Nombre Lineal m=positiva. a =positiva m=negativa a =negativa Ecuación y = m + b H de (vertice, punto máimo, mínimo) m= pendiente b= intercepto en Y K k = f( h) Cuadrática 0-3 - - 0 3 - - -3 - -5 y = a + b + c y = a( h) + k y = ai g( ) + k y = a( )( ) b h = a + h = k = f( h) Valor Absoluto y = a g( ) + k 0-3 - - 0 3-0.5 - -.5 y = a m + b + k g( ) = m + b Cuando g( ) h = k = f( h) - -.5 Radical 0 0 3 5-0.5 - -.5 y = a g( ) + k g( ) = m + b Cuando g( ) h = k = f( h) - -.5 Racional P( ) y = Q( ) k = f( h)
Nombre Imagen Intercepto Intercepto y Dominio Rango Lineal I (.?.,0) I (0,.?.) Es el valor de cuando y Es el valor de y cuando Cuadrática I (.?.,0) Es el valor de cuando y I (0,.?.) Es el valor de y cuando a= postiiva k, + [ [ a= negativa,k ] ] Valor Absoluto I (.?.,0) Es el valor de cuando y I (0,.?.) Es el valor de y cuando a= postiiva k, + [ [ a= negativa,k ] ] Radical I (.?.,0) Es el valor de cuando y I (0,.?.) Es el valor de y cuando a= postiiva k, + [ [ a= negativa,k ] ] Racional I (.?.,0) Es el valor de cuando y I (0,.?.) Es el valor de y cuando Esto sucede cuando p()=0 menos Asintota Vertical Y puntos faltantes Tres posibles casos o ) o ) AH o 3= Caso eacto (no evaluado aquí) Nota: Revisar cada caso y si cruza AH
Nombre Lineal Imagen Asìntota Vertical Asintota Oblicua Cuadrática Valor Absoluto Radical Racional Eiste Asintota Vertical cuando Un factor de Q()=0, y no es simplificable con un factor de p() Si Q()=(-)(+3) Serán asintotas verticales (-)=0 o sea = (+3)=0 o sea =-3. Ocurre cuando la división de P( ) r = [ m + b] + Q( ) Q( ) Donde m + b es la ecuación de la línea a la cual la grafica tiene en el infinito. Si una grafica tiene AH no tiene AO y viceversa 3
Nombre Lineal Imagen Asintota Horizontal Cruce Asintota Horizontal Cuadrática Valor Absoluto Radical Racional Mayor _ Ter min o _ P( ) = p n AH = Mayor _ Ter m min o _ Q ( ) = q p ) constante: AH = q p ) AH = = q m n n m 3) AH p p = = = ± = q q Hay Cruce si eiste tal que cumpla P( ) AH = Q ( )
APLICACIONES DE FUNCIÓN LINEAL Desarrollar un ejercicio de aplicaciones tiene tres pasos:. Recopilar los datos de la realidad. Elaborar un cuadro o modelo simplificado con los datos de la realidad Y= mx b Ingresos Totales: es el resultado de sumar los ingresos Ingresos Variables m= precio unitario X= cantidad totales del producto vendido Ingresos Fijos Es el valor constante de los ingresos (ejemplo un alquiler) 3. Elaborar un modelo matemático a partir del modelo o cuadro simplificado En el caso de la ecuación lineal, el modelo general de aplicación es: Precio Unitario Cantidad Ventas Dato 500 lps/camisa 5000 unidades Dato 00 lps/camisa 8000 unidades Paso : definimos modelo matemático Costos Totales: es el resultado de sumar los Costos variables mas los Utilidades Totales: es el resultado de sumar los Utilidades Costos Variables m= costo unitario X= cantidad totales del producto vendido Utilidades Variables m= margen unitario X= cantidad totales del producto vendido Costos Fijos Es el valor constante de los Costos (ejemplo un alquiler) Utilidades Fijos Es el valor constante de los Utilidades (ejemplo un alquiler) Variable = Unidades Variable y = Precio Unitario Función lineal: Y=m+b Paso 3: Calculamos la pendiente m y y y m = = Y Dato 5000 unidades 500 lps/camisa Dato 8000 unidades 00 lps/camisa y 00 500 300 m = = = = 8000 5000 3000 0 CASO : Dados dos puntos encontrar la ecuación de la demanda. En una investigación del comportamiento de la demanda de los clientes de la empresa A, se observo que al vender camisas a 500 lempiras por camisa, se venden al mes 5000 unidades, y a un precio de 00 lempiras por camisa, se vendieron 8000 unidades. Paso : definimos modelo Paso : Calculamos la ecuación ( y y) = m( ) Elegimos el punto (5000,500) ( y 500) = ( 5000) 0 5
