CapÌtulo Sucesioes e R EestecapÌtuloestudiaremos u coceptoecesariocomoherramietateûricayherramieta pr ctica, yque permitir hacia el Öal de la asigatura abordar el cocepto de serie, oìsuma de iöitos merosî. Se desarrollar u motû de herramietas de suma utilidad, auque esto o sea f cil de explicar i de ver aesta altura... Sucesioes reales Hablado de maera iformal e matem tica el tèrmio ìsucesiûî se usa para deotar ua colecciû iöita e orde de meros sucesivos, cuyo orde est determiado por ua regla o ua fuciû. La deöiciû formal es la siguiete: DeÖiciÛ. Ua sucesiû es ua fuciû cuyo domiio es el cojuto de los meros aturales N; es decir es ua fuciû x : N! R: Esto sigiöca que a cada mero atural se le asiga u mero real x () : NotaciÛ. E lugar de utilizar la otaciû tìpica de fucioes, se deota x () =x :Decimos que estos meros x ;x ;x 3 ;:::;x ;::: forma ua sucesiû iöita, que se deota fx g = Û fx g N Û fx ;x ;x 3 ;:::g : Alos meros x ;x ;x 3 ;::: se los llama tèrmios de la sucesiû. Los tèrmios puede describirse seg las posicioes que ocupe; asì ua sucesiû tiee primer tèrmio, segudo tèrmio, tercer tèrmio y asì sucesivamete. Obviamete, el uso de la letra x o es excluyete: tedremos sucesioes fa g =, fy g =, f g =,etc. Ejemplo.3. ; ; 3 ; ;::: es ua sucesiû. Otra forma de deotar ala misma es 4 fx g N ; co x = ( )+ : 7
8 Sucesioes e R. = = esla sucesiû ; =4; =9; =6;::: 3. ; ; 3; 4; 5; 6;:::: es ua sucesiû, e dode otra maera de deotarla es fx g = ; co x = : 4. ; ; ; ; ::::es otra sucesiû que se puede represetar tambiè como f g N ; co =( ) : 5. La fûrmula a = ; N, deöe la sucesiû cuyos cico primeros tèrmios so: ; ; 3 ; 4 ; 5 ;::::: La maera mas com de especiöcar ua sucesiû es dado ua fûrmula oregla que deöa al tèrmio -Èsimo. Ejemplo.4 8 <. y = :. x = k ; N, es ua sucesiû deöida por medio de ua fûrmula. + es par es impar ; es ua sucesiû deöida utilizado dos fûrmulas. Otra forma de deöir ua sucesiû es mediate u cojuto de istruccioes que idica como se obtiee u tèrmio apartir de los ateriores. Este mètodo particular se cooce como fûrmula por recurrecia. Ejemplo.5 Ua sucesiû famosa deöida de esta maera, es la sucesiû de Fiboacci, e dode a = a = ; a + = a + a para ; etoces sus primeros tèrmios so: ; ; ; 3; 5; 8; 3; ; 34;::::::::::::.. LÌmite de ua sucesiû Para ua sucesiû, lo mismo que para cualquier fuciû, se puede trazar la gr Öca, como se muestra e el siguiete ejemplo: f g = = fg = f g = = f( ) g = f g = = =
Sucesioes e R 9 Si embargo la gr Öca de ua sucesiû dice muy poco, ya que la mayor parte de la fuciû o cabe e la p gia. Se obtiee ua represetaciû m s coveiete de ua sucesiû marcado simplemetelosputos x ;x ;x 3 ;:::: sobreuarecta.estetipodediagramaidicaìhaciaadode vaî la sucesiû. Los siguietes ejemplos represeta Èsta situaciû. f g = = fg = E este caso, la gr Öca os idica que la sucesiû va ìhacia el iöitoî. f g = = f( ) g = E este caso, la gr Öca os idica que la sucesiû ìva dado saltos etre y ( )î. f g = = = E este caso, la gr Öca os idica que la sucesiû ìse amotoa e 0î. Estas ideas gr Öcas os lleva al siguiete cocepto crucial asociado alas sucesioes: el lìmite de ua sucesiû. DeÖiciÛ.6 Dada ua sucesiû fx g N yu mero c R, diremos que! x = c si para todo ">0existe N " > 0 tal que jx cj <"si N " : E tal caso, diremos que la sucesiû coverge a c. E geeral, si ua sucesiû tiee lìmite, se dice quees covergete, si o tieelìmite, sediceque es divergete. La idea ituitiva de sucesiû fx g N covergete, es que los tèrmios se amotoa e toro de u valor Öjo cuado el subìice se hace arbitrariamete grade. Si! x = c, a veces diremos que la sucesiû ìtiede acî, ydeotaremos dicha situaciû por x! c:
