Álgebra Local. Pedro Sancho de Salas

Álgebra Local Pedro Sancho de Salas 2001

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Índce General 1 Completacón 5 1.1 Introduccón.......................................... 5 1.2 Anllos noetheranos. Varedades algebracas. Repaso................... 5 1.3 Límtes nductvos y proyectvos.............................. 14 1.4 Completacón......................................... 19 1.4.1 Ejemplos de completacones y graduados...................... 22 1.4.2 Topología I-ádca. Completacón I-ádca..................... 24 1.4.3 Artn-Rees...................................... 24 1.4.4 Completacón y noetherandad........................... 27 1.4.5 Teorema de Cohen.................................. 28 1.5 Problemas........................................... 31 2 Teoría de la dmensón local 35 2.1 Introduccón.......................................... 35 2.2 Longtud de un módulo................................... 35 2.3 Funcón de Hlbert...................................... 38 2.4 Dmensón en anllos locales noetheranos......................... 39 2.5 Teoría de la dmensón en varedades algebracas..................... 42 2.6 Problemas........................................... 44 3 Anllos locales regulares 47 3.1 Introduccón.......................................... 47 3.2 Anllos locales regulares................................... 47 3.3 Anllos locales regulares de dmensón 1 y anllos de valoracón............. 50 3.4 Cerre entero y anllos de valoracón............................ 51 3.5 Fntud del cerre entero................................... 54 3.6 Problemas........................................... 56 4 Desngularzacón de curvas 59 4.1 Introduccón.......................................... 59 4.2 Espectro proyectvo...................................... 59 4.3 Explosón en un punto y desngularzacón......................... 63 4.4 Multplcdad de un punto sngular............................. 66 4.5 Multplcdad de nterseccón................................ 68 4.6 Teoremas de Bézout y Max Noether............................ 69 4.7 Ramas analítcas....................................... 72 3

4 ÍNDICE GENERAL 4.7.1 Polígono de Newton................................. 73 4.8 Puntos cuspdales y contacto maxmal........................... 73 4.8.1 Desngularzacón de curvas planas vía el contacto maxmal........... 74 4.9 Problemas........................................... 77 Índce de térmnos 80 Bblografía: 1. M. Atyah, I.G. Macdonald: Introduccón al Álgebra Conmutatva, Ed. Reverté, Barcelona (1973). 2. W. Fulton: Curvas Algebracas, Ed. Reverté, Barcelona (1971). 3. H. Matsumura: Commutatve Algebra, W.A. Benjamn Co, New York (1970). 4. J.A. Navarro: Álgebra Conmutatva Básca, Manuales UNEX, n 19, (1996). 5. R. Hartshorne: Algebrac Geometry, GTM n 52, Sprnger Verlag (1977).

Capítulo 1 Completacón 1.1 Introduccón Vamos a ncar el estudo local, en un entorno de un punto, de las varedades algebracas. Es decr, del estudo del anllo local de los gérmenes de las funcones algebracas de una varedad en un punto. En las sguentes seccones abordamos la completacón de un anllo en un punto. Esta técnca consste en tomar los desarrollos de Taylor de las funcones en el punto. Así, el proceso de completacón puede entenderse como una aproxmacón algebraco-analítca al estudo de las varedades. El completado del anllo de funcones algebracas de una varedad en un punto reflejará las propedades locales de la varedad en el punto. S ben el proceso de completacón es más drástco que el de localzacón. Por ejemplo, los anllos locales de una recta afín y los de una cúbca plana sn puntos sngulares no son somorfos pues no lo son sus cuerpos de funcones, sn embargo, los completados de sus anllos locales s son somorfos (sobre un cuerpo algebracamente cerrado). Demostraremos, medante Artn-Rees, que el morfsmo de completacón A  es plano. La estructura de  es más senclla que la de A. Así, gracas a la plattud del morfsmo de completacón, muchos problemas se pueden smplfcar estudándolos en Â. Nuestros objetvos serán demostrar las propedades de exacttud de la completacón, que la completacón de un anllo noetherano es noetherano, que el morfsmo de completacón es plano y el teorema de Cohen. El teorema de Cohen es un teorema de estructura de los anllos completos. Afrma que, en general, la completacón de un anllo local noetherano es un cocente de un anllo de seres formales, como sucede con los anllos de funcones de las varedades algebracas. 1.2 Anllos noetheranos. Varedades algebracas. Repaso En Geometría Algebraca los espacos estudados son objetos defndos por un número fnto de ecuacones (la fntud es una condcón natural). Es decr, los deales que se consderan son los generados por un número fnto de funcones. Los anllos cuyos deales son fnto generados se denomnan noetheranos. Como veremos los anllos que usualmente aparecen en Geometría Algebraca y la Artmétca son noetheranos, de forma que estos anllos proporconan el marco natural para desarrollar su estudo. Será natural comenzar estudando los módulos fnto generados, cuyos submódulos sean fnto generados, en vez de lmtarnos smplemente a los anllos cuyos deales son fnto generados. Las operacones báscas como producto tensoral, cocentes etc., se realzan de un modo mucho más flexble 5

6 Capítulo 1. Completacón y claro con los módulos, y muchos de los objetos usuales en Matemátcas tenen estructura de módulo. Defncón 1.2.1. 1 Un A-módulo M se dce que es un A-módulo noetherano s todo submódulo suyo (propo o no) es fnto generado. Defncón 1.2.2. 2 Un A-módulo M se dce que es noetherano s toda cadena ascendente de submódulos de M M 1 M 2 M n establza, es decr exste m >> 0 de modo que M m = M m+1 =. Proposcón 1.2.3. Las dos defncones anterores son equvalentes. Demostracón. def 1 def 2 : Sea una cadena ascendente de submódulos de M, M 1 M 2 M n. Sea M = M M. Como M es un submódulo de M, es fnto generado. Escrbamos =1 M = m 1,..., m r, con m j M j. Sea m el máxmo de todos los j. Entonces trvalmente se obtene que M = M m, luego M m = M m+1 =. def 2 def 1 : Sea M M. Sea m 1 M y consderemos el submódulo de M, M 1 = m 1. S M 1 M, sea m 2 M M 1. Consderemos el submódulo de M, M 2 = m 1, m 2. Reptendo el proceso, obtenemos una cadena de nclusones estrctas m 1 m 1, m 2 que ha de ser fnta, porque por la segunda defncón toda cadena establza. Por tanto, exste un m N tal que m 1,..., m m = M. Ejemplo 1.2.4. Los k-espacos vectorales de dmensón fnta son k-módulos noetheranos. Proposcón 1.2.5. Todo submódulo de un módulo noetherano es noetherano. Proposcón 1.2.6. Todo cocente de un módulo noetherano es noetherano. Demostracón. Sea M noetherano y π : M M/N un cocente. Dado un submódulo tenemos que π 1 M = m1,..., m r. Por tanto, M = π(m1 ),..., π(m r ). M M/N, Proposcón 1.2.7. Sea 0 M 1 M 2 π M3 0 una sucesón exacta de A-módulos. Se verfca que M 2 es noetherano M 1 y M 3 son noetheranos. Demostracón. ) Esto es lo que afrman las dos proposcones anterores. ) Sea M M 2. El dagrama sguente es conmutatvo y las flas son exactas: 0 M M 1 M π(m ) 0 0 M 1 M 2 π M 3 0 Tenemos que M M 1 = m 1,..., m r y que π(m ) = π(n 1 ),..., π(n s ). Por tanto, tenemos la gualdad M = m 1,..., m r, n 1,..., n s.

