Análisis de Señles en Geofísic 6 Clse Fcultd de Ciencis Astronómics y Geofísics, Universidd Ncionl de L Plt, Argentin
Trnsformd Integrl de Fourier Recordemos que un función f( t), definid en un dominio continuo (, ), se puede representr como un combinción linel de exponenciles complejs: it f ( t) F( ) e d Síntesis o Trnsformd Invers 2 Donde el espectro de frecuenci F( ) está ddo por l siguiente expresión: i t F( ) f ( t) e dt Análisis o Trnsformd Direct Indicremos de l siguiente mner que F( ) es l trnsformd integrl de Fourier de l función f( t) : f ( t) F( ) 2
Muestreo de un Consideremos un señl nlógic dd por: x ( t) cuy trnsformd integrl de Fourier está i t X ( ) x ( t) e dt Su trnsformd invers de Fourier es: L señl discretizd x n it x( t) X ( ) e d 2 se puede expresr de l siguiente mner: int xn x ( nt) X ( ) e d 2 Por convenienci expresmos est integrl como un sumtori de integrles: (2r ) t int xn X ( ) e d 2 r (2r ) t 3
Muestreo de un 2 Hcemos el siguiente cmbio de vribles r : t (2r ) t t int 2 i nt i2 rn n ( ) 2 r 2 r t (2r ) t t d x X e d X r e e Simplificndo l exponencil complej e intercmbindo el orden de l sumtori y de l integrl, obtenemos: t 2 int xn X r e d 2 r t t Ahor hcemos el siguiente cmbio de vribles, y obtenemos: t Dejemos por un momento est ecución. 2 in xn X r e d 2 t r t t 4
Series de Fourier Recordemos que un función f( t) que está definid en un dominio continuo, y que demás es periódic, de período T, se l puede desrrollr en series de Fourier de l siguiente form: f ( t) n e n 2 i nt T Donde los coeficientes de Fourier n están ddos por: T 2 2 i nt T n f ( t) e dt T T 2 5
Series de Fourier Un función periódic, de período T, tendrá un espectro de frecuencis o trnsformd integrl de Fourier ddo por línes espectrles de mplitud 2 2 de l frecuenci fundmentl: k 0k k, es decir: T F( ) 2 ( k) k L síntesis de l señl en tiempo está dd por: it f ( t) F( ) e dt 2 2 0 k 2 k it f ( t) ( k) e dt e k k 0 0 k it ( k) e dt k k k i kt, ubicds en múltiplos 0 f ( t) n e n 2 i nt T 6
Muestreo de un L respuest en frecuenci o trnsformd de Fourier de un señl discret está dd por: in X ( ) xne n Teniendo en cuent que X ( ) es un función continu y periódic de l frecuenci, podemos intercmbir los roles de tiempo y frecuenci, y utilizr series de Fourier pr escribir: xn X ( ) e 2 Ahor comprndo con l expresión que obtuvimos nteriormente: 2 in xn X r e d 2 t r t t Podemos ver que l relción entre l trnsformd de Fourier de l señl discretizd y l trnsformd de Fourier de l señl nlógic es: in d 2 X ( ) X r t r t t 7
Muestreo de un X ( ) mx t mx X ( ) mx mx mxt 2 X ( ) X r t r t t t X ( ) mx mx mxt 8
Alising en Frecuenci Teorem del Muestreo Podemos ver que si el intervlo de muestreo t es muy grnde ls repeticiones del espectro de frecuenci se solprán, en ese cso ls frecuencis más lts del espectro se mezclrán con ls más bjs. Este fenómeno en el cul ls frecuencis más lts tomn l identidd de ls más bjs es conocido como lising. Es clro que si l frecuenci máxim mx presente en l señl es menor que l mitd de l frecuenci de muestreo no se producirá solpmiento entre repeticiones. Como y hemos visto l mitd de l frecuenci de muestreo se l llm frecuenci de Nyquist: L condición pr evitr lising es: t N 2 S mx N Esto es conocido como Teorem del Muestreo. t 9
Alising en Tiempo Análogmente cundo discretizmos en frecuenci producimos periodicidd en tiempo 2 de período : 2 tmx 2 t mx Pr que no se produzc lising en tiempo se debe cumplir que: mx 2 t N t M t t N N M M Vemos qué es igul t t 2 t M 2 M t 2 : 0
Interpolción Seno Crdinl Si cumplimos con l condición del teorem de Nyquist, podemos recuperr l señl nlógic prtir de l señl discret. Vemos como hcerlo: X ( t) X ( ) si t t t Utilizndo l trnsformd integrl de Fourier, teniendo en cuent que l señl es de bnd limitd, y que cumple con Nyquist, podemos escribir: x ( ) t t t it it X ( ) e d t X ( t) e d 2 2 Como: X ( t) x ( nt) e Entonces: t n t itn it x( t) t x( n t) e e d 2 n t t itn
Interpolción Seno Crdinl Intercmbindo el orden de l sumtori y de l integrl, obtenemos: t t itn it t it nt x ( t) t x ( n t) e e d xn e d 2 n n 2 t t Resolviendo l integrl: i t n t i t n t i t nt t t t t e e e x ( t) xn xn n 2 it n t n 2i t nt t t sin t n t t x() t x n n t nt t Est expresión nos permite recuperr l señl nlógic de bnd limitd prtir de ls muestrs tomds con un intervlo de muestreo t interpolción seno crdinl ( Sinc interpoltion). mx y es conocid como 2
