Integrción numéric Lbortori de Càlcul Numèric (LCàN Versión 1. 8 de julio de 11 LCàN
Índice 1. Conceptos generles 3 1.1. Introducción............................ 3 1.. Plntemiento generl...................... 4 1.3. Clsificción y definiciones.................... 7. Integrción de Newton-Cotes 1.1. Introducción............................ 1.. Fórmuls cerrds de Newton-Cotes............... 1.3. Fórmuls bierts de Newton-Cotes............... 15.4. Técnics de mejors de l integrción numéric........ 19.4.1. Combinción de fórmuls simples............ 19.4.. Fórmuls compuests................... 1.4.3. Extrpolción de Richrdson............... 5.4.4. Integrción de Romberg................. 7 3. Integrción de Guss 31 3.1. Plntemiento del problem................... 31 3.. Clsificción............................ 34 3.3. Fórmuls de Guss-Legendre................... 35 3.4. Fórmuls de Guss-Lguerre................... 37 3.5. Fórmuls de Guss-Hermite................... 38 3.6. Fórmuls de Guss-Chebyshev.................. 4 LCàN
1. Conceptos generles 1.1. Introducción L integrción numéric es de grn importnci en ciencis plicds e ingenierí. Sus plicciones vn desde cálculo de l cpcidd de un pntno prtir de dtos topográficos en el ámbito de l ingenierí civil, hst l estimción de l fuerz totl ejercid por el ire sobre ls ls de un vión en ingenierí eronáutic. En tods ests plicciones el objetivo es clculr un integrl definid I = f(x dx, (1 con l myor precisión y el menor coste computcionl posibles. A pesr de este mplio rngo de plicciones, es lícito preguntrse porqué es necesrio relizr numéricmente el cálculo de l integrl (1. L respuest est pregunt es muy simple: no siempre es fctible clculr nlíticmente un integrl. Por ejemplo, en muchs plicciones se desconoce l expresión nlític de l función que se debe integrr y sólo se conoce su vlor en unos puntos {(x i, f(x i, i =,..., n}. Es más, existen vrios csos en los que, incluso existiendo un expresión nlític de l integrl (1, es más eficiente relizrl numéricmente. A continución se presentn dos ejemplos que muestrn lguns de ls limitciones computcionles de l integrción nlític. En determinds ocsiones el resultdo nlítico de l integrl definid (1 es un expresión bstnte complicd, como por ejemplo, x 1 1 + t dt = 1 4 4 log x + x + 1 x x + 1 1 ( + x x rctn + rctn. x + x LCàN Nótese que clculr repetidmente est integrl puede ser muy cro desde el punto de vist computcionl, y que en l expresión nterior prece un vez l función logritmo y dos veces l función rco tngente cuyo coste computcionl es muy superior l de un sum o un producto. Además, en ls implementciones numérics incluso ests funciones se clculn proximdmente. Por último, se debe observr que ls funciones log(x y rctn(x pueden estr indeterminds pr ciertos vlores de x. Por lo tnto, en estos csos tmbién será preciso desrrollr lgun expresión proximd l vlor excto de l función. 3
A veces el resultdo de l integrl (1 no dmite un representción nlític que pued expresrse medinte un número finito de términos, como por ejemplo π/ x ( 1 sin x dx = 1 1 3 + 1 5 1 7 +.... Obsérvese que si l serie infinit nterior se proxim medinte l sum de un número finito de términos tmbién se comete un error de truncmiento que en lgunos csos, puede ser muy importnte. Por consiguiente, tmbién es necesrio desrrollr un método numérico pr clculr este tipo de integrles. 1.. Plntemiento generl L estrtegi usul pr obtener fórmuls que permitn clculr numéricmente l integrl (1 se fundment en l interpolción numéric. Básicmente consiste en proximr l función integrr medinte un polinomio que ps por un serie de puntos bse {(x i, f(x i, i =,..., n} y posteriormente integrr el polinomio. Es decir, f(x = P n (x + R n (x, ( donde P n (x es el polinomio interpoldor de grdo n y R n (x es el error de interpolción. En generl, el polinomio interpoldor puede escribirse como P n (x = c i N i (x, donde los coeficientes c i pueden expresrse como un combinción linel de los vlores de l función en los puntos bse, f(x i, i = 1,..., n y N i (x represent el i-ésimo término de un bse de polinomios (polinomios de Lgrnge, Newton,.... Por lo tnto, l integrl (1 puede expresrse como LCàN I = f(x dx = = = P n (x dx + c i N i (x dx + c i N i (x dx + R n (x dx 4 R n (x dx R n (x dx. (3
Concretmente, si se reliz un interpolción de Lgrnge, entonces P n (x = f(x i L i (x, donde L i (x es el i-ésimo polinomio de Lgrnge Es decir, L i (x = n x x j i =,..., n. (4 x i x j j= j i c i = f(x i i =,..., n N i (x = L i (x i =,..., n. Además, en este cso el error de interpolción es R n (x = f n+1 (µ L(x µ [, b], (n + 1! donde L(x es el polinomio de Lgrnge L(x = n (x x j. (5 j= Recuérdese que en relidd el vlor µ depende del punto en que se evlú el polinomio interpoldor, es decir, µ = µ(x. Sustituyendo estos resultdos en l expresión (3 se obtiene I = f(x dx = = f(x i L i (x dx + 1 w i f(x i + (n + 1! LCàN R n (x dx f n+1 (µl(x dx, (6 donde los puntos en los que se evlú l función, {x i, i =,..., n}, se denominn puntos bse de integrción y los vlores w i, i =,..., n se denominn pesos de integrción y vlen w i = 5 L i (x dx.