1.2. Anllos noetheranos. Varedades algebracas. Repaso 7 Ejercco 1.2.8. Probar que M y M son noetheranos s y sólo s M M es noetherano. Defncón 1.2.9. Se dce que un anllo es noetherano s como A-módulo es noetherano, es decr s todo deal es fnto generado, o equvalentemente, s toda cadena ascendente de deales establza. Ejemplo 1.2.10. Los cuerpos, los anllos de deales prncpales, como Z, k[x], son noetheranos. Un ejemplo de anllo no noetherano, es el anllo de funcones dferencales en la recta real: Sea I n el deal de las funcones que se anulan en ( 1 n, 1 n ), n N. Tenemos que I 1 I 2 I n es una cadena ascendente estrcta de deales en el anllo, luego no establza. Por tanto, el anllo no es noetherano. Corolaro 1.2.11. S A es noetherano entonces todo A-módulo fnto generado es noetherano. Demostracón. S A es noetherano A n es un A-módulo noetherano, por el ejercco que sgue a la proposcón 1.2.7. Ahora ben, como todo módulo fnto generado es cocente de un lbre fnto generado, conclumos que los módulos fntos son noetheranos. Por tanto, sobre los domnos de deales prncpales todo módulo fnto generado es noetherano. Ejercco 1.2.12. S A es noetherano A S es noetherano Ejercco 1.2.13. Demostrar que Q[x, x 1,..., x n,... ]/((x n)x n ) {n N} es localmente noetherano pero no es noetherano. Proposcón 1.2.14. S A es un anllo noetherano, entonces Spec A es un espaco topológco noetherano. (Un espaco topológco se dce que es noetherano s toda cadena descendente de cerrados establza). Demostracón. Sea C 1 C 2 C n una cadena descendente de cerrados. Sean I los deales de funcones que se anulan en C. Luego (I ) 0 = C y tenemos la cadena I 1 I 2 I n Cadena que establza por ser A noetherano. Es decr, exste m N de modo que I m = I m+1 =. Luego, C m = C m+1 =. Ejercco 1.2.15. Demostrar 1. Todo espaco topológco noetherano es compacto. 2. Todo aberto de un espaco topológco noetherano es noetherano. 3. Llamemos cerrado rreducble a todo cerrado que no es unón de dos cerrados propos. Todo espaco topológco noetherano es unón de un número fnto de cerrados rreducbles. Ejercco 1.2.16. Probar que en un anllo noetherano el número de deales prmos mnmales es fnto. Defncón 1.2.17. Un morfsmo de anllos f : A B se dce que es fnto s B es un A-módulo fnto, con la estructura natural de A-módulo que defne f en B (a b = def f(a) b). En este caso, tambén se dce que B es una A-álgebra fnta.

8 Capítulo 1. Completacón Ejemplo 1.2.18. R C es un morfsmo fnto. Proposcón 1.2.19. La composcón de morfsmos fntos es fnto. Demostracón. Sean A fnto B fnto C. Es decr, B = Ab 1 + + Ab n y C = Bc 1 + + Bc m. Luego, C = (Ab 1 + + Ab n )c 1 + + (Ab 1 + + Ab n )c m = En conclusón, A C es un morfsmo fnto. n,m =1,j=1 Ab c j Proposcón 1.2.20. Sea A B un morfsmo fnto y A C un morfsmo de anllos. Se verfca que C = A A C B A C es un morfsmo fnto. Corolaro 1.2.21. S A B es un morfsmo fnto entonces A S B S y A/I B/I B son morfsmos fntos Defncón 1.2.22. Sea A B un morfsmo de anllos. Se dce que b B es entero sobre A s verfca una relacón del tpo b n + a 1 b n 1 + + a n = 0, con a A Proposcón 1.2.23. Sean f : A B un morfsmo de anllos y b B. Denotemos A[b] = {p(b) B, para p(x) A[x]}. El morfsmo A A[b] es fnto b es entero sobre A. Demostracón. ) Sea b 1,..., b n un sstema generador del A-módulo A[b]. Consderemos el endomorfsmo de A-módulos b A[b] A[b] c c b Sea (a j ) una matrz asocada b en el sstema generador b 1,..., b n. Sea p c (x) = (a j x Id = x n + a 1 x n 1 + + a n, con a A. Se verfca que p c ( b) = 0, luego p c (b) = p c ( b)(1) = 0 y b es entero sobre A. ) Sea p(x) = x n +a 1 x n 1 + +a n, con a A, tal que p(b) = 0. El epmorfsmo A[x]/(p(x)) A[b], q(x) q(b) está ben defndo. Por tanto, sólo tenemos que demostrar que A[x]/(p(x)) es un A-módulo fnto generado. Veamos que 1, x,..., x n 1 es un sstema generador de A[x]/(p(x)) (de hecho, es una base): x n = (a 1 x n 1 +... + a n ) 1, x,..., x n 1 x n+1 = (a 1 x n +... + a n x) x, x,..., x n 1, x,..., x n 1... Observacón: Para la demostracón de ) sólo es necesaro suponer que A[b] está ncludo en una A-álgebra fnta. Defncón 1.2.24. Dada una extensón de cuerpos k K y α K, decmos que α es algebraco sobre k, s es entero sobre k, que equvale a decr que α es raíz de un polnomo con coefcentes en k.

1.2. Anllos noetheranos. Varedades algebracas. Repaso 9 Ejemplo 1.2.25. S α es una raíz n-ésma de la undad, entonces Q Q(α) es un morfsmo fnto. Ejemplo 1.2.26. El morfsmo Spec k[x, y]/(y 2 x 2 + x 3 ) Spec k[x] defndo por (α, β) α es un morfsmo fnto. Proposcón 1.2.27. Sea f : A B un morfsmo de anllos. El conjunto de elementos de B enteros sobre A forman una A-subálgebra de B. Demostracón. Sean b 1, b 2 B enteros sobre A. Tenemos que A A[b 1 ] es un morfsmo fnto, y A[b 1 ] A[b 1, b 2 ] es un morfsmo fnto porque s b 2 verfca una relacón entera con coefcentes en A, en partcular la verfca con coefcentes en A[b 1 ]. Por tanto, por la proposcón 1.2.19 A A[b 1, b 2 ] es un morfsmo fnto. Luego, por la observacón anteror, todo elemento p(b 1, b 2 ) A[b 1, b 2 ] B, con p(x, y) A[x, y], es entero sobre A. Hemos concludo. Lema 1.2.28. Sea k un cuerpo. Las k-álgebras fntas íntegras son cuerpos. Demostracón. Sea A una k-álgebras fnta íntegra. Dado a A no nula, la homoteca A a A, b b a es nyectvo por la ntegrdad de A. Por tanto, por dmensones, es somorfsmo. Luego a es nvertble y A es cuerpo. Lema 1.2.29. Sea k un cuerpo. El espectro de una k-álgebra fnta es un número fnto de puntos cerrados. Demostracón. Las k-álgebras fntas son anllos noetheranos luego tenen un número fnto de deales prmos mnmales. S hacemos cocente por un deal prmo mnmal obtenemos una k-álgebra fnta íntegra, luego es un cuerpo por el lema anteror. Por tanto, los deales prmos mnmales son maxmales y hemos concludo. Corolaro 1.2.30. Sea A una k-álgebra fnta y {x 1,..., x n } = Spec A. Se cumple que el morfsmo natural A A x1 A xn es un somorfsmo. fntas locales. Luego toda k-álgebra fnta es un producto de un número fnto de k-álgebras Demostracón. Para probar que un morfsmo es somorfsmo basta verlo localmente. (A x1 A xn ) x = A x porque (A xj ) x = 0 s j y (A x ) x = A x. Se concluye nmedatamente. Lema 1.2.31. S f : A B es un morfsmo fnto e nyectvo, entonces el morfsmo nducdo f : Spec B Spec A es epyectvo. Demostracón. Dado x Spec A, el morfsmo A x B x es fnto e nyectvo. Por Nakayama, p x B x B x, luego Spec B x /p x B x. Es decr, la fbra de x es no vacía, luego f es epyectvo. Defncón 1.2.32. Llamaremos dmensón de Krull de un anllo A al supremo de las longtudes de las cadena de deales prmos de A, o equvalentemente al supremo de las longtudes de las cadenas de cerrados rreducbles de Spec A. Denotaremos a la dmensón (de Krull) de A por dm A. Ejercco 1.2.33. Demostrar que la dmensón de Krull de C[x, y] es dos.

