Númers cmplejs ACTIVIDADES a) a = + = b = 0 b) a = 0 a b = b = a) y = 0 b) x = 0 c) x 0, y 0 a) Opuest: + i Cnjugad: + i e) Opuest: i Cnjugad: i b) Opuest: + i Cnjugad: + i f) Opuest: 7 Cnjugad: 7 c) Opuest: + i Cnjugad: + i g) Opuest: 0 Cnjugad: 0 d) Opuest: i Cnjugad: i h) Opuest: i Cnjugad: i
Númers cmplejs Un númer real estará situad en el eje de abscisas. Un númer imaginari pur se situará en el eje de rdenadas. z = + i z = i z = i z = + i z = z = i d) ( + i)(+ i) ( i)( i) i = i = + i i = + i + i ( + i)( i) a) i i = = = i i i i d) i + i + = = i + i + i + 0 b) i i = = + i + i i e) + i + i = = i i + i c) + i + i = i + i f) i i = = + i + i i
Númers cmplejs r = z = ( ) + = z z = tg α = α =,, r = z = = z z = α = 0 0 r = z = = z z = α = 90 90 r = z = + ( ) = z z = tg α = α = 9,7 9,7 r = z = + = z z = tg α = α =,7,7 r = z = ( ) + ( ) = 0 = z z = tg α = α = 0,7 0,7
Númers cmplejs a) i = = ( cs 0,9 + i sen 0,9 ) 0,9 b) + i = = ( cs + i sen ) c) + i = = ( cs 0 + i sen 0 ) 0 d) i = = ( cs + i sen ) a) ( ) = = d) : = 0 0 0 + 0 80 = 0 80 80 0 80 b) ( ) = = = e) : = 0 0 0 + 0 0 0 = 00 0 0 00 0 c) : 0 0 = = 0 0 0 f) = ( ) = 0 0 0 + 0 0 0º a) ( ) 90 = = 9 = 9i b) ( i) ( ) ( ) = = = 97 c) = = = π π π 8 8 8 8 d) ( i ) ( ) e) ( ) + = 0 = 0 = 0 000 = 0 000 = = = i 0 0 70 f) ( i) ( ) 70 70 70 = = = = i 0
Númers cmplejs [ (cs 0 + i sen 0 )] (0 ) = 0 80 = 900 = 80 =
Númers cmplejs a) z = 0 z = 0º El módul de las slucines será. Existirán tants arguments cm indique el radical. Si k = 0 β = 0 0 + 0 Si k = β = = 0 0 0 + 0 Si k = β = = 0 Pr tant, las raíces de z sn 0, 0, 0.
Númers cmplejs b) z + = 0 z = = 80º El módul de las slucines será. Existirán tants arguments cm indique el radical. 80 Si k = 0 β = = 80 + 0 Si k = β = = 08 80 + 0 Si k = β = = 80 80 + 0 Si k = β = = 80 + 0 Si k = β = = Pr tant, las raíces de z sn, 08, 80,,. c) z + = 0 z = = 80º El módul de las slucines será. Existirán tants arguments cm indique el radical. 80 Si k = 0 β = = 80 + 0 Si k = β = = 80 + 0 Si k = β = = 80 + 0 Si k = β = = Pr tant, las raíces de z sn,,,. d) z 8 = 0 z = 8 = 8 0º El módul de las slucines será. Existirán tants arguments cm indique el radical. Si k = 0 β = 0 0 Si k = β = = 90 0 Si k = β = = 80 0 Si k = β = = 70 Pr tant, las raíces de z sn 0, 90, 80, 70. 7