Figur 1: Representción gráfic del error de integrción. En líne continu se represent l función f(x mientrs que el polinomio interpoldor, p n (x, se represent en líne discontinu. Observción 1. Nótese que fijdo un vlor de n, hy n + 1 puntos bse de integrción, puesto que se empiez contr en i =. Si se define cudrtur como l sum de los productos del vlor de l función en unos puntos por unos pesos Q n = w i f(x i, (7 y se define el error de l integrción numéric como E n = R n (x dx = 1 (n + 1! entonces l integrl (1 puede expresrse como I = f n+1 (µl(x dx, LCàN f(x dx = Q n + E n. (8 L ecución (8 visuliz explícitmente el plntemiento generl de l integrción numéric. Es decir, desde el punto de vist numérico l integrl de un función se expres como un cudrtur más un error de integrción. Obsérvese que l cudrtur represent l proximción numéric l vlor excto de l integrl. Concretmente, en los prtdos siguientes se nlizrn ls propieddes más importntes de diferentes tipos de cudrturs. Por 6
el contrrio, el error de integrción no se puede clculr puesto que se desconoce el vlor de µ(x y en l myorí de csos l expresión de l derivd n + 1 de l función f(x. Observción. El objetivo de l integrción numéric es clculr de form eficiente un integrl definid. Por consiguiente, no interes que el error de interpolción, R n (x, se pequeño, sino que E n se pequeño. Por ejemplo, en l figur 1 se proxim un función f(x por un polinomio P n (x. Desde el punto de vist de l proximción numéric este resultdo podrí ser inceptble debido ls oscilciones que present el polinomio interpoldor y ls grndes diferencis que hy entre éste y l función f(x. Sin embrgo, en l integrción numéric de funciones este comportmiento no es relevnte y el objetivo es que l diferenci entre l integrl de l función y el polinomio se lo menor posible. Obsérvese que en el ejemplo presentdo en l figur 1 el polinomio interpoldor sobrevlor e infrvlor l función f(x en diferentes intervlos del dominio de integrción. De form que existe un compensción de áres y el vlor de l integrl de f(x y P n (x de puede ser muy precid. 1.3. Clsificción y definiciones Ls cudrturs de integrción usulmente se clsificn prtir de dos criterios. El primero tiene en considerción los extremos del intervlo de integrción. Un cudrtur se denomin cerrd si los extremos formn prte de los puntos bse de integrción, es decir, = x y b = x n (ver figur.. Por el contrrio, un cudrtur se denomin biert si los extremos del intervlo no formn prte de los puntos bse de integrción (ver figur.b. LCàN ( Figur : Clsificción de ls cudrturs de integrción de cuerdo con los extremos de integrción: ( cudrtur cerrd, (b cudrtur biert. El segundo criterio se bs en l elección de los puntos bse de integrción. 7 (b
Si los puntos bse de integrción están predetermindos, entonces ls cudrturs se denominn de Newton-Cotes. En estos csos los puntos de integrción, {x i, i =,..., n}, están fijos y el método de integrción determin cunto vlen los pesos de integrción, {w i, i =,..., n}, y un expresión pr el error, E n. Como cso prticulr y de grn interés práctico, se nlizrá el cso de puntos equiespcidos. Si los puntos bse de integrción están libres, entonces ls cudrturs se denominn de Guss. En este cso se supone que es posible evlur l función f(x en culquier punto del intervlo de integrción. A fin de mejorr l precisión del cálculo, el método de integrción determin: 1. cules son los puntos de integrción, {x i, i =,..., n},. cunto vlen los pesos de integrción, {w i, i =,..., n}, y 3. cul es l expresión del término del error, E n. Si lgunos de los puntos están predetermindos y el resto están libres, entonces ls cudrturs se denominn mixts. En generl, cunto myor se el número de puntos libres myor será l precisión de l cudrtur. Es decir, sólo se fijn los puntos estrictmente necesrios. Un vez se h desrrolldo un tipo de cudrtur es importnte poder segurr si l ir ñdiendo más puntos de integrción mejor el resultdo de l integrción numéric. En este sentido, dd l integrl definid (1 y un cudrtur (7 se dice que l cudrtur converge l vlor excto de l integrl si lím Q n = I, n o equivlentemente, lím E n =. n Finlmente, es importnte definir un criterio pr poder comprr el comportmiento de vris cudrturs. Por consiguiente, se dice que un cudrtur es de orden n cundo integr exctmente todo polinomio de grdo n y no integr exctmente lgún polinomio de grdo n + 1. Observción 3. En l definición de orden de convergenci de un cudrtur se utilizn los polinomios como funciones de referenci. En l práctic, ls cudrturs se utilizn pr proximr l integrl de un función, f(x, culquier. Observción 4. Si un cudrtur tiene orden de integrción superior otr cudrtur no implic que siempre proporcione mejores proximciones l vlor excto de un integrl. Nótese que el orden de un cudrtur sólo hce 8 LCàN
referenci l grdo del polinomio que siempre integr exctmente. Es decir, por muy lto que se el grdo de los polinomios que se integr exctmente no se tiene porque integrr mejor un función culquier. Sin embrgo, pr determinds cudrturs y funciones, es cierto que un myor orden de de integrción implic proximciones numérics más excts. LCàN 9
. Integrción de Newton-Cotes.1. Introducción En el ámbito de ls ciencis plicds y de l ingenieí es muy usul tener que clculr l integrl de un función de l cul sólo se conocen sus vlores en unos puntos equiespcidos en el tiempo o en el espcio. Est crcterístic de los puntos bse de integrción permite deducir fórmuls generles de fácil y mpli utilizción. Supóngse que pr clculr l integrl (1 se dispone de n + 1 puntos en los que se conoce el vlor de l función f(x, es decir, se conocen los vlores {( x i, f(x i, i =,..., n }. Como se h comentdo en el prtdo nterior, un de ls técnics más utilizds consiste en proximr l función f(x por un polinomio que pse por estos n + 1 puntos. Si se utilizn los resultdos obtenidos en l interpolción de Lgrnge, entonces el resultdo de l integrción numéric de (1 viene ddo por l expresión (6. Nótese que est ecución es válid pr un distribución culquier de n + 1 puntos. Sin embrgo, en este prtdo se prticulriz l ecución (6 pr puntos bse equiespcidos. Concretmente, primero se deducen ls fórmuls cerrds de Newton-Cotes y después se nlizn ls fórmuls bierts de Newton-Cotes. Finlmente se estudin diferentes técnics pr mejorr l precisión de ls proximciones obtenids medinte ls fórmuls nteriormente citds... Fórmuls cerrds de Newton-Cotes Supóngse que los n + 1 puntos están equiespcidos en el dominio de integrción [, b], de form que el primer y el último nodo coinciden con los límites de integrción tl como muestr l figur 3. Entonces, LCàN x i = x + ih = + ih i =,..., n donde h = b n. Nótese que, con est notción, un punto x culquier del dominio de integrción verific x = x + αh = + αh α R. 1
Figur 3: Discretizción generl del dominio de integrción medinte fórmuls cerrds de Newton-Cotes. Por lo tnto, l expresión de los polinomios de Lgrnge (4 y del polinomio de Lgrnge (5 es L i (x = L i (x + αh = n α j i j j= j i n L(x = L(x + αh = h n+1 (α j. (1 En ests condiciones, l expresión (6 puede escribirse en función de α como I = f(x dx = = n j= n (9 f(x i h L i (α dα + hn+ f n+1 (µl(α dα (n + 1! w i f(x i + E n, (11 LCàN donde los pesos de integrción vlen w i = h y el error de integrción es E n = n n α j dα i =,..., n (1 i j j= j i hn+ (n + 1! n f n+1 (µ 11 n (α j dα. (13 j=
Nótese que en l ecución (13 µ, depende de α y por tnto no es posible scr fuer de l integrl el término f n+1 (µ. Sin embrgo, l expresión del error (13 puede simplificrse considerblemente. En prticulr, se verific el siguiente teorem (ver [5] págin 313 pr un demostrción detlld de este teorem Teorem 1. Se Q n = w i f(x i, un cudrtur cerrd de n + 1 puntos equiespcidos según h = (b /n que proxim l integrl I = Entonces el error de integrción verific E n = = h n+ (n + 1! f n+1 (µ h n+ (n + 1! f n+1 (µ si n es impr y f(x C n+1 [, b] y E n = = h n+3 (n +! f n+ (µ h n+3 (n +! f n+ (µ f(x dx. n j= n n n n (α j dα α(α 1... (α n dα, (14 α n (α j dα j= α (α 1... (α n dα, (15 si n es pr y f(x C n+ [, b]. Observción 5. Nótese que si n es impr, y de cuerdo con l expresión generl del error de integrción (13, el orden de integrción es n (se integrn exctmente todos los polinomios de grdo n puesto que el error de integrción depende de l derivd n + de l función integrndo. Sin embrgo, si n es pr el orden de integrción ument y es n + 1 (se integrn exctmente todos los polinomios de grdo n + 1. En este sentido, es preferible utilizr cudrturs con vlores de n pr puesto que se obtiene un orden de integrción extr. Seguidmente, se determinn los pesos y el error de integrción pr dos fórmuls cerrds simples de Newton-Cotes. Concretmente, se obtiene l fórmul simple del trpecio y l fórmul simple de Simpson. 1 LCàN
