MANUAL D PRÁCTICAS D LABORATORIO D HIDRÁULICA 49 NRGÍA SPCÍFICA Y FLUJO CRÍTICO OBJTIVOS Comprobar la teoría relaionada on el onepto de energía espeífia, analizando el flujo sobre un esalón o resalto en el fondo de un anal retangular Calular erifiar la presentaión del régimen rítio del flujo en la resta del esalón, on sus orrespondientes profundidad rítia,, energía espeífia mínima, mín Visualizar dibujar el perfil hidráulio del flujo a traés del esalón Dibujar omparar las uras de s, teória experimental, orrespondientes a un audal dado, o Dibujar la Línea de nergía Total, H, orrespondiente a un audal deterado, o FUNDAMNTOS TÓRICOS Coneptos de energía total energía espeífia n general, para un anal de pendiente onstante de seión transersal ualquiera (er Figura ), la energía total, H, se expresa de la siguiente manera: FIGURA Flujo a superfiie libre en un anal abierto H z os g () suela de Geoienias Medio Ambiente
50 NRGÍA SPCÍFICA Y FLUJO CRÍTICO, en téros del audal, así: H z os g A () Donde, es el ángulo que forma el fondo del anal on la horizontal, es el oefiiente de orreión por distribuión de eloidades no uniforme, más onoido omo el oefiiente de Coriolis Los téros de la euaión () () expresan energía por unidad de peso del líquido, tienen dimensiones de longitud La energía total, H, se mide on respeto a un plano horizontal de referenia Véase la Figura A la suma z + os omúnmente se le llama ota piezométria, obsérese que, para todas las seiones, a lo largo del anal, diha suma oinide on la superfiie libre del flujo; por ello, a la línea que une las otas piezométrias se le llama Línea Piezométria o Gradiente Hidráulio Véase la Figura La energía espeífia,, en la seión de un anal, se define omo la energía que posee el flujo, por unidad de peso del agua que flue a traés de la seión, medida on respeto al fondo del anal, se expresa así: os g (), en funión del audal, así: os g A (4) sto equiale a la suma de la profundidad del flujo, multipliada por os, la abeza de eloidad orrespondiente, aeptando que la ariaión de presiones on la profundidad sigue la le hidrostátia Suponiendo que es onstante A es funión de la profundidad del flujo, la energía espeífia es funión exlusia de esta última La línea que representa la energía total, H, de una orriente, tiene todos sus puntos a una distania /g sobre la superfiie del agua, se llama Línea de nergía Total o Gradiente de nergía Véase la Figura Para un flujo permanente, es deir, es inariable en el tiempo, se obtiene una ura s que define las araterístias ondiiones del flujo,, a su ez, permite predeir ambios en el régimen de éste en el perfil de la superfiie libre Ver la Figura suela de Geoienias Medio Ambiente
MANUAL D PRÁCTICAS D LABORATORIO D HIDRÁULICA 5 FIGURA Diagrama de s, del flujo permanente en anales abiertos sta ura presenta dos ramas AC BC La parte AC se aproxima al eje horizontal, asintótiamente haia la dereha La parte BC se aproxima asintótiamente a la línea OD que pasa por el origen que tiene un ángulo de inlinaión = tan - (os ) La absisa representa la energía espeífia en la seión La ura muestra que, para una deterada energía espeífia, o, existen dos alores de la profundidad,, que reiben el nombre de profundidades alternas l punto C es un punto de inflexión, para el ual la energía espeífia es mínima, mín ; diho punto es un punto rítio, para el ual existe una profundidad únia, llamada profundidad rítia,, una eloidad del flujo llamada eloidad rítia, Cuando la profundidad del flujo es maor que, la eloidad del flujo es menor que, en estas ondiiones el flujo se enuentra en régimen subrítio Cuando la profundidad del flujo es menor que, la eloidad del flujo es maor que, el flujo se enuentra en estado o régimen superrítio Si los audales ambian, la energía espeífia ambiará en onseuenia n efeto, al aumentar el audal del flujo en el anal, la energía espeífia aumenta también, las uras s se desplazan haia la dereha, omo se muestra en la Figura Obsérese que existe una terera ura N, la ual representa el onjunto de soluiones negatias para la profundidad del flujo; éstas, obiamente, no tienen ningún interés físio suela de Geoienias Medio Ambiente
