Matemáticas. Grado 11º. Unidad 1. Secciones cónicas

1 Franklin Eduardo Pérez Quintero Matemáticas Grado 11º Unidad 1 Secciones cónicas 1

Franklin Eduardo Pérez Quintero LOGRO: Identificar las diferentes secciones cónicas con sus principales características y reconociendo la forma de graficarlas. INDICADORES DE LOGRO: Determina la gráfica y ecuación de una circunferencia dada según su radio y centro. Reconoce las diferencias sustanciales entre la circunferencia, la elipse y la parábola. Reconoce y halla las partes de la elipse partiendo de la ecuación. Identifica la gráfica, el vértice, abertura y los interceptos con los ejes coordenados. Resuelve problemas relacionados con las secciones cónicas.

3 Franklin Eduardo Pérez Quintero SECCIONES CÓNICAS RESEÑA HISTÓRICA El matemático griego Menecmo (vivió sobre 350 a.c.) descubrió estas curvas y fue el matemático griego Apolonio (6-190 a. C.) De Perga (antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía. Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas. Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie cónica con un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices. Las hipérbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie cónica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (Base y arista). Las parábolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano paralelo a una sola generatriz (Arista). 3

4 Franklin Eduardo Pérez Quintero Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas. Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira. Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada. En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. El resultado más sorprendente de la Geometría Analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt Sin lugar a dudas las cónicas son las curvas más importantes que la geometría ofrece a la física. Por ejemplo, las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace más importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas 4

5 Franklin Eduardo Pérez Quintero alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica. Aprendamos algo nuevo Una sección cónica (o cónica) es una curva de intersección de un plano con un cono recto circular de dos hojas; tenemos cuatro tipos de curvas: CIRCUNFERENCIA, ELIPSE, HIPÉRBOLA Y PARÁBOLA. Ahora bien, pero qué es una cónica, es el conjunto de puntos P del plano tales que la distancia no dirigida de P a un punto fijo está en razón constante a la distancia no dirigida de P a una recta fija que no contiene al punto fijo. Esta razón constante en la definición anterior se llama excentricidad. Las cónicas tienen innumerables aplicaciones en las ciencias y en la tecnología; de allí la gran importancia que tiene conocerlas y resolver problemas donde se apliquen cada una de ellas. 5

6 Franklin Eduardo Pérez Quintero CIRCUNFERENCIA Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano que (equidistan) de un punto C(h, k) llamado Centro. R = radio C(h,k) = Centro P(x,y) = Punto Cualquiera de Circunferencia. Vamos a obtener la ECUACIÓN CANÓNICA de circunferencia. Por definición de Distancia entre dos puntos, se tiene: R = d(c, P) Esto es: d(c,p) = ( k x h) ( y ) R = ( x h) ( y k ) R ( ( x h) ( y k ) ) R = (x-h) + (y-k) Ecuación canónica de Circunferencia de centro C(h, k) y radio R. Ejemplos: 6

7 Franklin Eduardo Pérez Quintero (x 1) + (y + 3) = 16; es la Ecuación de una Circunferencia de centro C(1,-3) y radio R = 4 x + (y 4) = 7 es la Ecuación de una circunferencia de centro C(0, 4) y Radio R = 7. Si el centro de la circunferencia es C(0,0) y radio R = 5; la Ecuación es: x + y = 5 ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA Al desarrollar la Ecuación Canónica (x-h) + (y-k) = R resulta: (x-h) + (y-k) = R x - hx + h + y ky + k = R x + y - hx ky + h + k = R Ahora tenemos: Ax + By + Cx + Dy + E = 0 Donde A = B y no aparece producto de la variable x e y. Ejemplo: Una circunferencia tiene centro C(-3, 4) y pasa por el punto P(1, -). Determinar su Ecuación General. Solución: Para llegar a la ecuación general partimos de la ecuación canónica: 7

8 Franklin Eduardo Pérez Quintero R = (x-h) + (y-k) Observamos si tenemos el centro, en este caso C(-3, 4) pero el radio no está dado. Cómo encontrarlo? Es sencillo, ya que nos dan un punto P(1, -) por donde pasa las circunferencia; y sabemos que R = d(c, P). Entonces, por definición de distancia, tenemos: R = d(c, P) R 1 ( 3) 4 R 4 6 R 16 36 R 5 Luego, sustituyendo tenemos: (x-h) + (y-k) = R (x+3) + (y-4) 5 Desarrollando la Ecuación canónica. La ecuación general queda: x + y + 6x 8y 7 = 0 Su representación gráfica es: 8