10 Capítulo 1. Completacón Teorema 1.2.34. S f : A B es un morfsmo fnto entonces el morfsmo nducdo f : Spec B Spec A es una aplcacón cerrada de fbras de dmensón cero y fntas. Demostracón. Sea C = (J) 0 un cerrado de Spec B. Debemos demostrar que f (C) es un cerrado de Spec A. Consderemos los dagramas A f B Spec A f Spec B A/J A B/J (J A) 0 = Spec A/J A f C Spec B/J = C Basta ver que f C es epyectva. Ahora ben, como A/J A B/J es un morfsmo fnto nyectvo, por el lema anteror conclumos que f C es epyectva. La fbra de un punto x Spec A es f 1 (x) = Spec B x /p x B x. Observemos que s f 1 (x) entonces B x /p x B x es una A x /p x -álgebra fnta. Conclumos por el lema 1.2.29 Ejercco 1.2.35. Probar que la nclusón natural k[x] k[x, y]/(xy 1) no es un morfsmo fnto. Teorema 1.2.36 (del ascenso). Sea f : A B un morfsmo fnto. Sean p x p x A y p y B deales prmos, de modo que f 1 (p y ) = p x. Exste un deal prmo p y B, de modo que p y p y y f 1 (p y ) = p x. Demostracón. Por el teorema anteror f : Spec B Spec A es una aplcacón cerrada. Por tanto, f (ȳ) = x. Luego como x x, exste un y ȳ tal que f (y ) = x. Es decr, p y p y y f 1 (p y ) = p x. Corolaro 1.2.37. S f : A B es un morfsmo fnto de modo que f : Spec B Spec A es epyectvo (por ejemplo, s f es nyectvo) entonces dm A = dm B. Demostracón. Dada una cadena estrcta de cerrados rreducbles ȳ 1 ȳ 2 ȳ n de Spec B, f (y 1 ) f (y 2 ) f (y n ) es una cadena de cerrados rreducbles estrcta de Spec A, pues las fbras son de dmensón cero (1.2.34). Por tanto, dm B dm A. Sea ahora una cadena estrcta de cerrados rreducbles x 1 x 2 x n de Spec A. Sea y n Spec B, tal que f (y n ) = x n. Por el teorema del ascenso, exste y n 1 ȳ n tal que f (y n 1 ) = x n 1. Así sucesvamente, obtendremos una cadena estrcta de cerrados rreducbles ȳ 1 ȳ 2 ȳ n de Spec B (de magen por f, la cadena de Spec A). Por tanto, dm A dm B, luego dm A = dm B. Proposcón 1.2.38. Sea G un grupo fnto de automorfsmos de un anllo B. Se verfca que Spec B G = (Spec B)/G donde B G = {b B : g(b) = b, para todo b B} y (Spec B)/G es el espaco topológco cocente de Spec B por la relacón de equvalenca x x, s exste un g G tal que x = gx (es decr, p x = g(p x )). En consecuenca, el morfsmo natural π : Spec B Spec B G es aberto, y el morfsmo B G B cumple el teorema del descenso de deales: dados dos deales prmos p y p y B G, y un deal prmo p x B tal que p x B G = p y, entonces exste un deal prmo p x p x tal que p x B G = p y.

² _ / Ā ² _ 1.2. Anllos noetheranos. Varedades algebracas. Repaso 11 Demostracón. Empecemos observando que dada f B, el polnomo (x g(f)) es un polnomo mónco con coefcentes en B G. Por tanto, B G B G [f] es un morfsmo fnto. Por tanto, B G B es un morfsmo entero, luego epyectvo y cerrado en espectros. Sólo nos falta ver que las fbras del morfsmo Spec B Spec B G son órbtas por la accón de G. G actúa transtvamente sobre las fbras del morfsmo Spec B Spec B G : Obvamente, dado un deal prmo p x B, g(p x ) corta a B G en el msmo deal prmo que p x. Es decr, G actúa en las fbras. Sea p x es un deal prmo de B dstnto de g(p x ) = Not p g(x ) para todo g G. Supongamos que x, x tenen la msma magen por el morfsmo Spec B Spec B G, dgamos y. Sabemos que p x no está ncludo en nnguno de los g(p x ), luego exste una f B que se anula en x y no se anula en nnguno de los g(x ). Entonces N(f) = g(f) B G se anula en x y no se anula en nnguno de los g(x ). def g G Llegamos a contradccón, porque por un lado N(f) ha de anularse en y y por el otro no. Vayamos con la consecuenca. Sea U Spec B un aberto. Se cumple que V = g(u) es g G un aberto y que π 1 (π(u)) = V, luego π(u) es un aberto. Por últmo, sea x Spec B tal que π(x ) = y. Hemos dcho más arrba que π es un morfsmo cerrado, por tanto, π( x ) = ȳ. Luego exste x 1 x, tal que π(x 1 ) = y. Como las fbras de π son órbtas, tenemos que x = gx 1, para certo g G. Ahora es fácl ver que π(gx ) = y y x = gx 1 gx,.e., p gx es el deal p x buscado. g G Teorema 1.2.39 (Descenso. Cohen-Sedenberg). Sea A un anllo íntegramente cerrado en su cuerpo de fraccones Σ. Sea Σ Σ una extensón fnta de cuerpos y A el cerre entero de A en Σ. El morfsmo Spec A Spec A es aberto y A A cumple el teorema del descenso de los deales. Demostracón. Sea Σ la envolvente normal de Σ, sobre Σ. Sea A el cerre entero de A en Σ. Observemos los morfsmos A A A, Spec A Spec A Spec A Los morfsmos nyectvos enteros, como los fntos, son epyectvos en espectros. Por tanto, s Spec A Spec A es aberto entonces Spec A Spec A es aberto. Igualmente, s A A cumple el teorema del descenso de deales, entonces A A tambén. En conclusón, podemos suponer que Σ Σ es una extensón normal, dgamos de grupo de Galos G. Sea Ā el cerre entero de A en Σ G. Es fácl ver que Ā = A G. Por la proposcón anteror, se cumple Cohen-Sedenberg para el morfsmo Ā = A G A. Para conclur, basta demostrar Cohen-Sedenberg para A Σ / Σ G Σ G es puramente nseparable, sobre Σ, luego para todo b Σ G, exste un n N de modo que b pn Σ (donde 0 < p = car Σ). Por tanto, para todo b Ā, exste un n N de modo que bpn A (pues b pn