5 NRGÍA SPCÍFICA Y FLUJO CRÍTICO stado rítio del flujo l estado rítio del flujo se define omo la ondiión para la ual el número de Froude es igual a la unidad Una definiión más omún es aquella que die que es el estado del flujo para el ual la energía espeífia toma un alor mínimo, para un audal dado Se detera matemátiamente haiendo n efeto, d d 0 os g A (4) d d os g d d A d d os da (0)(A ) ()( A) d 4 g A d d da os ga d (5) Además, en la proximidad de la superfiie libre, da = T d Ver la Figura De donde, da d Reemplazando (6) en (5), se tiene: T (6) d d os T ga (7) Para analizar puntos rítios, se hae d/d = 0 ; luego, de la euaión (7), se tiene: d d T os g A 0 suela de Geoienias Medio Ambiente
MANUAL D PRÁCTICAS D LABORATORIO D HIDRÁULICA 5 De donde, T ga os (8) La euaión anterior se puede transformar de la siguiente manera: T A ga os A g os T Introduiendo la profundidad hidráulia D = A/T, se tiene: g Dos (9) Además, gd F Luego, F os uaión del estado rítio (0) l resultado expresado por las euaiones (8) (0) refleja el estado rítio del flujo, representado por el punto C de la Figura La profundidad,, que satisfae la igualdad on la unidad en las euaiones (8), (9) (0) es la profundidad rítia Véase la Figura A esta profundidad orresponden el área rítia, A, el anho superfiial rítio, T, la profundidad hidráulia rítia, D = A /T, la eloidad rítia, =/A Por lo tanto, la euaión (8) se expresa más adeuadamente omo: g A T os () suela de Geoienias Medio Ambiente
54 NRGÍA SPCÍFICA Y FLUJO CRÍTICO Y la euaión (9) se expresa mejor así: g D os () De este último resultado, se tiene: D os g Diidiendo por a ambos miembros de esta igualdad, se tiene: g D os () Lo anterior prueba que, en el estado rítio del flujo, la abeza de eloidad del flujo es igual a la mitad de la profundidad hidráulia, multipliada por el fator de orreión, os nergía espeífia mínima del flujo Para el punto rítio, C, de la Figura, al ual orresponden las euaiones (0) (), la euaión () expresa lo siguiente: os g (4) Sustituendo () en (4), se tiene: os D os (5) sta es la euaión general para la energía mínima del flujo mín del flujo en anales retangulares FIGURA Seión retangular en régimen rítio suela de Geoienias Medio Ambiente
MANUAL D PRÁCTICAS D LABORATORIO D HIDRÁULICA 55 A os T os A os os T os os B os B os os (6) mín del flujo en anales triangulares FIGURA 4 Seión triangular en régimen rítio os A os T os m os m os os 4 5 4 os (7) suela de Geoienias Medio Ambiente
56 NRGÍA SPCÍFICA Y FLUJO CRÍTICO mín del flujo en anales parabólios k : onstante de la parábola FIGURA 5 Seión parabólia en régimen rítio A os os T 4 os k os k os 4 (4) k k os os os os os 4 os (8) 4 Cálulo de la profundidad rítia del flujo en anales abiertos l álulo de la profundidad rítia del flujo, para un anal de seión transersal definida, se basará en la siguiente euaión de estado rítio: g A T os () suela de Geoienias Medio Ambiente
MANUAL D PRÁCTICAS D LABORATORIO D HIDRÁULICA 57 4 Profundidad rítia del flujo en anales retangulares (Véase la Figura ) Reemplazando A T en la euaión (), se tiene: gb B os gb os gb os (9) Otra euaión para en anales retangulares se obtiene al haer q = / B (audal unitario), sustituéndolo en la euaión (9) De esta manera resulta: q gos (0) 4 Profundidad rítia del flujo en anales triangulares Véase la Figura 4 Reemplazando A T en la euaión (), se tiene: gm (m 6 os ) gm os 5 5 m gos () 4 Profundidad rítia del flujo en anales parabólios Véase la Figura 5 Reemplazando A T en la euaión (), se tiene: suela de Geoienias Medio Ambiente