Fórmul simple del trpecio En este cso l función f(x se proxim medinte un polinomio de grdo uno (n = 1. Por consiguiente, l ecución (11 es I = w f(x + w 1 f(x 1 + E 1. Figur 4: Interpretción gráfic de l fórmul simple del trpecio. De cuerdo con l expresiones (9 y (1 los pesos de integrción vlen 1 ( 1 α 1 w = h 1 dα = h α α 1 = h 1 1 α α w 1 = h dα = h 1 = h. Pr obtener l expresión del error de integrción bst con hcer n = 1 en l ecución (14 1 ( E 1 = h3! f (µ α(α 1 dα = h3 α f 3 1 (µ 3 α 1 = h3 1 f (µ Por lo tnto l fórmul simple del trpecio es I = f(x dx = h (f + f 1 h3 1 f (µ (16 En l figur 4 se present l interpretción gráfic de est fórmul simple. Entonces l integrl f(x dx se proxim por el áre de un trpecio de bse h y lturs f y f 1 (ver figur 4. Como en el término del error de integrción prece l derivd segund de f(x, l fórmul simple del trpecio integr exctmente culquier polinomio de grdo 1 o menor. Por tnto, es un fórmul de orden 1. 13 LCàN
Fórmul simple de Simpson En este cso l función f(x se proxim por un prábol (n = y l ecución (11 es I = w f(x + w 1 f(x 1 + w f(x + E. Figur 5: Interpretción gráfic de l fórmul simple de Simpson. De cuerdo con l expresiones (9 y (1 los pesos de integrción vlen (α 1(α w = h dα = h ( α 3 ( 1( 3 3 α + α = h 3 α(α w 1 = h ( (1( 1 dα = h α α3 3 = 4h 3 ( α(α 1 α 3 w = h dα = h ((1 3 α = h 3. Puesto que en este cso n es pr, pr obtener l expresión del error de integrción se debe plicr l ecución (15 con n = E = h5 4! f 4 (µ α (α 1(α dα ( = h5 α 4 f 4 5 (µ 5 3 α4 4 + α3 3 = h5 9 f 4 (µ LCàN Por lo tnto l fórmul simple de Simpson es I = f(x dx = h 3 (f + 4f 1 + f h5 9 f 4 (µ (17 14
L figur 5 present l interpretción gráfic de l fórmul simple de Simpson. L función f(x se interpol medinte un prábol. Como el término del error de integrción prece l derivd curt de f(x, l fórmul simple de Simpson integr exctmente culquier polinomio de grdo 3 o menor. Por tnto, es un fórmul de orden 3. Obsévese que l ser n pr se h incrementdo el orden de integrción respecto lo que prece indicr l expresión generl (13. En el péndide A se presentn los puntos bse y los pesos de integrción pr diverss fórmuls simples de Newton-Cotes. Su deducción es precid l relizd en los dos ejemplos nteriores. Como puede observrse, en todos los csos se verific que cundo n es impr el orden de integrción es n y cundo n es pr el orden de integrción es n + 1..3. Fórmuls bierts de Newton-Cotes Supóngse que los n + 1 puntos están equiespcidos según un distnci h en el dominio de integrción [, b], de form que el primer y el último nodo tmbién distn h de los límites de integrción (los límites del dominio de integrción, y b, no son puntos bse de integrción. Es decir, se divide el dominio de integrción en n + intervlos de longitud h (ver figur 6. Entonces, x i = x + ih i =,..., n donde h = b n +. Nótese que = x h y que b = x + (n + 1h. Figur 6: Discretizción generl del dominio de integrción medinte fórmuls bierts de Newton-Cotes. 15 LCàN
Como en ls cudrturs cerrds, substituyendo ls expresiones (9 y (1 en l ecución (6, ést últim puede escribirse en función de α como I = n+1 n+1 f(x i h L i (α dα + hn+ f n+1 (µl(α dα 1 (n + 1! 1 = w i f(x i + E n (18 donde los pesos y el error de integrción vlen, respectivmente, n+1 n α j w i = h dα i =,..., n (19 i j E n = 1 h n+ (n + 1! j= j i n+1 1 f n+1 (µ n (α j dα ( L expresión del error (13 puede simplificrse considerblemente. En prticulr, se verific el siguiente teorem (ver [5] págin 314 pr un demostrción detlld de este teorem Teorem. Se Q n = w i f(x i, un cudrtur biert de n+1 puntos equiespcidos según h = (b /(n+ que proxim l integrl I = Entonces el error de integrción verific E n = = h n+ (n + 1! f n+1 (µ h n+ (n + 1! f n+1 (µ si n es impr y f(x C n+1 [, b] y E n = h n+3 (n +! f n+ (µ f(x dx. n+1 1 j= n+1 1 n+1 1 n+1 j= n (α j dα LCàN = h n+3 (n +! f n+ (µ 1 16 α(α 1... (α n dα, (1 α n (α j dα j= α (α 1... (α n dα, (
si n es pr y f(x C n+ [, b]. Observción 6. Al igul que sucedí con ls fórmuls cerrds de Newton- Cotes, es importnte resltr que cundo n es impr, y de cuerdo con l expresión generl del error de integrción (, el orden de integrción es n (se integrn exctmente todos los polinomios de grdo n. Sin embrgo, si n es pr el orden de integrción ument y es n + 1 (se integrn exctmente todos los polinomios de grdo n + 1. A continución se determinn los pesos y el error de integrción pr ls fórmuls bierts de Newton-Cotes con n = y n = 1. Fórmul simple pr n = En este cso l función f(x se proxim por un polinomio de grdo (n = 1. Por consiguiente, l ecución (11 es I = w f(x + E. LCàN Figur 7: Interpretción gráfic de l fórmul biert con n =. El peso y el error de integrción se clculn prtir de ls expresiones (19 y ( respectivmente y vlen w = h 1 1 E = h3 f (µ! dα = hα 1 1 1 1 = h α dα = h3 f (µ 17 α 3 3 1 1 = h3 3 f (µ.
Por lo tnto l fórmul biert pr n = es I = f(x dx = hf + h3 3 f (µ. (3 L figur 7 present l interpretción gráfic de est fórmul simple. L integrl f(x dx se proxim por el áre del rectángulo de bse igul l longitud del dominio de integrción, h, y de ltur igul l vlor de l función en el punto medio del dominio. Nótese que el error de integrción de l fórmul biert (3 está determindo por l ecución ( y no por l expresión generl ( por ser n = pr. Además el orden de integrción es 1 puesto que en el término del error de integrción prece l derivd segund de f(x. Fórmul simple pr n = 1 L función f(x se proxim por un rect (n = 1 y l ecución (11 se reduce I = w f(x + w 1 f(x 1 + E 1. Figur 8: Interpretción gráfic de l fórmul biert con n = 1. Los pesos y el error de integrción se clculn prtir de ls expresiones 18 LCàN
(19 y (1 y son 1 ( α 1 α w = h 1 ( 1 dα = h α = 3 1 1 h 1 α w 1 = h dα = hα 1 1 = 3 1 h E 1 = h3 f (µ ( α(α 1 dα = h3 f (µ α 3! 3 1 Por lo tnto l fórmul biert pr n = 1 es I = f(x dx = 3h ( f + f 1 + 3h 3 α 1 1 4 f (µ. = 3h3 4 f (µ. Al igul que l fómul biert con n =, l expresión nterior tmbién es un fórmul de orden 1. En l figur 8 se present l interpretción gráfic de est fórmul simple..4. Técnics de mejors de l integrción numéric En este prtdo se presentn cutro técnics bstnte utilizds pr mejorr el comportmiento de ls cudrturs de Newton-Cotes nteriormente presentds. Por ejemplo, pr ls fórmuls compuests se obtiene que ls cudrturs desrrollds son convergentes..4.1. Combinción de fórmuls simples L ide básic de est técnic es combinr dos fórmuls simples del mismo orden fin de mejorr el resultdo finl de l proximción numéric l integrl. Con este fin se considern dos fórmuls del mismo orden medinte ls cules se proxim el vlor de l integrl (1, es decir, LCàN I = I 1 + E 1 = I + E, (4 donde I 1 y I representn ls dos cudrturs y E 1 y E sus respectivos errores de integrción. Puesto que ls dos fórmuls simples son del mismo orden entonces estos errores pueden escribirse como E 1 = k 1 h p f q (µ 1 = k 1 (b p f q (µ 1 E = k h p f q (µ = k (b p f q (µ, 19
donde k 1, k, k 1 y k, son uns constntes, h es l distnci entre los puntos bse, y p y q son unos vlores crcterísticos de ls fórmuls de integrción (recuérdese que si en el error de integrción prece l derivd q-ésim, entonces el orden de integrción es q 1. Suponiendo que l derivd q-ésim de l función es suficientemente suve, es decir, si f q (µ 1 f q (µ, entonces E 1 = k 1 E 1 = k 1 E. E k k Substituyendo este resultdo en l ecución (4 se obtiene I = I 1 + k 1 E = I + E E = I 1 I. k 1 k 1 /k Por lo tnto, l proximción l integrl (1 puede mejorrse prtir de los cálculos previmente relizdos medinte ls cudrturs I 1 y I como o equivlentemente, I 1 I I = I + k, k k 1 I = k I 1 k 1 I (5 k k 1 Por ejemplo, supóngse que se h proximdo un integrl definid medinte l cudrtur cerrd de Simpson, n =, y l segund cudrtur cerrd de Simpson, n = 3, (ver l tbl de cudrturs cerrds de Newton-Cotes que prece en el péndice A. Nótese que ests dos cudrturs son del mismo orden y que en este cso: I 1 = h ( 1 f(x + 4f(x 1 + f(x 3 I = 3h ( f(x + 3f(x 1 + 3f(x + f(x 3 8 E 1 = 1 9 h5 1f 4 (µ 1 E = 3 8 h5 f 4 (µ, LCàN es decir, k 1 = 1 k 9 5 = 3 8 3. 5 Por lo tnto, prtir de los resultdos obtenidos con ls dos cudrturs de Simpson, se puede mejorr l proximción numéric de l integrl utilizndo l expresión (5, que en este cso prticulr es I = 9 5 I 4 5 I 1.