9 Franklin Eduardo Pérez Quintero TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD: Resolver 1.- Determinar la ecuación general de la circunferencia de centro C 1, 3 y Radio R = 3..- Determinar la Ecuación General de la Circunferencia si los extremos del diámetro son A(-, 4) y B(0, -8). 3.- Determinar la Ecuación de la Circunferencia de centro C(-1,4) y es tangente al eje de las abscisas. 9

10 Franklin Eduardo Pérez Quintero ELIPSE Aprendamos algo nuevo Es el lugar Geométrico de los puntos P(x, y) del plano, cuya suma de distancias a dos puntos F 1 y F (focos) es constante. (Ver grafica) d(p,f 1 ) + d(p,f ) = d(a 1, A ) Donde: C(h, k) es el centro. A 1, A, B 1, B Son los Vértices F 1, F Focos. A A 1 = a Eje Mayor. F F 1 = Eje Focal B B 1 = Eje Menor. 10

11 Franklin Eduardo Pérez Quintero ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE A partir de la definición se obtienen dos ecuaciones llamadas canónicas. Estas son: CASO I: Cuando el eje focal está paralelo al eje de las abscisas (x, x 1 ). x h a y k b 1 CASO II: Cuando el eje focal está paralelo al eje de las coordenadas (y, y 1 ). x h b y k a 1 Observación: El centro es C(h, k) a y b están relacionadas con el eje mayor y menor respectivamente por lo tanto para identificar los dos casos, solo tienes que ver con quien está el mayor denominador (con la variable x o con la variable y) Ejemplo: x 3 y 1 La Ecuación 1 Corresponde a una elipse de centro C(3, - 9 4 1) y el eje mayor paralelo a las abscisas. ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE Viene dada por Ax + By + Cx + Dy + E = 0 donde A B pero de igual signo. Ejemplo: x + 3y - 6x + 1y + -1 = 0 11

1 Franklin Eduardo Pérez Quintero Excentricidad: es la relación entre C y a esto es e C a Coordenadas de los vértices y focos: es importante conocer estos puntos de la elipse; pero es báñate sencillo determinar sus coordenadas, tomando en cuenta que siempre se puede llegar a partir del centro de la elipse. CASO I: A 1 (h+a, k) ; A (h-a, k) F 1 (h+c, k) ; F (h-c, k) B 1 (h, k+b) ; B (h, k-b) CASO II: A 1 (h, k+a) ; A (h, k-a) F 1 (h, k+c) ; F (h, k-c) B 1 (h+b, k) ; B (h+b, k Dónde C(h, k) a distancia del centro hasta A 1 y A, b distancia del centro hasta B 1, B c distancia del centro hasta F 1, F. 1

13 Franklin Eduardo Pérez Quintero TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD: Resuelve los siguientes ejercicios Dibujar la elipse (x /64) + (y /16) = 1 Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos F (3, 0) y F (-3, 0), además el intercepto de la gráfica con el eje x es el punto (5, 0). Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por: 5x + 4y = 100 Aprendamos algo nuevo PARÁBOLA Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) y del plano que equidistan (están a la misma distancia) de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada Directriz. Veamos la gráfica para identificar los elementos en sistemas de coordenadas cartesianas. 13

14 Franklin Eduardo Pérez Quintero Por Definición d(p, F) = d(p, M) F = Foco E = Eje V = Vértice I = Pto. De Intersección. Eje Directriz. d(f, V) = d(v, I) = p parámetro ESTUDIAREMOS CUATRO CASOS DE LA ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA CASO 1 CASO Cuando la parábola abre hacia arriba, cuya ecuación canónica es: (x h) = 4p(y k) Donde C(h, k) es el centro de p el parámetro. Cuando la Parábola abre hacia abajo, cuya ecuación canónica es: (x h) = - 4p(y k) Donde C(h, k) es el centro de p el parámetro. ELEMENTOS: ELEMENTOS: 14

15 Franklin Eduardo Pérez Quintero V(h, k) F(h, k+p) I(h, k-p) Eje: x = h Directriz: y = k - p V(h, k) F(h, k - p) I(h, k + p) Eje: x = h Directriz: y = k p EJEMPLO: (x ) = 8(y 3). EJEMPLO: (x 3) = - 8(y 1). Ecuación de Parábola de vértice V(, 3) Ecuación de Parábola de vértice V(3, 1) 4p = 8 p = parámetro. -4p = -4 p = 1 parámetro. Foco: Foco: F(h, k +p) = F(, 3+) = (, 5) I(h, k p) = I(, 3-) = (, 1) F(h, k +p) = F(3, 1-1) = (3, 0) I(h, k p) = I(3, 1+1) = (3, ) Eje x = h entonces x = Eje x = h entonces x = 3 Directriz y = k p entonces y = 3 = 1 Veamos su Grafica. Directriz y = x + p entonces y = 1 + 1 = Veamos su Grafica 15