Númers cmplejs 8
Númers cmplejs SABER HACER 8 a) x + x + = 0 x = ± = ± i 0 b) x + x + 0 = 0 x = ± = ± i 0 00 c) x + 0x + 9 = 0 x = ± = ± i 0 00 0 d) x 0x + = 0 x = ± = ± i a) b) ( + ) + ( ) ( ) i i i i i i i 8 i i + i = i = = 9 i + i i + i i 7 7 ( ) ( ) ( ) i i i i i + i i + + i i + = i + = = + i 7 i i ( i ) i a) b) c) + i + i + i = = i + i 8 i i = + i i i i = + i i 7 a) i i z i + i = z + i = z + zi z = z = = + i + i i + i + i + i + i b) + z i i = z i + i = z ( i) z = z = = i i + i 9
Númers cmplejs a) El cnjugad de es = 7. b) El cnjugad de es = 8. c) El cnjugad de 0 es 0 =. d) El cnjugad de es = 8. a) El puest de es + 80 =. b) El puest de es + 80 = 0. c) El puest de 0 es 0 + 80 = 8. d) El puest de es + 80 =. a) El invers de es = º 7º b) El invers de es = º 8º c) El invers de 0 es 0 =. d) El invers de es =.. º 8º. a) (( cs 0 + i sen 0 ) + ( cs + i sen )) ( cs 70 + i sen 70 ) = i i ( i) i = + + = + + b) (cs + i sen ) + (cs + i sen ) + (cs + i sen ) + (cs + i sen ) = = + i + i i + i = 0 0
Númers cmplejs i ( 7 7 ) + i ( 0º ) ( º ) + i 8 8 0º 0º 90º 0º = = = = 80º 80º 0º 7 = 7 80º El módul de las slucines será la raíz cúbica de 7, que es. Existirán tants arguments cm indique el radical. 80 Si k = 0 β = = 0 80 + 0 Si k = β = = 80 80 + 0 Si k = β = = 00 Pr tant, las raíces sn 0, 80, 00. Las crdenadas de ls vértices sn: A( cs 0, sen 0 ) =, B( cs 80, sen 80 ) = (, 0) C( cs 00, sen 00 ) =, a) z = 0 z = 0, z = 90, z = 80, z = 70 b) z = z = 0, z = 80, z = 00 8 80 c) z = 9 z = 0º, z = 90º, z = 80º, z = 70º 0º d) z = 9 z = 9 0º, z =, z = 80º 9 80º 9 00º
Númers cmplejs ACTIVIDADES FINALES i z = + i z = z = + i z = + i 7 z = i z7 = i z = i
Númers cmplejs a) x = 9 x = ± 9 = ± 7i b) x = x = ± = ± 8i c) x = x = ± = ± i d) x = x = ± = ± i e) x = 00 x = ± 00 = ± 0i a) Cnjugad: i Opuest: i d) Cnjugad: Opuest: b) Cnjugad: i Opuest: i e) Cnjugad: + i Opuest: + i c) Cnjugad: + i Opuest: + i f) Cnjugad: i Opuest: i c) Opuest b) c) Cnjugad e) Cnjugad e) Opuest d) Cnjugad d) Opuest f) Opuest a) Cnjugad a) Opuest f) Cnjugad i Cnjugad: + i Opuest: + i i Cnjugad: + i Opuest: + i + i Cnjugad: i Opuest: i a) Es simétrica respect del eje X. b) Es simétrica respect del rigen de crdenadas.
