. EJERIIOS SORE ONEPTOS ÁSIOS. En la figura, el ángulo O mide 0º y el ángulo O mide la mitad del ángulo O. Entonces, la medida del O es: 0 x/ x O. 0º. 0º. 0º. 60º E. 80º Sea mo = x, luego mo = x/. Se tiene x x 0 x 80 60 x 0. Si dos planos diferentes se intersecan, su intersección es. Un punto.. os puntos. Una única recta. os rectas diferentes E. Falta información Esto es uno de los axiomas de la Geometría Euclidiana.. En la figura, m m, m m cuál de las siguientes expresiones es siempre verdadera? m m. m m. m m. m m. m m E. NL m m m on la información dada las parejas de rectas perpendiculares están libres, luego pueden ser giradas y seguirían satisfaciendo los datos dados. Por tanto no puede afirmarse ni, ni, ni, ni. m m m. R, S y T son tres puntos colineales como se muestran en la figura. Si ST = x + y RS es la mitad de ST, entonces la longitud de RT es R S T. x. x 6. x +. 6x E. 6x + 6 ado que los puntos son colineales, se tiene RT = RS + ST = ST ST ST (x +) = 6x + 6
5. xº yº 50º 0º 0º partir de la información indicada en la figura, el valor de y es:. 70º. 0º. 0º. 00º E. 50º Sean, y los puntos indicados en la figura, y sean m =, m =. Se tiene = 50, por ser opuesto por el vértice con el ángulo que mide 50 y = 80 0 = 50. El ángulo que mide y es un ángulo exterior con respecto al, luego su medida equivale a la suma de los ángulos internos no adyacentes, es decir y = + = 50 + 50 = 00 6. xº 90º E xº 0º F En la figura, si, el valor de x es:. 50º 70º. 0º. 0º E. 0º ado que las rectas son paralelas, x = mfe, por ser ángulos correspondientes. su vez este ángulo por ser externo al E, es la suma de las medidas de los ángulos E y E. Se tiene me = 90 y me = 80 0 = 0, luego x = 90 + 0 = 0 7. 0 x 70º z partir de la información brindada en la figura, el valor de z resulta:. 0º. 0º. 70º. 80º E. 0º Las marcas en el ángulo, indican que es bisectriz de dicho ángulo, luego x = 0 y m = 80. l considerar el, se tiene z = 80 80 70 = 0 8. y E 0º x En la figura,, E, entonces el valor de y es:. 0º. 0º. 5º. 50º E. 60º ado que E, se tiene x = 80 0 = 50 por ser ángulos internos al mismo lado, entre paralelas y como, el es triangulo rectángulo y por tanto y es el complemento de x, luego y = 90 50 = 0
9. x En la figura, el valor de x es 5º 0º. 5º. 0º. 5º. 65 E. 75º Se tiene m = 80 0 = 0, x = 5 0 = 75 ya que el es externo al 0. 50º xº Se tiene me = 80 50 = 0, E por ser opuestos por el vértice y por el teorema de semejanza, E, luego m = x = me = 0.. ; E y F son puntos medios de y respectivamente; Si = 0 y =, entonces EF =?. 5. 6. 9. E. En la figura, el valor de x es. 0º. 0º. 5º. 50º E. 60º E E F x x y y 0 Sean E = E = x, F = F = y (E y F son puntos medios de y respectivamente) Se tiene = = 0 x () y también = = y () Igualando () y (): 0 x = y l simplificar se obtiene y x = (). Por otro lado se tiene EF = E + + F = x + (0 x) + y = 0 x + y = 0 + (y x) l introducir () resulta EF + 0 + =
. En la figura º + º = 55º, entonces m =?. 75º. 05º. 7.5º. 0º E. 5º En el, tenemos que m = 80 m m = 80 (m m) () Se tiene que m = 80 y m = 80, luego m + m = 60 ( + ) omo + = 55, resulta m + m = 60 55 = 05 Sustituyendo en () obtenemos m = 80 05 = 75. Para qué valor de x, los segmentos y son paralelos? P 65 xº 5º 5º. 5. 50. 65. 75 E. 0 omo el ángulo a la izquierda de es congruente con el ángulo a la derecha, también mide 5. Luego m = 80 5 = 0. omo el P, es recto en P, mp = 90 5 = 65 Para que y sean paralelos, el ángulo debe ser el suplemento del ángulo ya que serían ángulos internos al mismo lado entre paralelas o sea m = 80 0 = 50. Se tiene entonces x + 50 + 65 = 80 x = 80 50 65 = 65. Si 0º, uál es el valor de x? 0º E xº F. 70º. 50º. 0º. 00º E. 80º Trazamos EF, paralela a las rectas y, luego mef = 80º 0º = 60º y mfe = 80º xº. demás se tiene mef + mfe = me = 90, luego 60 + (80º xº) = 90. l despejar x, resulta x = 50
