ISBN ª edición

ISBN 978-84-9048-593-4 3ª edición

Luis Manuel Sánchez Ruiz Matilde Pilar Legua Fernández Fundamentos de variable compleja y aplicaciones 3ª edición 017 EDITORIAL UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA

Primera edición, 006 Segunda edición, 010 Tercera edición, 017 Luis Manuel Sánchez Ruiz Matilde Pilar Legua Fernández 017, Editorial Universitat Politècnica de València distribución: Telf.: 963 877 01 / www.lalibreria.upv.es / Ref.: 065_04_03_01 Imprime: Byprint Percom, sl ISBN: 978-84-9048-593-4 Impreso bajo demanda La Editorial UPV autoriza la reproducción, traducción y difusión parcial de la presente publicación con fines científicos, educativos y de investigación que no sean comerciales ni de lucro, siempre que se identifique y se reconozca debidamente a la Editorial UPV, la publicación y los autores. La autorización para reproducir, difundir o traducir el presente estudio, o compilar o crear obras derivadas del mismo en cualquier forma, con fines comerciales/lucrativos o sin ánimo de lucro, deberá solicitarse por escrito al correo edicion@editorial.upv.es. Impreso en España

Índice General 1 Funciones complejas 1 1.1 Funcioneselementales... 1 1.1.1 Variablecompleja... 1 1.1. Funciónexponencial... 3 1.1.3 Funciónlogaritmoyfunciónpotencial... 4 1.1.4 Funciones trigonométricas e hiperbólicas..... 6 1. Límitesycontinuidad... 7 1..1 Nocionestopológicas... 7 1.. Límitesdefuncionescomplejas... 11 1..3 Continuidaddefuncionescomplejas... 11 1.3 Derivadasdefuncionescomplejas... 13 1.4 Integraldelínea... 16 1.4.1 Funcióncomplejadevariablereal... 16 1.4. Definiciónycálculo... 18 1.4.3 Propiedadesdelaintegraldelínea... 0 1.4.4 Aplicaciones... 4 1.5 Ejerciciosresueltos... 8 1.6 Ejerciciospropuestos... 35 Series y residuos 39.1 Sucesiones complejas..... 39. Seriedetérminoscomplejos... 40.3 Seriesfuncionales... 43.4 Seriesdepotencias... 44

ii.4.1 Radioydiscodeconvergencia... 44.4. Seriederivada... 47.5 Desarrollosenseriedepotencias... 48.5.1 DesarrollodeTaylor... 48.5. DesarrolloenseriedeLaurent... 50.6 Teoríaderesiduos... 53.6.1 Puntossingulares... 53.6. Definiciónycálculoderesiduos... 55.7 Aplicacionesdelosresiduos... 58.7.1 Cálculodeintegralesdelínea... 58.7. Cálculodeintegralesimpropias... 59.7.3 Integrales R π R(sen α, cos α) dα... 63 0.7.4 LemadeJordanyaplicaciones... 65.8 Ejerciciosresueltos... 68.9 Ejerciciospropuestos... 77 3 Transformadas de Fourier y Laplace 81 3.1 SeriecomplejadeFourier... 81 3. IntegraldeFourier... 84 3.3 TransformadasdeFourier... 87 3.3.1 Definición... 87 3.3. Cálculomedianteresiduos... 89 3.3.3 Propiedades... 9 3.3.4 TransformadassenoycosenodeFourier... 97 3.4 Aplicación:Problemasdecontorno... 98 3.5 TransformadasdeLaplace... 100 3.5.1 RelaciónconlatransformadadeFourier... 100 3.5. Propiedadesytransformadas... 10 3.5.3 Fórmuladeinversióncompleja... 109 3.6 Aplicaciones... 110 3.6.1 Resolucióndeecuacionesdiferenciales... 110 3.6. Sistemasdinámicos... 111

3.6.3 Ecuacionesenderivadasparciales... 115 3.7 Ejerciciosresueltos... 116 3.8 Ejerciciospropuestos... 18 4 Transformada Z 133 4.1 Definiciónypropiedades... 133 4. Transformada Z inversa... 138 4.3 Aplicaciones... 141 4.3.1 Resolucióndeecuacionesendiferencias... 141 4.3. Funciónmuestreada... 14 4.3.3 Sistemascausalesentiempodiscreto... 143 4.4 Ejerciciosresueltos... 145 4.5 Ejerciciospropuestos... 146 iii