12 Capítulo 1. Completacón es entero sobre A). Se concluye, pues ha de verfcarse que Spec A = Spec Ā, con las asgnacones Spec A Spec Ā p  / p = {b Ā: bpn p} p  A p o Defncón 1.2.40. Sea A una k-álgebra. Dremos que las funcones ξ 1,..., ξ n A son algebracamente ndependentes sobre k cuando el morfsmo de k-álgebras k[x 1,..., x n ] A, p(x 1,..., x n ) p(ξ 1,..., ξ n ) sea nyectvo; es decr, cuando cualquer relacón algebraca 1... n a 1... n ξ 1 1... ξ n n = 0, con coefcentes en k, tenga todos sus coefcentes nulos. Lema 1.2.41 (de normalzacón de Noether). Sea A = k[ξ 1,..., ξ n ] una k-álgebra de tpo fnto. Supongamos que k tene un número nfnto de elementos 1. Exste un morfsmo fnto nyectvo k[x 1,..., x r ] A Toda varedad algebraca afín se proyecta de modo fnto en un espaco afín. Demostracón. Vamos a hacerlo por nduccón sobre n. Para n = 0, no hay nada que decr (k = k). Supongamos que el teorema es certo hasta n 1. Sea r el número máxmo de {ξ } algebracamente ndependentes entre sí. S r = n, entonces k[ξ 1,..., ξ n ] = k[x 1,..., x n ]. Podemos suponer entonces que ξ n es algebraco sobre k[ξ 1,..., ξ n 1 ]. Luego exste un p(x 1,..., x n ) k[x 1,..., x n ], donde la varable x n aparece, de modo que p(ξ 1,..., ξ n ) = 0. Escrbamos p(x 1,..., x n ) = p s (x 1,..., x n ) + p s 1 (x 1,..., x n ) +... + p 0 (x 1,..., x n ) como suma de polnomos p (x 1,..., x n ) homogéneos de grado. Sean x = x + λ x n, entonces p(x 1 + λ 1 x n,..., x n 1 + λ n 1 x n, x n ) = p s (λ 1,..., λ n 1, 1)x s n+ polnomo en x 1,..., x n 1, x n de grado en x n menor que s Así pues, s elgmos λ 1,..., λ n 1 k de modo que p s (λ 1,..., λ n 1, 1) 0, tendremos que ξ n es entero sobre k[ξ 1,..., ξ n 1],, con ξ = ξ λ ξ n. Por tanto, la composcón k[x 1,..., x r ] es el morfsmo fnto buscado. fnto Hp.nd. k[ξ 1,..., ξ n 1] fnto k[ξ 1,..., ξ n 1, ξ n ]=k[ξ 1,..., ξ n 1, ξ n ] Defncón 1.2.42. Sea A una k-álgebra, dremos que x Spec A es un punto raconal s A/p x = k. Proposcón 1.2.43. Sea A = k[x 1,..., x n ]/I e I = (p 1 (x 1,..., x n ),..., p m (x 1,..., x n )). Se cumple que los puntos raconales de Spec A se corresponden byectvamente con las solucones del sstema de ecuacones p 1 (x 1,..., x n ) = 0,..., p m (x 1,..., x n ) = 0 1 Esta hpótess no es necesara, sólo la mponemos porque la demostracón del lema es algo más senclla.

1.2. Anllos noetheranos. Varedades algebracas. Repaso 13 Demostracón. Sea x Spec k[x 1,..., x n ]. S k[x 1,..., x n ]/p x = k, entonces x = α k. Por tanto, x α p x y se cumple que p x = (x 1 α 1,..., x n α n ). Además, se cumple la nclusón I = (p 1 (x 1,..., x n ),..., p m (x 1,..., x n )) p x s y sólo s p 1 (α 1,..., α n ) = 0,..., p m (α 1,..., α n ) = 0. En conclusón, como los puntos raconales de A, se corresponden con los puntos raconales de k[x 1,..., x n ] que contenen a I, los puntos raconales de A se corresponden byectvamente con las solucones del sstema de ecuacones p 1 (x 1,..., x n ) = 0,..., p m (x 1,..., x n ) = 0 Teorema 1.2.44 (de los ceros de Hlbert). Sea k[ξ 1,..., ξ n ] una k-álgebra de tpo fnto y m un deal maxmal. Entonces k[ξ 1,..., ξ n ]/m es una extensón fnta de k. En partcular, s k es algebracamente cerrado k = k[ξ 1,..., ξ n ]/m. Todo punto cerrado de una varedad algebraca afín sobre un cuerpo algebracamente cerrado es raconal. Demostracón. Obvamente k[ξ 1,..., ξ n ]/m es una k-álgebra de tpo fnto sobre k. Por el lema de normalzacón de Noether, exste un morfsmo fnto k[x 1,..., x r ] k[ξ 1,..., ξ n ]/m Por tanto, el térmno de la zquerda de la flecha ha de tener dmensón cero, luego r = 0 y conclumos. Ejercco 1.2.45. Calcular los deales maxmales de C[x 1,..., x n ] y los de C[x 1, x 2, x 3 ]/(x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 1). Ejercco 1.2.46. Sean X = Spec A y Y = Spec B dos varedades algebracas sobre un cuerpo algebracamente cerrado k. Defnamos X k Y = def Spec A k B. Probar que los puntos cerrados de la varedad algebraca X k Y son el producto cartesano de los puntos cerrados de X pos los de Y. Proposcón 1.2.47. Sea f : X = Spec B Y = Spec A un morfsmo entre varedades algebracas afnes. La magen por f de un punto cerrado es un punto cerrado. Demostracón. Dado un punto cerrado x X y f (x) = y, tenemos que p y = f 1 p x, luego el morfsmo A/p y B/p x es nyectvo. Por el teorema de los ceros de Hlbert, B/p x es una extensón fnta de k, por tanto A/p y tambén, luego es un cuerpo. Es decr, f (x) = y es un punto cerrado. Corolaro 1.2.48. Sea U X un aberto de una varedad algebraca afín. Los puntos cerrados de U se corresponden con los puntos cerrados de X que yacen en U. Demostracón. Sea x U un punto cerrado, sea U a = Spec A a X = Spec A un aberto básco contenendo a x, tal que U a U. Obvamente x es un punto cerrado de U a. A a = A[ 1 a ] es una k-álgebra de tpo fnto, luego U a = Spec A a es una varedad algebraca. Por la proposcón anteror aplcada a la nclusón U a X, tenemos que x es un punto cerrado de X. Hemos concludo. Corolaro 1.2.49 (forma fuerte de los ceros de Hlbert). Sea k[ξ 1,..., ξ n ] una k-álgebra de tpo fnto y f k[ξ 1,..., ξ n ]. S f se anula en todo deal maxmal entonces es nlpotente. En partcular, s una funcón se anula en todos los puntos raconales de una varedad algebraca afín íntegra, sobre un cuerpo algebracamente cerrado, entonces es nula.

8 14 Capítulo 1. Completacón Demostracón. Por el corolaro anteror, el conjunto de los deales maxmales de k[ξ 1,..., ξ n ] f, se corresponde byectvamente con el conjunto de los deales maxmales de k[ξ 1,..., ξ n ] que no contenen a f. Como este últmo conjunto es vacío, tenemos que k[ξ 1,..., ξ n ] f = 0, es decr, f es nlpotente. Defncón 1.2.50. Dremos que X = Spec A es íntegra s A es un anllo íntegro. Corolaro 1.2.51. Las subvaredades algebracas íntegras están determnadas por sus puntos cerrados. Demostracón. Sea X = Spec A una varedad algebraca y Y X una subvaredad algebraca íntegra. Sea p el deal prmo de las funcones que se anulan en Y. Basta ver p = m x x=x p mx Obvamente el prmer térmno de la gualdad está ncludo en el segundo. Hacendo cocente por p, tenemos 0 m x en A/p. Por el corolaro anteror m x son los nlpotentes. Ahora ben A/p es x=x x=x íntegra, luego 0 = m x. Hemos concludo. x=x 1.3 Límtes nductvos y proyectvos Sea I un conjunto ordenado, dremos que es fltrante crecente s para cada par, j I exste algún k I que cumple que k y k j. Defncón 1.3.1. Sea I un conjunto fltrante crecente. Un conjunto de objetos {M } I de una categoría C, junto con morfsmos f j : M M j, para cada j, dremos que es un sstema nductvo de objetos de C s satsface las sguentes condcones 1. f = Id, para todo. 2. f jk f j = f k sempre que j k. Sn tanto formalsmo, un sstema nductvo de objetos {M } I es un río de flechas / / / M M l M r M 7 7 p t p p p p p p p p p p p M k M q p p p p p p M p / Defncón 1.3.2. Sea {M } I un sstema nductvo de objetos. Dremos que M (s exste) es el límte nductvo de este sstema nductvo, y lo denotaremos lm M, s se cumple una gualdad funtoral para todo objeto N Hom C ( lm M, N) = {(f ) Hom C (M, N) f = f j f j para todo j}