5. Si la medida de un ángulo es tres veces la medida de su suplemento, cuál es la medida de dicho ángulo?. 0º. 60º. 90º. 0º E. 5º Sean la medida del ángulo buscado y la medida de su suplemento, luego + = 80 = 80. El ejercicio indica que =, luego = (80 ) = 50 = 50 = 5. 6. os veces la medida de un ángulo es 0 menos que cinco veces la medida de su complemento, cuál es la medida de dicho ángulo?. 0º. 60º. 90º. 0º E. 5º Sean la medida del ángulo buscado y la medida de su complemento, luego + = 90 = 90. l interpretar la información del ejercicio se tiene = 5 0 = 5 (90 ) 0 = 50 5 0 7 = 0 = 60 7. 0º 60º 60º xº xº m m En la figura las rectas m y m son paralelas. Entonces el valor de x es. 70. 50. 85. 5 E. 0 Sean,, y los puntos indicados en la figura. l trazar por una paralela a m y m, se forman ángulos alternos internos entre paralelas, y por tanto congruentes con los ángulos indicados inicialmente, luego x + 60 = 0 x = 0 60 = 50. OTR FORM: 60º xº m 0º xº m l prolongar, sea el punto donde corta a la recta m Se tiene m = x, por ser alterno interno con el ángulo que se forma en. El angulo es externo al, luego 60 + x = 0 x = 50 8. En la figura las rectas Entonces el valor de x es 8 (x 6) m m y m son paralelas. (x + 0). 70. 50. 85 m. 5 E. 0 omo las rectas son paralelas se tiene (x + 0) + (x 6) = 8 x + = 8 x = 80 x = 0 5
9. P Q S R Si m P = 90º,,, entonces m R es. 0º. 5º. 60º. 90º E. Falta información. Sean y las medidas de los ángulos indicados en la figura. Se tiene + = 90. omo SQR = y, se tiene msqr = 80. () Similarmente se obtiene que mqsr = 80. () l sumar () y () resulta msqr + mqsr = (80 ) + (80 ) = 60 ( + ) omo + = 90, (msqr + mqsr) = 60 90 = 70 msqr + mqsr) = 5 Luego mr = 80 (msqr + mqsr) = 80 5 = 5. 0. En una recta se toman los puntos, y, de manera que es punto medio de O O punto O, tal que O. Encuentre el valor numérico de. O. Se toma otro.... E. Falta información. O Se tiene = = x, por ser punto medio de. Sea O = y, luego O = x y, O = x + y. l sustituir estos valores en la expresión dada se tiene: O O = (x y) (x + y) = y, O = y, luego O O y O y Nota: en ejercicios de este tipo no se admite asignar valores arbitrarios, ya que se estaría resolviendo para valores específicos. El planteamiento es general. uando se afirma que O, está indicando que O es un punto cualquiera que se encuentra entre y, y el valor numérico encontrado es valido para cualquier punto O que esté entre y. 6
. EJERIIOS SORE TRIÁNGULOS Y URILÁTEROS. Un poste cercano a un árbol mide m y su sombra en un momento dado mide.8 m, entonces si la sombra del árbol en ese momento mide m, la altura del árbol es. m.. m.... E. m.8 h ado que los rayos del sol prácticamente caen paralelos y que el poste y el tronco del árbol son perpendiculares al piso, el árbol y su sombra y la línea que une sus extremos forman un triángulo semejante al formado por el poste su sombra y la línea que une sus extremos, tenemos h h..8.8. Una varilla clavada en el piso y cercana a un árbol mide m y su sombra mide.5 m, entonces si el árbol mide 6 m, su sombra mide. 6 m. 0 m. 8 m. 5 m E. 9 m 6 El problema es similar al anterior, en este x.5 6.5 caso se tiene x 8 6.5 x. El perímetro de un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa igual a 0 redondeado a dos decimales es. 7.07......99 E. 50 En un triángulo rectángulo isósceles, la hipotenusa mide 0 x 0 x 5 Su perímetro será P 0 5 0 0. x, siendo x la longitud de sus catetos, luego 7
. En el triángulo rectángulo de la figura, los valores de x e y, respectivamente son y 8 x. y. 5 y 6. 9 y 8. 6 y 8.9 E. y 8.9 Por el teorema de la altura se tiene y la hipotenusa mide + x = 0 x 8 6 x 6 Por el teorema de los catetos se tiene y 0 80 y 80 5 8.9 5. Un método para encontrar la altura de un edificio es colocar un espejo en el suelo y después situarse de manera que la parte más alta del edificio pueda verse en el espejo qué altura tiene un edificio si una persona cuyos ojos están a.5 m del piso observa la parte superior del edificio cuando el espejo está a 0 m del edificio y la persona está a 6 m del espejo?. 