GUIA DE TRABAJO Mateia: Matemáticas. Tema: Geometía 18 Exploando la esfea-1. Fecha: Pofeso: Fenando Viso Nombe del alumno: Sección del alumno: CONDICIONES: Tabajo individual. Sin libos, ni cuadenos, ni notas. Sin celulaes. Es obligatoio mosta, explícitamente, el pocedimiento empleado paa esolve cada poblema. No se contestaán peguntas ni consultas de ningún tipo. No pueden movese de su asiento. No pueden habla, ni pedi boas, ni lápices, ni calculadoas pestadas. MARCO TEORICO: Eatosthenes (275-194, después de Cisto) fué diecto de la Biblioteca de Alejandía que paa entonces ea el cento académico de la antigüedad. Eatosthenes utilizó la posición del Sol y la distancia ente dos ciudades paa calcula que la cicunfeencia de la Tiea ea ceca de 9.75,0 Kms., lo cual es bastante apoximado al valo aceptado hoy día de 40.075,0 Kms. La foma geomética de la Tiea se apoxima bastante a una esfea. Paa visualiza una esfea, es ecomendable imaginase una cantidad infinita de cículos en el espacio, todos con el mismo cento. Si se considean todos los cículos al mismo tiempo, foman lo que conocemos como una esfea. Entonces, podemos defini una esfea como el luga geomético de los puntos en el espacio que equidistan de un punto llamado cento. FVR (22/07/2008) Peíodo de 90 minutos 1
Cuedas y segmentos en una esfea: Radio: Es un segmento cuyos extemos son el cento de la esfea y un punto de la supeficie exteio de la misma esfea. En la figua mostada abajo, los segmentos CR; CP; CQ son todos adios de la esfea. Cueda: Es un segmento cuyos extemos son puntos de la supeficie exteio de la esfea. En la figua de abajo, TS; PQ son cuedas de la esfea. Diámeto: Es una cueda de la esfea que pasa po el cento de la misma. En la figua de abajo, PQ es un diámeto de la esfea. Tangente: Es una línea ecta que intecepta a la esfea en exactamente un punto. En la figua de abajo, AB es tangente a la esfea en el punto X. Plano cotando a una esfea: Un plano puede intecepto una esfea en un punto o en un cículo. Cuando un plano intecepta una esfea, de manea tal que el plano contiene al cento de la esfea, el cículo que queda como esultado de la mencionada intecepción es llamado cículo máximo. Este cículo máximo tiene el mismo cento que la esfea y su adio es el mismo adio de la esfea. En la supeficie de la esfea, la distancia ente dos puntos, es la longitud del aco del cículo máximo que pasa po esos dos puntos. Cada cículo máximo sepaa la esfea en dos pates iguales llamadas hemisfeios. FVR (22/07/2008) Peíodo de 90 minutos 2
Aea de la supeficie exteio de una esfea: El áea de la supeficie exteio de una 2 esfea de adio, denominada T, es igual a: T 4. Ejemplo #1: Enconta el áea de la supeficie exteio de una pelota de Volleyball cuyo longitud de cicunfeencia es igual a 27,0 pulgadas. Solución: C 2 27 2 4, 2 T 4 4 4, 22, 4 pu lg. 2 2 Volumen de una esfea: El cálculo del volumen de una esfea puede se elacionado a enconta el volumen de una piámide ecta y su elación con el áea de la supeficie exteio de la esfea. Hay que imaginase el sepaa el espacio dento de una esfea en una cantidad infinitamente gande de piámides muy pequeñas cuyos vétices están todos localizados en el cento de la esfea, tal y como se muesta en la figua de aiba. Se debe obseva que la altua de absolutamente cada una de estas piámides muy pequeñas es igual al adio de la esfea. La suma de las bases de todas estas piámides pequeñas es igual al áea de la supeficie exteio de la esfea. 1 B h Cada piámide tiene un volumen de donde B es el áea de la base y h es la altua. El volumen de la esfea seá entonces la sumatoia del infinito númeo de volúmenes de todas las pequeñas piámides; de modo tal que, el volumen V de la esfea puede se epesentado po: FVR (22/07/2008) Peíodo de 90 minutos
1 1 1 1 V B1h 1 B2h2 Bh... Bnh 1 1 1 1 B1 B2 B... Bn 1 B1 B2 B... Bn Ahoa ecodando que la sumatoia de todas las bases de las piámides pequeñas es igual a la supeficie exteio de la esfea, podemos entonces escibi: 1 4 V 4 2 Luego, podemos afima que el volumen de una esfea de adio es igual a: n V 4 Ejemplo #2: Enconta el volumen de cada esfea: (a) Solución: 4 4 V cm 18 24.429, 0 FVR (22/07/2008) Peíodo de 90 minutos 4
(b) Solución: Pimeo se debe enconta el adio de la esfea: C 2 2,0 2 16 cm Ahoa se puede enconta el volumen: 4 4 16 V 55, cm Hace apoximadamente 2200 años, el matemático giego Aquímedes descubió la elación que existe ente el volumen de un cilindo y la esfea inscita en el mismo.. Si el adio de la esfea es, el adio del cilindo seá también. La altua del cilindo seá igual al diámeto de la esfea, o sea 2. 4 4 4 V esfea 2 2 2 V h 2 2 cilindo FVR (22/07/2008) Peíodo de 90 minutos 5
PROBLEMAS: 1.- En la figua siguiente, C es el cento de la esfea y el plano intecepta la esfea geneando el cículo R. (a) Cuál es la longitud del adio de la esfea si CR 4,0; SR,0. (b) Si el adio de la esfea es 1,0 centímetos, y el adio del enconta CR. R es 12,0 centímetos, 2.- Enconta la supeficie exteio y el volumen de cada una de las siguientes esfeas: (a) El adio es 25,0 centímetos. (b) El adio del cículo máximo es 14,5 centímetos. (c) El diámeto es 450,0 metos. (d) El cículo máximo tiene una cicunfeencia de 4,96 centímetos..- Enconta el volumen de una esfea si la supeficie exteio es 16 cm. 4.- Una esfea está cicunscita alededo de un cubo que tiene un volumen de 1728 centímetos cúbicos. Enconta el áea de la supeficie exteio y el volumen de la esfea. 5.- Enconta la elación matemática de los adios de dos esfeas si el áea de la supeficie exteio de una es 4 veces el áea de la supeficie exteio de la ota. 6.- En la figua mostada a continuación, O es el cento de la esfea y el plano C la intecepta confomando el R. (a) Si OR 9,0; SR 12,0, enconta OS. (b) Dados: OS 16,0; RS 12,8, enconta OR. (c) Si el adio de la esfea es 15,0 unidades y el adio del cículo es 10,0 unidades, enconta el valo de OR. (d) Si O y R son puntos difeentes, se puede afima que R es un cículo máximo? FVR (22/07/2008) Peíodo de 90 minutos 6
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