/ 9 ' À ² / 1.3. Límtes nductvos y proyectvos 15 S lm M exste, entonces el morfsmo Id Hom C ( lm M, lm M ) defne morfsmos φ : M lm M, de modo que 1. φ = φ j f j 2. Dados {(f ) Hom C (M, N) f = f j f j para todo j}, entonces exste un únco morfsmo f : lm M N, de modo que f = fφ. Se tene tambén el recíproco, s exste un objeto M, y morfsmos φ : M M, verfcando estas dos condcones, entonces M = lm M. Intutvamente lm M es la desembocadura del río de flechas, la cota superor mínma xp f j M M j f j t t t t p p p t t M p p p p N... / lm Teorema 1.3.3. En la categoría de conjuntos los límtes nductvos exsten, explíctamente M lm M = { M / : m m j s exste un k de modo que f k (m ) = f jk (m j )} y φ j : M j lm M, φ j (m j ) = m j. Demostracón. Denotemos M = M / Dados {(f ) Hom(M, N) f = f j f j para todo j}, entonces la aplcacón f : M N, f( m ) = f (m ) está ben defnda y cumple que f = fφ. Recíprocamente, dado f : M N, las aplcacones f = fφ cumplen que f = f j f j para todo j. Estas asgnacones son nversas entre sí, luego hemos concludo. Teorema 1.3.4. En la categoría de A-módulos los límtes nductvos exsten, explíctamente lm M = { M / : m m j s exste un k de modo que f k (m ) = f jk (m j )} y φ j : M j lm M, φ j (m j ) = m j. Demostracón. Repítase la demostracón anteror y pruébese que los conjuntos defndos son A- módulos y los morfsmos morfsmos de A-módulos. Defncón 1.3.5. Un morfsmo f entre dos sstemas nductvo de módulos {M, f j } y {N, g j }, con el msmo conjunto ordenado de índces, es una famla de morfsmos f : M N tales que f j f j = g j f, cuando j.

' / ' ' / 16 Capítulo 1. Completacón Todo morfsmo f entre dos sstemas nductvos nduce morfsmos M lm N, que nduce un morfsmo f : lm f( m ) = f (m ). M lm N, que explíctamente (en la categoría de conjuntos) está defndo por Defncón 1.3.6. Dremos que una sucesón de morfsmos de sstemas nductvos de módulos {M } {M } {M } es exacta s lo es la sucesón M M M para todo. Proposcón 1.3.7. La toma de límtes nductvos es exacta. Es decr, s 0 {M } f {M } g {M } 0 son sucesones exactas de sstemas nductvos de A-módulos, entonces la sucesón de A-módulos 0 lm M f g lm M lm M 0 es exacta Demostracón. 1. f es nyectva: s 0 = f( m ) = f (m ) entonces exste un k, tal que f k(f (m )) = 0. Por tanto, f (f k (m )) = 0 y f k (m ) = 0, porque f es nyectva. Luego m = 0. 2. Obvamente g es epyectva: Dado m g( m ) = m. 3. (gf)( m ) = g(f (m )) = g (f (m )) = 0. lm M, entonces exste m tal que g (m ) = m y 4. S g( m ) = 0 entonces g (m ) = 0. Por tanto, exste un k, de modo que 0 = f k (g (m )) = g k (f k (m )). Luego f k (m ) = f k (m k ), por tanto, m = f k (m k ) = f( m k ). Pasemos ahora a la defncón del límte proyectvo, que es el concepto dual de límte nductvo. Sea I un conjunto ordenado, dremos que es fltrante decrecente s para cada par, j I exste algún k I que cumple que k y k j. Defncón 1.3.8. Sea I un conjunto fltrante decrecente. Un conjunto de objetos {M } I de una categoría C, junto con morfsmos f j : M M j, para cada j, dremos que es un sstema proyectvo de objetos de C s satsface las sguentes condcones 1. f = Id, para todo. 2. f jk f j = f k sempre que j k. Sn tanto formalsmo, un sstema proyectvo de objetos {M } I es un río de flechas / M r OO OOOO / M l M k M N N N N N N M m M O j O OOOO M n

O $ 7 / A 1.3. Límtes nductvos y proyectvos 17 Defncón 1.3.9. Sea {M } I un sstema proyectvo de objetos. Dremos que el objeto lm M (s exste) es el límte proyectvo de este sstema proyectvo, s se cumple una gualdad funtoral Hom C (N, lm M ) = {(f ) Hom C (N, M ) f j = f j f para todo j} S lm M exste, entonces el morfsmo Id Hom C ( lm M, lm M ) defne morfsmos φ : lm M M, de modo que 1. φ j = f j φ 2. Dados {(f ) Hom C (N, M ) f j = f j f para todo j}, entonces exste un únco morfsmo f : N lm M, de modo que f = φ f. Se tene tambén el recíproco, s exste un objeto M, y morfsmos φ : M M, verfcando estas dos condcones, entonces M = lm M. Intutvamente lm M es la fuente del río de flechas, la cota nferor máxma lm M /... / M f j fm M M M M M M M N M J j J f j J J J J M j Ejercco 1.3.10. Sea {k[x]/(x n )} el sstema proyectvo de k[x]-módulos, de morfsmos k[x]/(x n+1 ) k[x]/(x n ) los morfsmos naturales de paso al cocente. Probar que lm k[x]/(x n ) = k[[x]]. n Teorema 1.3.11. En la categoría de conjuntos los límtes proyectvos exsten, explíctamente lm M = {(m ) M f j (m ) = m j para todo j} y φ : lm M M, φ ((m j )) = m. Demostracón. Denotemos M = {(m ) M f j (m ) = m j para todo j}. Dados {(f ) Hom(N, M ) f j = f j f para todo j}, entonces la aplcacón f : N M, f(n) = (f (n)) está ben defnda y cumple que f = φ f. Recíprocamente, dado f : N M, las aplcacones f = φ f cumplen que f j = f j f para todo j. Estas asgnacones son nversas entre sí, luego hemos concludo.

18 Capítulo 1. Completacón Teorema 1.3.12. En la categoría de A-módulos los límtes proyectvos exsten, explíctamente lm M = {(m ) M f j (m ) = m j para todo j} y φ : lm M M, φ ((m j )) = m. Demostracón. Repítase la demostracón anteror. Defncón 1.3.13. Un morfsmo f entre dos sstemas proyectvos de módulos {M, f j } y {N, g j }, con el msmo conjunto ordenado de índces, es una famla de morfsmos f : M N tales que f j f j = g j f, cuando j. Todo morfsmo f entre dos sstemas proyectvos nduce morfsmos lm M N, que nduce un morfsmo f : lm M lm N, que explíctamente (en la categoría de conjuntos, o módulos) está defndo por f((m )) = (f (m )). Defncón 1.3.14. Dremos que una sucesón de morfsmos de sstemas proyectvos de módulos {M } {M } {M } es exacta s lo es la sucesón M M M, para todo. Proposcón 1.3.15. La toma de límtes proyectvos es exacta por la zquerda. Es decr, s 0 {M } {M } {M } son sucesones exactas de sstemas proyectvos de A-módulos, entonces la sucesón de A-módulos 0 lm M lm M lm M es exacta Demostracón. Es una senclla comprobacón, conocda la construccón explícta de los límtes proyectvos de módulos. Dado un morfsmo de objetos f : M M, denotaremos f : Hom C (N, M) Hom C (N, M ) a la aplcacón de conjuntos defnda por f (g) = f g. Dado un sstema proyectvo {M, f j } I de objetos de una categoría C, entonces {Hom C (N, M ), f j } I forma un sstema proyectvo de conjuntos. Ejercco 1.3.16. Consderemos para cada n N el epmorfsmo natural de paso al cocente k[x] k[x]/(x n ). Probar que el límte proyectvo de estos epmorfsmos no es un epmorfsmo. Proposcón 1.3.17. Hom C (N, lm M ) = lm Hom C (N, M ) Demostracón. Tenemos Hom C (N, lm M ) = {(f ) Hom C (N, M ) f j = f j f para todo j} = lm Hom C (N, M ) donde la prmera gualdad es por la defncón de límte proyectvo, y la segunda gualdad por la construccón del límte proyectvo de conjuntos.