Númers cmplejs a) k = 0 b) k = 0 k = a) + i b) i 7 c) + i d) i
Númers cmplejs a) i + i + i + = = + i i + i c) + i i 0 i + i + = = i i b) i 0 0i i = = + i i 0 d) i i = + i i
Númers cmplejs + i i + i + i + i + i + i i + ( + i)( i + ) + = + = = = = i i i i i i i i i i i + a) i 9 i 87 = i = c) ( i) + (i) : (i 8 ) = 7i : ( ) = 7i + b) i i 0 + i 78 i = i 7 + i 9 = i d) i 9 (i i 8 ) = i (i ) = + i
Númers cmplejs ( + i) ( + i) + = 0 + i i + = 0 Sí es slución. ( + i) + ( i)( + i) ( + i) = 0 + i + + i + i = 0 Sí es slución. i 0 i i + + = + + = + = N es slución. a) b) ( k ) + ki k i k + i + = k = 0 k + i k i k + ( )( ) ( ) ki + i ki + k + i k + k + i k + k k = 0 ki = = i + i k = Descartams k = 0 prque al sustituir en la expresión riginal se btiene el númer 0 + 0i = 0, que n se cnsidera imaginari pur. (a + bi) + ( + di) = + i a =, b + d = + bi di + bd + ( b d) i = + bd = 0 + di di + d b + d = d = +, b = bien d =, b = + + bd = 0 7
Númers cmplejs Ls númers sn: ( ) ( ) ( ) ( ) z = + + i y z = + i z = + i y z = + + i (a + bi) + (c + di) = a + c =, b + d = 0 a + bi c di c di c c d di ( ) = = = i c c d di = i c + d c + di c + di c di c + d c c d = c =, d =, a =, b = d c d 0 = + Ls númers sn: z = + i z = i a) cs 0 + i sen 0 = + i b) cs 90 + i sen 90 = i c) cs + i sen = + i d) cs 0 + i sen 0 = + i e) cs 0 + i sen 0 = + i f) cs + i sen = + i d) c) b) e) a) f) - z = + i =, z = i = 70 z = + i = º z = = 0 z = i = 0,7º 8
Númers cmplejs a) π b) π 9
Númers cmplejs Opuest: rα = r80 + α Cnjugad: r α 870º a) 0 0 = 80 d) = 0º g) 0º 7π 7 = π π π b) π = e) ( ) π π c) 70º 0º 70º 80º = h) (0 ) = 00 = 0 π = 7 = = f) π 0 0 = 090 = 00 i) ( ) π π Para calcular el invers de un númer en frma plar, hallams el invers del módul y el puest del argument. a) 0º c) π e) e π b) π 7 d) π f) 7 º a) 0 b) π c) 790 d) 9 π 800º a) 70 = 0 b) 00 = c) = º d) 0 = 8 9 º 0
Númers cmplejs a) (( i) ( i)( i) ) (( i) ( i i ) ) + = + + = ( ( ) i) i ( i) ( i) ( i) = + + = 0 + + + = = + + ( + 0)i + i + i 0 0 + i + i i 8 + i i + + = = = = i + i + i + i i 8 b) ( ) O
Númers cmplejs a) ((cs + i sen )) = 8(cs 00 + i sen 00 ) b) ((cs 0 + i sen 0 )) = (cs 0 + i sen 0 ) = c) ((cs + i sen )) 7 = 78 (cs 8 + i sen 8 ) d) π π cs + i sen = cs π + i sen π = π π e) cs i sen + = 8( cs 0 + i sen 0) = 8
Númers cmplejs a) 0º El módul de las slucines será la raíz cúbica del módul =. Existirán tants arguments cm indique el radical. 0º + 0 0º Si k = 0 β = = 0º 0º + 0º Si k = β = = 0º 0º + 0º Si k = β = = 80º Pr tant, las raíces sn 0, 0, 80. b) El módul de las slucines será la raíz quinta de =. Existirán tants númers cm indique el radical. 0 + 0 0 Si k = 0 β = = 0 Si k = β Si k = β Si k = β Si k = β 0 + 0 = = 0 0 + 0 = = 7 0 + 0 = = 0 + 0 = = 8 Pr tant, las raíces sn 0, 0, 7,, 8. c) El módul de las slucines será la raíz quinta de =. Existirán tants arguments cm indique el radical. + 0 0 Si k = 0 β = = Si k = β Si k = β Si k = β Si k = β + 0 = = 7 + 0 = = 89 + 0 = = + 0 = = Pr tant, las raíces sn, 7, 89,,.
