Entre los nvestgores notbles e ese peroo se encentrn Robert Hooke (635-73), qén esrrolló l ley e ls relcones lneles entre l ferz y l eformcón e los mterles (ley e Hooke); Sr Isc Newton (64-77), qen formló ls leyes e movmento y esrrolló el cálclo; John Bernoll (667-748), qén formló el prncpo el trbo vrtl; eonhr Eler (77-783), qén esrrolló l teorí e pneo en colmns, y C.A. e Colomb (736-86), qén presentó el nálss e l flexón en vgs elástcs. En 86,.M. Nver (785-836) pblcó n trto sobre el comportmento elástco e ls estrctrs, el cl se conser el prmer lbro sobre l teorí moern e l resstenc e los mterles. El esrrollo sobre el nálss estrctrl y los métoos tlzos ctlmente se esrrollron rápmente rnte too el resto el sglo XIX y l prmer mt el XX. En cnto l métoo mtrcl e ls rgeces, G.A. Mney (888-947) esrrolló el métoo e l penente eflexón, qe se conser como el precrsor el métoo e ls rgeces. 7
.3 ormlcón mtrcl por el métoo e ls rgeces.3. Defncón e elzcón e ls rmrs plns Se ce qe n rmr es pln s toos ss membros y ls crgs plcs se encentrn en n solo plno. Pr smplfcr el nálss e ls rmrs plns se hcen ls sgentes hpótess:. os elementos e ls rmrs están conectos por meo e psores sn frccón.. os elementos e l estrctr son rectos. (S no lo fesen, ls ferzs xles ocsonrín en ellos momentos flexonntes). 3. s eformcones e n rmr crg, css por los cmbos en l longt e los elementos nvles, no son e sfcente mgnt pr ocsonr cmbos precbles en l form y mensones generles e l rmr. Debe rse tencón especl ls rmrs my lrgs y flexbles. 4. os elementos están spestos e mner qe ls crgs y ls reccones se plcn sólo en los nos e ls rmrs. rzón pr estblecer ests hpótess es obtener n rmr el, cyos membros sólo estén setos ferzs xles. Un elemento seto sólo ferz xl está someto tensón o ben compresón, pero no flexón (ver g...). s ferzs obtens con bse en ess hpótess smplfcs son, en l myorí e los csos, my stsfctors y se enomnn ferzs prmrs. s ferzs css por concones no consers en el nálss e ferzs prmrs se enomnn ferzs secnrs. 8
Compresón xl Tensón xl lexón g.. Accones en n brr.3. Rgez y flexbl e n brr e rmr Consérese n brr rect e rmr, cyo mólo e elstc E y s seccón trnsversl A son constntes en to s longt (g..). Dch brr está refer los ees x y y. El sstem cooreno sí efno se llm sstem locl e coorens. Est brr está somet l ccón e ferzs nterns y, plcs en los nos y, respectvmente; l ccón e ests ferzs provoc esplzmentos en los nos, llmos y, mostros en l g... y m n A, E x m n x x g.. Brr - e rmr en referenc locl 9
= ongt e l brr. A = Áre e l seccón trnsversl. E = Mólo e elstc el mterl constttvo e l brr., = Nos ncl y fnl e l brr, respectvmente. x, y = Sstem e coorens locl pr l brr., locl., = erzs xles plcs sobre los nos y, respectvmente, en referenc = Desplzmentos lneles noles e los extremos y, respectvmente, en referenc locl. m, n = Elemento ferencl longtnl e l brr. s ferzs plcs y, en el nteror e l brr, orgnn l ferz ntern ( x), tl como se mestr en el grm e cerpo lbre e l brr (g..3), pr l qe se hn relzo vros cortes trnsversles. (x)=() () m (x) m n (x) (x)+ (x) x (x)+ (x) (x)=() () () g..3 Dgrms e cerpo lbre e l brr
Concones e eqlbro nol: No : + () = ó () = - () No : - ()+ = ó () = () Concón e eqlbro el elemento ferencl e l brr: ( x ) =, lo qe mplc: ( x) cte N = = (3) Relcón cnemátc: ε (x) = x (4) ε (x) = Deformcón xl ntr e l brr. ( x ) = Desplzmento lnel pr clqer seccón trnsversl e l brr. Eccón constttv: De l ley e Hooke es: σ ( x ) = E ε (x) (5) one σ ( x ) = A N (6) por lo qe, e (5) y (6) reslt: N = E A x (7) Conserno (3), l ervcón e (7) : x = (8) cy ntegrcón scesv es:
