EQUILIBRIO DE LA BICICLETA

JUAN RIUS CAMPS EQUILIBRIO DE LA BICICLETA EDICIONES ORDIS 1

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EDICIONES ORDIS GRAN VIA DE CARLOS III, 59, 2º, 4ª 19 de Marzo de 2010 08028 BARCELONA 3

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EQUILIBRIO DE LA BICICLETA Resulta muy dfícl explcar el equlbro de un cclsta (bccleta, moto, patnete, etc.) acudendo a las fuerzas centrífugas de la DC; s el movmento es muy lento, pueden resolver el problema. Cuando la velocdad es grande la trayectora se puede mantener práctcamente recta, sn dfcultad, con cas mperceptbles gros del manllar a derecha e zquerda. En este caso el rado de curvatura ρ de la trayectora se puede consderar nfnto y las precedentes fuerzas resultan nulas, con lo que el equlbro queda sn resolver. El movmento es sobre un plano horzontal con la fuerza de gravedad normal al msmo. Todo referdo al tredro de FRENET (s, n, b) en reposo respecto al marco nercal de referenca OXYZ. Al grar el manllar, muy levemente s la velocdad es grande, para mantener el equlbro, el sstema adquere una energía de rotacón: E rot = (1/2)Iω 2 (1) que es absoluta, pues la rotacón ω no varía al cambar de marco nercal de referenca. Supuesta la velocdad v constante en este mínmo gro, la energía cnétca (1/2)mv 2 debe perder o ganar la energía E rot (1) transferda a la rotacón según que ésta aumente o dsmnuya; pero por la conservacón de la energía la únca posbldad es que la masa m no sea constante, es decr, aumente o dsmnuya en una cantdad dm, dando lugar a la presenca del factor dm/dt = m, postvo o negatvo. En la ND la fuerza total, sobre la masa m en movmento (cclsta + bccleta) vene dada por la expresón 1 : F = m v s + 1 2 m v- m v 2 ρ n - mv v ρ n - 1 2 Vd. JUAN RIUS CAMPS, Dnámca de Sstemas Mecáncos Irreversbles. Ed. ORDIS. Barcelona. 2009. 5 m 2 v ρ n (2) Sendo constante la velocdad v, resulta nula la aceleracón tangencal dv/dt = v = 0, Además, al consderar nfnto el rado de curvatura ρ, la (2) se reduce a: 1

F = 1 2 m v- 1 2 m 2 v ρ n (3) Al ser dm/dt postvo o negatvo, el prmer térmno de (2) es una fuerza, que tende a acelerar o frenar el móvl, mentras que el segundo se traduce en una fuerza, no nula, normal a la trayectora, que actúa a derecha e zquerda de la msma, mpdendo la caída del cclsta (ver ESQUEMA). Y c.d.m. O X trayectora recta fuerzas de acelerado y frenado fuerzas normales de equlbro ESQUEMA NOTA 1. Para facltar la comprensón nclumos a contnuacón el estudo de la Aceleracón Normal Suplementara ANS, punto de partda de la ND. 6