.4.. Fórmuls compuests L utilizción de fórmuls compuests es uno de los métodos de integrción más utilizdos en ciencis e ingenierí cundo los dtos integrr están definidos sobre puntos equiespcidos. El método consiste en dividir el dominio de integrción en m intervlos y plicr en cd uno de ellos un fórmul cerrd de Newton-Cotes de n subintervlos o n + 1 puntos (ver figur 9. Por lo tnto, el número totl de intervlos utilizdos es s = mn y el número totl de puntos de integrción es p = m(n + 1 (m 1 = nm + 1. LCàN Figur 9: Discretizción generl del dominio de integrción medinte fórmuls compuests. Observción 7. Es posible deducir fórmuls compuests prtir de fórmuls bierts de Newton-Cotes. En este cso, el dominio de integrción se dividirí en m intervlos y en cd uno de ellos se utilizrí l fórmul biert. Sin embrgo, hor serí imposible mntener los puntos bse de integrción equiespcidos. 1
En generl, es posible deducir fórmuls compuests pr culquier fórmul simple de Newton-Cotes de n+1 puntos. No obstnte, en l práctic, ls dos fórmuls más utilizds son l fórmul compuest del trpecio y l fórmul compuest de Simpson. Fórmul compuest del trpecio En este cso se subdivide el dominio de integrción en m intervlos y en cd uno de ellos se utiliz l fórmul simple del trpecio (16, es decir, n = 1 subintervlo, o puntos de integrción. Por lo tnto, el número totl de intervlos es s = m y el número totl de puntos es p = m + 1. L figur 1 present gráficmente tnto l prtición del dominio de integrción en δ 1,..., δ m intervlos como l numerción de los puntos bse de integrción. En ests condiciones m xi I = f(x dx = f(x dx i=1 x i 1 ( m h ( i = f(x i 1 + f(x i h3 i 1 f (µ i i=1 m h ( i m h 3 i = f(x i 1 + f(x i 1 f (µ i. i=1 Si los puntos están equiespcidos, entonces h i = h = b m, y por lo tnto l integrl puede expresrse como ( b I = f(x dx = b m 1 (b 3 i=1 f(x + f(x i +f(x m f (µ m 1m 3 i. LCàN Puesto que existe un µ [, b] tl que (ver [5] págin 35 i=1 m f (µ i = mf (µ, i=1 entonces ( b I = f(x dx = b m 1 (b 3 f(x + f(x i + f(x m m 1m f (µ, i=1 (6 i=1 m
Figur 1: Discretizción generl del dominio de integrción medinte l fórmul compuest del trpecio. que recibe el nombre de fórmul o regl compuest del trpecio. Nótese que en l expresión (6 el número totl de intervlos coincide con el número de veces que se plic l fórmul simple del trpecio, es decir, s = m. Por lo tnto, el error de integrción de l fórmul compuest del trpecio es (b 3 E s = f (µ. (7 1s Observción 8. Al contrrio de lo que sucede con ls fórmuls simples de Newton-Cotes, l umentr el número de puntos bse de integrción en l expresión nterior el orden de l derivd que prece en el error de integrción permnece constnte. Por lo tnto, si dich derivd está cotd en el dominio de integrción, f (x < k, x [, b], entonces lím E s =, s y l regl compuest del trpecio converge l vlor excto de l integrl. Fórmul compuest de Simpson L regl compuest de Simpson se obtiene l dividir el dominio de integrción en m intervlos y en cd uno de ellos utilizr l fórmul simple de Simpson (17 que corresponde n = subintervlos, o 3 puntos de integrción. Por lo tnto, el número totl de intervlos es s = m y el número totl de puntos es p = m + 1. L figur 11 present gráficmente tnto l prtición del dominio de integrción en δ 1,..., δ m intervlos, los cules su vez se subdividen en dos subintervlos cd uno. Así mismo, est figur tmbién muestr l numerción de los puntos bse de integrción. 3 LCàN
Figur 11: Discretizción generl del dominio de integrción medinte l fórmul compuest de Simpson. En ests condiciones m xi I = f(x dx = f(x dx i=1 x i ( m h ( i = f(x i + 4f(x i 1 + f(x i 3 i=1 Si los puntos están equiespcidos, entonces h i = h = b m, y por lo tnto l integrl puede expresrse como I = f(x dx = b 6m h5 i 9 f 4 (µ i m ( f(x i + 4f(x i 1 + f(x i i=1 (b 5 9(m 5 m f 4 (µ i Puesto que existe un µ [, b] tl que (ver [5] págin 35 entonces I = i=1 LCàN m f 4 (µ i = mf 4 (µ, i=1 f(x dx = b ( f(x + 4 6m m m 1 f(x i 1 + f(x i + f(x m i=1 (b 5 88m 4 f 4 (µ (8 4 i=1
que recibe el nombre de fórmul o regl compuest de Simpson. Nótese que el término del error en l expresión nterior está en función de el número de veces que se plic l fórmul de Simpson, m. Si dicho término se expres en función del número totl de intervlos, s = m, entonces: (b 5 E s = 18s f 4 (µ (9 4 Observción 9. El número de puntos bse de integrción utilizdos en l regl compuest de Simpson, p = m + 1, siempre es impr. Observción 1. Al igul que l regl compuest del trpecio, (6, l umentr el número de puntos bse de integrción en l expresión (9 el orden de l derivd que prece en el error de integrción permnece constnte. Por lo tnto, si dich derivd está cotd en el intervlo de integrción, f 4 (x < k, x [, b], entonces lím E s =, s y l regl compuest de Simpson converge l vlor excto de l integrl..4.3. Extrpolción de Richrdson L extrpolción de Richrdson consiste en mejorr l proximción numéric obtenid medinte l combinción de los resultdos obtenidos l plicr un fórmul compuest con dos números diferentes de puntos bse de integrción. En prticulr, seguidmente se plic l extrpolción de Richrdson l fórmul compuest del trpecio y de Simpson. Aplicción l fórmul compuest del trpecio Supóngse que se h clculdo el vlor de l integrl (1 medinte l regl compuest del trpecio utilizndo s 1 y s intervlos (s 1 + 1 y s + 1 puntos. Por lo tnto se verific LCàN I = I 1 + E 1 = I + E, (3 donde I 1 y I representn los vlores numéricos obtenidos l plicr l cudrtur compuest del trpecio con s 1 y s intervlos respectivmente y E 1 y E son los errores de intgrción. De cuerdo con l ecución (7 los errores de integrción son E 1 = E = (b 3 f (µ 1s 1 1 (b 3 f (µ 1s 5