( x ) + x + (9) = seno y constntes e ntegrcón, ls cles se obtenen prtr e ls sgentes: Concones e bore: S S x = ( x ) = () x = ( x ) = () Con lo cl, e (9) con () y () son: = ; = consercón e estos resltos en l eccón (9) : x x ( x) = x = + () lo qe mtrclmente expreso es: ( x) = x M M x ó, smplemente : [ ϕ { D } ( x) = (3) seno [ = [ ϕ ϕ x M x ϕ M = (4) M l fncón e form, mentrs qe
D = (5) { } es el vector e esplzmentos noles pr l brr e rmr -. ervcón e (3) como reslto lo sgente: x = ( + ) (6) ó smplemente = (7) x seno l eformcón totl e l brr, esto es: = (8) consercón e (7) en (7) : EA N = (9) Se entene por rgez xl e n brr el vlor e l ferz xl qe le proce n eformcón (elongcón) ntr, por lo qe, s en (9) =, entonces: EA k = () seno k l rgez e l brr. En contrposcón, se efne l flexbl e n brr como el vlor e l eformcón eb n ccón (ferz xl) ntr. Entonces, s N = en (9), se tene qe l flexbl e l brr f es: f = = k () EA 3
.3.3 Mtrz e rgez locl e n brr e rmr Un membro e n rmr sólo está seto ferzs xles, ls cles se peen etermnr prtr e los esplzmentos e los extremos e ese membro en l reccón el ee centrol el msmo. Por lo tnto, solo se necest conserr os gros lneles e lbert y ls ferzs corresponentes en los extremos pr los membros e rmrs plns. Y qe sele ser convenente ecr ls relcones báscs e ferzsesplzmentos en térmnos e ferzs y esplzmentos en ls reccones longtnl y perpenclr e los membros, se efne n sstem e coorens locles pr c membro e l rmr. De (3) con () y () reslt qe = N y = N, con lo cl, e (9) con (8), : EA EA = ( ) y ( ) = () lo qe mtrclmente pee expresrse como = EA o smplemente: { } [ k { D } = (3) one el vector e ccones noles es { } = (4) mentrs qe l mtrz e rgez xl locl pr l brr - es: 4
[ k = k k k k (5) con: k EA = k (6) = k EA = k = (7) s eccones (6) y (7) son, respectvmente, ls rgeces xles rect y crz e l brr e l rmr, seno { D } el vector e esplzmentos e l brr efno según l eccón (5). En consecenc, e (5) con (6) y (7) es EA [ k = (8) cyo etermnnte es nlo, esto es: et [ k = [ k = Entonces, l mtrz e rgez locl e l brr e rmr es n mtrz snglr, lo qe sgnfc qe no exste s nvers. noles Como consecenc e lo nteror, sempre será posble conocer ls ccones y s se conocen los esplzmentos noles, peen expresrse obtenerse sí son conocs chs ccones noles., pero estos últmos no nterpretcón físc mplc qe l brr en consercón se comport como n sstem cnemátcmente vrble, lo qe mplc qe l brr sfre n movmento e 5
cerpo rígo, esto es, n trslcón nefn, por lo qe, pr encontrr n solcón, se reqere e l especfccón e ls concones e bore..3.4 Mtrz e rgez globl pr n brr e rmr Consérese el rreglo trnglo e l rmr e l g..4 refero l sstem globl e coorens x, y. y g..4 Armr Debo qe n brr e rmr clqer reqere e s referenc respecto l sstem globl e coorens pr sí escrbr el movmento e l brr en el plno, es necesro ntrocr los esplzmentos noles ν y ν en reccón e y, sí como x ls ferzs noles nls en reccón y. x y g..5 Cntes e esto en referenc locl 6
v y x v x y x y g..6 Cntes e esto en referenc globl Según (3) con (4) (8), en referenc locl es = EA, l qe, nte l consercón e los esplzmentos ν y ν según el ee y y ls ferzs nls, tmbén según el ee y, pee mplrse como contncón: = EA v v (9) ó, smplemente, { } [ k { D } = (3) one, hor [ k es: () 7