Prólogo Suele considerarse a Girolamo Cardano (1501 1576) como el introductor de los complejos con sus soluciones intrigantes. Sinembargohoydía en muchas aplicaciones de la matemática, física e ingeniería es necesario manejar funciones de variable compleja, por ejemplo en estadística, teoría de la relatividad especial o restringida, en las transformaciones de Lorentz, teoría de fluidos, termodinámica, sistemas de control, etc. Con esta publicación se pretende satisfacer las necesidades básicas que puedan tener los alumnos de ingeniería en variable compleja y algunas de sus aplicaciones. Con su estudio debe alcanzarse una familiaridad y soltura en su manejo que hagan lejanos algunos de los términos con los que se ha nombrado a los complejos en el pasado como números sofisticados, inexplicables, sin sentido, imposibles o incomprensibles. Se ha incluido los resultados teóricos que dan el soporte matemático necesario para abordar los problemas que aparecen y, aunque se ha evitado dar demostraciones que sean excesivamente tediosas o complicadas de desarrollar; se han incluido si ayudan a conseguir una formación adecuada para abordar temas o aplicaciones no tratados en este texto. Entre los temas no tratados citaremos los cuaterniones de Sir William Rowan Hamilton (1805 1865) cuyas leyes de composición se hallan inscritas en el puente del Canal Brougham en Dublin, y confirma el hecho de que la matemática, que a veces ha ido detrás de la técnica en la resolución de problemas, otras ha ido por delante ya que los cuaterniones son utilizados en el software del sistema de control de los transbordadores espaciales Shuttle. A lo largo del texto hay una amplia exposición de ejemplos que facilitan la comprensión de los diferentes temas presentados. Finaliza cada capítulo con una selección de ejercicios cuya resolución se recomienda para verificar que se ha entendido la materia desarrollada. Las series de Laurent y aplicaciones del teorema de los residuos son expuestosextensamenteenmultituddeaplicacionesdelasqueresaltamos el cálculo de integrales impropias, transformadas directas e inversas de Fourier y transformadas inversas de Laplace y Zeta. Otras aplicaciones son ilustradas con ejemplos y su desarrollo completo genera asignaturas de ingeniería como son la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales ylossistemas de control.

Agradecemos las sugerencias recibidas de Dolors Roselló respecto de la edición anterior y que son incorporadas en diversos capítulos de este texto. También ha mejorado esta edición gracias a los alumnos que con sus dudas y querer saber han señalado los temas en los cuales tenían una mayor dificultad. Fruto de sus demandas es una nueva sección con ejercicios resueltos en cada uno de los temas. Esperamos que este texto facilite el trabajo de aprendizaje de los futuros usuarios de la variable compleja y sus aplicaciones. Los autores vi

Capítulo 1 Funciones complejas 1.1 Funciones elementales 1.1.1 Variable compleja Denotando por C al cuerpo de números complejos con las operaciones suma y producto, y R al subconjunto de números reales, si x R,y R, z =(x, y) =x + iy es la representación cartesiana y binómica, respectivamente, de z C. Su conjugado, denotado por z (o z) eselcomplejoz = x iy. El módulo o valor absoluto de z, z = p x + y, es la distancia entre el afijo de z yelorigeno(0, 0). El argumento de z C \{0} es el ángulo α formado por el eje real y el vector definido por el origen de coordenadas y el afijo de z. Se representa Y arg z ytomalosinfinitos valores reales 6 dados por µ z =(x, y) arg z = arctan y x teniendo en cuenta el cuadrante en que se halla el afijo de z los cuales difieren entre sí en múltiplos enteros de π. 1 O - X

Capítulo 1 Definición 1.1.1 La determinación principal del argumento de z, Arg z, eselúnicovalordeargz tal que Arg z ] π, π]. Dadoα 0 R, se define determinación α 0 del argumento de z, ysedenotaarg α0 z,como el único valor de arg z tal que Evidentemente Arg z =arg 0 z. arg α0 z ]α 0 π, α 0 + π]. Recordamos que si z C tiene módulo r yargumentoα, entonces z puede representarse en las siguientes formas r α r(cos α + i sen α) forma polar forma trigonométrica Ejemplo 1.1. Representar en forma polar 1 i 3 yhallarladeterminación 15π 4 de su argumento. Sol.: El módulo es 1 i 3 = 1+3=. Teniendo en cuenta que 1 i 3 está en el tercer cuadrante, arg ( 1 i 3) = arctan 3= π 3 +kπ, k Z. Por tanto en forma polar es 1 i 3= π. 3 La determinación 15π corresponde al valor del argumento que perte- 4 nece al intervalo luego 15π 4 15π 11π π, 4 + π = 4, 19π, 4 arg 15π ( 1 i 3) = π 4 3 +4π = 10π 3. Definición 1.1.3 Se llama variable compleja a todo símbolo z que representa a cualquier elemento de un conjunto D C.