0 m. 0 m..5 m. 0 m E. 6 m h ado que las leyes de la óptica indican que en un espejo plano, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, se forman dos triángulos rectángulos semejantes, luego.5 6 0 h.5 h 0 metros. 0 6 6. La altura respecto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 0 m y los segmentos que determina sobre la hipotenusa son entre sí como 7 es a. Entonces la longitud del cateto menor es. m. 7.07 m..5 m. m E. 5.5 m a m 0 n Por el teorema de los catetos Sean m y n los segmentos determinados por la altura sobre la hipotenusa, con m < n, luego m 7 n m. n Por el teorema de la altura m n 0 m m 00 m 50 m 5 y n 0 La hipotenusa mide c = m + n = 5 a = m(m + n) = 5 5 50 a 50 5 6.5 8
7. El perímetro de un rectángulo es 85 m y su diagonal mide.5 m. Por lo tanto los lados del rectángulo miden:. 5 m y 7.5 m. 0 m y.5 m. 7.5 m y 5 m. 0m y.5 m E. 0m y.5 m a b.5 Sean a y b los lados del rectángulo. Se tiene P = (a + b) = 85 a + b =.5 () a b.5 056.5 () espejando b de (), e introduciendo en () a + [.5 a ] l sustituir en () se obtiene b = 0 b =.5. = 056.5 a 85a 750 0 a =.5 a = 0 8. El perímetro de un triángulo mide 50 y sus lados son proporcionales a, 6 y 8. Entonces su lado mayor mide. 50/. 5/9. 00/9. 5 E. 00/9 a b c Sean a, b y c las longitudes de los lados, con a < b < c, luego P = a + b + c =50 y 6 8 a b c a b c 50 8 50 00 Por las propiedades de las proporciones c 6 8 6 8 8 8 9 9. En un triángulo rectángulo, un lado mide 06, otro 5 5. Si el lado desconocido es el menor, cuánto mide?. 7. 8. 9. 0 E. omo 06 5 5, la hipotenusa de este triángulo es 06, luego el cateto menor es a [ 06 ] [5 5 ] 75 9 7 0. El área del triángulo de la figura, redondeada al entero más cercano, mide:... 7. E. 5 6 9 7 plicamos la fórmula de Herón: s s as bs c, donde s es el semiperímetro. Se tiene 679 s, luego 6 7 9 5 0 0.97 9
. 6 b uál es el área del triángulo de la figura?. 0.. 0. 8 E. 60 0 ado que es un triángulo rectángulo su área es la mitad del producto de sus catetos. El cateto desconocido mide b 0 6 00 6 6 8 Por tanto (6) (8) =. Si un rectángulo de m de ancho y 0 m de largo tiene la misma área que un triángulo rectángulo isósceles, entonces la longitud de cada cateto del triángulo es. 7.5. 5. 5. 5 E. 0 x 0 El área de un triángulo rectángulo isósceles está dada por x x, donde x es la longitud de sus catetos, luego tenemos que el área del rectángulo es 0, por tanto x 0 x 60 5. El área de un trapecio isósceles de bases m y 0 m y cuyos lados congruentes miden 0 es. 0 m. 60 m. 8 m. 80 m E. 6 m 0 h 0 0 Por ser un trapecio isósceles, al proyectar la base menor sobre la base mayor, la base mayor queda dividida en tres segmentos de 6, 0 y 6 metros. plicando el teorema de Pitágoras, se tiene h 0 6 6 8 6 0 6 0 8 8 m plicando la fórmula para el área de un trapecio: b h resulta 0
. La siguiente figura consta de siete cuadrados congruentes. El área total de esta figura es 6 cm. Entonces el perímetro de la figura es:. 6 cm. cm. cm. 8 cm E. 8 cm Observamos que el perímetro está formado por 6 veces el lado de cada cuadrado. omo hay siete 6 cuadrados congruentes, cada uno tiene un área de x 9 7 x. Por tanto el perímetro de la figura es P = 6 = 8 cm. 5. H G F E Si EG es un cuadrado y el área del cuadrilátero FH mide 6 cuánto mide? (las marcas iguales representan partes congruentes). 9..7. 8. 5. E. 8 La figura indica que,, F y H son puntos medios de los lados del cuadrado EG, luego su área es el doble del área del cuadrado FH, es decir [EG] = 6 = luego 8 6. Se tiene un trapecio donde es la base menor. = 0 cm. y = 0 cm. Las medidas de los ángulos, y son 0, 50 y 0 respectivamente, entonces =?. 60 cm.. 50 cm.. 0 cm.. 0 cm. E. 0 cm. 0 0 0 60 x 0 y h Sean y las proyecciones de y sobre la base mayor y sean = x, = y. Por ser paralela a, m = 80 m = 80 0 = 60 El es un triángulo 0 60, luego h = = 0 y y = = 0 También el resulta ser un triángulo 0 60, con su cateto menor = h = 0, luego = 0 0 Tenemos entonces que la base mayor mide = x + 0 + y = 0 + 0 +0 = 50.