NRGÍA SPCÍFICA Y FLUJO CRÍTICO suela de Geoienias Medio Ambiente 58 os k 4 g k os k 4 g k 9 os g 4 k ) ( 4 4 g os k 7 () g os k 7 4 5 Variaión del perfil de flujo en anales abiertos Sea el flujo en un anal de seión transersal definida, on pendiente audal onstantes, omo se muestra en la Figura 6 Se pretende analizar la ariaión del perfil hidráulio, es deir, de la profundidad del flujo, a lo largo del eje x, oinidiendo éste on el fondo del anal FIGURA 6 Variaión del perfil de flujo en un anal abierto
MANUAL D PRÁCTICAS D LABORATORIO D HIDRÁULICA 59 Partiendo de la euaión de Bernoulli: H z os g A () deriando la euaión (), on respeto a x, se tiene: dh dz os d d g A () n este aso general, A = f () aría on x; luego, A = f (x,) dh dz os d g d A dh dz os d g 0A A A 4 da dh dh dz dz os os d d g A T g A da d d d dh dz d d T d os os F g A De donde: d dh dz os F (4) sta es la euaión general para predeir la ariaión del perfil hidráulio, a lo largo de un anal suela de Geoienias Medio Ambiente
60 NRGÍA SPCÍFICA Y FLUJO CRÍTICO 6 Seiones de ontrol ondiiones de aesibilidad Las seiones de ontrol son iertas singularidades que pueden presentarse en un anal, modifiando su geometría, que permiten estableer una relaión de audal s profundidad, la ual se aproeha para deterar el audal del flujo Algunas seiones de ontrol son: un ambio bruso en la pendiente longitudinal del anal, un estrehamiento o una expansión del anal, un resalto o una depresión en el fondo del anal la presenia de obstáulos omo una ompuerta o un ertedero Dependiendo de las ondiiones de aeso, esto es, del régimen de flujo que se aproxima a una seión de ontrol, así será el omportamiento del flujo a traés de diho ontrol Los oneptos de energía espeífia flujo rítio haen posible analizar el omportamiento del flujo en un anal, ante ambios en la forma del anal ontroles que haa en el flujo, omo resaltos, ompuertas, ertederos, esalones, gargantas, et 7 Cambios en el régimen de flujo debidos a la presenia de un resalto en el fondo del anal Para apreiar mejor la apliabilidad e importania del onepto de la nergía speífia del diagrama de s, onsidérese el flujo permanente en un anal retangular de anho, B, on un resalto en el fondo, de altura z Supóngase también que el resalto o esalón puede aumentar instantáneamente su altura z, adoptando suesiamente un alor rítio, z, otro alor maor que z Véase la Figura 7 suela de Geoienias Medio Ambiente
MANUAL D PRÁCTICAS D LABORATORIO D HIDRÁULICA 6 suela de Geoienias Medio Ambiente
6 NRGÍA SPCÍFICA Y FLUJO CRÍTICO Se analizarán los tres asos siguientes: 7 Caso No : Resalto de altura menor que la rítia: z < z Con relaión a la Figura 7, despreiando las pérdidas de energía debidas al resalto, apliando la euaión de Bernoulli entre () (), se tiene: z os z os g g (5) Siendo z = 0 z = z, resulta: os Δz os g g (6) Luego, z (7) Δz (8) Donde la energía espeífia en (),, z son onoidos; por lo tanto, reemplazando en la euaión (8), para anales retangulares, se tiene: os Δz g B (9) Resulta una euaión úbia en, la ual se resuele iteratiamente, por ensao error, Se obtienen, así, tres soluiones: una profundidad negatia que se desarta, dos profundidades positias, físiamente posibles: subrítia, es deir, < < Ver las Figuras 7 8 superrítia, es deir, < < Véanse las Figuras 7 8 Para desribir el perfil hidráulio del flujo a traés del resalto, se onsiderarán los dos asos posibles, según la ondiión del flujo de aproximaión: i ) l flujo de aproximaión es subrítio (os - F ) > 0 Si se despreian las pérdidas de energía a traés del esalón (dh/ = 0), de la euaión general para la ariaión del perfil hidráulio (4), se tiene: suela de Geoienias Medio Ambiente