Interpolción Seno Crdinl x t = n= x n sin π t t n t π = t t n t x n sin π t t π t t = x n sinc π t t 3
Trnsformd de Fourier de l Función Cjón Definimos l función cjón como: si f( t) 0 si T t T T t T El cálculo de su trnsformd de Fourier es inmedito: T it T it it it it i t F( ) f ( t) e dt i t e e e e e e dt 2T i i i2 T T tt F( ) 2T sin T T 4
Trnsformd de Fourier de l Función Cjón L longitud de l función cjón en tiempo es 2 T. Definimos l ncho de bnd 2 del seno crdinl como l distnci entre sus dos primeros cruces por cero =. T El producto de ls longitudes en uno y otro dominio será constnte: 2 2T 4 T Por lo tnto, un función cjón lrg en tiempo tendrá un respuest ngost en frecuenci y vicevers. En el límite cundo l longitud de l función cjón en tiempo tiend infinito el seno crdinl en frecuenci tenderá un delt de Dirc. 5
Trnsformd de Fourier de l Función Cjón Utilizndo l propiedd de simetrí de l trnsformd de Fourier: si f ( t) F( ) entonces F( t) f ( ) 2 Podemos demostrr que l trnsformd de Fourier de un función seno crdinl es un función cjón: si F( ) 0 si 0 0 0 0 El cálculo de l trnsformd invers de Fourier es inmedito: sin f( t) 20 2 t t sin t 0 0 0 t 0 0 6
Trnsformd de Fourier de l Función Cjón 0 7
Resolución en Frecuencis Cundo observmos un señl que se extiende desde hst lo hcemos desde un instnte inicil hst un instnte finl, es decir que l observr l señl l estmos multiplicndo en tiempo por un función cjón, lo cul es equivlente convolucionr su espectro de frecuenci por un función seno crdinl. El efecto de est convolución es el de distorsionr el espectro de frecuencis suvizándolo, por lo tnto estmos perdiendo resolución en el espectro de frecuenci. Est pérdid de resolución debid l longitud finit de los dtos observdos es inevitble y solo podemos mejorr l resolución observndo l señl durnte un tiempo más prolongdo. Si l función cjón es muy lrg l función seno crdinl será muy ngost, en el límite pr un longitud de observción que tiend infinito el seno crdinl tenderá un delt de Dirc. Por el contrrio si el tiempo de observción es muy corto, l función cjón será muy cort y el seno crdinl será muy ncho, lo que provocrá un pérdid sever de resolución en frecuenci. 8
Otr form de ver l interpolción seno crdinl: Vimos que l relción entre l trnsformd de Fourier de un señl nlógic y l trnsformd de Fourier de l mism señl pero discretizd está dd por: X( t) t r X ( r) S Si multiplicmos est expresión por t y por l siguiente función cjón: si sin - t t t t F( ) TF F( ) f ( t) t 0 si t t t t Obtenemos un expresión pr recuperr l trnsformd de Fourier de l señl nlógic prtir de l trnsformd de Fourier de l señl discretizd, siempre que hymos cumplido con el criterio de Nyquist: X ( ) ( ) ( ) t F X t 9
Otr form de ver l interpolción seno crdinl: L operción equivlente en el dominio del tiempo será: x ( t) t f ( t) * x X ( ) t F( ) X ( t) n Est es otr form de llegr l fórmul de interpolción seno crdinl: x ( t) sin sin t t nt t t t f ( t) * xn t * xn x n t n t t nt t t Est expresión puede interpretrse como un sumtori de senos crdinles escldos y retrddos. 20
Tiempo Limitdo-Bnd Limitd? En l práctic siempre que pliquemos l trnsformd discret de Fourier, l señl tendrá que ser de bnd limitd en frecuenci, pr poder discretizrl en tiempo, y de longitud limitd en tiempo, pr poder discretizrl en frecuenci y sí implementr l trnsformd discret de Fourier con un número finito de términos. Sin embrgo, el teorem de tiempo limitdo-bnd limitd nos dice que ningun señl puede ser simultánemente de tiempo limitdo y de bnd limitd, excepto el cso trivil cundo l señl es constnte e igul cero. En l práctic veremos que ls señles pueden tender sintóticmente cero hst lcnzr vlores tn pequeños que están por debjo del vlor más pequeño que podemos observr y podremos por lo tnto, los fines prácticos, considerrls nuls. El ejemplo típico es el seno crdinl el cul está definido con vlores distintos cero entre menos infinito e infinito, sin embrgo prtir de cierto tiempo el vlor de l función será tn pequeño que podremos considerrlo nulo. 2
Bibliogrfí: Krl, John H. (989), An introduction to Digitl Signl Processing, Acdemic Press, Chpter Six. Oppenheim, Aln V. nd Schfer, Rolnd W. (975), Digitl Signl Processing, Prentice-Hll, Inc. 22