Númers cmplejs d) El módul de las slucines será la raíz sexta de =. Existirán tants númers cm indique el radical. 80 + 0 0 Si k = 0 β = = 0 Si k = β Si k = β Si k = β Si k = β Si k = β 80 + 0 = = 90 80 + 0 = = 0 80 + 0 = = 0 80 + 0 = = 70 80 + 0 = = 0 Pr tant, las raíces sn 0, 90, 0, 0, 70, 0. e) El módul de las slucines será la raíz cuarta de 9 =. Existirán tants arguments cm indique el radical. 0 + 0 0 Si k = 0 β = = Si k = β Si k = β Si k = β 0 + 0 = = 0 + 0 = = 0 + 0 = = Pr tant, las raíces sn º, º, º, º. f) El módul de las slucines será la raíz sexta de. Existirán tants númers cm indique el radical. 7 + 0 0 Si k = 0 β = =, Si k = β Si k = β Si k = β Si k = β Si k = β 7 + 0 = = 7, 7 + 0 = =, 7 + 0 = = 9, 7 + 0 = =, 7 + 0 = =, Pr tant, las raíces sn,º, 7,º,,º, 9,º,,º,,º.
Númers cmplejs a) = 80 º El módul de las raíces será la raíz sexta de =. 80 + 0 0 Si k = 0 β = = 0 Si k = β Si k = β Si k = β Si k = β Si k = β 80 + 0 = = 90 80 + 0 = = 0 80 + 0 = = 0 80 + 0 = = 70 80 + 0 = = 0 Pr tant, las raíces sn 0º, 90º = i, 0º, 0º, 70º = i, 0º.
Númers cmplejs b) i = 70º El módul de las raíces será la raíz cúbica de =. Existirán tants arguments cm indique el radical. 70 + 0 0 Si k = 0 β = = 90 Si k = β Si k = β 70 + 0 = = 0 70 + 0 = = 0 Pr tant, las raíces sn 90, 0, 0. c) i = 90º El módul de las raíces será la raíz cúbica de =. Existirán tants arguments cm indique el radical. 90 + 0 0 Si k = 0 β = = 0 Si k = β Si k = β 90 + 0 = = 0 90 + 0 = = 70 Pr tant, las raíces sn 0º, 0º, 70º = i. i d) + = º El módul de las raíces será la raíz cúbica de =. Existirán tants arguments cm indique el radical. + 0 0 Si k = 0 β = = Si k = β Si k = β + 0 = = + 0 = = Pr tant, las raíces sn,,.
Númers cmplejs e) i = 00º El módul de las raíces será la raíz quinta de. Existirán tants arguments cm indique el radical. 00 + 0 0 Si k = 0 β = = 0 Si k = β 00 + 0 = = Si k = β 00 + 0 = = 0 Si k = β Si k = β 00 + 0 = = 7 00 + 0 = = 8 Pr tant, las raíces sn 0º, º, 0º, 7º, 8º. f) = 0º El módul de las raíces será la raíz cuarta de =. Existirán tants arguments cm indique el radical. 0 + 0 0 Si k = 0 β = = 0 Si k = β Si k = β 0 + 0 = = 90 0 + 0 = = 80 Si k = β 0 + 0 = = 70 Pr tant, las raíces sn 0, 90, 80, 70. Las tras ds raíces tendrán el mism módul. z = + i = 0, z = 0, 0 = 0 8, z = 0, 0 = 0 0, 7
Númers cmplejs Las raíces sn: z = + i = º z = + i = º z = i = º z = i = º El númer es: z = 80 =. Las raíces sn: z = 0 z = 0 z = 7 z = z = 8 El númer es z = 0. Sea z = rα. La raíz n-ésima de r debe ser. El argument debe ser múltipl de 0 y de 0. La slución n es única. El menr númer que cumple las cndicines es n =. z = 90 Otra slución es n = 8. z = 790 8