donde µ 1 y µ son dos puntos pertenecientes l dominio de integrción [, b]. Si l derivd segund de l función f(x es suficientemente suve, es decir, si f (µ 1 f (µ, entonces E 1 E = ( s s 1 E 1 = ( s s 1 E. Substituyendo este resultdo en l ecución (3 se obtiene I = I 1 + ( s E = I + E E = I I 1 ( s. 1 s s 1 1 Por lo tnto, l proximción l integrl (1 puede mejorrse prtir de los cálculos nteriormente relizdos medinte ls cudrturs compuests I 1 y I como ( I = I + E = I + I I I s 1 s 1 I1 ( = (. s s 1 1 s s 1 1 Aunque l elección del número de intervlos es rbitrri, en l práctic es usul tomr s = s 1 (de est form, y como se verá en l integrción de Romberg, es posible provechr ls evluciones de l función f(x relizds previmente. Entonces, l ecución nterior se reduce I = 4I I 1 3 Aplicción l fórmul compuest de Simpson (31 L plicción de l extrpolción de Richrdson l fórmul compuest de Simpson es muy similr l desrrollo nterior. De nuevo, supóngse que se h clculdo el vlor de l integrl (1 medinte l regl compuest de Simpson utilizndo s 1 y s intervlos. Es decir, LCàN I = I 1 + E 1 = I + E, (3 donde I 1 y I representn los vlores numéricos obtenidos l plicr l cudrtur compuest de Simpson con s 1 y s intervlos respectivmente y E 1 y E son los errores de integrción que se desconocen. De cuerdo con (9 estos errores pueden expresrse como E 1 = E = (b 5 f 4 (µ 18s 1 1 (b 5 f 4 (µ 18s 6
donde µ 1 y µ son dos puntos pertenecientes l dominio de integrción [, b]. Suponiendo que derivd curt de l función f(x es suficientemente suve (es decir, f 4 (µ 1 f 4 (µ es posible expresr E en función de E 1 de form similr como se h relizdo en l plicción l fórmul compuest del trpecio. Por tnto, l mejor de l proximción l integrl (1 prtir de los cálculos relizdos previmente medinte l fórmul compuest de Simpson es ( 4 I = I + E = I + I I I s 1 s 1 I1 ( 4 = ( 4. s s 1 1 s s 1 1 Si, como en l plicción l regl compuest del trpecio, se tom s = s 1, entonces I = 16I I 1 (33 15.4.4. Integrción de Romberg L integrción de Romberg no es más que un plicción recursiv de l extrpolción de Richrdson plicd l fórmul compuest del trpecio. Con el fin de sistemtizr este método de integrción el proceso se divide en vrios psos. En el primer pso se design por T i,1 el vlor numérico que se obtiene l proximr l integrl (1 medinte l regl compuest del trpecio (6 utilizndo m = i intervlos, con i = 1,..., N siendo N un vlor previmente fijdo. Estos resultdos se presentn en un column de l form siguiente: T,1 T 1,1. T N 1,1 T N,1 vlor obtenido l utilizr m = intervlos vlor obtenido l utilizr m = 1 intervlos LCàN. vlor obtenido l utilizr m = N 1 intervlos vlor obtenido l utilizr m = N intervlos. En relidd, el coste computcionl de relizr ests integrles puede reducirse considerblemente puesto que es posible reutilizr los cálculos previmente relizdos. Concretmente, primero se clcul l cudrtur compuest del trpecio con m = = 1 intervlos, es decir l cudrtur simple del trpecio ( T,1 = b 1 1 ( f( + f(b. 7
Seguidmente, se debe clculr l cudrtur compuest del trpecio con m = 1 =. Sin embrgo, est cudrtur puede expresrse como ( T 1,1 = b 1 ( f( + f(b + f( + b ( = 1 ( T,1 + (b f + b. Del mismo modo, l clculr l cudrtur compuest del trpecio con m = y con m = 3 intervlos se obtiene, respectivmente, ( T,1 = b 1 ( 3 f( + f(b + f( + b 4 4 i i=1 ( = 1 (b 3 ( T 1,1 + f + b 4 i i=1 i= ( T 3,1 = b 1 ( 7 f( + f(b + f( + b 8 8 i i=1 ( = 1 (b 7 ( T,1 + f + b 4 8 i. i=1 i= Es fácil demostrr por inducción que l fórmul generl pr clculr T i,1 en función de T i 1,1 es ( T i,1 = 1 (b i 1 ( T i 1,1 + f + b i. (34 i 1 i i=1 i= LCàN Es importnte resltr que, de cuerdo con l recurrenci nterior, pr clculr l proximción T i,1 es preciso evlur l función f(x sólo i 1 veces. Puesto que T i,1 es el resultdo de proximr l integrl medinte l cudrtur compuest del trpecio con m = i intervlos, el error de integrción es, ver ecución (7, (b 3 E i,1 = f (µ µ [, b]. 1 i El segundo pso consiste en, un vez clculds ls proximciones medinte l cudrtur compuest del trpecio, relizr un extrpolción de Richrdson sobre cd prej de vlores T i,1 y T i+1,1, con i = 1,..., N 1. Puesto 8
que por construcción el número de intervlos verific que s i+1 = s i, entonces puede utilizrse l expresión (31 de form que T i, = 4T i+1,1 T i,1 3 i = 1,..., N 1, (35 donde T i, es el vlor obtenido l plicr l extrpolción de Richrdson sobre T i,1 y T i+1,1. Es fácil comprobr que T i, coincide con l cudrtur compuest de Simpson cundo m = i (recuérdese que según el subprtdo.4. m es el número de veces que se utiliz un fórmul simple pr obtener un fórmul compuest. En prticulr, ( T, = 4T 1,1 T,1 = b ( (b f( + 4f + + f(b, 3 6 que coincide con l fórmul simple del trpecio. Como T i, es el resultdo de proximr l integrl medinte l cudrtur compuest de Simpson con m = i intervlos, y de cuerdo con l expresión (9, el error de integrción es (b 5 E i, = 88 f 4 (µ µ [, b]. 4i El tercer pso consiste en relizr un extrpolción de Richrdson sobre cd prej contigu de los vlores nteriormente clculdos. Es decir, si T i,3, con i = 1,..., N es l extrpolción de Richrdson de los vlores T i, y T i+1,3, entonces según l ecución (33 se obtiene T i,3 = 16T i+1, T i, 15 i = 1,..., N 1, (36 LCàN En este cso tmbién se puede demostrr por inducción que T i,3 coincide con l fórmul compuest correspondiente l fórmul cerrd de cinco puntos, cundo ést últim se plic m = i veces. Por consiguiente, el error de integrción es (b 7 E i,3 = 193536 f 6 (µ µ [, b]. 6i Ls expresiones (35 y (36 son un cso prticulr de l fórmul generl T i,j = 4j 1 T i+1,j 1 T i,j 1 4 j 1 1 9 i = 1,..., N 1, (37
Además, se demuestr que el error correspondiente T i,j verific (ver [1] E i,j = k(, b, j f j (µ µ [, b], ij donde k(, b, j es un constnte que depende de los límites de integrción y de j. Es importnte resltr que mientrs los vlores de T i,j, con j 3, se corresponden con regls compuests de integrción, esto no es cierto pr T i,j, con j > 3. T,1 T, T,3... T,M T,M 1 T,M T 1,1 T 1, T 1,3... T 1,M T 1,M 1 T,1 T, T,3... T,M...... T N,1 T N, T N,3 T N 1,1 T N,1 T N 1, Cudro 1: Representción medinte un tbl de l integrción de Romberg L expresión (37 muestr como el proceso de extrpolción de Richrdson descrito nteriormente puede plicrse de form recurrente pr clculr numéricmente un integrl definid. Generlmente, los resultdos de este proceso se presentn por columns como muestr l tbl 1. Nótese que est representción muestr clrmente como se implement este método. El proceso se inici clculndo l primer column de cuerdo con l expresión (34. A prtir de est column se clculn ls restntes medinte l expresión generl (37. Observción 11. L mejor proximción l vlor excto de l integrl que proporcion l integrción de Romberg corresponde l coeficiente T,M de l tbl 1. Recuérdese que cd column de est tbl corresponde l plicción de un fórmul compuest. En consecuenci, fijd un column de l tbl 1, l precisión de l proximción l vlor excto de l integrl ument l descender por dich column y que el número de intervlos utilizdos pr relizr el cálculo tmbién se increment. Además, cd column pude interpretrse como l extrpolción de Richrdson de l column nterior. Por lo tnto, l precisión de l proximción tmbién ument con el número de columns. LCàN 3