ACELERACIÓN NORMAL SUPLEMENTARIA SENTIDO CINEMÁTICO DE LA VELOCIDAD ANGULAR ω* 1. Partmos de la trayectora real de un punto materal m, y para su estudo local utlzamos un referencal de nerca s, b, n, ntrínseco. cuyos sentdos postvos venen dados por el de la velocdad para s ; haca la convexdad para n ; y por b = s n. Necestamos consderar tambén la evoluta de la msma referda a los msmos ejes (ver Fg. 1, en el caso dv/dt > 0, y Fg. 2, en el caso dv/dt < 0). Para explcar el sentdo cnemátco de la velocdad angular ω* = dv/dρ, vamos a estudar un elemento de trayectora ds que se corresponde con el dρ de la evoluta; ambos están stuados en el plano osculador (ver Fg. 1 cuando dv/dt > 0 y Fg. 2 cuando dv/dt <0). Así pues, podemos consderar la trayectora localmente plana y referda a una base nercal ntrínseca de versores s, n, b, formada por la tangente, la normal y la bnormal. El arco ds de trayectora, está determnado por los puntos A, B, y el dρ de la evoluta, por sus homólogos A, B. La velocdad de la partícula en A, es v, y en B, v+dv. Los rados de curvatura en estos puntos son: ρ+dρ y ρ. El ángulo grado por el rado de curvatura al pasar de A a B es: dθ = ds/ρ y la correspondente velocdad angular será: ω = dθ/dt (con ω = ω b) Tambén se puede escrbr: ω = v/ρ, que no depende, obvamente, de dv n de dρ. Al calcular la aceleracón centrípeta llegamos a su expresón: 7

a ρ = (-v 2 /ρ)n (1) en la que no se consderan los ncrementos dv, dρ, pues no le afectan. Es el resultado de susttur el ds de trayectora por el correspondente en círculo osculador en el punto. Sn embargo s observamos con detalle la trayectora real, ésta vene caracterzada por tener una evoluta ben determnada (ver Fg. 1 y Fg. 2). Al prescndr de dv, en el estudo de la aceleracón centrípeta, sgnfca que partendo del punto A llegamos al B, pero no al punto real B; y lo msmo cabe decr de sus homólogos centros de curvatura: el A está stuado en la evoluta, por ser el punto de partda, pero el B está stuado fuera de la evoluta real (ver Fg. 1 y Fg. 2), cuyo punto es el B. Es evdente que la aceleracón centrípeta está correctamente determnada, pero tambén resulta claro que el arco de evoluta dρ debe concdr con el determnado por los puntos A, B de las fguras, y no por los A, B, como sucede al prescndr de dv y de dρ. Para corregr esta defcenca será necesaro grar AB un ángulo: dθ* = BB /dρ para que concda con dρ de la evoluta real, con una velocdad angular fnta cuyo módulo vene dado por: (BB /dρ)/dt = (d 2 s/dρ) /dt = dv/dρ = dθ*/dt = ω* Esta velocdad angular ndca que la smplfcacón de susttur, en cada punto, la trayectora por el círculo osculador, lleva mplícta la necesdad de grar el arco de evoluta, con velocdad angular ω*, para que concda con el arco real. Pero este arco AB de evoluta debe ser normal al homólogo AB de la trayectora, grado tambén dθ* respecto al ncal AB (ver Fg. 1 y Fg. 2). Será precso grar este arco AB de evoluta un ángulo dθ*, en el msmo sentdo cuando dv/dt > 0 y en sentdo opuesto cuando dv/dt < 0, para que concda con el real AB, y lo msmo en la trayectora. Consecuenca de esto es que el rado de curvatura ρ se ncrementa en el dferencal de segundo orden: B B = dsdθ* (con dv/dt > 0) 8

B B = dsdθ* (con dv/dt < 0) del que resulta una aceleracón normal adconal: a ρ * = B B /dt 2 = dsdθ*/dt 2 = vω* (con dv/dt > 0) a ρ * = B B /dt 2 = dsdθ*/dt 2 = vω* (con dv/dt < 0) superpuesta a la aceleracón centrípeta a ρ = -v 2 /ρ = -vω (1). Así pues, la aceleracón normal total será: a ρ + a ρ * = -v(ω ω*) (con dv/dt > 0) a ρ + a ρ * = -v(ω + ω*) (con dv/dt < 0) ) respectvamente. La aceleracón tangencal a s = dv/dt evdentemente no camba. En expresón vectoral podemos escrbr: a s s + a ρ n + a ρ *n = a + vω*n = a v ω* (con dv/dt > 0) a s s + a ρ n + a ρ *n = a vω*n = a + v ω* (con dv/dt < 0) (2) 2. Ahora, desde el punto de vsta dnámco, s deseamos calcular correctamente la fuerza centrípeta total, debemos consderar la aceleracón normal total (2). La expresón de esta fuerza será: f n = mv(ω ω*)n = mv (ω ω*) (con dv/dt > 0) f n = mv(ω + ω*)n = mv (ω + ω*) (con dv/dt < 0) (3) 9