Funciones de variable compleja 3 Dada una variable compleja z = x + iy, se representan por Re z e Im z respectivamente a las variables reales correspondientes a las partes real x eimaginariay de z. Diremos que ω es una función de la variable compleja z, yla representamos ω = f(z), cuando los valores f(z) de ω dependan de z D. Lafunciónω tendrá una parte real u y una parte imaginaria v, cada una de las cuales dependerá de x e y, es decir, ω = f(z) =u(x, y)+iv(x, y). La función ω = f(z) establece una aplicación entre el conjunto D de puntos del plano z donde está definida f, sobre otro conjunto D 1 del plano donde se representan los valores ω que toma f. ElconjuntoD 1 se llama imagen del conjunto D. 1.1. Función exponencial Definición 1.1.4 La función exponencial compleja se define como exp(z) =e z = e x+yi = e x (cos y + i sen y), x,y R (1.1) Por tanto el módulo de e z es e Re z ysuargumentoim z. Laspartesrealu eimaginariav de exp(z) son u(x, y) =e x cos y, v(x, y) =e x sen y. Esta definición relaciona los números trascendentes e y π con la unidad imaginaria i mediante la fórmula e πi = 1. Recordamos la representación en forma exponencial re iα de r α C, r α r(cos α + i sen α) re iα polar trigonométrica exponencial Ejemplo 1.1.5 Representar 1+i en forma exponencial y hallar e 1+i.

4 Capítulo 1 Sol.: Como 1+i =, arg ( 1+i) = 3π 4 +kπ, k Z, la representación de 1+i en forma exponencial es 1+i = e 3π 4 i. Por otra parte exp( 1+i) en forma polar, exponencial y binómica es exp( 1+i) =(e 1 ) 1 = e 1 e i = e 1 cos 1 + ie 1 sen 1. 1.1.3 Función logaritmo y función potencial La exponencial compleja puede tomar cualquier valor complejo z diferente de 0. Loscomplejosw que hacen que exp(w) =z constituyen el logaritmo neperiano de z. Se representa ω =ln(z) (ologz). Hallemos la expresión binómica de los w = u + iv =ln(z). De ½ z = e z = e w = e u+iv u u =ln z. arg z = v. En consecuencia. ln (z) =ln z + i arg z, z C \{0}. Por tanto Re(ln z) está unívocamente definida pero Im(ln z) es una función multivaluada que toma infinitos valores. Dado α 0 R, sellamadeterminación α 0 (resp. principal) de ln (z) al valor obtenido al tomar dicha determinación en el argumento como parte imaginaria de ln z. Sedenota (ln (z)) α0 =ln z + i arg α0 z (resp. Ln z =(ln(z)) 0 =ln z + i Arg z). La determinación principal de log z también se denomina valor principal y representa por Log z. Si z R +, entonces Ln z es el logaritmo neperiano usual definido en el campo real.

Funciones de variable compleja 5 ³ Ejemplo 1.1.6 Calcular Ln (z) y ln z para z = e + i. Sol.: La representación en forma exponencial de z es y los logaritmos pedidos son Ln (z) = lne ln z = z = e e i π 4 + i π 4 = + iπ 4, + i ³ π 4 +kπ,k Z. Nota 1.1.7 Observemos que dado z C \{0}, exp (ln z) =z se simplifica a z mientras que no lo hace ln (exp (z)) = Re z + i (Im z +kπ),k Z. Nota 1.1.8 Dados z 1,z C \{0} se verifica que ln(z 1 z )=lnz 1 +lnz, ln(z 1 /z )=lnz 1 ln z. Sin embargo puede ser cierto o falso Ln (z 1 z )=Lnz 1 +Lnz oque Ln (z 1 /z )=Lnz 1 Ln z.asíporejemplo Ln ( i) = π ½ 6=Ln( 1) + Ln (i) =πi + π i i = 3π i. =Ln()+Ln i =ln+( ln π i)= π i. Y la expresión ln z =lnz +lnz no debe simplificarse a lnz, ya que dado A C, A es un subconjunto de A + A pudiendo no coincidir con él como puede comprobarse con A =lni. Definición 1.1.9 Se define la potencia de base y exponente complejo z µ como z µ = e ln z µ = e µ ln z,z C \{0}.

