PRÁCTICA No. 2 RAÍCES DE ECUACIONES CON MÉTODOS ABIERTOS OBJETIVO EDUCACIONAL Determinar la raíz de una función mediante métodos abiertos, los cuales se han visto en clase, utilizando Excel para que el alumno lo pueda aplicar en resolver problemas de ingeniería. INTRODUCCIÓN ITERACIÓN DE UN PUNTO FIJO Este método se aplica para resolver ecuaciones de la forma Si la ecuación es f(x) = O, entonces puede despejarse it ó bien sumar it en ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada. Ejemplos: 1) La ecuacion se puede transformar en 2) La ecuación se puede transformar en Dada la aproximación x, la siguiente iteración se calcula con la fórmula: Supongamos que la raiz verdadera es es decir, Restando las últimas ecuaciones obtenemos: Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, sabemos que si g(x) es continua en y diferenciable en entonces existe tal que En nuestro caso, existe en el intervalo determinado por tal que: 1 de 9
De aquí tenemos que: O bien, Tomando valor absoluto en ambos lados, Observe que el término es precisamente el error absoluto en la esima iteración mientras que el término corresponde al error absoluto en la esima iteración Por lo tanto, solamente si, entonces se disminuirá el error en la siguiente interacción en caso contrario, el error ira en aumento. En resumen, el método de iteración del punto fijo converge a la raíz si para x en un intervalo que contiene a la raíz y donde continua y diferenciable, pero diverge si en dicho intervalo. Analicemos nuestros ejemplos anteriores: En el ejemplo (A), y claramente se cumple la condición de que. Por lo tanto el método si converge la raíz. x En el ejemplo (B), g( x) x tan x e y en este caso. Por lo tanto, el método no converge a la raíz, MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON El método de Newton-Raphson no trabaja son intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos. La fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación: 2 de 9
MÉTODO DE LA SECANTE El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto, lo cual puede llegar a resultar engorroso. Sin embargo, la forma funcional de f (x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. El método de la secante es casi idéntico al de regla falsa salvo por un detalle: no se tiene en cuenta el signo de la función para estimar el siguiente punto. Se procede independientemente de los signos de la función. De todas maneras en algunos casos es más útil emplear el método de la secante. Este método, a diferencia del de bisección y regla falsa, casi nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando. Lo que hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente, y va chequeando la intersección de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca. Figura 1. Representación grafica del método de la secante La fórmula iterativa del Método de la secante para calcular la siguiente aproximación: [ ] MATERIAL, EQUIPO Y REACTIVOS PC, OFFICE PROCEDIMIENTO ITERACIÓN DE UN PUNTO FIJO EN EXCEL Use el método de iteración de un punto fijo para determinar la raíz de la función con hasta que. 3 de 9
Solución. Como se ha visto en clase, éste es un problema para el cual en el punto incial dado, sí converge a la raíz con la función A continucación los pasos para elaborar el algoritmo en excel. 1. Escribir en la celda A3, Xr en la celda B3 y Error % en la celda C3. 2. En la celda A4 colocamos el valor inicial. 3. B4 escribimos la función, es decir: 4. En la celda B5, para determinar el valor de la siguiente raíz, se escribe: 5. Para calcular el error en la celda C5 se escribe: ( ) 6. Para determinar la raíz tal que se copia el renglón desde A5 y C5 hacia hacia abajo hasta que satisfaga la condición. 4 de 9
Lo obtenido según el procedimiento anterior es la siguiente tabla: Por lo que la raíz de la función es con MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON EN EXCEL Use el método de Newton-Raphson para determinar la raíz de la función con hasta que. Solución. Como se ha visto en clase, se necesita saber A continucación los pasos para elaborar el algoritmo en excel. 1. Escribir en la celda A3, Xr en la celda B3 y Error % en la celda C3. 2. En la celda A4 colocamos el valor inicial. 5 de 9
3. B4 escribimos la función para determinar, es decir: (( ) ( )) 4. Para determinar la siguiente raíz, en la celda B6 colocamos la fórmula de Newton- Raphson de la siguiente forma: (( ) ( )) 5. Para calcular el error en la celda C5 se escribe: ( ) 6. Para determinar la raíz tal que se copia el renglón desde A5 y C5 hacia hacia abajo hasta que satisfaga la condición. Lo obtenido según el procedimiento anterior es la siguiente tabla: Por lo que la raíz de la función es con MÉTODO DE LA SECANTE EN EXCEL Use el método de Newton-Raphson para determinar la raíz de la función con y hasta que. Solución. A continucación los pasos para elaborar el algoritmo en excel. 6 de 9
1. Escribir X0 en la celda A3, X1 en la celda B3, f(x0) en la celda C3, f(x1) en la celda D3, Xr en la celda E3 y Error % en la celda F3. 2. En la celda A4 colocamos el valor inicial y en la celda B4 en siguiente valor 3. En la celda C4 escribimos la función para determinar, es decir: 4. En la celda D4 escribimos la función para determinar, es decir: 5. En la celda E4 se determina el valor de la raíz con la fórmula de método [ ]: (( ) ) 6. En la celda A5 se copia el valor de la celda B4 y en la celda B5 se copia el valor de la celda E4: 7. Seleccionar las celdas C4, D4 y E4 y copiar hacia abajo en el renglón correspondiente a C5, D5 y E5. 8. Para calcular el error en la celda F5 se escribe: ( ) 9. Para determinar la raíz tal que se copia el renglón desde A5 hast F5 hacia hacia abajo hasta que satisfaga la condición. Lo obtenido según el procedimiento anterior es la siguiente tabla: Por lo que la raíz de la función es con 7 de 9
CONCLUSIÓN: Se observa que, a través del cáluclo de la raíz para la misma función por métodos abiertos, el método de la secante es extremadamente rápido pero se necesitan saber dos valores anteriores. Sin embargo el método de Newton Rapshon con un solo valor inicial se determina la raíz de maera rápida. El método iteración de un punto fijo es más lento. EJERCICIOS INSTRUCCIONES: Utilice Excel para aplicar el método de bisección y el método de la regla falsa para determinar la raíz de las siguientes funciones bajos la condiciones de cada ejercicio. 1. Determine la raíz de la función utilizando: a) El método de iteración de un punto fijo con hasta que b) El método de Newton-Raphson con hasta que c) El método de la secante con y hasta que 2. Supóngase que se está diseñando un tanque esférico para almacenar agua para un poblado pequeño en un país en desarrollo. El volumen del líquido que puede contener se calcula con: [ ] Donde V= volumen en m 3, h= profundidad del agua en el tanque en m y R= radio del tanque en m. Si R=3m A qué profundidad debe llenarse el tanque de modo que contenga 30m3? Haga 4 iteraciones con el método de Newton Raphson a fin de obtener la respuesta. Determine después de cada iteración. 8 de 9
CUESTIONARIO Que es la raíz de una función? Cuáles son los métodos abiertos para determinar la raíz de una función? En qué criterio se basa el método de la secante? Cuáles son las ventajas y desventajas del método de la secante? BIBLIOGRAFÍA Chapra C. Steven, Canale P. Raymond. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS. Quinta Edición: México Mc Graw-Hill, 2007. 9 de 9