1.4. Completacón 19 Dado un sstema nductvo {M, f j } I de objetos de una categoría C, entonces {Hom C (M, N), f j } I forma un sstema proyectvo de conjuntos. Proposcón 1.3.18. Hom C ( lm M, N) = lm Hom C (M, N) Demostracón. Tenemos Hom C ( lm M, N) = {(f ) Hom C (M, N) f = f j f j para todo j} = lm Hom C (M, N) donde la prmera gualdad es por la defncón de límte nductvo, y la segunda gualdad por la construccón del límte proyectvo de conjuntos. Proposcón 1.3.19. El límte nductvo conmuta con el producto tensoral. Es decr, ( lm M ) A N = lm (M A N) Demostracón. Hom A (( lm M ) A N, R) = = Hom A ( lm M, Hom A (N, R)) = lm Hom A (M, Hom A (N, R)) = lm Hom A (M A N, R) = Hom A ( lm (M A N), R) 1.4 Completacón Defncón 1.4.1. Una fltracón de un A-módulo M es una cadena de submódulos M = M 0 M 1 M 2 M n... Dada una fltracón {M } podemos defnr una topología en M: Una base de entornos de cada m M es {m + M }. Esta topología vene defnda por la seudométrca d: d(m 1, m 2 ) = def { 2 n s m 1 m 2 M n, y m 1 m 2 / M n+1 0 s m 1 m 2 M n para todo n Una vez que hemos defndo d, podemos hablar de sucesones convergentes, de sucesones de Cauchy y la completacón de M por d. Defncón 1.4.2. Se defne la completacón de M respecto de la topología defnda por una fltracón como el A-módulo M M = def {Mód. de sucesones de Cauchy}/{Mód. de sucesones converg. a cero}

20 Capítulo 1. Completacón Proposcón 1.4.3. M = lm M/M j. j N Demostracón. Sea ( m ) lm j M/M j (luego m +r = m en M/M ). La sucesón (m ) es de Cauchy, porque dado e j entonces d(m r, m s ) < e j, para todo r, s j. Así pues, tenemos defndo el morfsmo lm j M/M j M, ( m ) [(m )] Dejamos como ejercco la comprobacón de que está ben defndo. Recíprocamente. Sea (m ) una sucesón de Cauchy. Dado e j, exste n j N de modo que d(m r, m s ) < e j, para todo r, s n j. Es decr, m r m s M j para todo r, s n j,.e., m r = m s M/M j para todo r, s n j. Observemos que el morfsmo {Mód. de sucesones de Cauchy} M/M j, (m ) m nj no depende del n j >> 0 escogdo. En partcular, dada una sucesón (m ) convergente a cero, se tene que m nj = 0. Por tanto, los morfsmos están ben defndos y defnen el morfsmo M M/M j, [(m )] m nj M lm j M/M j, [(m )] ( m nj ) Dejamos como ejercco la comprobacón de que estas asgnacones son nversas entre sí. Observacón 1.4.4. Un ejemplo de sucesón de Cauchy lo consttuyen las seres m (m M ). Es más, toda sucesón de Cauchy es equvalente a una sere de esta forma: Por la proposcón anteror, basta verlo para la sucesón de Cauchy (n ), con ( n ) lm M/M ( n +1 = n M/M ). Tenemos que n +1 n = m M. Por tanto, n 1 = m 0 ; n 2 = m 1 + n 1 = m 1 + m 0 ; n 3 = m 2 + n 2 = m 2 + m 1 + m 0, etc. Así pues, M = { m, m M }/{Seres converg. a cero} =0 S consderamos cada elemento m M como la sucesón constante (m), tenemos defndo un morfsmo M ˆM; de otro modo, los morfsmos de paso al cocente M M/M defnen un morfsmo M ˆM = lm M/M j ; o de otro modo, cada m M, puede consderarse como la sere m + 0 + + j 0 + ˆM. =0 Proposcón 1.4.5. M con la fltracón {M n } es separado M n = 0 M M. n N

1.4. Completacón 21 Demostracón. El núcleo del morfsmo M M = lm M/M es M n. Luego, M n = 0 n N n N M M. S M es separado, dado m M exste un entorno M n del cero que no contene a m, es decr, m / M n. Luego M n = 0. n N S M n = 0, entonces d es una dstanca, porque s d(m, m ) = 0 esto sgnfca que m m M n n N para todo n, es decr que m m M n = 0, luego m = m. Luego M es separado. n N Dadas dos fltracones de A-módulos {M } y {N } de M y N respectvamente, un morfsmo de fltracones es un morfsmo de A-módulos f : M N tal que f(m n ) N n. Evdentemente un morfsmo f : M N de fltracones nduce un morfsmo f : M = lm M/M N = lm N/N Teorema 1.4.6. Sea 0 M M π M 0 una sucesón exacta de A-módulos y {M } una fltracón de M. S se consderan en M y M las fltracones nducdas {M M }, {π(m )}, la sucesón de completados 0 M M bπ M 0 es exacta. Completar conserva sucesones exactas. Demostracón. Tenemos las sucesones exactas de sstemas proyectvos 0 M /M M M/M π M /π(m ) 0 Por tanto, como el límte proyectvo es exacto por la zquerda tenemos la sucesón exacta 0 M M bπ Sólo nos falta ver la epyectvdad de π: Dada una sere que π(m ) = m. Es obvo que π( m ) = =0 m =0 M m =0, con m π(m ), sean m M tales, luego por la observacón anteror hemos concludo. Corolaro 1.4.7. M n es un submódulo de M y M/ M n = M/M n, para todo n N. Demostracón. Por el teorema M n M y M/ M n = (M/M n ). Ahora ben, (M/Mn ) = lm (M/M n )/[M ] = lm (M/M n )/[M ] = lm M/M n = M/M n, con lo que conclumos. >n >n Corolaro 1.4.8. M es completo y separado, respecto de la topología defnda por la fltracón { M n }, es decr, M = M. Demostracón. Es una consecuenca drecta del corolaro anteror y 1.4.5. Defncón 1.4.9. Se defne el graduado de M por la fltracón {M n } como el módulo GM = M /M +1. =0

22 Capítulo 1. Completacón Corolaro 1.4.10. S consderamos en M una fltracón {M n } y en M la fltracón { M n }, se verfca que GM = G M. Demostracón. Completando 0 M n+1 M n M n /M n+1 0 obtenemos que Mn /M n+1 = M n / M n+1. Como Mn /M n+1 = M n /M n+1, tenemos que M n /M n+1 = M n / M n+1. En conclusón, GM = G M. 1.4.1 Ejemplos de completacones y graduados Ejemplo 1.4.11. lm C (R)/m n α = R[[x α]], donde el m α es el deal de funcones dferencables n N que se anulan en α R. El morfsmo natural C (R) lm C (R)/m n α = R[[x α]] asgna a cada n N funcón su desarrollo de Taylor en α. Ejemplo 1.4.12. lm k[x]/(x) n = k[[x]]. El morfsmo k[x] lm k[x]/(x) n = k[[x]], es el morfsmo n N n N que consdera cada polnomo como una sere. Ejemplo 1.4.13. Números p-ádcos = Ẑ p = lm Z/p n Z = { n p Not def n Na n, 0 a < p}. El morfsmo n N natural N lm Z/p n Z = { n p n Na n, 0 a < p} asgna a cada número natural su desarrollo como n N suma de potencas de p. El espaco tangente a una varedad dferencable en un punto es un concepto ntrínseco, que no depende de la nmersón de la varedad dferencable en un R n. El espaco tangente a una varedad en un punto se defne en térmnos de su anllo de funcones dferencables. Ya sabemos que la dferencal de una funcón en un punto y los módulos de dferencales de Kähler son conceptos algebracos. En esta seccón, dado un anllo local, defnremos el espaco tangente en el punto cerrado. Comencemos con un ejemplo sencllo. Consderemos el nodo en el plano afín y 2 x 2 + x 3 = 0. El espaco tangente en el orgen del nodo es aquella varedad homogénea que mejor se aproxma al nodo. El nodo nfntesmalmente en el orgen es equvalente a y 2 x 2 = 0. Así pues, dremos que el cono tangente a y 2 x 2 + x 3 = 0 en el orgen es y 2 x 2 = 0. En general, s una subvaredad X A n, vene defnda por los ceros de un deal I k[x 1,..., x n ], entonces el cono tangente C x X en el orgen es la varedad defnda por el deal I h = (f r ) f I, donde f r es la parte homogénea de grado más pequeño de f. Es decr, s pensamos que X es la nterseccón de las varedades f = 0, con f I, entonces el cono tangente es la nterseccón de las varedades homogéneas f r = 0. 2 Veamos cómo construr I h. Sea m x = (x 1,..., x n ) k[x 1,..., x n ] y m x k[x 1,..., x n ]/I el deal maxmal de las funcones de X que se anulan en el orgen. Se tene la sucesón exacta I m r x m r x m r x 0 y por tanto la sucesón exacta En conclusón, m r x/ m r+1 x I m r x m r x/m r+1 x m r x/ m r+1 x 0 = {Polnomos p(x 1,..., x n ) homogéneos de grado r}/{f r } f=fr+...+f n I 2 Advertamos que debemos tomar todas las f I y que no basta con tomar cualquer sstema generador