3. Integrción de Guss 3.1. Plntemiento del problem En el prtdo se hn deducido fórmuls de integrción del tipo I = f(x dx = w i f(x i + E n, donde l posición de los n+1 puntos bses de integrción está predefinid de ntemno (puntos equiespcidos. En generl, y de cuerdo con ls expresiones (13 y (, ests fórmuls son de orden n, es decir, integrn exctmente todo polinomio de grdo n (recuérdese que éste er el resultdo generl, sin embrgo, pr n pr se obtení un orden de integrción extr. Por tnto, fijdos los n + 1 puntos bse de integrción y prtir de n + 1 incógnits (los pesos de integrción w i, con i =,..., n se integrn exctmente polinomios de grdo n, determindos por n + 1 coeficientes. A prtir de est reflexión surge de form nturl l siguiente pregunt: es posible integrr polinomios de grdo n + 1 (polinomios determindos por n + coeficientes si tnto l posición de los n + 1 puntos bse como los n + 1 pesos de integrción son un incógnit? En otrs plbrs, si se escoge decudmente l posición de los puntos bse de integrción es posible umentr el orden de integrción? L respuest es, fortundmente, firmtiv. Con el objetivo de determinr cul es l posición óptim de los puntos bse de integrción, x i con i =,..., n, y posteriormente clculr de form nturl los pesos de integrción, w i con i =,..., n, supóngse que se debe clculr l integrl I = w(xf(x dx, (38 LCàN donde w(x es un función de ponderción rbitrri. Obsérvese que pr w(x = 1 se obtiene l integrl (1. En este sentido, l inclusión de l función w(x en l definición de l integrl (38 permite hcer más generles los resultdos que seguidmente se obtendrán. Como en los prtdos nteriores, tmbién se supondrá que l función f(x se proxim medinte polinomios de Lgrnge ( de form que f(x = P n (x + R n (x = 31 f(x i L i (x + f n+1 (µ (n + 1! L(x.
Entonces, I = w(xf(x dx = + f(x i 1 (n + 1! w(xl i (x dx w(xf n+1 (µl(x dx. Por tnto, un vez se conozcn los puntos bse, los pesos de integrción se clculrán como y el error de integrción será E n = w i = w(xf(x dx = w(xl i (x dx, (39 1 (n + 1! w(xf n+1 (µl(x dx. (4 Puesto que el objetivo es integrr exctmente culquier polinomio de grdo n+1, si l función f(x fuer un polinomio de grdo n+1, f(x = P n+1 (x, entonces el error de integrción deberí ser nulo, E n =. En este cso, puesto que l función integrndo se proxim medinte un interpolción de Lgrnge ( y sólo se dispone de n + 1 puntos bse de integrción P n+1 (x = P n (x + R n (x, donde el resto de integrción, R n (x, debe ser un polinomio de grdo n + 1 y que siempre es posible expresr un polinomio de grdo n + 1 como sum de un polinomio de grdo n más otro de grdo n + 1. Entonces, en este cso el error de interpolción puede descomponerse como R n (x = f n+1 (µ (n + 1! L(x = q n(x L(x (41 LCàN donde L ( x es el polinomio de Lgrnge (5, de grdo n + 1 y q n (x es forzosmente un polinomio de grdo n. Considérese un fmili de polinomios ortogonles de grdo n + 1 {Q (x, Q 1 (x,..., Q n 1 (x, Q n (x}, según el producto esclr definido por < f(x, g(x >= 3 w(xf(xg(x dx.
donde el polinomio Q i (x es de grdo i. Nótese que l función w(x es l mism función que prece en l integrl (38. Puesto que tod fmili de polinomios ortogonles de grdo n + 1 formn un bse del subespcio vectoril de los polinomios de grdo igul o inferior n + 1, entonces culquier polinomio de grdo igul o inferior n + 1 se puede expresr como combinción linel de dich fmili de polinomios ortogonles. En prticulr, L(x = q n (x = n+1 c i Q i (x (4 b i Q i (x. (43 Por consiguiente, introduciendo ls combinciones lineles (4 y (43 en l descomposición (41, el error de integrción (4 es n+1 E n = c i b j w(xq i (xq j (x dx = j= c i b i < Q i (x, Q i (x > por ser {Q i (x} un fmili de polinomios ortogonles. Es decir, si el error de integrción debe ser nulo, entonces existen dos posibiliddes: b i = con i =,... n. En consecuenci, E n =, pero debido l ecución (43 tmbién se cumple que q n (x =. Es decir, por l descomposición (41 R n (x = lo cul no tiene sentido. c i = con i =,... n. En este cso l integrl es exct como se deseb. Además, l cumplirse est últim condición, l ecución (4 permite expresr el polinomio de Lgrnge como n+1 L(x = c i Q i (x = c n+1 Q n+1 (x. Así mismo, por l propi definición del polinomio de Lgrnge (5 éste es L(x = n (x x j = (x x (x x 1... (x x n. Por lo tnto, se verific LCàN (x x (x x 1... (x x n = c n+1 Q n+1. (44 33
Es decir, los ceros del polinomio de Lgrnge son ls ríces del polinomio ortogonl de grdo n + 1, Q n+1 (x. Nótese que l ecución (44 indic exctmente cuáles hn de ser los puntos bse de integrción pr que el error de integrción se nulo: los puntos bse de integrción hn de ser los ceros del polinomio ortogonl de grdo n + 1, Q n+1 (x. A modo de resumen, el siguiente cudro present el plntemiento generl de l integrción gussin. Resumen Se {Q (x, Q (x,..., Q n 1 (x, Q n (x} un fmili de polinomios ortogonles según el producto esclr < f(x, g(x > = Entonces, es posible clculr l integrl I = w(xf(x dx = w(xf(xg(x dx. w i f(x i + E n, medinte un cudrtur de orden n+1 si los puntos de integrción son los ceros del polinomio ortogonl de grdo n + 1, Q n+1 (x. En este cso, los pesos de integrción vlen w i = w(xl i (x dx, y el error de integrción se puede expresr como E n = Ω(, b, nf n+ (µ, µ [, b] (45 donde Ω(, b, n es un función de los límites de integrción y de n. LCàN 3.. Clsificción De cuerdo con los resultdos presentdos en el subprtdo nterior, l posición de los puntos bse de integrción, el vlor de los pesos de integrción y l expresión del error de integrción dependen de l fmili (bse de polinomios ortogonles que se utilice. Es importnte resltr que l elección de l fmili de polinomios ortogonles tmbién define implícitmente un función de peso w(x y unos límites de integrción (los límites del intervlo en el que l fmili de polinomios es ortogonl. En este sentido, l relción entre fmilis de polinomios ortogonles y fórmuls de integrción gussin más importntes es: 34
