PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO 2.001-2.002 - CONVOCATORIA: Juio MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe respoder (como máximo) a cuatro de las cico pregutas. - Cada ua de las pregutas tiee ua putuació máxima de 2.5 Prueba A 1.- U profesor afirma que el porcetaje de alumos de bachillerato de su cetro que fuma o sobrepasa el 15%. Si e ua muestra de 60 de esos alumos se observó que 12 fuma: i) Es aceptable la afirmació del profesor co u ivel de sigificació de 0.01? Se os platea u cotraste de hipótesis uilateral de la forma: H0 : p p0 H0 : p 0,15 H1 : p > p0 H1 : p > 0,15 p0( 1 p ) 0 Para este cotraste la regió de rechazo es R.R.= p0 + zα, Si pˆ RR.. rechazamos la hipótesis ula y e caso cotrario la aceptamos. 12 = 60; pˆ = = 0, 2; p0 = 0,15; α = 0, 01; z0,01 = 2,33 60 0,15( 1 0,15) RR.. = 0,15 + 2,33, = ( 0,2574, ) 60 0,2 0.2574, o rechazamos la hipótesis ula, es decir, aceptamos que p 0,15. Como ( ) La resolució de este cotraste se podía haber hecho de forma equivalete utilizado el estadístico de prueba, z = p p0 p0(1 p0) y ver si cae e la regió de rechazo, que para este estadístico es: ( z α, ) = ( 2,33, ). z = 0, 2 0,15 0,15(1 0,15) = 1,084 ; como 1,084 ( 2,33, ), o rechazamos la hipótesis ula, es 60 decir, aceptamos la hipótesis ula, p 0,15.
ii) La afirmació del apartado aterior es la misma si el ivel de cofiaza es del 90%? 12 = 60; pˆ = = 0, 2; p0 = 0,15; α = 0,1; z0,1 = 1, 28 60 El estadístico de prueba sigue siedo z p p 0, 2 0,15 0 = = = p0(1 p0) 0,15(1 0,15) 60 1,084 y la regió de rechazo es ( z α, ) = ( 1,28, ). como 1,084 ( 1, 28, ) p 0,15., tampoco rechazamos la hipótesis ula, es decir, aceptamos que
2.- U laboratorio farmacéutico afirma que el úmero de horas que u medicameto de fabricació propia tarda e curar ua determiada efermedad sigue ua variable ormal co desviació típica igual a 8. Se toma ua muestra de 100 efermos a los que se les sumiistra el medicameto y se observa que la media de horas que tarda e curarse es igual a 32. i) Ecotrar u itervalo de cofiaza, co ivel de cofiaza del 99%, para la media del úmero de horas que tarda e curar el medicameto. σ = 8; = 100; x = 32; α = 0, 01; z = z = 2,58 α /2 0,005 σ σ 8 8 X zα /2, X + zα /2 = 32 2,58, 32 + 2,58 = 29,936, 34, 064 100 100 ( ) ii) Si el ivel de sigificació es igual a 0.05, cuál es el tamaño de la muestra que habría que cosiderar para estimar el valor de la media co u error meor de 3 horas? σ = 8; = 100; x = 32; α = 0, 05; z = z = 1,96 α / 2 0,025 σ 8 8 zα / 2 < E z0,025 < 3 1,96 < 2 15,68 15,68 < 3 < 3 > 5, 2266 > 27,31 28
3.- Los beeficios, e cietos de miles de euros, estimados para ua empresa durate los próximos 5 años, viee dados por la fució: 2 t 6 bt () =, si 0 t 5 t + 4 siedo t el tiempo e años. i) Cuádo la empresa deja de teer pérdidas? Nos preguta a partir de que valor de t se tedrá que bt ( ) > 0 E 2 t 6 bt () =, si 0 t 5, el deomiador es siempre positivo, co lo cual se t + 4 reduce a estudiar cuado t 2 6> 0 t 2 > 6 t > 6 = 2,45; ya que la fució está defiida para 0 t 5. ii) Cuáto tiempo tiee que pasar para que los beeficios sea iguales a 125000 euros? Los fució de beeficios mide e cietos de miles, 125000 es 1,25 veces 100000 euros. 2 t 6 2 2 t = 4 = 1, 25 t 6 = 1, 25t+ 5 t 1, 25t 11 t + 4 t = 2,75 t = -2,75 se descarta ya que 0 t 5. iii) Para qué valores la derivada de la fució beeficio es positiva? Justificar la respuesta. 2 ( ) ( ) 2t t + 4 t 6 1 2 t + 8t + 6 2 2 b'( t) = = ( t + 4) ( t + 4) E esta expresió el deomiador es siempre positivo, y el umerador tambié ya que o tiee raíces reales, y el térmio idepediete es positivo. E cosecuecia la fució es siempre creciete.
