Álgebra Conmutativa. Colección manuales uex Geometría Algebraica. Carlos Sancho de Salas. Pedro Sancho de Salas

Transcripción

1 Álgebra Conmutatva Geometría Algebraca Coleccón manuales uex - 90 Carlos Sancho de Salas Pedro Sancho de Salas 90

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3 ÁLGEBRA CONMUTATIVA GEOMETRÍA ALGEBRAICA

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5 CARLOS SANCHO DE SALAS PEDRO SANCHO DE SALAS ÁLGEBRA CONMUTATIVA GEOMETRÍA ALGEBRAICA 2013

6 Edta Unversdad de Extremadura. Servco de Publcacones C./ Caldereros, 2 - Planta 2ª Cáceres (España) Telf Fax publcac@unex.es publcacones ISSN X ISBN de mértos

7 Índce general Introduccón 9 0. Grupos, anllos y módulos Grupos Grupos cíclcos Grupo smétrco Producto drecto y semdrecto de grupos G-conjuntos. Teoremas de Sylow Anllos Anllos. Domnos de deales prncpales Cocente por un deal Operador de Euler. Polnomos cclotómcos Ideales prmos. Ideales maxmales Espectro prmo de un anllo Localzacón. Domnos de factorzacón únca Localzacón y espectro prmo. Fórmula de la fbra Módulos Módulos, submódulos y cocentes. Sstema de generadores Localzacón de módulos Anllos y módulos noetheranos Módulos y anllos de longtud fnta Clasfcacón de los módulos sobre domnos de deales prncpales Categorías. Funtor de homomorfsmos Producto tensoral de módulos y álgebras Álgebra tensoral, smétrca y exteror de un módulo Módulos planos y proyectvos Ideales de Fttng. Estratos de S pec A en los que un A-módulo M es lbre Límtes proyectvos e nductvos Teorema de representabldad Problemas Raíces de un polnomo Extensones de cuerpos Teorema de Kronecker. Cerre algebraco Grado de trascendenca de una extensón de cuerpos Espectro prmo y solucones de un sstema de ecuacones algebracas Teorema de las funcones smétrcas Teorema fundamental del Álgebra Fórmulas de Newton y Grard El dscrmnante de un polnomo Teoría de la elmnacón: Resultante de dos polnomos Métodos de cómputo de la resultante Aplcacones de la resultante

8 ÍNDICE GENERAL Ejerccos y ejemplos Exceso. Polnomos de Sturm. Separacón de raíces Acotacón de las raíces Exceso de una funcón raconal real Vueltas de una curva alrededor del orgen. Teorema de D Alambert Polnomos de Sturm Teorema de Budan-Fourer. Teorema de Descartes Problemas Teoría de Galos Introduccón k-álgebras fntas trvales y raconales k-álgebras fntas separables. Trvalzacón Cuerpos perfectos Subálgebra separable maxmal Métrca de la traza Extensones de Galos Cuerpos fntos Teorema de Galos categoral Resolubldad de las ecuacones polnómcas por radcales Resolucón de ecuacones polnómcas por radcales Grupo de Galos de las cúbcas y las cuártcas Extensones por radcales cuadrátcos Construccones con regla y compás Apéndce: Grupos resolubles Problemas Varedades algebracas Introduccón Descomposcón prmara Una descomposcón prmara canónca Morfsmos fntos Teoremas de ascenso y descenso de deales Lema de Normalzacón de Noether. Teorema de los ceros de Hlbert Teoría de la dmensón en varedades algebracas Varedades algebracas lsas Módulo de las dferencales de Kähler y módulo de dervacones Varedades lsas Módulo de dferencales de una varedad en el punto genérco Varedades proyectvas Apéndce: Cálculo tensoral dferencal valorado Dervada de Le. Fórmula de Cartan Cálculo dferencal valorado. Identdades de Banch Módulos de jets y operadores dferencales Problemas Álgebra local Introduccón Teoría de la dmensón local Cono tangente y espaco tangente en un punto Funcón de Hlbert Teorema de Artn-Rees Dmensón en anllos locales noetheranos Anllos locales regulares Complecón

9 ÍNDICE GENERAL Topología I-ádca. Complecón I-ádca Complecón y noetherandad Teorema de Cohen Lema de Hensel Problemas Anllos de enteros y anllos de curvas Introduccón Anllos de valoracón Anllos de Dedeknd Desngularzacón Fntud del morfsmo de cerre entero Cerre entero y anllos de valoracón Varedad de Remann Teoremas fundamentales de la Teoría de Números Valores absolutos arqumedanos Valores absolutos no arqumedanos y valoracones Producto de valores absolutos de una funcón Dvsores afnes Dvsores completos Volumen de un paralelepípedo. Dscrmnante Teorema de Remann-Roch débl Fntud de la clase de deales Undades de un anllo de enteros Número de deales de norma acotada La funcón zeta Explosón a lo largo de un cerrado. Desngularzacón Multplcdad de un punto sngular Multplcdad de nterseccón Ramas analítcas Polígono de Newton Puntos cuspdales y contacto maxmal Desngularzacón de curvas planas vía el contacto maxmal Teoremas de Bézout y Max Noether Apéndce: Revestmentos Introduccón Teoría de Galos de revestmentos El maravlloso automorfsmo de Frobënus Revestmentos ramfcados de curvas Cálculos locales Problemas Álgebra Conmutatva Homológca Introduccón Módulos dferencales. Homología Tores y Extens Complejo de Koszul Teorema de Serre para los anllos regulares Anllos de Cohen-Macaulay y Gorensten Crteros de plattud Crtero local de plattud y consecuencas Plattud genérca Morfsmos lsos y formalmente lsos Problemas

10 ÍNDICE GENERAL 7. Desngularzacón de superfces Introduccón Multplcdad y plattud normal en hpersuperfces Contacto maxmal para hpersuperfces Exponente dealístco Tangente estrcto Bases de Gröbner Órdenes monomales Bases de Gröbner Aplcacones Teoría de la elmnacón Cálculo de la funcón de Hlbert Cerre proyectvo de una varedad afín Deformacón plana de una varedad proyectva a una varedad proyectva monomal Cálculo del espaco tangente en un punto Expresón de un elemento como combnacón lneal de los generadores Cálculo del núcleo y de antmágenes de un morfsmo entre módulos fnto generados Cálculo de extens y tores Bblografía 339 Índce de térmnos 341 8