0 Sucesioes e R Ejemplo.7. La sucesiû = tiee lìmite 0; pues cualquiera sea " >0; para hacer 0 <"basta co tomar > ".Co la otaciû de la deöiciû, si tomamos como N " cualquier etero mayor que =", veremos que se cumple que Notar que siempre podemos elegir u atural mayor que =". 0 <"si N ".. La expresiû aörma que la sucesiû si ">0y queremos + =! + = tiee lìmite. Para veriöcarlo, aplicamos la deöiciû: + <", es lo mismo que pedir + <",ypara eso basta tomar > " :Co la otaciû de la deöiciû, bastarìa tomar N " cualquier atural mayor que ". 3. La sucesiû f( ) g N esdivergete. 4. La sucesiû ; ; + 3 ; 4 ;+ 5 ;::: ; osea la sucesiû fx g N co x =+ ; coverge apues ( ) + jx j = + ( )+ =! 0: ProposiciÛ.8 Si fx g N y fy g N so sucesioes reales tales que! x = c y! y = d; etoces:. Si! x existe, etoces es ico, es decir, o puede existir dos valores distitos c y c tales que x! c y x! c :.! x = c si ysolo si! jx cj =0. 3. Existe M>0tal que jx M 8 N: 4.! ( + y )= +d: 5.! (x y )=cd 6. Si d 6= 0etoces y 6=0para suöcietemete grade, y! x y = c d : 7.! x + = c; e geeral, para cualquier k N se tiee que! x +k = c:
Sucesioes e R DemostraciÛ.. Demostremosporelabsurdo,supogamosqueteemosvalores c 6= c tales que x c! y x c ; tomado " = jc! tedrìamos que: c j 9 N tal que jx c j < jc c j 4 9 N tal que jx c j < jc c j 4 si N si N por lo tato, si > N ;N ) tedrìamos que jc c j = jc x + x c c x j + jx c j < jc c j 4! jc c j < jc c j Absurdo!!! luego como este absurdo vio de supoer que c 6= c ; etoces c = c : + jc c j 4 = jc c j,. Ejercicio. 3. Existe N N tal que jx c si N; yetoces jx +jcjsi N: Tomado M fjx j ;:::; jx N j ; +jcjg teemos jx M 8 N. 4. Doy ">0; otar que el ico caso iteresate es 6= 0:Por deöiciû de lìmite se que 9 N tal que jx cj < " si >N ; y 9N tal que jy dj < " si >N : Tomemos N N ;N ); etoces si >N vale las dos desigualdades de arriba, y " j( +y ) ( +d)j=j( )+(y d) j+jy dj + " =": 5. Doy ">0.Por el puto (3) se que existe M>0tal que jx M 8 N, ypor deöiciû de lìmite se que 9 N tal que jx cj < " jdj si >N ; y 9N tal que jy dj < " M si >N : Etoces es decir. listo. jx y cdj = jx y dx + dx cd x jjy dj+jdjjx cj< < M " M +jdj " jdj si N ;N ), 6. Basta co ver! = yutilizar el puto aterior. Como! y = d se tiee y d que jy dj < jdj para suöcietemete grade, e particular jdj = jd y + y j < jdj + jy j yetoces jy j > jdj.la demostraciû se termia usado que y d = d y d y jdj jd y j.
Sucesioes e R 7. Ejercicio de otaciû. Ejemplo.9 Usado la proposiciû aterior, es f cil veriöcar que! 3 3 +7 + 4 3 9+63 = 3 4. Nota.0 Comezar desde =es por costumbre, se puede comezar desde cualquier atural, oicluso desde u etero egativo. E muchos casos usaremos sucesioes asì: fx 0 ;x ;x ;:::g :.3. Sucesioes moûtoas, completitud Es importate dispoer de alguos criterios que garatice la covergecia de sucesioes. Uo de los criterios se expresa e tèrmio de coceptos deöidos para fucioes: creciete o decreciete. DeÖiciÛ. Ua sucesiû fx g = es Creciete: si x x + para todo ; y si x < x + ; la sucesiû es estrictamete creciete: Decreciete: Si x x + para todo ; ysi x >x + ; la sucesiû es estrictamete decreciete. MoÛtoa si es creciete odecreciete. DeÖiciÛ. Ua sucesiû fx g = est : Acotada superiormete si existe u mero real M tal que x M para todo : El mero M es uacotasuperiordelasucesiû. Acotada iferiormete si existe u mero real m tal que m x para todo. El mero m es ua cota iferior de la sucesiû. Acotada, si est acotada superiormete eiferiormete, olo que es lo mismo, si jfx g = j est acotada superiormete. Ejemplo.3. La sucesiû fx g = = es moûtoa yacotada, pues es decrecieteyacotadasuperiormetepor eiferiormete por = 0.. La sucesiû 0! = o es creciete i decreciete, pero es estrictamete decreciete ìa la largaî. Se tiee que x = 0 y x + = 0+! ( +)! ;de dode x + = 0+ = ( +)! x 0 = =! 0 +! 0 ( +)! =0! = 0 ( +)! +,luego x + < para todo 0; por lo que la x sucesiû es estrictamete decreciete ala larga. Como todos los tèrmios de la sucesiû so positivos, est acotada por abajo por m =0: 3. La sucesiû divergete fc g N = f( ) g N ; es acotada, pero o es moûtoa.
