CAPÍTULO 8: INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES Y MEDIAS

Págia 1 de 11 CAPÍTULO 8: INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES Y MEDIAS Itervalos de Cofiaza para ua proporció Cuado hacemos u test de hipótesis decidimos sobre u valor hipotético del parámetro. Qué proporció de mujeres espera compartir las tareas de la casa co su pareja? Qué proporció de la població sufre de fatiga cróica? Qué proporció de la població sufre de Cácer? Cada ua de estas pregutas es sobre el valor de la proporció P. Es decir, queremos estimar P. Ua proporció muestral $p es u estimador putual (u úmero) de la proporció e la població P. U estimador de itervalo de cofiaza de la proporció e la població P, es u itervalo, calculado a partir de los datos de la muestra, e el cual osotros cofiamos se ecuetra la proporció de la població P. El ivel de cofiaza es la probabilidad de que el método de estimació os dé u itervalo que cotiee al parámetro (P e este caso). El ivel de cofiaza se deota por, dode valores comues de so 0,10; 0,05; y 0,01, para ua cofiaza de 90%, 95%, y 99%. Para costruir itervalos de cofiaza recordemos la distribució muestral de la proporció P(P) muestral $p : pˆ ~ & N( P, ), etoces aproximadamete 95% de los valores de $p estará etre dos desviacioes estádar de P. N( P, P(P) ) 9 5% p - p ( 1 - p ) p p + p ( 1 - p ) p

Págia de 11 P(P) Hacemos u itervalo: pˆ ± 1,96. Esperamos que el 95% de los itervalos de P(P) cofiaza formados por pˆ ± 1,96 va a coteer al parámetro P y 5% o lo va a coteer. El problema es que si o coocemos el parámetro o coocemos la desviació estádar. Solució: Estimar la desviació estádar, co el error estádar de $p: S( pˆ) = pˆ(1 pˆ) U itervalo de 95% de cofiaza para P esta dado por: pˆ ± 1,96 pˆ(1- pˆ) E teoría esta aproximació fucioa bie si se cumple que: P 5 y (P) 5. E la práctica la comprobamos co: p 5 y ( p 5 ˆ ˆ) FUMADORES Se realiza u estudio para coocer la prevalecia (proporció) de los factores de riesgo cardiovasculares e residetes de la ciudad de Talca, adultos de 18 a 74 años, el año 005 (http://pifrecv.utalca.cl/) Tabaquismo Total (%) Hombres (%) Mujeres (%) Total 368 (36,5) 134 (39,5) 34 (35,0) La tabla preseta la prevalecia de fumadores e la muestra de 1007 persoas. Se quiere estimar la proporció de adultos que fuma. Obtega el estimador putual de la proporció buscada. U itervalo de cofiaza 95% para la verdadera proporció de adultos que fuma, está dado por? Pesemos: Sabemos si el itervalo de 95% de cofiaza cotiee a la verdadera proporció e la població que fuma? Este ivel de 95% cofiaza sigifica que hay ua probabilidad de 95% de que la verdadera proporció P está e el itervalo [33,6 ; 39,5]? Podemos exteder estos resultados al resto de la població geeral de adultos?

Págia 3 de 11 Iterpretació! El itervalo que costruimos o cotiee P o o lo cotiee. No es correcto decir que la probabilidad de que el itervalo [33,6; 39,5] cotega a P es 0,95. El valor del parámetro P es fijo. No varía. La iterpretació del ivel de 95% de cofiaza tiee que ver co la proporció de veces que itervalos como el que costruimos cotiee a P si lo hiciéramos muchas veces. p m.a.s #1 m.a.s. # m.a.s. #3 m.a.s. #4 Si repetimos este procedimieto muchas veces, calculado muchos itervalos de cofiaza de 95% para P, podemos esperar que aproximadamete 95% de estos itervalos cotega P (y aproximadamete 5% o). Revisemos los percetiles de la tabla N(0,1): Nivel de Cofiaza z N(0,1) 0,80 0,90 0,95 0,98 0,99 0,999 Z -z +z

Págia 4 de 11 U itervalo de cofiaza ( )*100% para P está dado por: p $ ± z1 p(1- $ p) $ z dode es u percetil de la distribució N(0,1) Este itervalo da valores posibles para la proporció e la població P basada e sólo ua proporció muestral $p. Esta aproximació esta basada e el supuesto de que los datos proviee de ua muestra aleatoria de la població y fucioa bie si P 5 y (P) 5. Esta codició se puede corroborar co p 5 y ( p 5. ˆ ˆ) Forma geeral de los Itervalos de Cofiaza: estimador putual ± percetil error estádar distribució muestraldel estimador Pesemos: Si el ivel de cofiaza aumeta de 95% a 99%, el itervalo de cofiaza será: más acho, más agosto, o el mismo? Si el tamaño muestral aumeta (pero la proporció muestral es la misma), el itervalo de cofiaza será: más acho, más agosto, o el mismo? Si el tamaño de la població aumeta, el itervalo de cofiaza será: más acho, más agosto, o el mismo?