11 Introduccón El presente manual está concebdo como texto de referenca para los estudantes del Grado de Matemátcas de la UEX, en las asgnaturas de Álgebra: Álgebra Conmutatva, Álgebra I, Álgebra II y Teoría de Números. Incluye dversos temas de Álgebra y Geometría Algebraca para alumnos de máster y doctorado, y srve tambén como manual de apoyo a los profesores del área de Álgebra. Ha sdo redactado a partr de los cursos que recberon los autores en la Unversdad de Salamanca, mpartdos por nuestro padre el catedrátco Juan Bautsta Sancho Gumerá y su dscípulo el catedrátco Crstóbal García-Loygorr y Urzaz, y a partr de la experenca docente e nvestgadora en la Lcencatura y Grado en Matemátcas de las unversdades de Extremadura y Salamanca. En las seccones sobre la descomposcón prmara de deales y sobre los teoremas fundamentales de la Teoría de Números hemos segudo unas notas del catedrátco Juan A. Navarro, en el capítulo sobre la desngularzacón de superfces he segudo unas notas del catedrátco Juan B. Sancho. El objetvo del manual es desarrollar de modo autocontendo los conocmentos báscos en Álgebra de todo graduado en Matemátcas y, junto con un segundo manual, los conocmentos báscos de un profesor en el área de Álgebra. En toda dscplna matemátca concurren entrelazadamente dversos aspectos. En prmer lugar se desarrolla una teoría general, para la cual se ntroducen certas técncas o herramentas y los cálculos necesaros para que la teoría sea efectva. En segundo lugar, por razones ntelectuales y pedadógcas, la dscplna ha de desarrollarse de modo justfcado, natural, gradual, sugerente, etc. Hablemos con concsón. Podemos decr que este manual es un texto de Geometría Algebraca. Se estudan las varedades algebracas, es decr, las solucones de los sstemas de ecuacones algebracas. Se comenza con el estudo de las solucones (raíces) de una ecuacón polnómca p(x) = 0. Se calculan de modo aproxmado las raíces y cuándo pueden obtenerse medante raíces cuadradas, cúbcas, etc., (capítulos 1. y 2.). A contnuacón se estuda la varedad de solucones de los sstemas algebracos en varas varables y aparecen los conceptos de dmensón, el concepto de multplcdad de un punto, funcón de Hlbert, de punto sngular, y el problema de desngularzacón (capítulos 3.,4.,5. y 7.). Estamos hablando, pues, de nvarantes asocados a las varedades algebracas, necesaros para su clasfcacón. Para el cálculo de las solucones de los sstemas de ecuacones, se ntroduce la teoría de la elmnacón de varables (la teoría de la resultante) y la teoría de Gröbner (capítulos 1. y 8.); para la separacón de las raíces de un polnomo y el cálculo de las vueltas alrededor del orgen de una curva, la teoría del exceso y los polnomos de Sturm; para el cálculo de las raíces de un polnomo por radcales, la resolvente de Lagrange; para la determnacón de los puntos sngulares, el cálculo dferencal; para la desngularzacón de curvas, la explosón en puntos; para la desngularzacón de superfces, la explosón en puntos y curvas, etc. Hasta ahora hemos hablado sólo desde el punto de vsta geométrco. Dónde aparece el Álgebra Conmutatva? Cada varedad algebraca X está determnada por su anllo de funcones complejas contnuas algebracas A X : la varedad algebraca X se dentfca esencalmente con el conjunto de los deales prmos de su anllo de funcones, Spec A X. Cada concepto geométrco tene su correspondente concepto en Álgebra Conmutatva: la dmensón de una varedad es gual a la dmensón de Krull de su anllo de funcones, la multplcdad de un punto es gual a la multplcdad del anllo de gérmenes de funcones en el punto, etc. Cada proceso geométrco tene su correspondente proceso algebraco: cada morfsmo entre varedades se corresponde con un morfsmo de anllos entre los anllos de funcones algebracas; la restrccón a un aberto U X con el morfsmo de anllos de localzacón A X A U := {f /g, f, g A X y g no se anula en nngún punto de U}, f f /1; la restrccón a un cerrado Y X con el morfsmo 9

12 Introduccón de anllos de paso al cocente A X A Y = { f, f A X : f = ḡ s y sólo s f g se anula en Y }, f f ; el producto drecto de dos varedades se corresponde con el producto tensoral de sus respectvos anllos de funcones, etc. Geometría Algebraca Álgebra Conmutatva Spec A, espectro A, anllo conmutatvo p 1 (x 1,..., x n ) = = p r (x 1,..., x n ) = 0 C[x 1,..., x n ]/(p 1,..., p r ) φ: X Y φ : A Y A X, φ (f ) = f φ Dmensón de X Dmensón de Krull de A X Punto no sngular, x X Anllo local regular, A X,x Cono tangente a X en x Graduado de A X por el deal m x Explosón en un punto x X Dlatado de A X por el deal m x Por otra parte, múltples conceptos del Análss y de la Geometría Dferencal, son algebracos: la dferencal de una funcón, su dervada, se tratará con el módulo de las dferencales de Kähler, los desarrollos de Taylor de una funcón con la complecón del anllo de funcones. En el capítulo 6. ntroducmos la técnca o herramenta fundamental para el estudo y clasfcacón de dstnto tpo de anllos y morfsmos de anllos: el Álgebra Homológca. Vía el Álgebra Conmutatva, la Teoría de Números puede entenderse desde un punta de vsta geométrco. Defncones y teoremas del Álgebra Conmutatva dan smultáneamente defncones y teoremas en Geometría Algebraca y la Teoría de Números. El anllo de los números enteros Z está estrechamente relaconado con el anllo de funcones algebracas de la recta afín, el anllo de polnomos C[x]: ambos son anllos euclídeos. Los anllos de enteros están relaconados con los anllos de funcones de curvas, ambos son anllos de dmensón de Krull 1 y el proceso de desngularzacón en ambos consste en obtener un anllo regular. Los números prmos pueden entenderse como puntos de una curva. Un lugar común para los legos en Matemátcas consste en entender las Matemátcas como una mera herramenta para la resolucón por cálculo de certos problemas reales de otras dscplnas centífcas. De modo parejo, dentro del mundo matemátco se entende el Álgebra como una herramenta para resolver problemas con una sgnfcacón real de otras áreas de la Matemátca. Una msón prmordal de la Matemátca y dentro de ella del Álgebra es hacer un análss profundo de los conceptos y teorías conocdos, análss que supone una refundacón e lumnacón de éstos. En este texto queremos tambén mostrar cómo la Geometría Algebraca, el cálculo dferencal tensoral de la Geometría Dferencal y la Físca, la Teoría de Números, etc., hunden sus raíces en el Álgebra Conmutatva. 10