MANUAL D PRÁCTICAS D LABORATORIO D HIDRÁULICA 6 d dz 0 os F d dz os F (0) n téros de álgebra de signos, resulta: d ( ) ( ) ( ) Luego, d/ < 0, lo ual signifia que deree, es deir, el perfil de flujo se abate ii ) l flujo de aproximaión es superrítio: (os - F ) < 0 De la euaión (0), se tiene: d ( ) ( ) ( ) Luego, d/ > 0, ree, es deir, el perfil se elea 7 Caso No : Resalto de altura rítia: z = z De auerdo on la euaión (8), a medida que aumenta la altura del esalón, z, se redue la energía en (), sta disuión sólo es posible hasta un alor mínimo, mín, omo se puede apreiar en la Figura 8 os (n anales retangula lo ual, se presenta uando el resalto en el fondo tiene el alor partiular de: z z Además, apliando la euaión de Bernoulli entre () (), se dedujo que: z Reemplazando (6) en (8), on z = z =, se tiene: z res) (6) (8) suela de Geoienias Medio Ambiente
64 NRGÍA SPCÍFICA Y FLUJO CRÍTICO os os g z z os g os z os g gb os os z os g gb B os os z os g os g os os 4 Δz os F os os F () ste es el tamaño rítio del esalón que impone la formaión de flujo rítio en la seión (), sin alterar la profundidad del flujo aguas arriba 7 Caso No : Resalto de altura maor que la rítia: z > z Cuando la altura del esalón supera el alor rítio, z, matemátiamente ourriría que = ( - z)< mín, lo ual es físiamente imposible, a que quedaría a la izquierda del punto rítio, C, por fuera de la ura Véase la Figura 7 Realmente, lo que ourre es un autoajuste del flujo, es deir, ambian las ondiiones del flujo aguas arriba, aumentando la profundidad en (), desde un alor, hasta un nueo alor Conseuentemente, la energía en () también se inrementa desde hasta un nueo alor, tal que (según la euaión 8): Δz () n otras palabras, por ser z > z, la seión en () atúa omo una seión de ontrol para el flujo subrítio de aguas arriba, reando en sí misma las ondiiones rítias, produiendo un aumento en la profundidad en la energía espeífia, aguas arriba suela de Geoienias Medio Ambiente
MANUAL D PRÁCTICAS D LABORATORIO D HIDRÁULICA 65 La nuea profundidad (), así:, aguas arriba, se podrá alular iteratiamente, a partir de la euaión z os z g os os z os gb gb os Iteratiamente, se alulan las dos raíes físiamente posibles, e, aguas arriba del esalón La primera, subrítia ( > ), la segunda, superrítia ( < ) sta última generará un resalto hidráulio Véase la Figura 7 (Caso No ) INSTALACIÓN D LA PRÁCTICA La instalaión para esta prátia de laboratorio onsta de los siguientes elementos (Véase la Figura 9): Instalaión de bombeo on tanque eleado, para el abasteimiento de agua Tubería de alimentaión, proista de álula de regulaión de audales Canal de aproximaión, retangular de pendiente regulable, dotado de una malla disipadora de energía tubos diretores Vertedero patrón, preiamente alibrado, ua relaión entre la arga el audal es onoida salón uneiforme en el fondo del anal Limnímetros o medidores de nieles Medidor eletromagnétio de flujo, on el ual se hae una letura más preisa de la magnitud del audal, en l/s suela de Geoienias Medio Ambiente
66 NRGÍA SPCÍFICA Y FLUJO CRÍTICO FUGURA 9 Instalaión para la prátia de energía espeífia suela de Geoienias Medio Ambiente