Sucesioes e R 3 ProposiciÛ.4 Si fx g N esua sucesiû tal que! x = c; etocesfx g N esacotada, es decir, existe M>0tal que jx M 8 N: DemostraciÛ. Este es el puto (3) de la proposiciû aterior. ProposiciÛ.5 Si fx g N esua sucesiû covergete,x 08,etoces! x 0. DemostraciÛ. Llamemos c! x.supogamos por absurdo que c<0,luego tedrìamos que, para suöcietemete grade, se cumple que jx cj < c, e particular x c< c; es decir x < 0, lo cual es absurdo. Luego como este absurdo vio de supoer que c<0;etoces c>0: Corolario.6. Si fx g N y fy g N so sucesioes covergetes tales que x y para todo ; etoces x y.!!. Si fx g N esua sucesiû covergete tal que a x b para todo ; etoces a! x b (ac a y b so meros reales). DemostraciÛ. Ejercicio. ProposiciÛ.7 Si fx g N y fy g N so sucesioes covergetes que tiee el mismo lìmite, yfz g N esua sucesiû tal que x z y para todo, etoces fz g N tambiè es covergete ytiee el mismo lìmite. DemostraciÛ. Llamemos c! x! y.dado ">0sabemos que 9 N tal que jx cj < " si >N ; e particular c x <" y 9N tal que jy dj < " si >N ; e particular y c<" Jutado las dos desigualdades cocluimos que "<x c z c y c<" si N ;N ), es decir, listo. A cotiuaciû vamos a ver u hecho que marca la diferecia etre R y Q (el cojuto de los meros racioales). Para haceros ua idea podemos pesar e el siguiete problema: cosiderar la sucesiû de meros racioales ;44; ;44; ;443; ;4435; ;44356; ;44356; ;443563; ;4435637; ;44356373; ;4435637309; ;44356373095; ;4435637309504;::::: Esta es ua sucesiû creciete (es decir, todo tèrmio es m s grade que su atecesor) yacotada (es decir, todos los tèrmios est e u itervalo, por ejemplo e el [; ]), pero la sucesiû o coverge aig mero racioal (est claro que coverge a p ;ycomo el lìmite es ico o puede coverger au racioal). Es decir, si o pesamos e los meros reales tedrìamos ua sucesiû acotada y creciete que o coverge. E R o puede pasar eso, de hecho, esa es la diferecia etre R y Q.
4 Sucesioes e R Axioma.8 (Completitud de R) Si fx g N esua sucesiû de meros reales creciete yacotada, etoces es covergete. Idea gr Öca que lo hace creìble. Primero otar que el euciado dice que x m x m+ 8 m N (creciete),yque hay u itervalo cerrado I 0 talque fx g N I 0 (acotada).dividamos I 0 e dositervaloscerrados,etocesuodeestosdositervalosdebecoteeriöitostèrmiosdela sucesiû, lo llamo I : Ahora repito el razoamieto aterior: divido I edos itervalos cerrados igualesyllamo I alquecotegaiöitostèrmiosdelasucesiû.repitiedoesterazoamieto, costruyo ua cadea iöita de itervalos cerrados I 0 I I I 3 I 4 I 5 ::::: Ó Ì Ô co la particularidad de la logitud de I esla mitad de la logitud de I ; ycada I cotiee iöitostèrmios de la sucesiû. Se ve que hayu mero real c que debe estar e todos los itervalos(cocretamete,seve quelaitersecciûiöita I 0 \I \I \I 3 \I 4 \I 5 \::::: = T =0 I es o vacìa). Adem s todo etoro de c cotiee iöitostèrmios de la serie, puessi doy fx : jx cj <"g u etoro de c; tomo k lo suöcietemete grade para que la logitud de I k sea meor que "; yetoces (como c I k )se tiee I k x : jx cj <"g;yetoces tego iöitos tèrmios de la sucesiû e el etoro dado. TambiÈ otar que x c 8 (si alg x o >cetoces x >c8 o yel etoro de c x : jx cj < (x o c) o cotedrìa iöitos tèrmios de la sucesiû). AÖrmamos que! x = c; pues dado ">0existe x N tal que jx N cj <"(e realidad existe iöitos tèrmios que cumple eso, tomo uo), ysi N se tiee jx cj = c x c x N = jx N cj <": Geeralizado este resultado, llegamos al siguiete teorema: Teorema.9 Si ua sucesiû fx g N esmoûtoa yacotada, etoces es covergete. DemostraciÛ. Si fx g N escreciete, es el axioma