Pol. ortogonles Símbolo Fórmul de integrción w(x Pol. de Legendre {P n (x} Guss-Legendre 1 Pol. de Lguerre {ˆL n (x} Guss-Leguerre e x Pol. de Hermite {H n (x} Guss-Hermite e x Pol. de Chebychev {T n (x} Guss-Chebychev 1/ 1 x Observción 1. Al igul que en l bibliogrfí, los polinomios de Lguerre se expresn como L i (x, con i =,..., n. Aunque est notción coincide con l utilizd pr los polinomios de Lgrnge (4, el lector identificrá clrmente cd fmili de polinomios por el contexto. 3.3. Fórmuls de Guss-Legendre En este tipo de integrción gussin, se tom como fmili de polinomios ortogonles los polinomios de Legendre. En l tbl se presentn los cinco primeros polinomios de Legendre. Es importnte recordr que los polinomios de Legendre son ortogonles según el producto esclr < f(x, g(x >= 1 1 f(xg(x dx. Es decir, l prticulrizción de l ecución (38 l integrción de Guss- Legendre es w(x = 1 = 1 b = 1 Por consiguiente, siempre es posible expresr l integrl de un función f(x sobre el intervlo [, 1] como un cudrtur más un error de integrción. L fórmul resultnte es conocid como fórmul de Guss-Legendre LCàN I = 1 1 f(x dx = w i f(x i + E n, donde los puntos bse de integrción son los ceros del polinomio de Lengendre de grdo n+1, P n+1 (x y los pesos de integrción se clculn según l ecución (39 w i = 1 1 35 L i (x dx,
P (x = 1 P 1 (x = x P (x = 1 (3x 1 P 3 (x = 1 (5x3 3x P 4 (x = 1 8 (35x4 3x + 3 Cudro : Polinomios de Legendre y el término del error de integrción se puede expresr de l form determind por l ecución (45. Sin embrgo, en l myorí de plicciones es preciso clculr l integrl en un intervlo culquier [, b]. En este cso tmbién se puede utilizr un fórmul de Guss-Legendre medinte el siguiente cmbio de vribles z = x ( + b. (46 b Por tnto, es posible clculr l integrl I = f(x dx = b 1 ( z(b + ( + b f dz 1 = b ( zi (b + ( + b w i f + E n, donde los vlores z i están definidos sobre el intervlo [ 1, 1]. En el péndice A se present de form tbuld los vlores de los puntos bse y sus correspondientes pesos de integrción pr diferentes vlores de n. Pr todos los vlores de n, los puntos bse de integrción (ls ríces de los polinomios ortogonles de Legendre de grdo n + 1 siempre están en el intervlo [ 1, 1] y que son simétricos respecto el origen (x =. Por este motivo, en l tbl del péndice A, los puntos bse con vlores diferentes de cero se deben interpretr siempre como vlores positivos y negtivos, ±z i. Por ejemplo, pr n = 1 se cumple: ±z i w i,577356918966 1, 36 LCàN
Entonces, los puntos bse de integrción son: x =,577356918966 y x 1 =,577356918966, mientrs que los pesos de integrción son w = w 1 = 1,. 3.4. Fórmuls de Guss-Lguerre En muchs plicciones es necesrio proximr el vlor de un integrl definid sobre un dominio infinito. Ddo que los polinomios de Lguerre son ortogonles bjo el producto esclr < f(x, g(x >= e x f(xg(x dx, su utilizción pr el cálculos de integrles definids sobre el intervlo [, es mplimente utilizd. Es decir, ls fórmuls de Guss-Lguerre son de l form I = e x f(x dx = w i f(x i + E n, donde, los puntos bse de integrción son los ceros del polinomio de Lguerre de grdo n+1, L n+1 (x, los pesos de integrción se clculn según l ecución (39 w i = e x L i (x dx, y el término del error de integrción se puede expresr de l form (45. En l tbl 3 se presentn los primeros cinco polinomios de Lguerre. ˆL (x = 1 ˆL 1 (x = 1 x ˆL (x = 4x + x ˆL 3 (x = 6 18x + 9x x 3 ˆL 4 (x = 4 96x + 7x 16x 3 + x 4 Cudro 3: Polinomios de Lguerre Nótese que l expresión de l integrción de Guss-Lguerre se h obtenido l hcer w(x = e x = b = 37 LCàN
en l ecución (38. Pr clculr l integrl sobre un dominio [,, siendo un vlor finito, bst con plicr el cmbio de vrible de form que I = f(x dx = z = x, e z e z f(z + dz = w i e z i f(z i + + E n. En el péndice A se presentn tbuldos los vlores de los puntos bse y de los pesos de integrción pr diferentes fórmuls de Guss-Lguerre. Los vlores que precen entre préntesis delnte de los pesos de integrción deben interpretrse de l siguiente mner. Se dicho número y b el vlor que prece en l column socid l peso de integrción. Entonces el vlor rel del peso de integrción es b 1. Adicionlmente, tmbién se muestrn los vlores del producto w i e z i pr ls plicciones l cálculo de integrles sobre un dominio [, ]. Por ejemplo, pr n = 1 se cumple: z i w i w i e z i,58578643767 ( 1 8,5355339593 1,53336331 3,4141356373 ( 1 1,464466947 4,459573355 Entonces, los puntos bse de integrción son x =,58578643767 y x 1 = 3,4141356373; los pesos de integrción son w =,85355339593 y w 1 =,1464466947; y los productos w e z = 1,53336331 y w 1 e z 1 = 4,459573355. 3.5. Fórmuls de Guss-Hermite Tmbién es posible utilizr un fmili de polinomios ortogonles pr evlur integrles en el dominio [, ]. En este cso prticulr son especilmente indicdos los polinomios de Hermite y que son ortogonles según el producto esclr LCàN < f(x, g(x >= e x f(xg(x dx. En l tbl 4 se presentn los primeros cinco polinomios de Hermite. Por lo tnto, si en l ecución (38 se hce w(x = e x = b = 38