13 Capítulo 0 Grupos, anllos y módulos 0.1. Grupos La estructura más básca y fundamental en Álgebra es la estructura de grupo (y semgrupo). Los anllos, los espacos vectorales, los módulos, etc. necestan para su defncón de la nocón de grupo. Demos una justfcacón de carácter muy general para la ntroduccón de la teoría de grupos, sguendo a Felx Klen en su Erlanger Programm. Dar una teoría (geométrca) es dar una estructura, un espaco con certa estructura. En esta teoría es fundamental el estudo del grupo de automorfsmos de la estructura, es decr, de aquellas byeccones del espaco que respetan la estructura del espaco. Las nocones y objetos de este espaco, o de la teoría, serán aquéllos que queden nvarantes por el grupo de automorfsmos recén menconado. El estudo de las funcones, campos dferencables, etc., que quedan nvarantes por el grupo y el estudo de las relacones que verfcan éstos, son todos los teoremas de la teoría. Es pues el estudo de los grupos (y la teoría de nvarantes) un tópco fundamental en Matemátcas. En el cálculo de las raíces de un polnomo, es convenente conocer el grupo de aquellas permutacones de las raíces, que respetan las relacones algebracas que verfcan éstas. Ya veremos que las raíces de un polnomo se pueden obtener medante radcales s y sólo s el grupo de permutacones menconado es resoluble (nocón que más adelante explcaremos). 1. Defncón : Sea G un conjunto. Dremos que una aplcacón m: G G G (seguremos las notacones m(g, g ) = g g = gg y dremos que m ó es una operacón) dota a G de estructura de grupo s cumple las sguentes condcones: 1. Propedad asocatva: g (g g ) = (g g ) g, para todo g, g, g G. 2. Exstenca de elemento neutro: Exste un elemento de G, que denotamos por 1 y denomnamos elemento neutro, tal que 1 g = g 1 = g, para todo g G. 3. Exstenca de nversos: Para cada g G exste un elemento de G, que denotamos por g 1 y denomnamos nverso de g, tal que g g 1 = g 1 g = 1. S además se cumple que g g = g g, para todo g, g G, dremos que G es un grupo abelano o conmutatvo; en cuyo caso, a menudo denotaremos la operacón del grupo por +, al elemento neutro por 0 y al nverso de cada g por g (y lo denomnaremos opuesto de g)., 2. Ejemplos : El conjunto de los números enteros con la suma, (Z,+), es un ejemplo básco de grupo conmutatvo. El conjunto de todas las byeccones de un conjunto X en sí msmo, con la operacón composcón de aplcacones, (B y X, ), es un grupo no conmutatvo (cuando X contenga más de dos elementos). S 1 y 1 son elementos neutros del grupo G entonces 1 = 1 : 1 = 1 1 = 1. S h y h son nversos de g G, entonces h = h : h = h 1 = hgh = 1 h = h. 3. Defncón : Sea (G, ) un grupo. Dremos que un subconjunto H G es un subgrupo de G s cumple las sguentes condcones: 11

14 0.1. Grupos Grupos, anllos y módulos 1. S h, h H entonces h h H H. 3. S h H entonces h 1 H. S H es un subgrupo de G, entonces la operacón de G defne en H una estructura de grupo. Recíprocamente, s H es un subconjunto de un grupo G y la operacón de G defne en H una estructura de grupo entonces H es un subgrupo. 4. Proposcón: La nterseccón de cualquer famla de subgrupos de un grupo es un subgrupo. 5. Defncón : Dado un subconjunto X de un grupo G, llamaremos subgrupo generado por X y lo denotaremos X, al mínmo subgrupo de G que contene a X, es decr, a la nterseccón de todos los subgrupos de G que contenen a X. Por ejemplo, el subgrupo de Z generado por n Z, es gual a n = {m n, m Z} =: nz. El subgrupo de Z generado por n, n Z, es n, n = {mn + m n, m, m Z}. Dado un número entero z Z, llamaremos valor absoluto de z y denotaremos z, al máxmo entre z y z. 6. Teorema de dvsón de números enteros : Sean n y d 0 dos números enteros. Exste una únca pareja de números enteros c y r (denomnados cocente y resto de dvdr n por d), tales que 0 r < d y n = c d + r Demostracón. Procedamos por nduccón sobre n, para probar la exstenca de c y r. S n = 0, entonces c = 0 y r = 0. Podemos suponer que n > 0. El teorema es certo para d s y sólo s lo es para d (sólo hay que cambar c por c), luego podemos suponer que d > 0. Supongamos n > 0. S n < d, entonces c = 0 y r = n. S n d. Sea n = n d, luego n = n d < n = n. Por hpótess de nduccón exsten c y r (cumplendo 0 r < d = d) tales que n = c d + r, luego n = (c + 1)d + r y hemos concludo. Supongamos, ahora, n < 0. Sea n = n + d, luego n < n. Por hpótess de nduccón exsten c y r (cumplendo 0 r < d = d) tales que n = c d + r, luego n = (c 1)d + r y hemos concludo. Veamos la uncdad de c y r. Sea n = cd + r = c d + r, cumplendo c, c, r, r lo exgdo. Podemos suponer r r. Entonces, (c c )d + (r r ) = 0 y c c d = (c c )d = r r r < d, luego c c = 0. Por tanto, c = c y r = n cd = r. 7. Teorema: S H es un subgrupo del grupo (adtvo) de los números enteros Z, entonces exste un únco número natural n tal que H = nz. Demostracón. S H = {0} entonces H = 0 Z. Supongamos H {0}. Exsten naturales postvos en H, porque el opuesto de cada número entero de H pertenece a H. Sea n H el mínmo número natural no nulo contendo en H. Veamos que H = nz: Obvamente, nz H. Dado m H Z, exsten números enteros c y r tales que m = cn + r, 0 r < n Luego, r = m cn H, porque m, cn H. Por la defncón de n, se tene que r = 0. Luego, m nz, H nz y H = nz. Por últmo, demostremos la uncdad: observemos que s un número natural m pertenece a nz, entonces m n. Por tanto, s mz = nz, m n y n m, luego m = n. S m nz dremos que m es un múltplo de n y que n es un dvsor de m. Sea (G,+) un grupo abelano y G 1,G 2 G dos subgrupos. Denotamos G 1,G 2 = G 1 + G 2 y el lector puede comprobar que G 1 +G 2 = {g 1 + g 2, g 1 G 1 g 2 G 2 }. Por la proposcón anteror, dados n, n Z, exste m N tal que nz + n Z = mz. Observemos que n, n mz, luego m es dvsor de n y n. S m N es dvsor de n y n entonces m nz + n Z m Z, y m dvde a m. Por tanto, m es el máxmo común dvsor de n y n. 12