Númers cmplejs a) x = = 80 El módul de las slucines será la raíz quinta de. Existirán tants arguments cm indique el radical. 80 + 0 0 Si k = 0 β = = Si k = β Si k = β Si k = β Si k = β 80 + 0 = = 08 80 + 0 = = 80 0 + 0 = = 80 + 0 = = Pr tant, las raíces sn, 08, 80,,. b) x = = 0 El módul de las slucines será la raíz cuarta de =. Existirán tants arguments cm indique el radical. Si k = 0 β Si k = β Si k = β Si k = β 0 + 0 0 = = 0 0 + 0 = = 90 0 + 0 = = 80 0 + 0 = = 70 Pr tant, las raíces sn 0, 90, 80, 70. c) x = = 0 El módul de las slucines será la raíz quinta de. Existirán tants arguments cm indique el radical. Si k = 0 β Si k = β Si k = β Si k = β Si k = β 0 + 0 0 = = 0 0 + 0 = = 7 0 + 0 = = 0 + 0 = = 0 + 0 = = 88 Pr tant, las raíces sn 0, 7,,, 88. 9
Númers cmplejs d) x = = 80 El módul de las slucines será la raíz cuarta de =. Existirán tants arguments cm indique el radical. Si k = 0 β Si k = β Si k = β Si k = β 80 + 0 0 = = 80 + 0 = = 80 + 0 = = 80 + 0 = = Pr tant, las raíces sn,,,. a) ± ± x = = = ± i b) ( ) x x 8 = 0 x = 8 0 El módul de las slucines será la raíz cúbica de 8 =. Existirán tants arguments cm indique el radical. Si k = 0 β Si k = β Si k = β 0 + 0 0 = = 0 0 + 0 = = 0 0 + 0 = = 0 Pr tant, las raíces sn 0,, 0, 0. c) t = x ± + t = = ± x = + x = + ( ) x = = i ( ) x = = i 0
Númers cmplejs d) x (x + 7) = 0 x = = 7 7 80 El módul de las slucines será la raíz cúbica de 7 =. Existirán tants arguments cm indique el radical. Si k = 0 β Si k = β Si k = β 80 + 0 0 = = 0 80 + 0 = = 80 80 + 0 = = 00 Pr tant, las raíces sn 0, 0, 80, 00. i a) = i = 70 El módul de las slucines será la raíz cuarta de =. Existirán tants arguments cm indique el radical. Si k = 0 β Si k = β Si k = β Si k = β 70 + 0 0 = = 7, 70 + 0 = = 7, 70 + 0 = = 7, 70 + 0 = = 7, Pr tant, las raíces sn 7,, 7,, 7,, 7,. + i + i i + i + i i b) = = i = 90 El módul de las slucines será la raíz cuadrada de =. Existirán tants arguments cm indique el radical. 90 + 0 0 Si k = 0 β = = Si k = β 90 + 0 = = Pr tant, las raíces sn,.
Númers cmplejs c) ( i ) ( i) = i = 70 El módul de las slucines será la raíz cúbica de =. Existirán tants arguments cm indique el radical. 70 + 0 0 Si k = 0 β = = 90 Si k = β Si k = β 70 + 0 = = 0 70 + 0 = = 0 Pr tant, las raíces sn 90, 0, 0. ( ) = = + i 70 0 70 80 0 90 El módul de las slucines será la raíz cuarta de. Existirán tants arguments cm indique el radical. Si k = 0 β Si k = β Si k = β Si k = β 90 + 0 0 = =, 90 + 0 = =, 90 + 0 = = 0, 90 + 0 = = 9, Pr tant, las raíces sn, = (0,9 + 0,8 i),, = ( 0,8 + 0,9 i), 0, = ( 0,9 0,8 i), = (0,8 0,9 i). 9, Respuesta abierta. Pr ejempl: a) Cm i es slución, entnces + i también l es. (x ( + i))(x ( i)) = x x + b) Cm i es slución, entnces + i también l es. (x ( + i))(x ( i)) = x x +
Númers cmplejs ( i) ( i) m = 0 8 i 8 + i = m m = 0 La raíz que falta es + i. (x i)(x i) = x xi (x xi )(x a) = x + ( a i)x + ( + ia)x + a a = p = i q = i La raíz que falta es x = a =. i ± i ± i + x = = x = i x = i a), ± i ± i x = = x = + i, x = i b) x 7 ± 9 8 7 ± = =, i i x = i x = i c) d) 7 x = = 7i x = 7 i 90 El módul de las slucines será la raíz cúbica de 7 =. Existirán tants arguments cm indique el radical. 90 + 0 0 Si k = 0 β = = 0 Si k = β Si k = β 90 + 0 = = 0 90 + 0 = = 70 Pr tant, las raíces sn 0, 0, 70.