de completitud, si es decreciete acotada por abajo, etoces la sucesiû x g N escreciete acotada por arriba (ejercicio), por lo tato es covergete (por completitud), yetoces la sucesiû origial es covergete (por proposiciû aterior). Este teorema se lo llama de existecia pues establece que si fx g es ua sucesiû moûtoa acotada, etoces existe u mero c tal que x = c, pero o idica como determiarlo.! Existe ua clase ìitermediaî de sucesioes, que o coverge porque sus tèrmios se hace arbitrariamete grades: DeÖitio.0 Si fx g N esua sucesiû, diremos que
Sucesioes e R 5.! x = si 8 R>0existe N R tal que x >Rsi N R..! x = si 8 R>0existe N R tal que x < R si N R. Como es habitual, se usa las otacioes x y x.!! Co esta deöiciû, el Teorema.9 yla ProposiciÛ.4 podemos cocluir que si fx g = es ua sucesiû creciete, etoces es covergete (,es acotada) Û! x = (, o es acotada). Ejemplo.! +5 = (veriöcarlo)..4. Sucesioes yfucioes AcotiuaciÛ veremos tres teoremas que relacioa fucioes co sucesioes. Teorema. Sea f : R R! R; ua fuciû, etoces x!a f (x) =lsi ysolo si para toda sucesiû fx g = R tal que x a se tiee que la sucesiû ff (x )g! = coverge al: DemostraciÛ. )) Cosidero fx g = ua sucesiû, tal que x a, quiero ver que! f (x ) l.esto es, quiero ver que para todo ">0existe N " tal que! jf (x ) lj <" si N ". Tomo ">0,luego por hipûtesis sobre f teemos que: 9 0 tal que jx aj =) jf(x) lj<": Porotrolado(puestoque x! a)sequeexiste N > 0 talquesi N etoces jx aj ( es el mismo del lìmite de f), lo cual asu vez implica que jf (x ) lj <".Es decir, basta co tomar N " = N () Si o fuera cierto que x!a f (x) =l; tedrìamos (egado la deöiciû de lìmite) que existe u " 0 > 0 para el cual se cumple que 8 0 9 x tal que jx aj pero jf (x) lj >" 0. Tomado = (para cada N) costruimos ua sucesiû fx g = que coverge aapero tal que la sucesiû ff (x )g = ocoverge al; lo cual es absurdo. Ejemplo.3 Usado el teorema aterior y la fuciû f (x) =jxj,podemos cocluir que si x! a etoces jx! jaj : De cualquier maera, este hecho puede probarse de maera directa si diöcultad.
6 Sucesioes e R Teorema.4 Sea F :[a; )! R ua fuciû creciete. Etoces F es acotada e [a; ) si ysolo si existe L x! F (x), ye cualquier caso F (x) L para todo x [a; ). DemostraciÛ. ()) Supogamos que F es acotada e [a; ) ; vamos a demostrar que existe L x! F (x) e 3pasos: Paso Si llamamos x = F (a + ) ; etoces fx g = esua sucesiû creciete yacotada (pues F lo es), yetoces completitud dice que existe L! x (hemos ecotrado L). Paso AÖrmamos que F (x) L 8 x [a; ) ; ya que si fuera F (t 0 ) >Lpara alg t 0 ; tomado tal que a + >t 0 ;tedrìamos x = F (a + ) F (t 0 ) para todo >t a; yetoces (por proposiciû aterior) serìa! x F (t 0 ) >L; lo cual es absurdo. Notar que, e particular, hemos probado que x L 8. Paso 3 x! F (x) =L; pues si x>+a; etoces F (x) x,lo cual implica que Del paso se desprede que L M. jf (x) Lj = L F (x) L x! 0. (() Supogamos que existe L x! F (x) ; vamos ademostrar que F (x) L 8 x [a; ) por el absurdo: Si existiera x 0 tal que etoces tedrìamos F (x 0 ) >L, F (x) F (x 0 ) >L para todo x [x 0 ; ), yetoces jf (x) L F (x 0 ) L para todo x [x 0 ; ); yetoces o podrìamos teer que L x! F (x). La lectura r pida del teorema aterior es la siguiete:si tego ua fuciû creciete e [a; ) etoces tiee lìmite e si y solo si es acotada. De maera absolutamete a loga, se prueba el siguiete teorema: Teorema.5 Sea F :(a; b]!r ua fuciû decreciete. Etoces F es acotada e [a; ) si ysolo si existe L F (x), ye cualquier caso F (x) L para todo x [a;b). x!a + DemostraciÛ. Ejercicio, cosiderar la sucesiû x = F a +.