7. Si las medianas en un triángulo rectángulo, trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos miden 5 cm y 0 cm, entonces la medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo es. 5 0 cm. cm. 5 cm.. cm E. 5.66 cm N M Sean M y N los puntos medios de y respectivamente. a c Sean M = 5 y N = 0, = a, = c, luego M y N. Sea la hipotenusa = b plicando el teorema de Pitágoras en los M y N a M M c 5 () c N N a 0 () l sumar () y () resulta 5c 5a 65 a c 65 5 b b 5 5 8. En la figura, los cuadrados y EFGH son congruentes. = 0 cm y G es el centro del cuadrado. Entonces el área total cubierta por el polígono HEF es G H F. 00 cm. 0 cm. 50 cm. 75 cm E. 00 cm E ado que los cuadrados son congruentes sus áreas son iguales y como el lado mide 0, cada uno tiene un área de 00 cm, pero ellos comparten el G de manera que para el área total del polígono a la suma de las áreas de los cuadrados debemos restarle el área de este triángulo para que sea considerada solo una vez. ado que G es el centro del cuadrado, el área del triángulo es la cuarta parte del área del cuadrado o sea 5 cm. Luego el área buscada es = [] + [EFGH] [G] = 00 + 00 5 = 75 cm
9. es un cuadrado, el E es isósceles, F = F. Entonces, la medida del ángulo EF es igual a E F. 50. 5. 90. 60 E. 5 omo el E es isósceles, E = E y por ser un cuadrado, E es el punto medio de y por tanto E = F, ya que por ser F = F, F es punto medio de. Luego el EF resulta ser triangulo rectángulo isósceles y como consecuencia mfe = 5. El ángulo buscado es el suplemento del FE, luego mef = 80 mfe = 80 5 = 5 0. F E En la figura, F es un paralelogramo., y son colineales. Si = 8, = 0 y FE =. uánto mide E?. 0.. 5. 0 E. 5 Se tiene que F = = 8, ya que F es un paralelogramo. E = F FE = 8 = 6. Por otro lado y F son paralelas, luego FE E, ya que son alternos internos entre paralelas y FE E, ya que son opuestos por el vértice. omo consecuencia se tiene FE E. Sea E = x, luego E = E = 0 x. Por la semejanza anterior, E E 6 0 x 6x 60 x 8x 60 x 0 FE E x. En un trapecio isósceles, la diferencia de las bases es de 0 m. La altura mide m. y el perímetro 76 m. Entonces su área es:. 86 m. 76 m. 6 m. 88 m E. 00 m b omo b = 0, al proyectar la base menor sobre la base mayor se forman tres segmentos de longitudes 5, b y 5 como se muestra en la figura. Luego como la altura es, en los extremos del trapecio se forman triángulos rectángulos de catetos 5 y. plicando el teorema de Pitágoras hallamos que la hipotenusa mide lo cual corresponde a la longitud de los lados no paralelos del trapecio. onsiderando que el 5 b 5 perímetro mide 76 m. se tiene: b + () + (5) = 76 b = 0 l considerar que b = 0, resulta = 0 plicando la fórmula para el área de un trapecio, el área buscada resulta b h 0 0 00 m
. En la figura es un cuadrado de lado cm. y E = cm., entonces el área del triángulo F en cm es igual a F E.. 6. E. 8. ado que es un cuadrado y E son paralelas, resultando que F EF por el teorema de semejanza, ya que F EF por ser alternos internos entre paralelas y F FE por ser opuestos por el vértice. e la semejanza resulta que F F F F () E F F omo = F + F =, resulta F. Por tanto el área buscada resulta [F] F 6. Sea un triángulo isósceles con = = 0 y = 6. Sea la mediana trazada sobre el lado y sea G el baricentro. Entonces el área del triángulo G es. 6. 8. 0. E. Por ser mediana, es punto medio de, o sea = = 8. 0 0 8 8 G Ya que es isósceles, además de mediana también es altura, luego m = 90. plicando el teorema de Pitágoras hallamos que 0 8 6 6 omo G es el baricentro, G = G y como = G + G = 6, resulta G =. Por tanto el G resulta ser un triángulo rectángulo con catetos de longitudes 8 y, por tanto su área es [G] G 8 8