6 Capítulo 1 Dado α 0 R, sellamadeterminación α 0 (resp. principal) dez µ al valor obtenido al tomar dicha determinación en el logaritmo. Se denota (z µ ) α0 = e µ(ln(z)) α 0,(resp.VP(z µ )=(z µ ) 0 = e µ Ln z ),z C \{0}. Nota 1.1.10 Si z = r(cos α + isen α) y µ = m Z, entoncesz µ toma un único valor que se corresponde con la fórmula de Moivre, z m = (r(cos α + i sen α)) m = r m (cos mα + i sen mα). Si µ = p Q es irreducible, entonces q zµ toma q valores distintos que se corresponden con las raíces q ésimas de z p, ³ p z p q (rα) p = q r p pα,k=0, 1,...,q 1. q = q + πk q Si µ es irracional o imaginario, obtenemos infinitos valores de z µ. 1.1.4 Funciones trigonométricas e hiperbólicas Si en (1.1) tomamos como z los imaginarios puros yi, yi obtenemos Despejando, e yi = cosy + i sen y, e iy = cosy i sen y. cos y = eyi + e yi, sen y = eyi e yi, y R. i Generalizando, se definen las funciones trigonométricas: cos z = eiz +e iz, sen z = eiz e iz i, z C. De estas fórmulas se deducen las expresiones de tan z, cot z, sec z, csc z siguiendo las definiciones de las correspondientes funciones reales en función de senos y cosenos. La restricción de estas funciones a R coincide con la correspondiente función de variable real, siendo sencillo comprobar que se verifican las fórmulas de suma y diferencia, sen (z 1 ± z ) = sen z 1 cos z ± cos z 1 sen z, cos (z 1 ± z ) = cosz 1 cos z sen z 1 sen z, tan (z 1 ± z ) = sen (z 1 ± z ) cos (z 1 ± z ) = tan z 1 ± tan z. 1 tan z 1 tan z

Funciones de variable compleja 7 Las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante hiperbólica se definen mediante senh z = ez e z, cosh z = ez +e z, tanh z = senh z cosh z, coth z = 1 tanh z, sech z = 1 cosh z, csch z = 1 senh z. Las funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas satisfacen: sen (iz) = e z e z i = i senh z, cos (iz) = e z +e z = coshz, tan (iz) = sen(iz) cos(iz) = i tanh z. 1. Límites y continuidad 1..1 Nociones topológicas Definición 1..1 Dado P =(x, y) R la norma euclídea de P es kp k = p x + y.ladistancia entre los puntos P 1 (x 1,y 1 ),P (x,y ) es d(p 1,P )=kp 1 P k = p (x 1 x ) +(y 1 y ). Por la representación cartesiana de C, el conjunto de complejos que distan ²>0 de z 0 C constituye la circunferencia C² (z 0 ), C² (z 0 )={z C : z z 0 = ²}. Ejemplo 1.. Interpretar el significado de: a) z =3; b) 3 < z (1 + i) < 5. Sol.: a) La ecuación dada representa al conjunto de numeros complejos cuyos afijos distan de tres unidades, es decir C (3). b) Esta expresión representa una corona circular comprendida entre las circunferencias C 3 (1 + i) y C 5 (1 + i).

8 Capítulo 1 En cada conjunto D C consideramos los mismos conceptos topológicos que tienen los afijos de D en R.Así,siz 0 C y ²>0 se define disco abierto (o bola abierta) de centro z 0 yradio² al conjunto D ² (z 0 )={z C : z z 0 <²}. El conjunto D²(z r 0 )=D ² (z 0 )\{z 0 } se llama disco reducido oagujereado de centro z 0 yradio². Dado D C y z D, sedicequed es un entorno de z yquez es un punto interior de D si existe algún ²>0 tal que D ² (z) D. El conjunto formado por todos los puntos interiores a D se llama interior de D, y se representa por Ḋ oint(d). UnconjuntoD C es abierto si coincide con su interior, o equivalentemente si D es entorno de cada uno de sus puntos. Se dice que z es un punto de acumulación de D si existen puntos de D, diferentes de z, tan próximos a z como se quiera, esto es, si dado cualquier ²>0 se verifica que D²(z) r D 6=. Un punto de acumulación de D puede no pertenecer a D, y puede haber puntos de D que no sean de acumulación de D. Sedenominaconjunto derivado de D, yse representa por D 0, al conjunto formado por los puntos de acumulación de D. Se dice que z C es un punto frontera de D si existen puntos tan próximos a z como se quiera tanto de D como de su complementario D c = C \ D. Se denomina frontera de D, y se representa por Fr(D) o D, alconjuntoformadoportodoslospuntosfronteraded. Clausura de D es el conjunto D = D Fr(D) (también se representa cl(d)). y D C se denomina cerrado si D = D. La clausura del disco D ² (z 0 ) es el disco cerrado (o bola cerrada) de centro z 0 yradio², D ² (z 0 )={z C :d(z,z 0 ) ²}. Ejemplo 1..3 Hallar el conjunto derivado, interior y clausura de los siguientes conjuntos, indicando si son abiertos o cerrados: A = {z : z < }, C = A {(1, )}, B = {z : z }, D = {z :1< z 3}. Sol.: int(a) =int(b) =int(c) =A, A 0 = B 0 = C 0 = B, A = B = B, C = B {(1, )}, int(d) ={z :1 < z < 3}, D 0 = D = {z :1 z 3}. Luego A es abierto, B cerrado, y C y D no son abiertos ni cerrados.

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