Chater 1 Integración or artes Este método de integración se debe a la alicación de la derivada de un roducto de funciones [f ()g()] 0 = f 0 ()g() + f ()g 0 () Puesto que la integración es la oeración inversa de la derivación; entonces [f ()g()] 0 d = f ()g() Como la integral de una suma es la suma de integrales se obtiene: Desejando f ()g() = [f ()g()] 0 d = f 0 ()g()d + f ()g 0 ()d f ()g 0 ()d obtendremos la regla de integración or artes: f()g 0 ()d = f ()g() f 0 ()g()d Nota 1: La elección de f() y g () es fundamental. Siemre es conveniente elegir g () de manera que se ueda integrar facilmente Nota : La segunda integral ha de ser más sencilla de resolver que la rimera Nota : En muchas ocasiones tendrás que reetir este método varias veces Ejemlos: 1. lnd f () = ln ; f 0 () = 1 g 0 () = 1 ; g() = 1d =. sind ln d = ln f () = ; f 0 () = g 0 () = sin ; g() = 1 d = ln sind = cos 1d = ln 1
Chater 1 Integración or artes sind = cos + Volvemos a integrar or artes ara calcular f () = ; f 0 () = 1 g 0 () = cos ; g() = cosd = sin cos d cosd @ cos d = sin sin d = sin + cos @@ Sustituyendo @@ en @ tendremos: sind = cos + cosd = cos + (sin + cos ). d = 1 sind = cos + sin + cos 0 d 1 f () = ; f 0 () = 1 g 0 () = ; g() = 1 1 d = 1 1 d = 1 + 1 d@ 1 1 d = d = 1 d d = 1 1 1 arcsin d@@ 1 Sustituyendo @@ en @ tendremos: d = 1 + arcsin d 1 1 Observa que la integral inicial I aarece a ambos lados de la igualdad. 1 + arcsin I Desejando I como si de una ecuación se tratase tendríamos 1 + arcsin (Integral cíclica)
La integración or artes, es muy útil ara calcular integrales del siguiente tio: Integral Elecci on ln d f () = ln ;g 0 () = 1 P n () ln d f () = ln ;g 0 () = P n () P ()e d f () = P ();g 0 () = e P () sin d f () = P ();g 0 () = sin P () cosd f () = P ();g 0 () = cos e sind f () = sin ;g 0 () = e (Cíclica) e cos d f () = cos;g 0 () = e (Cíclica) sec +1 d = sec 1 sec d f () = sec 1 ;g 0 () = sec (Cíclica) csc +1 d = csc 1 csc d f () = csc 1 ;g 0 () = csc (Cíclica) arctan d f () = arctan;g 0 () = 1 P n () arctan d f () = arctan ;g 0 () = P n () arcsin d f () = arcsin ;g 0 () = 1 P n () arcsin d f () = arcsin ;g 0 () = P n () sin d = sin sind f () = sin;g 0 () = sin (C {clica) cos d = cos cos d f () = cos ;g 0 () = cos (C {clica) d 1 f () = ;g0 () = (C {clica) 1 d f () = 1 + ;g0 () = (C {clica) 1 + 1 d f () = ;g0 () = 1 (C {clica) etc, etc,...
Chater 1 Integración or artes 1.. 1.1 Ejercicios de integracion or artes ln d = 1 1 (ln ) R 1 d = 1 ln 1 9 sind = cos + cos d = Volvemos ½ a integrar or artes la segunda integral considerando que: f () = f 0 () = 1 g 0 Con lo que () = cos g() = sin sind = cos + sin sin d sind = cos + [ sin + cos ]. cos d = 4 sin R sin d = 5 sin 4. 5. 6. cos R ( cos) d = sin sin + cos e d = 6 e R e d = e e e d = 7 e R e d = e d = e (e R e d) = e + e cosd = 9 e cos + R sin e d = Volvemos a integrar or artes la segunda integral considerando que: 1 4 5 6 7 9 >< f() = ln f 0 () = 1 >: g 0 ()= g() = ½ f()= f 0 ()= ½ g 0 () = sin g() = cos f()= f 0 ()= 1 ½ g 0 () = cos g()= sin f()= f 0 ()= ½ g 0 () = cos g()= sin f()= f 0 ()= 1 ½ g 0 () = sin g() = cos f()= f 0 ()= 1 ½ g 0 () =e g()=e f()= f 0 ()= ½ g 0 () =e g()=e f()= f 0 ()= 1 ½ g 0 () =e g()=e f()= cos f 0 () = sin g 0 () =e g() =e 4