4.- El propietario de u edificio tiee alquilados los 52 pisos del mismo a 266 euros al mes cada uo. Por cada 7 euros que aumete el alquiler de cada piso pierde u iquilio y, por tato, queda el correspodiete piso si alquilar. i) Cuál es el alquiler que más beeficios producirá al propietario? La fució de beeficios es umero de pisos alquilados por alquiler de cada piso bx ( ) = (52 x)(266 + 7 x), derivamos e igualamos a cero para obteer el máximo. b'( x) = (266+ 7 x) + (52 x)7 = 14x+ 98 b'( x) = 0 14x+ 98 = 0 x = 7 b''( x) = 14 x = 7 es u máximo. El alquiler más beeficioso es cuado tiee 7 pisos desalquilados y por tato cobra 266+7 7=315 por cada uo de los que está alquilados. ii) Cuál es la catidad máxima que puede recibir el propietario por el alquiler de los pisos? b (7) = (52 7)(266 + 7 7) = 45 315 = 14175 euros
5.- U museo tiee tres salas de exposicioes: A, B y C. Los precios de las etradas so, respectivamete, 2, 4 y 7 euros. U determiado día etraro a las tres salas u total de 210 persoas, siedo la recaudació cojuta igual a 810 euros. Teiedo e cueta que la ovea parte de los visitates de la sala A es igual a la séptima parte de los visitates de la sala B, determiar el úmero de visitates de cada sala. Justificar la respuesta. 2A+ 4B+ 7C = 810 2A+ 4B+ 7C = 810 A+ B+ C = 210 A+ B+ C = 210 A B 7A 9B = 0 = 9 7 Resolviédose por cualquier método se tiee que A= 90; B = 70; C = 50.
Prueba B 1.- Se sabe que 2 de cada 8 habitates de ua ciudad utiliza el trasporte público para ir a su trabajo. Se hace ua ecuesta a 140 de esos ciudadaos. Determiar: i) Número esperado de ciudadaos que o va a su trabajo e trasporte público. 2 p = = 0.25; = 140 8 Teemos pues que la variable: X = º de ciudadaos que va a su trabajo e trasporte público e ua muestra de 400 Sigue ua distribució biomial de parámetros = 140, p = 0.25; X B(140,0.25) El valor esperado e ua variable biomial es p= 140 0.25 = 35, e cosecuecia, el º esperado de ciudadaos que No va a su trabajo e trasporte público es 140 35 = 105. ii) Probabilidad de que el úmero de ciudadaos que va al trabajo e trasporte público esté etre 30 y 45. X : B(140, 0.25) Como p = 140 0, 25 = 35 > 5 y (1 p) = 140 (1 0, 25) = 105 > 5, la variable X se puede aproximar por ua variable ormal Y. (, (1 ) ) ( 140 0.25, 140 0.25 0.75) ( 35,5.12) Y N p p p = N = N Si o se hace Correcció por cotiuidad 29,5 35 Y 35 45,5 35 P( 30 X 45 ) P(29,5 < Y < 45,5) = P = 5.12 5.12 5.12 = P Z = P Z P Z = ( 1.07 2.05) 1 ( 1.07) ( 2.05) PZ ( ) PZ ( ) = 1 1.07 1.95 = 1 0.1423 0.0202 = 0.8375 Si o se hace Correcció por cotiuidad 30 35 Y 35 45 35 P( 30 X 45 ) P(30 < Y < 45) = P = P( 0.97 Z 1.95) = 5.12 5.12 5.12 = 1 PZ 0.97 PZ 1.95 = 1 0.1660 0.0256 = 0.8084 ( ) ( )
2.- E ua muestra de 600 persoas de ua ciudad se observa que 30 so imigrates. i) Determiar u itervalo de cofiaza de ivel 0.95 para el porcetaje de imigrates e la ciudad. 30 p = = 0.05; = 600 600 Nivel de cofiaza = 1 α = 0.95 α = 0.05 α/ 2 = 0.025 El itervalo de cofiaza para ua proporció es: p(1 p) p(1 p) p zα /2, p+ zα /2 = 0.05 0.95 0.05 0.95 = 0.05 1.96,0.05 1.96 = 0.0325, 0.0674 600 600 ( ) ii) Si se quiere estimar el porcetaje de imigrates co u error máximo de 0.02, cuál es el tamaño de la muestra que habría que cosiderar si se usa u ivel de sigificació del 1%? Datos del apartado: p = 0.05; E = 0.02; α = 0.01 α / 2 = 0.005 z = z = 2.58 > 791.667 792 z α /2 p(1 p) < E α /2 0.005 0.05(1 0.05) 2.58 < 0.02 0.0475 0.02 < 2.58 0.0475 < 0.0775 0.0475 < ( 0.0775 ) 2 0.0475 < 0.00006