Númers cmplejs 8 + bi = = 0 = ( cs 0º + i sen 0º ) b = sen 0 = 7 a) Las slucines de 0 sn 0, 0, 0, 00. ( cs i sen ) ( cs i sen ) ( cs i sen ) ( cs i sen ) 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 00 + 00 = = i i i i + + + = 0 b) Las slucines de sn 0, 0, 0, 80, 0, 00. (cs 0 + i sen 0 ) + (cs 0 + i sen 0 ) + (cs 0 + i sen 0 ) + + (cs 80 + i sen 80 ) + (cs 0 + i sen 0 ) + (cs 00 + i sen 00 ) = = i i i i + + + + = 0 + i k + i k + ( + k) i = k = k i k + i k + El númer es =. + k i + i k + + ( k ) i = k = i + i + i El númer es = i.
Númers cmplejs i ai a + ( a ) i = + ai ai + a a) a = 0 a = b) a = 0 a = c) i i i + i + i = i = = = + i = + ai a = + ai i i + i 0 d) 0 a a 9 +a = = + = ± e) 0 + a arctg arc tga = r 7π 7π = = = arctg arctg a arctg a arctg a xi ( i) x ( + i) = ( + i)( i) x (i + i) = 7 + i 7 + i + i 9 + i x = = i + i
Númers cmplejs a = b + (b + + bi) = b + b i + b i + b + bi + b + b + b = 0 b (b + b + ) = 0 Ls númers sn (, 0),,, + +,. (rα) = r α r = α = α α = 0 α = 70 α α = 80 α = 0 α α = 90 α = 080 α α = 70 Ls númers sn, i,, i. (a + bi) (a bi) = bi = i b = a + bi a + bi a b + abi a 9 + ai = = = i a bi a + bi a + b 9 + a a a 9 = 0 y = a = 8 Ls númers sn + i y i. 8 + a + b i = 0 a = i, b = + i 7 + 9a + b i = 0 z ( + i) z + ( + i) z i = ( z )( z )( z c) = z cz z + zc + z c c = i La tra raíz es z = i.
Númers cmplejs z = a + bi w = c + di (a + bi) + (c + di) = i a = c, b = d c + ( d) i = i c + ( d) i = ( c + di) c = 0, d = c + di z = i w = i a + bi + = a + + bi c = a + + b b tg 0 = = b = a + a + c = a + + a + = a + c c a =, b = El númer cmplej es de la frma c c + i. + i + i i = i + i a + bi + i = a + b + i tg = a + b + a + b + = b + = = a = b + a a =, b = El númer cmplej es + i. 7
Númers cmplejs x = = 80 El módul de las slucines será la raíz cuarta de =. Existirán tants arguments cm indique el radical. Si k = 0 β Si k = β Si k = β Si k = β 80 + 0 0 = = 80 + 0 = = 80 + 0 = = 80 + 0 = = Pr tant, las raíces sn + i, i, + i, i. Es un cuadrad de lad : A = l = =. i =,9º Elevams a la quinta: z = 8,º Calculams el rest de las raíces: 8,º + k 0º Si k = 0 z = 9,9º Si k = z =,9º Si k = z =,9º Si k = z = 8,9º Si k = z = 7,9º 8