Section 1.1 Ejercicios de integracion or artes 7.. 9. 10. 11. 1. ½ f () = sin f 0 () = cos g 0 () = e g() = e Con lo que: e cosd = e cos + e sin R e cos d Cíclica: Si Desejas R e cos d tendrás e cosd = e cos + e sin e sin 4d = 10 1 e sin 4 4 e cos4d Volvemos ½ a integrar or artes la segunda integral considerando que: f () = cos 4 f 0 () = 4 sin4 g 0 () = e g() = 1 Con lo que: e e sin4d = 1 e sin4 4 1 e cos4 + 4 e sin 4d : Cíclica: 1 e sin4 4 9 e cos 4 16 9 I Como 5 9 1 e sin 4 4 9 e cos4 ; entonces: 9 1 5 e sin 4 4 9 e cos4 0 = 4 5 e cos4 + 5 e sin4 cos 4cosd = ½ f () = cos 4 f 0 () = 4 sin 4 g 0 () = cos g() = 1 sin,con lo que cos 4 cos d = 1 sin cos4 + R sin 4 sind Volvemos ½ a integrar or artes la segunda integral considerando que: f () = sin4 f 0 () = 4 cos4 g 0 () = sin g() = 1 Con lo que: cos 1 sin cos 4 + 1 cos sin 4 + I 1 sin cos 4 cos sin4 + 4I 1 sin cos 4 cos sin 4 1 6 sin cos4 + 1 cos sin4 0 R sin d = cos cosd cos d = cos cosd cos d = 11 sin sin d = sin + cos sin( )d 10 11 ½ f()= sin4 f 0 ()= 4sin4 ½ g 0 () =e g()= 1 e f()= f 0 ()= 1 g 0 () = cos g()= sin 5
Chater 1 Integración or artes 1. arctan d = arctan 1 ln + 1 14. arctan d = 1 arctan 1 + 1 arctan 15. arcsind = arcsin + (1 ) 16. arcsin d = 1 arcsin + 1 4 (1 ) 1 4 arcsin 17. sec d = R sec sec d < f () = sec f 0 () = sectan : g 0 () = sec g() = sec,con lo que: d = tan sec tan sec tan d = sec tan sec sec 1 d = sec d = sec tan + sec d sec d 1. 19. sec tan + ln jsec + tan j I Desejando sec d tendremos sec sec tan + lnjsec + tanj d = 0 csc d = csc csc d < f () = csc f 0 () = csc cot : g 0 () = csc g() = csc,con lo que: d = cot csc cot csc cot d = csc cot csc csc 1 d = csc d = csc cot + cscd csc d csc cot + ln jcsc cotj I Desejando csc d tendremos csc csc cot + lnjcsc cotj d = 0 1 d = 1 1 1d 1 1d = 1 1 1 d 1 f()=!f 0 ()= 1 g 0 () = 1!g()= 1 d = 1 6
Section 1.1 Ejercicios de integracion or artes 0. 1. 1 1 I + 1 d! 1+ ln 1 + ln + ( 1) arcsin d = 1 arcsin 1 d 1 arcsin 1 d = 1 arcsin 1 J Calculemos J or artes J = d = 14 1 + 1 d 1 q J = 1 (1 ) J = 1 (1 ) (1 ) (1 Sacando factor común ) ; tendremos: (1 J = ) (1 ) (1 ) J = Sustituyendo este valor eni tendremos à arcsin 1! (1 ) 0 1 arcsin + 1 9 (1 ) + 9 (1 ) 0 sin cos d = sin sin cos d < f () = sin f 0 () = cos : g 0 () = sin sin cos g() = cos d = 1 sec sin cos d = 1 sec sin 1 sec cos d sin cos d = 1 sec tan 1 secd : + ( 1),con lo que: 1 f()= arcsin!f 0 ()= g 0 () =!g()= 14 f()= ;f 0 () = g 0 () = ;g()= 1 1 1 d = 1 d= 1 7
Chater 1 Integración or artes.. sin cos d = 1 sec tan 1 ln jsec + tan j (1 + ) d = (1 + ) d < f () = f 0 () = 1 : g 0 () = (1 + ) g() = (1 + ) d = 1,con lo (1+ ) que: (1 + ) d = (1+ ) + 1 1 (1+ ) d (1 + ) d = (1+ ) + 1 arctan cos sin d = cos cos sin d : < f () = cos f 0 () = sin : g 0 () = cos cos sin g() = sin d = 1,con lo que: csc cos sin d = 1 csc cos 1 csc sin d sin cos d = 1 csc cos 1 cscd : sin cos d = 1 csc cot 1 lnjcsc cotj