Págia 5 de 11 FUMADORES revisitado Tabaquismo Total (=1007) Total (%) Hombres (%) Mujeres (%) 368 (36,5) 134 (39,5) 34 (35,0) La tabla preseta la prevalecia de fumadores e ua ecuesta realizada e residetes de la ciudad de Talca, adultos de 18 a 74 años, el año 005 (http://pifrecv.utalca.cl/). a) Cuál es la població bajo estudio? b) Basado e los resultados del estudio, costruya u itervalo de 90% de cofiaza para la proporció de sujetos que fuma. c) Iterprete el itervalo. d) Costruya u itervalo de 95% de cofiaza para la proporció de sujetos que fuma. Es este itervalo más acho o más agosto del calculado e (b)? e) E la Ecuesta Nacioal de Salud del 003 se ecotró ua prevalecia del 4%. Comete. f) Cuál es la mitad del acho del itervalo? Defiició: El marge de error para ua proporció es la mitad del acho del itervalo de cofiaza, y está dado por: E = z p(1- $ p) $ E = Marge de Error ---------(------------------------------ ------------------------------)-------- p$( p$) p$( p$) $p p$ + z p$ z Acho Se calcula u itervalo de 99% cofiaza para P que resulta: (0,7, 0,4) a) Cuál es el valor de la proporció muestral $p? b) Cuál es el marge de error? c) Dé dos sugerecias para reducir el marge de error.

Págia 6 de 11 Cuál es el tamaño de la muestra? Co la fórmula del marge de error podemos coocer cuato puede ser u tamaño muestral míimo. Tamaño de la muestra: z p$( p$) = E Pero esta fórmula cotiee a la proporció muestral pˆ y todavía o teemos la muestra! Ecotremos el máximo. Dibuje pˆ versus pˆ (1-pˆ ) p(1 - p) Por ejemplo, grafique pˆ = 0,5 vs pˆ (1-pˆ ) = 0,5. Defiició: 0 0.5 1 p Si descoocemos la variabilidad e la població, el tamaño muestral requerido para estimar la proporció de ua població co ivel de cofiaza y marge de error E esta dado por: z = 1 1 1 z = E 1 E z = E La Cruz Roja quiere veir a sacar sagre a la Uiversidad de Talca y os pide que estimemos la proporció de estudiates y fucioarios que estaría dispuestos a doar sagre. Co cofiaza 99% y u 4% de marge de error a cuatas persoas debemos etrevistar? E la oficia de admisió de la UTal quiere estimar la proporció de alumos que abadoa la Uiversidad después del primer año de estudio. A cuatos estudiates debe etrevistar para costruir u itervalo de cofiaza para P del 90% co u marge de error de putos porcetuales?

Págia 7 de 11 Correcció para població fiita (cpf) (Opcioal) La fórmula para calcular el tamaño muestral supoe que el tamaño de la població es grade o es u muestreo co reemplazo. Cuado queremos sacar ua muestra de ua població pequeña e coveiete usar la cpf c = 1 + Ejemplo: Crédito uiversitario. E el año 001 u grupo de alumos de la recié creada carrera de Psicología e la UTal, hizo u trabajo sobre el crédito uiversitario. Ellos quería coocer la proporció que tiee crédito uiversitario etre los alumos de Psicología de la UTal. Co u ivel de cofiaza de 95% y u marge de error del 5% a cuatos estudiates debiero ecuestar? N z = E = 1,96 (0,05) = 384,16 Pero e el año 001 había 71 alumos iscritos! c 384 = = 59,9 1+ 384 71 Fialmete, tuviero que ecuestar a 60 persoas.

Págia 8 de 11 Itervalos de Cofiaza para la media de ua població Como hemos mecioado la media muestral x basada e ua muestra aleatoria, es u bue estimador putual de la media poblacioal µ. La preguta es qué ta bue estimador es? Será el valor observado de la media muestral igual a la media poblacioal? Probablemete o. Será etoces cercao a µ? Pero qué ta cercao? Defiicioes: La media muestral x es u estimador putual de la media de poblacioal µ. U estimador de itervalo de cofiaza para la media poblacioal µ es u itervalo de valores, calculados a partir de los datos de la muestra, etre los cuales podemos cofiar que se ecuetra la media poblacioal µ. El ivel de cofiaza es la probabilidad de que el método de estimació os dé u itervalo de cofiaza que cotiee al parámetro (µ e este caso). Para costruir u itervalo de cofiaza para µ usamos la distribució muestral de la media σ muestral x ~ & N( µ, ), etoces aproximadamete 95% de los valores de estará a 1,96 desviacioes estádar de µ. N µ, σ 95% ( µ σ x µ µ + σ ) X U itervalo de cofiaza ( )*100% para µ está dado por: ± z x σ z dode es u percetil de la distribució N(0,1) Este itervalo será exacto si los datos proviee de ua muestra aleatoria de ua població Normal. Será aproximado para cualquier otra població y tamaños de muestra > 30 (Teorema de Límite Cetral).