15 Grupos, anllos y módulos 0.1. Grupos Por la proposcón anteror, dados n, n Z, exste m N tal que nz n Z = mz. El lector, puede comprobar que m es el mínmo común múltplo de n y n. 8. Defncón : Dremos que una aplcacón f : G G entre dos grupos es un morfsmo de grupos s para todo g, g G se cumple que f (g g ) = f (g) f (g ) Dremos que f es un somorfsmo de grupos s f es byectva (en tal caso la aplcacón nversa f 1 es un somorfsmo de grupos). Dremos que es un epmorfsmo (resp. monomorfsmo) de grupos s f es epyectva (resp. nyectva). S f : G G es un morfsmo de grupos entonces f (1) = 1: f (1) = f (1 1) = f (1) f (1) y multplcando por f (1) 1 obtenemos 1 = f (1). Además, f (g 1 ) = f (g) 1 : 1 = f (1) = f (g g 1 ) = f (g) f (g 1 ) y multplcando por f (g) 1 obtenemos f (g) 1 = f (g 1 ). Denotaremos Hom grp (G,G ) al conjunto de todos los morfsmos de grupos de G en G. 9. Defncón : Sea f : G G un morfsmo de grupos. Llamaremos núcleo de f y lo denotaremos Ker f, al subconjunto de G Ker f := f 1 (1) = {g G : f (g) = 1} Llamaremos magen de f, que denotaremos Im f, a la magen de la aplcacón f, es decr, Im f := {f (g) G, g G} 10. Proposcón : Ker f es un subgrupo de G e Im f es un subgrupo de G. En general, la antmagen por un morfsmo de grupos de un subgrupo es subgrupo y la magen de un subgrupo es subgrupo. Dado un morfsmo de grupos f : G G y g G, calculemos el conjunto de elementos g G tales que f (g ) = f (g): f (g ) = f (g) s y sólo s 1 = f (g) 1 f (g ) = f (g 1 g ), es decr, s y sólo s g 1 g Ker f, que equvale a decr que g g Ker f := {g h, h Ker f }. 11. Proposcón: Un morfsmo de grupos f : G G es nyectvo s y sólo s Ker f = {1}. S dentfcamos los elementos de G cuando tengan la msma magen, obtenemos un conjunto byectvo con la magen. Es decr, s dentfcamos cada g G con los elementos de g Ker f obtenemos un conjunto que es byectvo con Im f. Sea H G un subgrupo. Dado g G, denotamos gh := {gh G, h H}. Sean g, g G. S g gh entonces g H = gh: Sea h H, tal que g = gh. Entonces, g H = ghh = gh. S g gh, entonces g H gh =, pues s z g H gh, entonces g H = zh = gh. Luego, dados g, g G, o gh = g H o ben g H gh =. 12. Defncón : Sea H G un subgrupo. Llamaremos conjunto cocente de G por H, que denotaremos G/H, al conjunto G/H := {gh g G} = Not {ḡ, g G : ḡ = ḡ s y sólo s g g H (o equvalentemente g H = gh)} Es decr, s en G dentfcamos cada g G con todos los elementos de gh G, obtenemos el conjunto G/H. 13. Notacón : Se dce que g es congruente con g módulo H y se denota g g mod H, cuando ḡ = ḡ en G/H, es decr, g g H (o g 1 g H). Dado p Z y n, m Z, escrbremos n m mod p s n m mod pz, (es decr, s n m pz). La aplcacón G G/H, g ḡ, se denomna el morfsmo de paso al cocente (por H). 14. Defncón : Llamaremos orden de un conjunto X, que denotaremos X, al número de elementos del conjunto. S el conjunto tene un número nfnto de elementos dremos que es de cardnal nfnto. 15. Ejemplo : S n > 0, entonces Z/nZ es un conjunto de orden n, explíctamente Z/nZ = { 0,..., n 1}: Dado m Z/nZ, por el teorema de dvsón de números enteros, exsten números enteros úncos c y r, con 0 r < n, de modo que m = cn + r. Por tanto, m es gual a un únco r { 0,..., n 1}. 16. Teorema de Lagrange: Sea G un grupo de orden fnto. S H es un subgrupo de G entonces G = G/H H 13

16 0.1. Grupos Grupos, anllos y módulos Demostracón. G = ḡ G/H g H y gh = H (porque la aplcacón H gh, h gh es byectva). Por tanto, G = G/H H. 17. Observacón : Subrayemos que el teorema de Lagrange nos dce que el orden de todo subgrupo de un grupo fnto dvde al orden del grupo. 18. Defncón : Se dce que un subgrupo H G es normal (en G) cuando gh g 1 H, para todo g G, es decr, s ghg 1 H, para todo g G y h H. S G es un grupo conmutatvo, todo subgrupo de G es normal en G. S H es normal y tomamos g 1 G, tendremos g 1 H g H, luego H gh g 1. Como g 1 H g H entonces gh g 1 = H (para todo g G). Por tanto, gh = H g, para todo g G, y recíprocamente s un subgrupo cumple esta condcón el subgrupo es normal. 19. Teorema: Sea H G un subgrupo y π: G G/H la aplcacón de paso al cocente. H es un subgrupo normal de G s y sólo s exste en G/H una (únca) estructura de grupo, de modo que π sea un morfsmo de grupos. Demostracón. Supongamos que H es normal en G. Defnamos en G/H la operacón ḡ ḡ := gg, que está ben defnda porque gh g H = gg HH = gg H. La propedad asocatva se cumple de modo obvo, 1 es el elemento neutro y g 1 es el nverso de ḡ G/H. Luego, G/H es grupo. Además, π: G G/H es morfsmo de grupos, pues π(g g ) = gg = ḡ ḡ = π(g) π(g ). Recíprocamente, s π es un morfsmo de grupos, entonces ḡ ḡ = π(g) π(g ) = π(gg ) = gg. Por tanto, la operacón en G/H está determnada. Además, dados h H y g G, tenemos que h ḡ = 1 ḡ = ḡ, luego hg gh, para todo h H, es decr, H g gh. Por tanto, g 1 H g H, para todo g G. Tomando g 1 G, gh g 1 H y H es normal en G. 20. Propedad unversal del grupo cocente : Sea H G un subgrupo normal y π: G G/H el morfsmo de paso al cocente. Un morfsmo de grupos f : G G factorza a través de π s y sólo s H Ker f, es decr, exste un (únco) morfsmo de grupos φ: G/H G de modo que el dagrama es conmutatvo s y sólo s H Ker f. f G G π φ G/H Demostracón. S exste φ (cumplendo lo exgdo), entonces 1 = φ( 1) = φ( h) = f (h), para todo h H, luego H Ker f. Además, φ(ḡ) = φ(π(g)) = f (g), luego está determnado. Recíprocamente, supongamos H Ker f. Defnamos φ(ḡ) := f (g), que está ben defnda porque f (gh) = f (g)f (H) = f (g). Además, φ(π(g)) = φ(ḡ) = f (g). 21. Teorema de somorfía : Sea f : G G un morfsmo de grupos. La aplcacón, φ: G/Ker f Im f, φ(ḡ) := f (g), es un somorfsmo de grupos. Demostracón. Por la propedad unversal del grupo cocente, sabemos que φ π = f e Im f = Im(φ π) = Imφ, porque π es epyectva. Veamos que φ es nyectva: s 1 = φ(ḡ) = f (g), entonces g Ker f y ḡ = 1, luego Kerφ = { 1}. 14