MANUAL D PRÁCTICAS D LABORATORIO D HIDRÁULICA 67 4 PROCDIMINTO XPRIMNTAL Una ez ebada la bomba, se pone en funionamiento se abre la álula de impulsión para alimentar al tanque eleado Cuando éste se rebose, se abre la álula de alimentaión del anal retangular, de pendiente regulable l agua irulará por este anal de aproximaión, primero, a traés del esalón, luego, a traés del ertedero alibrado, donde se detera preiamente el niel de la resta, L0 Véase la Figura 9 Al estableer ontinuidad en el sistema, los audales que pasan por el ertedero por el esalón, serán iguales; luego, se lee, on el limnímetro, el niel de la superfiie libre del agua, LSL, aguas arriba del ertedero Para ada abertura de la álula, se mide la arga, h, del ertedero alibrado, omo la diferenia entre el niel de la resta el de la superfiie libre del agua, una ez se haa estabilizado el flujo h L SL L 0 () l anal está diidido en 5 seiones n ada una de éstas se tomarán leturas del fondo del anal, de la superfiie libre del niel del esalón Las profundidades del flujo, i, en ada seión, se alulan restando la letura en la superfiie libre, de la letura en el fondo del anal o de la letura en el esalón, según sea el aso i L fondo L SL (4) ó i L esalón L SL (5) La altura z en ada seión del esalón se alulará restando la letura en el esalón, de la letura en el fondo del anal, así: z L fondo L esalón (6) l audal,, se puede onoer haiendo su letura en el medidor eletromagnétio de flujo o por medio de un ertedero patrón, ua euaión de alibraión se onoe ste proedimiento se repetirá para diferentes audales suela de Geoienias Medio Ambiente
68 NRGÍA SPCÍFICA Y FLUJO CRÍTICO 5 RGISTRO D DATOS XPRIMNTALS A ontinuaión, se presenta una forma de tabular los datos medidas requeridos para el desarrollo de la prátia, on las euaiones neesarias para ada parámetro TABLA Registro de datos experimentales para las profundidades el perfil del flujo MDICIÓN L fondo L esalón L superfiie z SCCIONS TRAN SVRSALS 0 4 5 6 7 8 9 0 4 Para deterar el tipo de flujo de aproximaión, se alula el número de Froude en la seión (), on la siguiente euaión: F g B g (7) La profundidad rítia, teória, se alulará on la euaión (9), así: g B os (9) la altura rítia del esalón, z, se deterará on la euaión (), de la siguiente manera: Δz os F os os F () stos datos se registrarán de la siguiente forma: TABLA Registro de datos medidos alulados para diferentes audales NSAYO No h(m) (l/s) 0 4 4 F suela de Geoienias Medio Ambiente
MANUAL D PRÁCTICAS D LABORATORIO D HIDRÁULICA 69 Para alular la energía espeífia la energía total de Bernoulli, en ada seión, se utilizan las siguientes euaiones: os g A H z os g A (4) () Nótese que: H = + z Los datos álulos se registran en las siguientes tablas: TABLA Tabulaión de alores de energía espeífia del flujo a traés del esalón NSAYO No (l/s) (m /s) 0 4 5 6 7 8 9 0 4 TABLA 4 Tabulaión de alores de energía total del flujo a traés del esalón No (l/s) (m /s) H0 H H H H4 H5 H6 H7 H8 H9 H0 H H H H4 6 RSULTADOS Y GRÁFICOS Proesada la informaión, los resultados se podrán expresar de una manera gráfia Conjuntamente on la ura teória de s, se dibujarán las uras experimentales obtenidas de las Tablas Véase la Figura 0 suela de Geoienias Medio Ambiente
70 NRGÍA SPCÍFICA Y FLUJO CRÍTICO FIGURA 0 Curas teória experimental de s, para diferentes audales Además, se debe dibujar la ura o línea de energía total, H, para un audal deterado, a partir de las Tablas 4 7 CONCLUSIONS Y RCOMNDACIONS Las que se onsideren pertinentes 8 CUSTIONARIO 8 Por qué la energía espeífia en las seiones (), (4), (5) (6) deree suesiamente? 8 Por qué la energía espeífia aumenta suesiamente en las seiones (7), (8), hasta la seión ()? 8 Verifique que en las seiones (0), (), hasta la seión (5), el flujo es subrítio 84 Verifique que la teória ourre efetiamente en la resta del esalón, es deir, en la seión (6) 85 Compruebe que en las seiones (7), (8), hasta la seión (), el flujo es superrítio 86 Cómo ariarían el perfil hidráulio la energía espeífia del flujo a lo largo del anal, si el flujo de aeso al esalón fuese superrítio? 87 ué ourriría si z6 fuese menor que z? 88 ué ourriría si z6 fuese maor que z? 89 Calule el error relatio total en la estimaión de z de suela de Geoienias Medio Ambiente