Págia 9 de 11 Bebidas Supoga que ua máquia de bebidas esta calibrada de tal maera que la catidad de líquido etregado es aproximadamete ormal co desviació estádar 0,15 decilitros (ota: 1 decilitro es 0,1 litro). a) Calcule u itervalo de 95% de cofiaza para la media de la catidad de líquido etregado basado e ua muestra aleatoria de 36 vasos co promedio de,5 decilitros. b) U itervalo de 90% de cofiaza será más acho o más agosto que el calculado e la parte (a)? c) Qué tamaño de muestra ecesitaría si quisiera obteer u marge de error para u itervalo de 95% de cofiaza sea 0,0? Ua vez más os ecotramos co el problema de que e geeral o coocemos la desviació estádar de la població (σ), por lo tato estimamos σ co la desviació estádar de la muestra seleccioada (s), y teemos que usar la distribució t de Studet e vez de la Normal. U itervalo de cofiaza ( )*100% para µ está dado por: x± t ( 1) 1- s dode ( t ) es el percetil apropiado de la distribució t co (-1) grado de libertad. 1-1 Este itervalo os da valores posibles para la media de la població µ basados e la media muestral x. Se basa e el supuesto de que los datos proviee de ua muestra aleatoria de ua població co distribució ormal co desviació estádar σ descoocida. Si el tamaño de la muestra es grade, el supuesto de ormalidad o es crucial, si embargo debemos preocuparos si la distribució de los datos es sesgada o tiee valores extremos. El marge de error de la media poblacioal es: E = t ( 1). 1- s Colesterol U médico iteresado e coocer la media del colesterol e la població toma ua muestra de tamaño 5. Calcule los límites de cofiaza de 99% para el promedio de colesterol saguíeo si e la muestra se ecotró u promedio de 190 y ua desviació estádar 15. Iterprete el itervalo de cofiaza ecotrado.

Págia 10 de 11 Itervalos de cofiaza y Test de Hipótesis Se puede docimar la hipótesis H 0 : µ = µ 0 versus H1 : µ µ co u ivel de sigificació 0 usado la siguiete regla de decisió: Rechazar H 0 si el correspodiete itervalo de cofiaza ( )x100% para la media de la població µ o cotiee al valor hipotético e H 0. Nota: El test tiee que ser de dos colas y el ivel de cofiaza más el ivel de sigificació tiee que sumar 100%. Patroes de sueño e iños U estudio de los patroes de sueño de iños de seis meses e Estados Uidos afirma que u itervalo de 95% de cofiaza para el promedio de tiempo que los iños duerme (e u periodo de 4 horas) es (11,5-15,) horas. Supoga que queremos docimar H 0 : µ = 15 versush1 : µ 15. a) Qué decisió tomamos si = 0, 05? b) Qué decisió tomamos si = 0, 01? Tabla resume: Situació Parámetro Test Estadístico Itervalo de Cofiaza Muestra aleatoria de ua població ormal co σ coocida Media µ x µ z = 0 x σ ± z σ 1 Muestra aleatoria de ua població ormal co σ descoocida Media µ µ 0 x t = ( ) ± 1 x t s S 1- Muestra aleatoria de ua població Proporció P pˆ p0 z = p $ ± p ( p ) 0 0 z 1 p(1- $ p) $

Págia 11 de 11 E resume, los pasos básicos para docimar cualquier hipótesis y la forma geeral de los itervalos de cofiaza, para lo que ecesitaremos u estimador putual para el parámetro y su correspodiete error estádar, so: Pasos básicos para docimar ua hipótesis acerca de u parámetro: 1. Defiir cual es la població y el o los correspodietes parámetros de iterés.. Establecer las hipótesis (ula y alterativa). 3. Establecer el ivel de sigificació. 4. Recoger los datos y verificar los supuestos. 5. Calcular el test estadístico usado los datos. La forma geeral del test estadístico es: estimador putual valor ulo Test Estadístico= error estádar 6. Calcular el valor p. 7. Tomar ua decisió e iformar la coclusió e térmios del problema establecido por el ivestigador. Forma geeral de los Itervalos de Cofiaza: estimador putual ± percetil error estádar distribuci ó muestral del estimador