17 Grupos, anllos y módulos 0.1. Grupos Grupos cíclcos 22. Defncón : Dremos que un grupo G es cíclco s está generado por uno de sus elementos, es decr, exste g G de modo que G = g. 23. Proposcón: S G es un grupo de orden un número prmo, entonces G es cíclco. Demostracón. Por el teorema de Lagrange no puede haber más subgrupos de G que G y el trval {1}. Por tanto, el subgrupo generado por cualquer elemento dstnto de 1 es gual a G. 24. Notacón : Sea G un grupo y g G. S n > 0, se defne g n := g g; n s n < 0, se defne g n := g 1 n g 1 ; y g 0 := 1. S escrbmos el grupo G con notacones adtvas (en vez de escrbmos +), escrbremos n g, en vez de g n (como es natural). 25. Proposcón : Un grupo G es cíclco s y sólo s es somorfo a Z/nZ, para algún un número natural n. Demostracón. Z/nZ es un grupo (adtvo) cíclco, generado por 1. Supongamos que G = g es cíclco. Sea f : Z G, el morfsmo defndo por f (n) = g n. Es fácl comprobar que f es un morfsmo de grupos. Im f es un subgrupo de G, que contene a g, luego Im f = G y f es epyectvo. Ker f es un subgrupo de Z, luego exste n N tal que Ker f = nz. Por el teorema de somorfía Z/nZ G. Z/nZ es un grupo conmutatvo, pues es cocente de Z que es conmutatvo. Por tanto, todo grupo cíclco es conmutatvo. 26. Defncón : Llamaremos orden de un elemento g G de un grupo, al orden del subgrupo g de G que genera. En la proposcón anteror hemos dado el somorfsmo Z/nZ g, m g m. Por tanto, s n > 0, el orden de g es gual a g = Z/nZ = n, g = {1, g 1,..., g n 1 } y n es el mínmo número natural postvo tal que g n = 1, además, s g m = 1, entonces m es un múltplo del orden de g. S n = 0, entonces el orden de g es g = Z = y g = {..., g m,...,1, g 1,..., g m,...} (cumplendo g g j, para todo, j Z, j). 27. S G es un grupo de orden m <, entonces el orden de todo elemento g G dvde a m, ya que el orden de todo subgrupo g dvde al orden del grupo G, por el teorema de Lagrange. En partcular, g G = Proposcón: Todo subgrupo de un grupo cíclco es cíclco. Demostracón. Sea G = g un grupo cíclco y π: Z G, π(n) := g n, que es un epmorfsmo de grupos. Dado un subgrupo H G, se cumple que H = π(π 1 (H)). Ahora ben, π 1 (H) es un subgrupo de Z, luego es cíclco (es decr, generado por un elemento z). Por tanto, H = π(π 1 (H)) está generado por π(z) y es cíclco. 29. Proposcón : Sea 0 n Z. Entonces, m Z/nZ es un generador s y sólo s el máxmo común dvsor de m y n es 1 ( m y n son prmos entre sí ). Demostracón. Consderemos el epmorfsmo natural π: Z Z/nZ, π(z) = z. Es claro que π 1 ( m ) = mz + nz = rz, donde r es el máxmo común dvsor de m y n. Por otra parte, m es un generador de Z/nZ, es decr, m = Z/nZ, s y sólo π 1 ( m ) = Z. Por tanto, m es un generador de Z/nZ s y sólo s r = 1. Así pues, s G = g es un grupo cíclco de orden n > 0, entonces g m es un generador de G s y sólo s m y n son prmos entre sí. 15

18 0.1. Grupos Grupos, anllos y módulos Grupo smétrco El grupo smétrco S n es el grupo de todas las byeccones (o permutacones ) de un conjunto de n elementos en sí msmo, con la operacón composcón de aplcacones. Comentaro: Una byeccón entre dos conjuntos τ: X Y, puede entenderse como una dentfcacón de X con Y : a x X lo llamamos τ(x) en Y. Dada una aplcacón f : X X, que aplca x en f (x), tenemos la correspondente aplcacón en Y : la que aplca τ(x) en τ(f (x)), es decr, la aplcacón τ f τ 1 : Y Y. Así el grupo de las permutacones de X se dentfca con el grupo de las permutacones de Y (vía la dentfcacón de X con Y ). Con mayor precsón, el morfsmo B y X B yy, σ τ σ τ 1 es un somorfsmo de grupos (como el lector puede comprobar). S Y es un conjunto de orden n, entonces Y es byectvo con {1,..., n} =: X y B yy = B y X =: S n. El número de permutacones de n elementos es n!, luego S n = n!. 30. Defncón : Dados r puntos dstntos x 1,..., x r X, con r > 1, denotaremos (x 1,..., x r ) = σ B y X a la permutacón defnda por σ(x ) := x +1, para todo < r; σ(x r ) := x 1 ; y σ(x) := x, para todo x {x 1,..., x r }. Dremos que (x 1,..., x r ) es un cclo y observemos que es de orden r. S r = 2, dremos que el cclo es una transposcón. Dremos que dos cclos (x 1,..., x r ),(x 1,..., x r ) de B y X son dsjuntos s x x para todo j, j. 31. Lema: S σ = (x 1,..., x r ) y σ = (x 1,..., x r ) son dsjuntos, entonces conmutan, es decr, σ σ = σ σ. Demostracón. Para x {x 1,..., x r }, (σ σ )(x) = σ(x) = (σ σ)(x). Para x {x 1,..., x r }, (σ σ )(x) = σ (x) = (σ σ)(x). Para x {x, x j }, j, (σ σ )(x) = x = (σ σ)(x). De otro modo (sguendo el comentaro anteror): σ σ σ 1 = (σ (x 1 ),...,σ (x r )) = (x 1,..., x r ) = σ y hemos concludo. 32. Teorema : Toda permutacón σ S n, dstnta de la dentdad, es gual a un producto de cclos dsjuntos, de modo únco salvo el orden de los factores. Demostracón. Sea x X, tal que σ(x) x. Sea r el mínmo número natural postvo tal que σ r (x) = x (tal número exste porque el orden de σ, que dvde al orden de S n, es fnto). Para todo 0 s < s < r, se cumple que σ s (x) σ s (x): pues componendo con σ s son dstntos, pues σ s s (x) x, porque 0 < s s < r. Sea σ 1 = (x,σ(x),...,σ r 1 (x)). Entonces, como σ 1 y σ concden sobre {x,σ(x),...,σ r 1 (x)} y σ 1 es la dentdad sobre X\{x,σ(x),...,σ r 1 (x)}, se cumple que σ 1 1 σ deja fjos a {x,σ(x),...,σr 1 (x)} y a los que dejaba fjos σ. Reterando el proceso obtenemos cclos dsjuntos σ 1,...,σ s tales que σ 1 s σ 1 1 σ = Id. Luego, σ = σ 1 σ s. Sea otra descomposcón σ = τ 1 τ t en producto de cclos dsjuntos. Reordenando, podemos suponer que τ 1 (x) x. Es decr, x aparece en el cclo τ 1 (y en σ 1 ). Luego, τ 1 (x) = σ(x) = σ 1 (x). Obvamente, τ 1 (x) = σ(x) = σ 1 (x) aparece en cclo de τ 1 y en el de σ 1. Luego, τ 2 1 (x) = σ2 (x) = σ 2 1 (x). Así sucesvamente, τ 1 (x) = σ (x) = σ 2 (x), para todo. Por tanto, τ 1 = σ 1 y σ 2 σ s = τ 2 τ t. Reterando el argumento conclumos que, después de reordenar los factores, σ 2,...,σ s concden con τ 2,...,τ t. 33. Defncón : Sea σ S n una permutacón dstnta de la dentdad. Sea σ = σ 1 σ s una descomposcón en producto de cclos dsjuntos y d el orden de σ. Reordenando podemos suponer que d 1 d 2 d s. Dremos que d 1,..., d s es la forma de σ. 34. Defncón : Dado un elemento g G, dremos que el morfsmo τ g : G G, τ g (g ) := gg g 1, es la conjugacón en G por g. Dremos que h, h G son conjugados s y sólo s exste g G, de modo que τ g (h) = h. 35. Teorema: La condcón necesara y sufcente para que σ,σ S n sean conjugadas es que tengan la msma forma. 16