3.- El equipo directivo afirma que la media del recorrido que hace los alumos que asiste a u cetro de bachillerato es, a lo sumo, igual a dos kilómetros y medio co ua desviació típica igual a 0.5 km. Se toma ua muestra de 81 alumos y se obtiee para ellos u recorrido medio de 2.6 km. i) Se puede aceptar co u ivel de sigificació igual a 0.05 la afirmació del equipo directivo? Se os platea u cotraste de hipótesis uilateral de la forma: H0 : µ µ 0 H0 : µ 2.5 H1 : µ > µ 0 H1 : µ > 2.5 σ Para este cotraste la regió de rechazo es R.R.= µ 0 + zα, Si x RR.. rechazamos la hipótesis ula y e caso cotrario la aceptamos. x = 2.6; µ = 2.5; σ = 0.5; α = 0, 05; z = 1.64 0 0,05 RR 0.5.. = 2.5 + 1.64, = ( 2.591, ) 81 Como 2.6 ( 0.2574, ) rechazamos la hipotesis ula, es decir aceptamos que µ 2.5. La resolució de este cotraste se podía haber hecho de forma equivalete utilizado x µ 0 el estadístico de prueba, z = y ver si cae e la regió de rechazo que para este σ z α, = 1.64,. estadístico es es: R.R.=( ) ( ) 2.6 2.5 0.1 z 1, 8 0.5 0.5 81 9 decir aceptamos que µ 2.5. = = = ; como 1.8 ( 1.64, ), rechazamos la hipótesis ula, es ii) La respuesta al apartado aterior es la misma si el ivel de cofiaza es del 99%? x = 2.6; µ 0 = 2.5; σ = 0.5; α = 0, 01; z0,01 = 2.33 El estadístico de prueba sigue valiedo lo mismo: x µ 0 2.6 2.5 0.1 z = = = = 1,8 σ 0.5 0.5 81 9 Lo que varía es la R.R. que ahora es RR.. = ( z α, ) = ( 2.33, ) 1.8 2.33,, aceptamos la hipótesis ula. Como ( )
4.- Se sabe que el úmero de delfies que existirá e los próximos años e ua reserva 15000t + 4000 atural marítima, viee dado por la fució t () =, siedo t el úmero de 2t + 2 años trascurridos. Se pide: i) Determiar el úmero de delfies que habrá detro de 9 años. 15000t + 4000 t () = 2t + 2 Nos pide calcular ( ) 15000 9 + 4000 9 = = 6950 2 9 + 2 delfies. ii) Cuátos años ha de pasar hasta que haya 7250 delfies? Teemos que resolver la ecuació 15000t + 4000 t ( ) = 7250 = 7250 15000t + 4000 = 14500t + 14500 2t + 2 10500 500t = 10500 t = = 11 años 500 iii) Determiar el valor hacia el que tederá e el futuro el úmero de delfies de la reserva. 15000t + 4000 15000 lim t ( ) = lim = = 7500 delfies t t 2t + 2 2
5.- Dada la regió defiida por las desigualdades 2x+ 2y 10, x+ 2y 4, x 0, y 0: i) Represetarla gráficamete. x+ 2y = 4 f ( x) = 4x+ 5y 2x+ 2y = 10 ii) Determiar el puto de la regió aterior e el que se maximiza z = 4x+ 5y. Los putos extremos de la regió so (0,2) (2,3) y (5,1), al querer maximizar desplazamos la fució objetivo e la direcció (4,5). Los putos extremos so: x = 0 f (0,2) = 4 0 + 5 2 = 10 y = 2 x = 5 f (5, 0) = 4 5 + 5 0 = 20 y = 0 2x+ 2y = 10 x = 2 f (2,3) = 4 2 + 5 3 = 23 x+ 2y = 4 y = 3 co lo cual el máximo lo alcaza e el puto (2,3).