Númers cmplejs = 80 El módul de las slucines será la raíz sexta de, es decir,. Existirán tants arguments cm indique el radical. Si k = 0 β 80 + 0 0 = = 0 Si k = β 80 + 0 = = 90 Si k = β 80 + 0 = = 0 Si k = β 80 + 0 = = 0 Si k = β Si k = β 80 + 0 = = 70 80 + 0 = = 0 Pr tant, las raíces sn 0, 90, 0, 0, 70, 0. El área del hexágn es p ap A = = = u. Las raíces cuartas de 09 sn: z = 8 = (, ) z = 8 = (, ) z = 8 = (, ) z = 8 = (, ) Calculams el lad: ( + ) + ( ) = 8. Pr tant, el área es de 8. Las raíces cúbicas de 09 sn: z = 0 = ( 8, 8 ) z = 80 = (, 0) z = 00 = ( 8, 8 ) Se frma un triángul cuya base mide y su altura es de. Pr tant, su área mide 9 u. El vectr del lad es ( + i) ( + i) = + i y el perpendicular es i. En el cuart cuadrante estará el vértice ( + i) + ( i) = 7 i. El vértice que falta es ( + i) + ( i) = 0 + i. 9
Númers cmplejs Si k = 0 z = 9º'0,8'' Si k = z = 99º'0,8'' Si k = z = 79º'0,8'' Respuesta abierta. Pr ejempl: Las raíces cuadradas de sn 0, 80 y su prduct es 80 =. Las raíces cúbicas de sn 0, 0, 0 y su prduct es 0 =. El módul del prduct de las n raíces n-ésimas será. El argument del prduct de las n raíces n-ésimas será: 0 0 0 0 ( n ) 0 0 n ( n ) + +... + = ( 0 + +... + ( n ) ) = = 80 ( n ) n n n n n El prduct de las n raíces n-ésimas será ( ) n +. El módul de la suma de ds númers cmplejs es siempre inferir a la suma de ls móduls de ls númers. 0
Númers cmplejs Es ciert, pues, dads z y z ds númers cmplejs cualesquiera, se tiene que: ( z z ) = = = z z z z z z z + z = a + bi + c + di = ( a + c) + ( b + d) i = a + c ( b + d) i = a bi + c di = z + z z z = ( a + bi)( c + di) = ac db + ( bc + ad) i = ac bd ( bc + ad) i = ( a bi)( c di) = z z Veams que si z = a + bi es una slución de la ecuación de grad n, entnces z también es slución de la misma ecuación: n n a ( a + bi) +... + a ( a + bi ) + a = 0 a ( a + bi ) +... + a ( a + bi) + a = 0 = 0 n 0 n 0 n n a ( a + bi) +... + a ( a + bi) + a = a ( a + bi) +... + a ( a + bi) + a = n n 0 n 0 n = a ( a + bi) +... + a ( a + bi) + a = a ( a bi) +... + a ( a bi) + a = 0 n 0 n 0 a) ± ( + i) z = = ± i = ± 0,87 = ± ( + i) z = + i z = i + i ± + i b) t = = + i ± + i = + i ±, = + i ± ( i) t = i, t = z = = + i z = 90 + 0 = i z = 80 = i z = 80 + 0 = i 90
Númers cmplejs 0 ± 00 7 c) t = = ± i t = + i, t = i z = = + i z =, = i z =,9 = + i z = 0,9 = i, 8i ± i = i ± i
Númers cmplejs Módul: ( ) + = 0 Argument: tg α = α = 08, Ls vértices sn: 0 8, = 0 ( cs 8, + i sen 8, ) = + i (, ) 0 08, (, ) 0 98, (, ) 0 88, (, ) El área del cuadrad es ( 0 ) = 0 u.
Númers cmplejs Observams que + i + i + i = 0. Sea m N: Si n = m entnces la expresión vale. Si n = m entnces la expresión vale + i. Si n = m entnces la expresión vale i. Si n = m entnces la expresión vale 0.