19 Grupos, anllos y módulos 0.1. Grupos Demostracón. Sea σ = (x 11,..., x 1d1 ) (x s1,, x sds ) una descomposcón en producto de cclos dsjuntos y τ S n. Entonces, τ σ τ 1 = (τ(x 11 ),...,τ(x 1d1 )) (τ(x s1 ),,τ(x sds )) que tene la msma forma. Sea σ = (x 11,..., x 1d 1 ) (x s1,, x sd s ). S τ es cualquer permutacón que cumpla τ(x j ) = x j, para todo, j, entonces τ σ τ 1 = σ. 36. Proposcón: S d 1,..., d s es la forma de σ S n, entonces el orden de σ es el mínmo común múltplo de d 1,..., d s. Demostracón. Escrbamos σ = σ 1 σ s como producto de cclos dsjuntos. Entonces, σ n = σ n 1 σn s y σn es dsjunta con σ n j, para j. Luego, σn = Id s y sólo s σ n 1 = = σn s = Id. Por tanto, el orden de σ es el mínmo común múltplo de los órdenes de σ (que son d ). 37. Proposcón: Todo permutacón σ S n es producto de transposcones. Demostracón. Como toda permutacón es producto de cclos, basta probar que todo cclo es producto de transposcones. Sea, pues, un cclo (x 1,..., x r ) S n. Obvamente, (x 1, x 2 )(x 1,..., x r ) = (x 2,..., x r ), luego (x 1,..., x r ) = (x 1, x 2 )(x 2,..., x r ) = (x 1, x 2 )(x 2, x 3 )(x 3,..., x r ) = = (x 1, x 2 )(x 2, x 3 ) (x r 1, x r ) Sgno de una permutacón. Cada permutacón σ S n = B y({1,2,..., n}) defne una byeccón del anllo de polnomos en n varables con coefcentes números raconales, Q[x 1,..., x n ]: Q[x 1,..., x n ] Q[x 1,..., x n ], p(x 1,..., x n ) p(x 1,..., x n ) σ := p(x σ(1),..., x σ(n) ). Sea δ(x 1,..., x n ) := < j(x x j ) Q[x 1,..., x n ]. Sea σ S n = B y({1,2,..., n}). Es fácl comprobar que δ(x 1,..., x n ) σ = δ(x σ(1),..., x σ(n) ) = ±δ(x 1,..., x n ). 38. Defncón : Llamaremos sgno de una permutacón σ S n, que denotaremos sgn(σ), al número entero 1 ó 1 tal que δ(x σ(1),..., x σ(n) ) = sgn(σ) δ(x 1,..., x n ). 39. Proposcón: Consderemos el grupo (multplcatvo) {1, 1}. El morfsmo natural es un morfsmo de grupos. sgn: S n {1, 1}, σ sgn(σ) Demostracón. sgn(σ σ) δ = δ σ σ = (δ σ ) σ = (sgn(σ)δ) σ = sgn(σ ) sgn(σ) δ. Luego, sgn(σ) sgn(σ ) = sgn(σ σ ). Es fácl ver que sgn(id) = 1 y que sgn((1,2)) = 1. Evdentemente, sgn es un epmorfsmo (para n > 1). 40. Defncón : Llamaremos subgrupo alternado de S n, que denotaremos A n, al núcleo del morfsmo sgn, es decr, al subgrupo (normal) de S n formado por las permutacones de sgno postvo. Por el teorema de somorfía S n /A n {1, 1} Z/2Z. Por el teorema de Lagrange, A n = S n /2 = n!/2 (n > 1). Observemos que el sgno es nvarante por conjugacones, es decr, sgn(τστ 1 ) = sgn(τ) sgn(σ) sgn(τ) 1 = sgn(σ) En partcular, el sgno de toda transposcón es 1, porque todas son conjugadas de la transposcón (1,2). 41. Proposcón: S la forma de una permutacón σ S n es d 1,..., d r, entonces sgn(σ) = ( 1) d 1 1 ( 1) d r 1 = ( 1) d 1+ +d r r. Demostracón. S σ = (x 1,..., x r ) es un cclo, entonces (x 1,..., x r ) = (x 1, x 2 )(x 2, x 3 ) (x r 1, x r ) es producto de r 1 transposcones. Como el morfsmo sgn es un morfsmo de grupos, sgn(σ) = ( 1) r 1. En general, σ = σ 1 σ r, donde σ es un cclo de orden d. Por tanto, sgn(σ) = sgn(σ 1 ) sgn(σ r ) = ( 1) d 1 1 ( 1) dr 1. 17