De la (2) y (3) se sgue que la fuerza total en la ND es: f = m o (a v ω*) (con dv/dt > 0) f = m o (a + v ω*) (con dv/dt < 0) que es somórfca con la Fuerza de LORENTZ del electromagnetsmo: f o = m o (E o + v B o ) Sorprendente resultado; más todavía s tenemos en cuenta que la expresón de la Fuerza de LORENTZ es exclusvamente expermental. Además, en el tredro de FRENET el módulo v de la velocdad es sempre postvo en el sentdo en que se mueve la partícula. Sabemos que mentras el móvl descrbe la trayectora el centro de curvatura descrbe la evoluta; en esta últma el sgno de dρ es tambén sempre postvo. Al nvertr el sentdo de recorrdo camba el sentdo los versores s y b en el tredro de referenca; así v = vs pero dv se camba en dv con ( dv/dρ)b = ω* El resultado de que ahora la aceleracón normal suplementara: pasa a ser: a ρ * = B B /dt 2 = dsdv/dt = vω* a ρ * = B B /dt 2 = ds( dv/dt) = vω* y en expresón vectoral: a ρ * = v ω* nversa a la precedente al cambo de sentdo del movmento (ver expresones (2) y (3) y Fgs. 1, 2 y 1, 2 al fnal). En consecuenca, s un punto materal descrbe una determnada trayectora y se nverte el sentdo de recorrdo, ésta resulta nalterada en el marco de la DC; es reversble. Sn embargo no sucede lo msmo en la ND, 10

pues la trayectora de vuelta ya no concdrá con la de da ; es rreversble. La rrevesbldad en Termodnámca; el CAOS, descuberto en muchos fenómenos físcos; etc. es consecuenca de dcha rreversbldad. dθ d 2 ρ π/2 B π/2 Α ds B B d 2 s C dθ trayectora ρ dθ evoluta ρ+dρ C dθ B B d 2 s dρ Α Aceleracón Normal Suplementara (cuando dv/dt < 0) a n * = d 2 ρ /dt 2 FIG. 1 11

dθ B B d 2 ρ ds B π/2 Α d 2 s π/2 C dθ ρ trayectora dθ evoluta ρ+dρ C B B d 2 s dρ dθ Α Aceleracón Normal Suplementara (cuando dv/dt > 0) a n * = d 2 ρ /dt 2 FIG. 2 12

dθ d 2 ρ B A A ds C A π/2 ρ trayectora π/2 dθ evoluta ρ+dρ C dθ B dρ dθ A A d 2 s Aceleracón Normal Suplementara (en recorrdo nverso, sendo ahora dv/dt < 0) a n * = d 2 ρ /dt 2 FIG. 1' 13

d 2 s dθ π/2 B A ds C A A d 2 ρ trayectora π/2 ρ dθ dθ evoluta ρ+dρ C B dθ A A d 2 s dρ Aceleracón Normal Suplementara (en recorrdo nverso, sendo ahora dv/dt > 0) a n * = d 2 ρ /dt 2 FIG. 2' 14

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Juan RIUS CAMPS Doctor Arqutecto, Ex profesor de la UNIVERSIDAD DE NAVARRA. Membro de la REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FISICA. Dreccón: Gran Va de Carlos III, 59, 2º, 4 a, 08028, BARCELONA. E-mal jsruscamps@coac.net E-mal john@rrevresblesystems.com Págna web: rreversblesystems.com Tel : 93-330 10 69 BARCELONA, 19 de Marzo de 2010 16

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