[ k = EA (3) x Cos x x Cos y Sen x y x x Sen x Sen y y x x Cos y Sen y y Cos g..7 erzs nterns y esplzmentos noles en referenc locl y globl sm e ls proyeccones sobre x e y ebe ser gl x y, es ecr, =, mentrs qe l sm e ls proyeccones e ells msms x + y sobre el ee y ebe ser nl: =. De mner nálog, pr el no x + y se obtene = y =. x + y x + y expresón mtrcl e estos resltos es: = EA x y x y (3) ó smplemente: 8
{ } [ T { } ) ( ) ( ) = (33) ( seno { } () el vector e ccones noles en referenc locl, { } el vector e ccones noles en referenc globl, y l mtrz e trnsformcón: [ [ T [ T [ T ( ) [ T T = (34) ( ) ( ) one: () [ T = [ T = ( ) ( ) (35) T (36) ( ) [ = [ T = = [ o ben [ T = (37) Est mtrz e trnsformcón, por l eccón (37), es n mtrz ortogonl, esto es: [ T = [ T T (38) premltplccón e l eccón (33) por [ T T [ T { } = [ T [ T { } ( ) e one: T { } [ T { } ( ) T T es: = (39) ebo qe, conforme (38), es: 9
T [ T [ T = [ T [ T = [ I seno [ I l mtrz ent. De mner nálog l eccón (33), se tene pr los esplzmentos noles qe: { D } [ T { D } = (4) () () ssttcón e ls eccones (33) y (4) en l eccón (3) : [ T { } = [ k [ T { D } cy premltplccón por [ T T ( ) : { } [ k { D } = (4) one: T [ [ T [ k [ T k = (4) es l mtrz e rgez e l brr en referenc globl, cyo vlor es: [ k = Cos θ EA Cos θ Sen θ Sen θ Cos θ Cos θ Sen θ Sen θ (43) y l cl es n mtrz smétrc qe pee escrbrse como: [ k = [ [ [ [ k k k k (44) one
[ k = [ k Cos θ = (45) Sen θ [ k [ k = [ k = [ k = (46) Como se observ, l mtrz e rgez e l brr e rmr, tnto en referenc locl como en referenc globl, es smétrc. s sbmtrces [ k y [ k recben el nombre e sbmtrces e rgez rect por qe relconn ls ccones noles con los esplzmentos noles e n msmo no, mentrs qe ls sbmtrces [ k y [ k recben el nombre e sbmtrces e rgez crz por qe relconn ls ccones nterns e n no con los esplzmentos noles el otro no e l brr. o nteror pee fáclmente ecrse s en l eccón (4) se tom en consercón l eccón (44), esto es: { } { } = [ k [ k [ k [ k { D } { } D (47) o ben: x y x y = Cos θ EA Cos θ Sen θ Sen θ Cos θ Cos θ Sen θ Sen θ v v (48) N Por otr prte, e l eccón () con (3), conserno l eccón (48), reslt: [( ) + ( v v ) EA = = (49) Est eccón permte etermnr l ferz xl e l brr en referenc locl en fncón e los esplzmentos noles referos l sstem globl e coorens.
.3.5 Mtrz e rgez estrctrl e n rmr Pr lstrr el procemento e l constrccón e l mtrz e rgez estrctrl pr n rmr, se conserrá n rmr sencll compest e sólo tres elementos (g..8). P() P(3) g..8 Armr smple compest e tres elementos comptbl e los esplzmentos en ls rtclcones está grntz s smplemente se sn ls msms vrbles e esplzmentos pr ls conexones sí como pr los nos e ls brrs. Entonces, tomátcmente los esplzmentos trnsversles n conexón son gles. Pr estblecer el eqlbro, consérese, por eemplo, el grm e cerpo lbre el no mostro en l g..9. Pr etermnr l mtrz e rgez estrctrl e est rmr, eben prmero estblecerse ls concones e eqlbro qe, en térmnos generles, son: { P } () { P } ( ) { P } ( 3 ) + { R} () { R} ( ) { R} ( 3 ) = { } () { } ( ) {} ( 3 ) ( ) { } () { } { } ( ) 3 ( 3 ) ( 3 ) { } () + + {} ( ) { 3 } ( 3 ) ( 3) (5)
Py Px P3y Rx R3x P3x Ry R3y g..9 Dgrm e cerpo lbre e l rmr smple { P } { R } { } El vector e ccones noles plcs es: = { P } () { P } ( ) { P } ( 3 ) El vector e componentes e reccón es: = { R} { R} { } R3 El vector e ccones noles nterns es: = { } () { } ( ) { } 3 ( 3 ) De l eccón (5), conserno (47), reslt entonces: 3