20 0.1. Grupos Grupos, anllos y módulos Producto drecto y semdrecto de grupos 42. Defncón : Dados dos grupos G 1,G 2 se defne el producto drecto de ellos al conjunto producto cartesano de ambos, G 1 G 2, con la operacón de grupo defnda por la fórmula: (g 1, g 2 ) (g 1, g 2 ) := (g 1 g 1, g 2 g 2 ) 43. Ejemplo : Más adelante (subseccón 0.3.5), probaremos que los grupos abelanos generados por un número fnto de elementos son somorfos a un producto drecto de grupos cíclcos. 44. Notacón : Dados dos subgrupos H, H G, denotamos H H := {hh G, con h H y h H }. 45. Proposcón : Sean H, H G dos subgrupos normales. Supongamos H H = {1}. Entonces, los elementos de H conmutan con los de H y HH es un subgrupo de G somorfo a H H. Demostracón. Dados h H y h H, se tene que (hh h 1 )h 1 = h(h h 1 h 1 ) H H = {1}, luego hh = h h. Ahora ya, la aplcacón m: H H G, m((h, h )) := hh es un morfsmo de grupos nyectvo. Luego, H H Im m = HH. 46. Defncón : Sea H G un subgrupo. Llamaremos normalzador de H en G, que denotaremos N(H) (o N G (H)), al subgrupo de G defndo por N(H) := {g G : gh g 1 = H} El normalzador de H en G es el máxmo subgrupo de G en el que H es normal. 47. Proposcón: Sean H, H G dos subgrupos. Supongamos H H = {1} y que H N(H). Entonces, HH es un subgrupo de G y la aplcacón es byectva. Denotaremos, H H = HH. m: H H H H, m(h, h ) := hh Demostracón. Dados h 1 h 1 HH y h 2 h 2 HH, entonces (h 1 (h 1 h 2h 1 1 )) (h 1 h 2 ) HH. Dado hh HH (hh ) 1 = (h 1 h 1 h ) h 1 HH. Además, 1 HH. Por tanto, HH es un subgrupo de G. Veamos que m es nyectva: S m((h 1, h 1 )) = m((h 2, h 2 )), entonces h 1h 1 = h 2h 2. Por lo tanto, h 1 2 h 1 = h 2 h 1 1 H H = {1}, y h 1 = h 2 y h 1 = h 2. Obvamente, m es epyectva. Observemos en la proposcón anteror que aunque H H es byectvo con H H, no es somorfo como grupo, pues (h 1 h 1 ) (h 2h 2 ) = (h 1(h 1 h 2h 1 1 )) (h 1 h 2 ), que no concde en general con (h 1h 2 ) (h 1 h 2 ). 48. Ejercco : Sean G y G dos grupos y φ: G Aut grp (G) un morfsmo de grupos. Consderemos las aplcacones 1 : G By(G G ), 1 (g) está defnda por 1 (g)(g 1, g ) := (gg 1, g ) y 2 : G By(G G ), 2 (g ) está defnda por 2 (g )(g, g 1 ) := (φ(g )(g), g g 1 ). Probar que 1 e 2 son morfsmos nyectvos de grupos. S dentfcamos G y G con sus mágenes por 1 e 2 respectvamente, probar que G G = {1} y que G N(G). Probar que g gg 1 = φ(g )(g) y que por tanto (g 1 g 1 ) (g 2 g 2 ) = (g 1φ(g 1 )(g 2)) (g 1 g 2 ). Se dce que G G es el producto semdrecto de los grupos G y G. 49. Ejercco : Sea G Aut gr (G), g Id, para todo g G, el morfsmo trval. Probar que G G = G G. 50. Grupo de afndades de R n : Sea G = R n (con la operacón +) y G = Gl n (R) el grupo de las matrces de orden n nvertbles (con la operacón componer matrces). Consderemos G como subgrupo de By(R n ) vía el morfsmo nyectvo G By(R n ), e T e, donde T e (e ) := e+ e. Consderemos G como subgrupo de By(R n ) vía la nclusón obva. Entonces, G G = {Id} y G N(G). Al producto semdrecto R n Gl n (R), se le denomna grupo de afndades de R n. 18

21 Grupos, anllos y módulos 0.1. Grupos 51. El grupo dédrco D n : Se denomna grupo dédrco D n (n > 2) al grupo formado por todas las sometrías del plano que dejan estable el polígono regular de n-lados (la operacón de D n es la composcón de sometrías). Puede demostrarse que D n está generado por el gro g de 2π/n radanes y una smetría τ (del polígono). Además, se tene que g τ = {Id} y τgτ 1 = g 1. Por tanto, g es normal en D n, y por la proposcón , D n = g τ = Z/nZ Z/2Z, explíctamente Z/nZ Z/2Z D n, ( r, s) g r τ s Las sometrías del plano que dejan estable un polígono regular de n-lados están determnadas por cómo permutan los vértces. Por tanto, s numeramos consecutvamente los vértces del polígono regular con los números 1,..., n, tenemos un morfsmo nyectvo D n S n, de modo que g se corresponde con la permutacón (1,2,..., n) y τ con la permutacón que asgna n, para todo 1 < n. 52. Ejercco : Sea n 2, A n S n y Z/2Z = (1,2) S n. Probar que S n = A n Z/2Z G-conjuntos. Teoremas de Sylow Sea G un grupo. 53. Defncón : Llamaremos G-conjunto a cada pareja (X,τ) consttuda por un conjunto X y una representacón τ de G como transformacones de X, es decr, un morfsmo de grupos τ: G B y X. Para no abusar de la notacón, cuando no haya posbldad de confusón, escrbremos X en vez de (X,τ) y para cada g G y x X escrbremos g x, o smplemente gx, en vez de τ(g)(x), que denomnaremos transformado de x por g. Observemos que para todo G-conjunto X se cumple 1. 1 x = x, para todo x X. 2. g (g x) = (g g ) x, para todo x X y g, g G. Es fácl ver que dotar a un conjunto X de estructura de G-conjunto, equvale a dar una aplcacón φ: G X X, tal que s denotamos φ((g, x)) = g x, entonces se verfcan las dos condcones 1. y 2. anterores. 54. Ejemplos : G es naturalmente G-conjunto de los sguentes modos: 1. Operando por la zquerda: Se defne g x := g x, para cada g, x G, donde ndca la operacón de G en G como G-conjunto. 2. Operando por la derecha: Se defne g x := x g 1, para cada g, x G. 3. Operando por conjugacón: Se defne g x := g x g 1, para cada g, x G. Sea H G un subgrupo. El cocente G/H es un G-conjunto con la accón g ḡ := gg, para cada g G y ḡ G/H. S X es un G-conjunto y tenemos una byeccón σ: X Y (es decr, dentfcamos X con Y ), entonces Y es de modo natural un G-conjunto: g y := σ(g σ 1 (y)) (es decr, s g transforma x en gx, entonces g transforma σ(x) en σ(gx)). 55. Teorema de Cayley: Todo grupo es de modo canónco un grupo de transformacones de un conjunto. Con precsón, el morfsmo τ: G B yg defndo por τ(g)(g ) := gg, es un morfsmo de grupos nyectvo. Demostracón. τ(g 1 g 2 )(g) = g 1 g 2 g = τ(g 1 )(τ(g 2 )(g)), para todo g G y g 1, g 2 G. Luego, τ(g 1 g 2 ) = τ(g 1 ) τ(g 2 ) y τ es un morfsmo de grupos. Además, s τ(g) = Id, entonces g = τ(g)(1) = 1, luego τ es nyectvo. 19