1.4. Completacón 23 Por tanto, m r r x/ m r+1 x = k[x 1,..., x n ]/I h. Entonces Spec m r r x/ m r+1 x es el cono tangente de X en x y Proj m r x/ m r+1 x es el espaco tangente de X en x. r=0 Demos ahora las defncones con toda precsón y mayor generaldad. S I es un deal de A, denotaremos G I M al graduado de M por la fltracón M n = I n M. Defncón 1.4.14. Sea X = Spec A y x X un punto cerrado de deal m. tangente de X en x a C x X = Spec G m A := Spec m /m +1 =0 Llamaremos cono Llamaremos vértce del cono al punto de C x X defndo por el deal (maxmal) rrelevante m r /m r+1. r>0 Llamaremos espaco tangente de X en x a T x X := Proj G m A Ejemplo 1.4.15. El cono tangente de un espaco afín en el orgen es somorfo al espaco afín. Es decr, s A = k[x 1,..., x n ] y m = (x 1,..., x n ), entonces G m A A. Proposcón 1.4.16. Sea I A un deal y f I r I r+1. Denotemos f r la clase de f en I r /I r+1 G I A. S f r es no dvsor de cero en G I A, entonces 1. (f) I n = f I n r, para r n. 2. G Ī (A/(f)) = (G I A)/(f r ), donde Ī es el deal I en A/(f). Demostracón. 1. Es claro que f I n r (f) I n. Probemos la nclusón nversa. S h (f) I n, entonces h = f g, con g A. Sea s 0 el máxmo tal que g I s. Tenemos que ver que s n r. Escrbamos 0 g s = ḡ I s /I s+1. Por hpótess, 0 f r g s I r+s /I r+s+1, luego h = f g / I r+s+1. Por tanto, n < r + s + 1, es decr, s n r. 2. Por 1., la sucesón es exacta, luego G Ī (A/(f)) = (G I A)/(f r ). 0 I n r n r+1 f= fr /I I n /I n+1 Īn /Īn+1 0 Ejercco 1.4.17. Escrbamos el polnomo p(x, y) = p n (x, y) + p n+1 (x, y) +... + p m (x, y) como suma de polnomos homogéneos. Sea O = (k[x, y]/p(x, y)) x0, con m x0 = (x, y). Demostrar que G mx0 O = k[x, y]/(p n (x, y)). Ejercco 1.4.18. Probar que el espaco tangente de la nterseccón de dos hpersuperfces transversales es la nterseccón de los espacos tangentes. Es decr, consdérese el espaco afín A 3 = Spec k[x 1, x 2, x 3 ] y las superfces f 1 (x 1, x 2, x 3 ) = 0, f 2 (x 1, x 2, x 3 ) = 0. Sea m = (x 1, x 2, x 3 ), y f 1,n, f 2,m las componentes homogéneas de grado mínmo de f 1, f 2. S f 2,m es no dvsor de cero en G m (k[x 1, x 2, x 3 ]/(f 1 )) = k[x 1, x 2, x 3 ]/(f 1,n ), entonces G m (k[x 1, x 2, x 3 ]/(f 1, f 2 ) k[x 1, x 2, x 3 ]/(f 1,n, f 2,m ))

24 Capítulo 1. Completacón 1.4.2 Topología I-ádca. Completacón I-ádca Todos los ejemplos de completacón que hemos dado son casos partculares de completacón I-ádca. Restrnjámonos a esta stuacón. Sea I un deal de un anllo A y {M n } una fltracón de un A-módulo M. Dremos que {M n } es una I-fltracón s se verfca IM n M n+1 para todo n N. Dremos que la I-fltracón es I-estable s exste un h N tal que para todo n > h se verfca que IM n = M n+1. Proposcón 1.4.19. Todas las fltracones I-estables de un A-módulo M defnen la msma topología. Es más, se verfca que dadas dos fltracones {M n }, {M n} I-estables de M, exste un h tal que { Mn+h M n para todo n M n+h M n para todo n Demostracón. Sea h N de modo que para todo n h se verfque que IM n = M n+1 y IM n = M n+1. Entonces, M n+h = I n M h I n M M n y M n+h = In M h In M M n. Defncón 1.4.20. Dado un deal I A y un A-módulo M, dremos que la fltracón I-estable M IM I 2 M I n M... es la fltracón I-ádca. La topología defnda por cualquer fltracón I-estable se denomna la topología I-ádca. De ahora en adelante, completar se entenderá que es completar respecto de la topología I-ádca. Proposcón 1.4.21. S I es un deal fnto generado, por ejemplo s A es un anllo noetherano, entonces Î n M = I n M. Demostracón. Consderemos la nyeccón I n M M. Completando tenemos la nyeccón Î n M M. Sea 1,..., r un sstema generador de I n. Consderemos el epmorfsmo M. r.. M I n M, (m 1,..., m r ) j jm j. Completando I-ádcamente tenemos un epmorfsmo M. r.. M Î n M y recordemos la nyeccón Î n M M. Hemos obtendo que Î n M = I n M. Corolaro 1.4.22. S I es un deal fnto generado, por ejemplo s A es un anllo noetherano, el completado de un módulo por la topología I-ádca es completo y separado para la topología I-ádca,.e., M = M. Además, M/I n M = M/I n M y G M = GM. Demostracón. Es una consecuenca drecta de la proposcón anteror y 1.4.7, 1.4.8, 1.4.10. 1.4.3 Artn-Rees El teorema de Artn-Rees será fundamental para demostrar que la completacón I-ádca es exacta (para módulos fnto generados), para demostrar que el morfsmo de completacón es plano y en la teoría de la dmensón para demostrar, medante el polnomo de Samuel, el teorema del deal prncpal de Krull. Defncón 1.4.23. Dado un deal I A, llamaremos DA = A I I 2... dlatado de A por I o anllo de Rees en I. En general dado un A-módulo M y una I-fltracón {M n }, llamaremos dlatado de M por la I-fltracón a DM = M M 1 M 2....