16 Franklin Eduardo Pérez Quintero CASO 3 CASO 4 Cuando la parábola abre hacia la derecha, cuya ecuación canónica es: (y k) = 4p(x h) Donde C(h, k) es el centro de p el parámetro. Cuando la parábola abre hacia la izquierda, cuya ecuación canónica es: (y k) = - 4p(x h) Donde C(h, k) es el centro de p el parámetro. ELEMENTOS: V(h, k) F(h+p, k) I(h-p, k) Eje: y = k Directriz: x = h - p ELEMENTOS: V(h, k) F(h-p, k) I(h+p, k) Eje: y = k Directriz: x = h + p EJEMPLO: (y 4) = 1(x 1). EJEMPLO: (y 3) = -8x Ecuación de Parábola de vértice Ecuación de Parábola de vértice 16

17 Franklin Eduardo Pérez Quintero V(1, 4) V(0, 3) 4p = 1 p = 3 parámetro. -4p = -8 p = parámetro. Foco: Foco: F(h+p, k) = F(1+3, 4) = (4, 4) I(h - p, k) = I(1-3, 4) = (-, 1) F(h-p, k) = F(0-, 4) = (-, 3) I(h+ p, k) = I(0+, 3) = (, 3) Eje y = 4 Directriz x = 1 3 entonces x = 3 = - Veamos su Grafica. Eje y = 3 Directriz x = 0 + entonces x = Veamos su Grafica. ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA Al desarrollar las ecuaciones canónicas, cualquiera que sea el caso llegamos a una ecuación de la forma: 17

18 Franklin Eduardo Pérez Quintero a) Ax +Cx +Dy + E = 0 o b) Ay +Cx +Dy + E=0 TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD: Resuelve los siguientes puntos Escribe las ecuaciones de las parábolas que tienen los elementos que se señalan: i) directriz x = -3 y foco F(3,0) ii) foco F(,0) y vértice V(0,0) iii) directriz y = 4 y vértice V(0,0) Dada la parábola y x, halla el vértice, el foco y la directriz. Representa las parábolas: i) ii) x y 1 x ii) y 3 6 y 6x iv) y x 3 4 18

19 Franklin Eduardo Pérez Quintero Recolectemos lo aprendido Calcular la distancia entre los centros de la circunferencia de ecuación: (x + 1) + (y + 3) = 5 y (x + 3) + (y - ) = 16 Determinar la Intersección entre la recta de ecuación x y = 1 y la circunferencia de ecuación x + y - x 4y 1 = 0. Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto P(1,6) y tangente a la recta de la ecuación x y 1 = 0 Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuación: 4x + y 16x + y + 13 = 0 Halla la ecuación reducida de la elipse sabiendo que tiene: i) Por focos F(,0); F (-,0) y suma de distancias 5. ii) Por focos F(0,); F (0,-) y suma de distancias 5. Halla la ecuación de la elipse conociendo: A(10,0); A (-10,0) y la excentricidad es e = 0,. 19

0 Franklin Eduardo Pérez Quintero Halla la ecuación de la elipse conociendo: i) C(0,0); F(0,); a = 4. ii) C(-3,0); F(-3,-); a = 4. Halla los valores a, b, c y e sabiendo que la ecuación es: i) x y 9 ii) 16x 9y 144 Entre qué valores máximo y mínimo puede estar comprendida la excentricidad de la elipse? Cuál es la excentricidad de la circunferencia? Halla la ecuación de la elipse de eje mayor 16 y excentricidad ¼. Halla las coordenadas del vértice y del foco, así como las ecuaciones de la directriz y del eje de la parábola y x. Calcula el radio vector del punto de la parábola abscisa es -4. x 4y, cuya Halla la intersección de la recta x y 7 0 con la parábola x y 4y 4. Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del eje de abscisas y del punto (,). Halla los puntos de la parábola x y 5y 6 que equidistan de los puntos (-3,-) y (7,4). Halla la longitud de la cuerda común de la circunferencia x y 13 y la parábola y 3x 3. Halla la ecuación de la parábola que tiene por foco el punto F(0,) y por directriz la recta y x 0