Númers cmplejs
Númers cmplejs PARA PROFUNDIZAR Para que en una terna ds elements sean distints, tiene que suceder que ds de ells sean iguales y el tercer diferente. En este cas puede suceder que i x = z, i x = ( + i) y ( + i) y = z. Si l pasams a plares, tenems {90x, y y, z0}. Si i x = z e y z, implica que 90x = z0 y y y 90x. 90x = z0 z = y x es múltipl de (0 md ). y y 0 y 0 Pr l que hay cass para la x (0,, 8,, ), 9 cass para la y (,,,,, 8 y 9), un cas para la z (). En ttal 9 = 9 cass. Si i x = ( + i) y e i x z, implica que 90x = y y y z0 90x. 90x = y y y = 0 y x es múltipl de (0 md ). z0 90x z x n es múltipl de (0 md ) (est n es psible prque tiene que ser múltipl de pr l anterir). Pr l que hay cass para la x (0,, 8,, ), un cass para la y (0), 9 cass para la z (,,,,, 8 y 9). En ttal, 9 = 9 cass. Si ( + i) y = z e i x z, implica que y y = z0 y z0 90x. y y = z0 z = y/ e y es múltipl de 8 (0 md 8) (el valr de y n es válid prque z = 8 > 9). z0 90x x n es múltipl de (0 md ) z. Pr l que hay cass para la y (0, 8), para cada y un sl valr de z (y = 0, z = ; y = 8, z = ), para y = 0, z =, x puede ser cualquier n múltipl de ; psibilidades; para y = 8, z =, x puede tmar cualquier valr; 0 psibilidades. En ttal hay + 0 = cass. Sumand ls tres cass tenems 9 + 9 + =.
Númers cmplejs Despejand z de la segunda ecuación y sustituyend en la primera, se tiene: z = t 0 t 0 = 0 Despejand t: t = 0 t = 0 t =, t = 9 z i 0 = = = + ± + ± = = = 9, = t t t z = z = z = i z = i N es slución 80 =. Observams que cada cuatr númers estams sumand i. Para llegar a 8 necesitams = 9 númers, y btenems 8 8i. El siguiente númer será 97i 97 = 97i. Pr l que i + i + i + + 97i 97 = 8 8i + 97i = 8 + 9i n = 97. i 0 + = y + i = 00. Entnces, realizand la peración dada en crdenadas plares: 0 = ( 0 ) = ( 0 ) = 0 = 0 = 00 7
Númers cmplejs Pr tant, resulta que: z = a + (a )i a a + = b b = a Aplicand la prpiedad de la suma de las raíces de un plinmi de segund grad, y supniend que las raíces cmunes sn α y β: b a c α + β = = = a = b = c El plinmi es ax + ax + a, cn raíces a c b + i y i. 8
Númers cmplejs Ls cnjunts A y B sn: π A = z = x + yi : arg[ z ( + i)] = = {( x, y) / x y + = 0} B = { z = x + yi : z ( + i) < } = {( x, y) / ( x ) + ( y ) < } Sea A el cnjunt frmad pr ls punts de la recta x y + = 0, y B el de ls punts interires de la circunferencia de ecuación (x ) + (y ) = cn centr C (, ) y radi r =. A B x y + = 0 La intersección de ambs cnjunts es la slución del sistema, que es el segment abiert D ( x ) + ( y ) < (0, ) y E (, ). Su pryección sbre el eje X es el segment de extrems O (0, 0) y E (, 0), sin incluir O y E. Ls móduls de las diferencias de ls términs de la sucesión valen: i i i i i an an+ = ( + i)... ( i)... + + + + + + = n n n + i i i = ( + i) +... + + n n + Cm el módul del prduct es el prduct de ls móduls, resulta: n +... = n n + m n= a a = + +... + = m m = 990 n n+ 9
Númers cmplejs MATEMÁTICAS EN TU VIDA Un circuit eléctric es un camin cerrad pr el que circula la crriente. Está frmad pr resistencias, inductancias, cndensadres y fuentes dispsitivs electrónics semicnductres. La impedancia y la admitancia sn parámetrs para analizar un circuit eléctric. La impedancia es la psición de un cnductr al fluj de una crriente alterna. La admitancia es la facilidad que el circuit frece al pas de la crriente. La admitancia, Y, es la inversa de la impedancia, Z, es decir, Y =. Z La impedancia y la admitancia se utilizan en la reslución de circuits eléctrics. La impedancia es la generalización de la resistencia que pne el cuerp human a la electrcución, según las cndicines de la piel. Magnitud: + = Ω Admitancia: j j = + j j S Z = = = Ω Y 0, R Xj R Xj Y = = R + Xj R Xj R + X R Cnductancia: R + X X Susceptancia: R + X + j + j = j + j Cnductancia: Susceptancia: 0