22 0.1. Grupos Grupos, anllos y módulos 56. Defncón : Sea X un G-conjunto. Dremos que G opera transtvamente sobre X s para toda pareja x, x X exste un g G de modo que x = gx. Dremos que un subgrupo de permutacones G S n = B y{1,..., n} es transtvo s opera transtvamente en {1,..., n}. Por tanto, s G es un grupo fnto de orden n, entonces G es somorfo a un subgrupo transtvo de S n. 57. Defncón : Dados dos G-conjuntos X,Y dremos que una aplcacón f : X Y es un morfsmo de G-conjuntos, cuando conmute con la accón de G, es decr, f (g x) = g f (x) para todo g G y x X. Al conjunto de los morfsmos de G-conjuntos de X en Y lo denotaremos: Hom G (X,Y ) (en el caso de que haya alguna ambgüedad escrbremos Hom G con j (X,Y )). Dremos que f es somorfsmo de G-conjuntos, cuando sea un morfsmo byectvo. S f : X X es un somorfsmo de G-conjuntos, entonces dremos que es un automorfsmo de X como G-conjunto. 58. Observacón : Se comprueba fáclmente las sguentes propedades: 1. La composcón de morfsmos de G-conjuntos es morfsmo de G-conjuntos, es decr: s X,Y, Z son G-conjuntos y f : X Y y h: Y Z son morfsmos de G-conjuntos, entonces la composcón h f : X Z es morfsmo de G-conjuntos. 2. La dentdad es morfsmo de G-conjuntos: s X es un G-conjunto, entonces la aplcacón Id X : X X defnda por la fórmula Id X (x) = x, es morfsmo de G-conjuntos. 3. La nversa de somorfsmos de G-conjuntos es morfsmo de G-conjuntos: s f : X Y es un somorfsmo de G-conjuntos, entonces f 1 : Y X es morfsmo de G-conjuntos. De aquí se obtene nmedatamente el sguente teorema. 59. Teorema : S X es un G-conjunto y denotamos Aut G (X) al conjunto de los somorfsmos de G- conjuntos, entonces Aut G (X) es grupo con la composcón de aplcacones. 60. Ejercco : Sea G un grupo y consderemos G como G-conjunto operando por la zquerda. Probar que G Aut G (G), g R g, R g (g ) := g g 1, es una byeccón. Sean X e Y dos G-conjuntos. Entonces, X Y es G-conjunto: g (x, y) := (gx, gy). Obvamente, X Y es G-conjunto. Hom(X,Y ) es G-conjunto: (g f )(x) := g f (g 1 x), para todo f Hom(X,Y ). 61. Defncón : Sea X un G-conjunto y x X. Llamaremos órbta de x, que denotaremos O x o G x, al conjunto G x := {g x, g G} X Llamaremos subgrupo de sotropía de x, que denotaremos I x, al subgrupo de G defndo por I x := {g G : g x = x} 62. Proposcón: La órbta de x es un G-conjunto somorfo a G/I x. Explíctamente, la aplcacón G/I x G x, ḡ g x es un somorfsmo de G-conjuntos. Demostracón. Al lector. 63. Proposcón: Sea X un G-conjunto, x X y x = g x. Entonces, I x = g I x g 1 Demostracón. Al lector. 20

23 Grupos, anllos y módulos 0.1. Grupos S x G x entonces G x = G x: Obvamente, G x G G x = G x. Por otra parte, x = g x, para certo g G, luego, x = g 1 x G x. Por tanto, G x G x y G x = G x. S x G x, entonces (G x ) (G x) = : S z (G x ) (G x), entonces G x = G z = G x. Luego, x G x y llegamos a contradccón. Por tanto, las órbtas de dos puntos o son guales o dsjuntas. 64. Defncón : Sea X un G-conjunto. Llamaremos conjunto cocente de X por la accón de G en X, que denotaremos X/G, al conjunto X/G := { x, x X : x = x s y sólo s x G x(o equvalentemente G x = G x)} X/G es gual al conjunto de las órbtas de X. Es decr, s en X dentfcamos todos los puntos de cada órbta obtenemos el conjunto cocente. Con mayor generaldad, sea un conjunto X con una relacón de equvalenca (por ejemplo, s X es un G-conjunto, podemos defnr x x s G x = G x ). Se defne X/ := { x, x X : x = x s y sólo s x x} Es decr, s en X dentfcamos cada x X con sus equvalentes, obtenemos el conjunto cocente por, X/. 65. Defncón : Sea X un G-conjunto. Dremos que x X es nvarante por G s g x = x, para todo g G. Denotaremos X G al subconjunto de X formado por todos los nvarantes por G, es decr, X G = {x X : g x = x para todo g G} 66. Defncón : Sea p N un número prmo y G un grupo fnto. Dremos que G es un p-grupo cuando G = p n, con n > Fórmula de clases : Sea G un grupo fnto y X un G-conjunto fnto. Entonces, X = X G + G / I x x X/G,x X G Además, s G es un p-grupo, entonces X X G mod p Demostracón. X = x X/G G x = X G x X/G,x X G G x. Como G x G/I x, entonces, por el teorema de Lagrange X = X G + G / I x x X/G,x X G S G es un p-grupo, por el teorema de Lagrange G/I x = p (e = 0 s y sólo s x X G ). Luego, X X G mod p 68. Defncón : Dado un grupo G, llamaremos centro Z(G) de G al subconjunto de G formado por los elementos z G que conmutan con todos los de G, es decr, zg = gz (para todo g G). De otro modo Z(G) es el núcleo del morfsmo c : G B y(g) defndo por la accón de G en G por conjugacón (.e. c(g)(g ) := gg g 1 ). 69. Proposcón: S G es un p-grupo, entonces su centro es no trval (.e. Z(G) > 1). Demostracón. Por la fórmula de clases Z(G) = G G = G mod p = 0 mod p, como 1 Z(G) se concluye que Z(G) p > Proposcón: S G es un grupo tal que G/Z(G) es cíclco, entonces G es abelano. Demostracón. Sea G/Z(G) =< g >, sendo g la clase de g G. Es claro que G =< g > Z(G), luego g Z(G) (pues conmuta con < g > y con Z(G)), luego < g > Z(G) y G = Z(G). 21