1.4. Completacón 25 Defncón 1.4.24. Dremos que A = A n es un anllo graduado s los A son subgrupos adtvos n N de A y para cada a A y a j A j entonces a a j A +j. Observemos que DA es un anllo graduado. S A es noetherano entonces I = (ξ 1,..., ξ r ) es fnto generado. El morfsmo es epyectvo, luego DA es noetherano. A[x 1,..., x r ] DA = A I I n... x ξ Defncón 1.4.25. Sea A = A n un anllo graduado. Dremos que un A-módulo M = M n es n N n N un A-módulo graduado s para cada a A y m j M j entonces a m j M +j. Observemos que DM es un DA-módulo graduado. Lema 1.4.26. Sea A noetherano, M un A-módulo fnto generado y {M n } una I-fltracón. fltracón es I-estable DM es un DA-módulo fnto generado. Demostracón. ) Supongamos que {M n } es I-estable,.e., exste un r N tal que {M n } = {M 0,..., M r, IM r, I 2 M r,... }. Observemos que el DA-submódulo de DM generado por M M 1 M r DM es M M 1 M r IM r I 2 M r.... Por tanto, DM =< M M 1 M r > es fnto generado, porque M,M 1,..., M r son A-módulos fnto generados. ) Recíprocamente. Supongamos que DM =< n 1,..., n s > es fnto generado. Podemos suponer que los n son homogéneos. Sea r = max{gr n, 1 s}. Entonces DM =< n 1,..., n s >=< M M 1 M r >= M M 1 M r IM r I 2 M r.... Luego la fltracón es I-estable. La Teorema 1.4.27 (de Artn-Rees). Sea A noetherano, M un A-módulo fnto generado y M M un submódulo. Consderemos en M la topología I-ádca. Se verfca que la topología ncal de M, por la nclusón M M es la topología I-ádca de M. Es más, la fltracón {M I n M} es I-estable. Demostracón. Consderemos en M la I-fltracón {M I n M} y en M la I-ádca. DM es un DA-submódulo de DM, donde DA es noetherano y DM es fnto generado, por el lema anteror. Entonces DM es fnto generado y de nuevo, por el lema anteror, {M I n M} es I-estable. Corolaro 1.4.28. Sea A noetherano. La completacón I-ádca de sucesones exactas de A-módulos fnto generados es exacta,.e., s 0 M M M 0 es una sucesón exacta de A-módulos fnto generados entonces es exacta. 0 M M M 0 Demostracón. Sabemos que s completamos M por la fltracón {M I n M}, M por la fltracón {I n M} y M por la fltracón {I n M }, entonces la sucesón completada es exacta. Ahora ben, por Artn-Rees la fltracón {M I n M} es I-estable, luego completar por ella es completar por la I-ádca y hemos termnado.

26 Capítulo 1. Completacón Ejercco 1.4.29. Consderemos en el anllo k[x, y]/(y 2 x 2 + x 3 ) el deal maxmal ( x, ȳ). Probar que k[x, y]/(y 2 x 2 + x 3 ) = k[[x, y]]/(y 2 x 2 +x 3 ). Probar que y 2 x 2 +x 3 descompone en producto de dos seres ( ramas ), que se corresponden con los dos deales prmos mnmales del anllo completo consderado. Ejercco 1.4.30. Calcular la completacón de k[x 1,..., x n ]/(p 1 (x 1,..., x n ),..., p r (x 1,..., x n )) por el deal (x 1,..., x n ). Corolaro 1.4.31. Sea A noetherano y M un A-módulo fnto generado, M A Â = M Demostracón. S M es fnto generado exste un epmorfsmo A. n.. A = A n π M 0 Ker π es un submódulo de A n, luego es fnto generado y exste un epmorfsmo A m Ker π 0. En conclusón, exste una sucesón exacta A m A n M 0 Tensoralzando por A Â tenemos la sucesón exacta ( ) A m A Â = Âm A n A Â = Ân M A Â 0 Ahora ben, como la completacón de ( ) es la sucesón exacta obtenemos que M A Â = M. Â m = Âm Ân = Ân M 0 Corolaro 1.4.32. S A es noetherano, el morfsmo A Â es plano. Demostracón. Tenemos que ver que dada una sucesón exacta de A-módulos entonces 0 M M M 0 0 M A Â M A Â M A Â 0 es exacta. Como tensoralzar es exacto por la derecha, sólo tenemos que ver que dada la sucesón exacta 0 M M entonces 0 M A Â M A Â es exacta. S M y M fuesen fnto generados, lo tendríamos demostrado, por el corolaro anteror, porque A Â es completar. M = lm M, sendo M los submódulos fnto generados de M. Tenemos que M = lm (M M ), pues M M, son los submódulos (con repetcones) fnto generados de M. Tenemos que 0 M M M es exacta, con M M y M fnto generados. Entonces 0 (M M ) A Â M A Â son exactas. Luego 0 lm ((M M ) A Â) lm (M A Â) es exacta. Por la conmutacón del límte nductvo con producto tensorales conclumos que 0 lm (M M ) A Â = M A Â lm M A Â = M A Â es exacta. Hemos termnado.

1.4. Completacón 27 Corolaro 1.4.33 (Krull). Sea M un A-módulo noetherano e I A un deal ncludo en el radcal de Jacobson de A. Se verfca que M es separado para la topología I-ádca,.e., I n M = 0. n N Demostracón. Sea N = I n M M. Por Artn-Rees sabemos que la fltracón {N I n M = N} n N es I-estable. Por tanto, IN = N y por Nakayama N = 0. 1.4.4 Completacón y noetherandad Queremos probar que el completado de un anllo noetherano es noetherano. Un anllo noetherano y su completado tenen el msmo graduado y éste es noetherano. Probaremos que s el graduado de un anllo completo y separado es noetherano el anllo es noetherano y así obtendremos que el completado de un anllo noetherano es noetherano. Un teorema básco en Análss y Geometría Dferencal, es el teorema de la funcón nversa. Toda aplcacón dferencable f : X Y, entre varedades dferencales, nduce una aplcacón entre los anllos C (Y ) C (Y ) y los espacos cotangentes f : m f(x) /m 2 f(x) m x/m 2 x. El teorema de la funcón nversa afrma que s f es un somorfsmo entonces f es un somorfsmo en un entorno de x. Ahora ben, f es un somorfsmo s y sólo s el morfsmo nducdo entre los graduados G mf(x) C (Y ) G mx C (X) lo es. Analítcamente, s el morfsmo G mf(x) C (Y ) G mx C (X) es un somorfsmo entonces el morfsmo precsón. C (Y ) C (X) es un somorfsmo. Hablemos ahora en Álgebra y con toda Teorema 1.4.34 (formal de la funcón nversa). Sean {M n } y {M n} fltracones de M y M respectvamente. Supongamos que M y M son completos y separados. Sea T : M M un morfsmo de fltracones y consderemos el morfsmo GT : GM GM nducdo. SGT es somorfsmo (resp. epyectvo, nyectvo) entonces T : M M es somorfsmo (resp. epyectvo, nyectvo). Demostracón. Supongamos que GT es epyectvo. Sea m M. Como M/M 1 T M /M 1 es epyectvo exste m 0 M, tal que m = T (m 0 ) + m 1, con m 1 M 1. Como M 1 /M 2 T M 1 /M 2 es epyectvo exste m 1 M 1, tal que m 1 = T (m 1 ) + m 2, con m 2 M 2. Es decr m = T (m 0 ) + T (m 1 ) + m 2. Así sucesvamente, obtenemos una sere m = m, con m M, de modo que la sere T (m) = T ( m ) = T (m ) converge a m. =0 =0 =0 Como M es completo, T (m) = m y T es epyectvo. Supongamos ahora que GT es nyectvo. Sea m M. Como M es separado exste r N de modo que m M r y m / M r+1. Entonces 0 m M r /M r+1. GT ( m) = T (m) 0, porque GT es nyectvo. Luego T (m) 0 y T es nyectvo. En partcular, s GT es somorfsmo, T es somorfsmo. Lema 1.4.35. Sea A un anllo completo y separado por la topología I-ádca defnda por un deal I A. S GA es noetherano entonces A es noetherano. Demostracón. Dado un deal q A tenemos que ver que q es fnto generado. Consderemos en q la fltracón {q I n }. Entonces tenemos una nclusón natural Gq = n (q I n )/(q I n+1 ) n I n /I n+1