{ P } () { P } ( ) { P } ( 3 ) + { R} () { R} ( ) { R} ( 3 ) = [ k ( ) { D} () + [ k ( ) { D} [ k ( ) { D} () + [ k ( ) { D} {} () + () 3 3 () 33 D 3 {} [ k ( ) { D} () + [ k3 ( ) { D} 3 3 [ k ( ) { D} + [ k ( ) { } + cy fctorzcón pr { D } ( ), { D} () y { } (3) { P } () { P } ( ) { P } ( 3 ) + { R} () { R} ( ) { R} ( 3 ) = lo qe smplemente pee escrbrse como: { } [ K { D } [ k ( ) { } [ ( ) { } D () + k3 D 3 3 (3) {} [ ( ) { } [ ( ) { } k D + k D 3 3 () 33 D : [ k ( ) + [ k ( ) [ k ( ) [ k 3 3 ( 3 ) [ k ( ) [ k ( ) + [ k ( ) [ k 3 3 ( 3 ) [ k3 ( ) [ k3 ( ) [ k33 ( ) + [ k33 3 3 3 ( 3 ) 3 (3) { D} () { D} ( ) { D} ( 3 ) P = (5) one el vector e ccones noles externs es: { P } { P } + { R } [ = (5) mtrz e rgez estrctrl e l rmr es: [ K [ K [ K3 [ K [ K [ K 3 [ [ [ K 3 K 3 K 33 K = (53) one: (3) (3) + 4
[ K [ [ = k + k () ( 3 ) [ K [ = k () [ K [ 3 = k3 (3) [ K = [ k () [ K = [ k + [ k () ( 3 ) [ K 3 = [ k3 (3) [ K = [ 3 k3 (3) [ K = [ [ [ [ 3 k3 (3) K = k + k ( ) 33 33 (3) 33 3 (54) mentrs qe el vector e esplzmentos noles es: { } { D } () { D } ( ) { D } ( 3 ) D = (55) eccón (5) recbe el nombre e relcón e rgez estrctrl ebo qe ell relcon l vector e ccones noles externs con el vector e esplzmentos noles por meo e l mtrz e rgez estrctrl e l rmr por l eccón (53). En consecenc, e l eccón (5), con ls eccones (53) y (55), se obtene lo sgente: { P} () { P} ( ) { P} ( 3 ) = [ K [ K [ K3 [ K [ K [ K 3 [ K [ K [ K 3 3 33 { D} () { D} ( ) { D} ( 3 ) (56) 5
mtrz e rgez estrctrl es n mtrz smétrc como consecenc e ls propees e smetrí e l mtrz e rgez e c brr. De ls eccones (54) se observ qe ls sbmtrces e l mtrz e rgez estrctrl e l rmr, pertenecentes l gonl prncpl, son gles ls sms e ls mtrces rects e rgez e ls brrs concrrentes l no respectvo, mentrs qe ls sbmtrces fer e l gonl prncpl son ls mtrces nrects e l brr qe conect l no con el no. Pr n rmr e n nos, l mtrz e rgez estrctrl es: [ K = [ K [ K K [ K n [ K [ K K [ K M [ K [ K K [ K n M n n M nn (57) one, en generl, son: [ = [ k ( ) K pr = ; (58) () [ [ k ( ) K = pr V ; (59) eccón (58) nc qe ls sbmtrces e l gonl prncpl son l sm e k ls rgeces rects [ e ls brrs concrrentes l no, mentrs qe l eccón (59) sgnfc qe ls sbmtrces e l mtrz e rgez estrctrl fer e l gonl prncpl son ls mtrces nrects [ k e l brr qe conect l no con el no ; en cso e qe no exst brr e nón entre n no y otro no, l corresponente mtrz [ k = ( ) [, esto es, será n mtrz nl. 6
.3.6 Concones e bore En los nos e n rmr peen estr prescrts ferzs o esplzmentos externos. En lo generl, s n ferz está en n no, entonces l cnt esconoc será el esplzmento, y vcevers. El vector e esplzmentos pee prtconrse e l sgente mner: { } { D } { } D D = (6) c seno { D } y { D c } los vectores e esplzmentos esconocos y conocos, respectvmente. De mner smlr, el vector e ccones noles externs pee prtconrse como contncón: { } { P } c { } P P = (6) De l relcón e rgez (5), con ls eccones (6) y (6), reslt: { Pc } { P } = [ K [ K c [ K [ K c cc { D } { } D c (6) e one: { P } [ K { D } + [ K { D } c = (63) { P } [ K { D } + [ K { D } c c cc c = (64) c En el cso especl en el qe los esplzmentos conocos sen nlos, como scee nte l presenc e poyos fos, entonces ls componentes el vector e 7
esplzmentos conocos { D c } son nls, esto es, { D c } = { } eccones (63) y (64) se smplfcn : * { P } [ K { } c D, por lo qe ls = (65) { } [ K { D } P = (66) c one: * [ K = [ K (67) es l mtrz e rgez estrctrl rec e l rmr. De l eccones (65) y (66) se tene entonces qe: * { D } [ K { } = (68) P c * { P } [ K [ K { P } = (69) c c 8