H (x = 1 H 1 (x = x H (x = 4x H 3 (x = 8x 3 1x H 4 (x = 16x 4 48x + 1 Cudro 4: Polinomios de Hermite se obtiene l expresión pr ls fórmuls de Guss-Hermite I = e x f(x dz = w i f(x i + E n. Como en ls fórmuls gussins nteriores, los pesos de integrción se clculn según l ecución (39 w i = e x L i (x dx, y el término del error de integrción se puede expresr de l form (45. Obsérvese que l fórmul de Guss-Hermite puede plicrse l cálculo de l integrl de un función f(x culquier puesto que I = f(z dz = e z e z f(z dz = w i e z i f(zi + E n. En el péndice A se presentn tbuldos los vlores de los puntos bse y de los pesos de integrción pr diferentes fórmuls de Guss-Hermite. Como en l integrción de Guss-Lguerre, el vlor rel de los pesos de integrción se obtiene multiplicndo b 1, donde represent los vlores que precen entre préntesis delnte de los pesos de integrción y b el vlor que prece en l column de los pesos de integrción. Así mismo, tmbién se muestrn los vlores del producto w i e z i pr ls plicciones l cálculo de l integrl de un función culquier. Concretmente, pr n = 1 se verific: LCàN ±z i w i ±w i e z i,7716781166548 ( 1 8,86695458 1,461141186611 Entonces, los puntos bse de integrción son x =,7716781166548 y x 1 =,7716781166548; los pesos de integrción son w = w 1 =,88669-5458; y los productos w e z = 1,461141186611 y w1 e z 1 = 1,461141186611. 39
3.6. Fórmuls de Guss-Chebyshev Los polinomios de Chebyshev tmbién son mplimente utilizdos en ls fórmuls gussins de integrción. En l tbl 5 se presentn los primeros cinco polinomios de Chebyshev. Estos polinomios son ortogonles bjo el producto esclr < f(x, g(x >= 1 1 1 f(xg(x dx. 1 x Es decir, su utilizción permite clculr integrles de l form (38 cundo w(x = = 1 b = 1 T (x = 1 T 1 (x = x 1 1 x T (x = x T 3 (x = 4x 3 3x T 4 (x = 8x 4 8x + 1 Cudro 5: Polinomios de Chebyshev Por consiguiente, medinte l integrción de Guus-Chebyshev se obtiene I = 1 1 1 f(x dx = 1 x w i f(x i + E n, LCàN donde los n + 1 puntos bse de integrción son ls ríces de los polinomios de Chebyshev de grdo n + 1, T n+1 (x. Es importnte recordr que estos ceros pueden clculrse de form explícit como ( (i + 1π x i = cos i =,..., n n + Además, los pesos de integrción tmbién se pueden clculr nlíticmente puesto que w i = 1 1 1 1 x L i(x dx = 4 π n + 1 i =,..., n
y el error de integrción se puede expresr de l form (45. L integrción de Guss-Chebyshev tmbién se puede extender un dominio de integrción [, b] culquier medinte el cmbio de vrible (46. Es decir, I = f(x dx = b 1 ( z(b + ( + b f dz 1 = b 1 ( 1 z(b + ( + b 1 z f dz 1 1 z = b ( w i 1 zi f zi (b + ( + b + E n. LCàN 41
n = 1 n = n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 n = 9 n = 1 b b b b Fórmuls cerrds de Newton-Cotes f(x dx = h (f + f 1 1 1 h3 f (µ f(x dx = h (f + 4f 1 + f 1 3 9 h5 f 4 (µ f(x dx = 3h (f + 3f 1 + 3f + f 3 3 8 8 h5 f 4 (µ f(x dx = h (7f + 3f 1 + 1f + 3f 3 + 7f 4 8 45 945 h7 f 6 (µ f(x dx = 5h (19f + 75f 1 + 5f + 5f 3 + 75f 4 + 19f 5 88 75 196 h7 f 6 (µ f(x dx = h ( 41f + 16f 1 + 7f + 7f 3 + 7f 4 14 +16f 5 + 41f 6 9 14 h9 f 8 (µ f(x dx = 7h ( 751f + 3577f 1 + 133f + 989f 3 178 +989f 4 + 133f 5 + 3577f 6 + 751f 7 8183 5184 h9 f 8 (µ f(x dx = 4h ( 989f + 5888f 1 98f + 1496f 3 14175 454f 4 + 1496f 5 98f 6 + 5888f 7 + 989f 8 368 467775 h11 f 1 (µ f(x dx = 9h ( 857(f + f 9 + 15741(f 1 + f 8 896 +18(f + f 7 19344(f 3 + f 6 + 5778(f 4 + f 5 173 146 h11 f 1 (µ f(x dx = 5h ( 1667(f + f 1 + 163(f 1 + f 9 99376 4855(f + f 8 + 74(f 3 + f 7 655(f 4 + f 6 +47368f 5 134635 3691859 h13 f 1 (µ LCàN 4
n = n = 1 n = n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 Fórmuls bierts de Newton-Cotes f(x dx = hf + 1 3 h3 f (µ f(x dx = 3h (f + f 1 + 3 4 h3 f (µ f(x dx = 4h (f f 1 + f + 8 3 9 h5 f 4 (µ f(x dx = 5h (11f + f 1 + f + 11f 3 + 95 4 144 h5 f 4 (µ f(x dx = 6h (11f 14f 1 + 6f 14f 3 + 11f 4 + 41 14 h7 f 6 (µ f(x dx = 7h ( 611f 453f 1 + 56f + 56f 3 453f 4 144 +611f 5 + 557 864 h7 f 6 (µ f(x dx = 8h ( 46f 954f 1 + 196f 459f 3 + 196f 4 945 954f 5 + 46f 6 + 3956 14175 h9 f 8 (µ LCàN 43
Cudrturs de Guss- Legendre ±zi wi ±zi wi n=1 n=15.57735 691 8966 1..951 598 37637 44165.18945 614 5568 49685.816 3557 7958 9133.186 3415 4493 588867 n=.4581 67776 577 38634.16915 65193 95 538189..88888 88888 88889.61787 6444 643 748447.14959 59688 16576 7381.77459 6669 41483.55555 55555 55556.7554 4483 553 33895.146 8971 55533 875.66563 13 87831 74388.9515 85116 849 76481 n=3.94457 53 733 57678.65 3539 38647 89663.33998 1435 84856.6514 51548 6546.9694 9349 91649 93596.715 4594 11754 9485.86113 63115 9453.34785 48451 37454 n=19 n=4.765 6511 33497 333755.1575 33BT1 375 85698..56888 88886 88869.778 58511 41645 768.14917 9864 763 746788.53846 9311 5683.4786 8674 99366.3737 6887 15419 56673.149 6193 1838 5139.9617 98459 38664.369 6885 56189.5186 719 587 984.13168 86384 49176 66898.6365 3687 6515 5453.11819 45319 61518 41731 n=5.74633 1964 615 79614.1193 1198 174 43537.3861 9186 83197.46791 39345 7691.83911 69718 18 83395.837 67415 7674 74675.661 93864 6665.3676 1573 48139.913 448 5135 95868.667 463 3419 6357.9346 9514 315.1713 4493 7917.96397 197 77913 79168.46 1496 386 941331.9931 85991 6594 94786.1761 471 3915 11831 n=6..41795 91836 73469 n=3.4584 51513 77397.38183 55 5119.645 6898 665 6665.1793 81953 4675 156974.74153 11855 99394.797 53914 8977.19111 88674 73616 39159.1583 74563 4688 9611.9491 7913 4759,1948 49661 6887.3154 6796 96163 374387.1167 479 783 3914.43379 35C76 645 138487.1155 5668 5375 661353 n=7.5454 14713 68839 535658.1744 471 15965 634783.18343 4644 9565.3668 37833 7836.6489 36519 36975 5695.9761 8651 4113 8887.5553 499 1639.3137 66458 77887.741 41915 78554 36444.8619 1615 31953 75917.79666 64774 1367.38 1344 53374.8 19859 739 91954.7334 64814 118 35734.968 98564 97536.11 8536 9376.88641 557 441 3413.599 65649 15436 76746.9387 455 73 75854.447 74388 17419 86169 n=8.9747 85559 7139 498198.853 13886 8933 663181..333 9355 16.99518 7199 971 3618.134 197 99987 199547.345 3434 389.3134 777 43.61337 1437 59.661 6964 935.8363 1173 6636.1664 8166 94857.96816 395 766.317 43883 61574 n=9.14887 43389 81631.955 447 14753.43339 53941 947.696 67193 9996.6794 9568 994.198 6365 1598.865 33666 88985.14945 13491 5581.9739 6585 1717.6667 13443 8688 n=11.153 3485 11469.4914 7458 1343.36783 14989 9818.3349 5365 38355.58731 7954 86617.316 7467 366.7699 6741 9435.167 8385 43346.9411 7563 7475.1693 9359 95318,98156 634 46719,4717 53363 8651 LCàN 44