Simplificamos y = + 500 + 500 0 y = + 000 0 Paso 5: verificamos X=5000 y = (5000) + 000 0 y = 500 X=8000 y = (8000) + 000 0 y = 00 APLICACIONES DE FUNCIÓN CUADRÁTICA. Desarrollar un ejercicio de aplicaciones tiene tres pasos:. Recopilar los datos de la realidad 5. Elaborar un cuadro o modelo simplificado con los datos de la realidad 6. Elaborar un modelo matemático a partir del modelo o cuadro simplificado En el caso de la ecuación lineal, el modelo general de aplicación es: Y= p()q() b Ingresos Totales: es el resultado de sumar los ingresos Ingresos Variables p()= ecuación del precio que varia según la cantidad Q()=ecuación de la cantidad normalmente es simplemente Q()= Ingresos Fijos Es el valor constante de los ingresos (ejemplo un alquiler) Paso 6: Resolvemos calcular el valor del precio para 000 unidades y = (000) + 000 0 y = 600 Costos Totales: es el resultado de sumar los Costos Utilidades Totales: es el resultado de sumar los Utilidades Costos Variables p()= ecuación del precio que varia según la cantidad Q()=ecuación de la cantidad normalmente es simplemente Q()= Utilidades Variables p()= ecuación del precio que varia según la cantidad Q()=ecuación de la cantidad normalmente es simplemente Q()= Costos Fijos Es el valor constante de los Costos (ejemplo un alquiler) Utilidades Fijos Es el valor constante de los Utilidades (ejemplo un alquiler) 6
Siempre debemos recordar que Utilidad Total = Ingreso Total Costo Total mplo: Una empresa de sillas de metal calcula su precio en función de la demanda con la formula = -p+00. Cada silla le cuesta 0$, cada mes se tiene un costo fijo de 300$, y la empresa recibe una ayuda de gobierno de 500$ al mes Determine a) formula del ingreso total b) Formula del costo total c) Formula de las utilidades totales d) Calcule la utilidad total máima e) Justifique que es la utilidad máima f) Elabore la grafica Paso : Elaborar el cuadro general de aplicaciones Y= p()q() b Ingresos Totales: Costos Totales Utilidades Totales: Ingresos Variables El p() lo obtenemos de la ecuación = -p+00 y Q() casi siempre será igual a X Costos Variables Cada silla cuesta 0$ Utilidades Variables Ingresos Fijos El estado le da un ingreso de 500$ Costos Fijos El costo total 300$ Utilidades Fijos Con la información recopilada la presentamos de manera matemática. Despejamos para p = p + 00 00 = p ( 00)( ) = ( p)( ) (00 ) = p (00 ) p = Y= p()q() b Ingresos Totales: Costos Totales Ingresos Variables (00 ) p = Q = (00 ) ( p)( Q) = Costos Variables 0$() Planteamos las formulas finales (00 ) I ( ) = + 500 C( ) + 300 Con estas formulas podemos calcular la de utilidad U()=I()-C() Sustituimos (00 ) U()= + 500 0 + 300 -[ ] 00 u( ) = + 500 0 300 Ingresos Fijos 500$ Costos Fijos 300$ 7
00 u( ) = + 500 0 300 u( ) = 600 + 00 0 u( ) = + 580 + 00 El punto Máimo o mínimo se calcula con b h = a (580) h = ( / ) h = 60 Utilidad máima o minima se calcula sustituyendo h en la ecuación U() (60) U (60) = + 580(60) + 00 = 336600$ Respuesta aplicada: Con una producción 60 unidades se tiene una utilidad de 336,600$ Este punto es máimo porque el coeficiente a que acompaña cuadrado es negativo y la forma de la grafica es Para el intercepto en y Iy(0,?) (0) u( ) = + 580(0) + 00 0 Iy(0,00) Para el Intercepto en I(?,0). a=-/ b=580 c=00 ± ( / ) (580) (580) ( / )(00) ± + ( / ) 580 (580) 00 580 ± 336600 ( / ) Simplificamos lo que esta dentro de la raíz 336600 68300 850 075 5 85 5 683 3 56 3 87 Nos queda 580 ± 30 37 ( / ), = 60 ± 60 37 8
Dos casos uno positivo = 60 + 60 37 = 30.378 Y otro negativo = 60 60 37 = 0.377639 I (30.3, 0) I (-0.38, 0) Para elaborar la grafica elaboramos tabla de valores para evitar equivocaciones: Punto Y I -0.38 0 Iy 0 00 h 60 336600 I 30.3 0 Elaboramos la grafica 9