. Sea un triángulo isósceles con = = 7 cm y P un punto cualquiera del lado, diferente de los puntos extremos. Por P se trazan una paralela a que corta a en Q y una paralela a que corta a en R. El perímetro del cuadrilátero QPR es Q R. 8.5 cm. 7 cm. cm. 5 cm E. 68 cm P ado que QP y RP, QPR es un paralelogramo y de ahí Q = RP y R = QP. el paralelismo de los segmentos señalados anteriormente también resulta que los QP y RP son semejantes con el y por tanto también son isósceles y de ahí Q = QP y RP = R. Por tanto el perímetro del cuadrilátero QPR, resulta P = Q + QP + R + RP = (Q + Q) + (R + R) = + = 7 + 7 = 5. e acuerdo a la información que se proporciona en la figura, el segmento de mayor longitud es 70 55 60 60.... E. ado que la suma de los ángulos internos de un triángulo suman 80, en el, resulta que el ángulo mide 80 70 60 = 50 y en el, m = 80 55 60 = 65 Una de las propiedades de los triángulos indica que el lado mayor se opone al ángulo mayor y viceversa. l comparar las medidas de los ángulos del, resulta que el mayor mide 70 y su lado opuesto es, luego es mayor que y. Pero al considerar el, su ángulo mayor es 65 y el lado que se le opone es y por tanto >. Luego el lado mayor de la figura resulta 5
6. En la figura es un cuadrado de lado, MN es equilátero, El área de MN es igual a M N. 0.866. 0.707. 0.75. 0.5 E. 0.6 El área de un triángulo equilátero está dada por x, donde x es la longitud de su lado, luego debemos encontrar primero cuanto mide cada lado del triángulo equilátero MN. omo es un cuadrado y M = N = x, se tiene que M N y de ahí M = N y como =, resulta M = N y por tanto el MN es rectángulo isósceles, luego x MN x N N x x omo =, resulta N N El N es un triángulo rectángulo luego al aplicar el teorema de Pitágoras resulta x N N x l desarrollar, simplificar y resolver la ecuación resultante se obtiene x 6 [MN] 6 0.6 Por tanto el área buscada es 7. La siguiente figura muestra dos cuadrados de lado cm., donde EFG se ha obtenido de al girar este cuadrado 5 sobre el vértice. Entonces el área sombreada es F H E G.. 0.5. 0.5. E. 0.75 l girar 5, la recta diagonal se convierte en la recta la cual equivale a la recta diagonal F, por tanto,, F son colineales. demás se tiene mfh = 5 y por tanto FH es un triángulo rectángulo isósceles con F = H Luego [GH] = [GF] [FH] Por ser EFG un cuadrado de lado, su diagonal mide y como =, F = H = omo [GF] tiene como área la mitad de la área del cuadrado, que tiene lado de longitud, resulta [GH] 6
8. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, que también es isósceles, miden. 0. 5. 5. 75 E. 60 Por ser triángulo rectángulo isósceles tiene un ángulo de 90 y los otros dos ángulos congruentes, y dado que la suma de los ángulos internos de un triángulo suman 80, cada uno de ellos mide 5 9. En la figura es un cuadrilátero con. La diagonal es perpendicular al lado. m = 0, = y =. Entonces el área de es igual a. 6... E. 0 60 60 0 0 E 0 60 omo =, el es isósceles con m = 0 y m= 0 y su base =. l trazar una perpendicular desde a, sea E el pie de la perpendicular. Por ser isósceles, E también es mediana es decir E es punto medio de, luego se forman dos triángulos 0 60 con las hipotenusas = y catetos mayor E = E = Luego como el cateto mayor en un triángulo 0 60, es veces el cateto menor, en este caso se tiene E omo el es el suplemento del, resulta m = 80 0 = 60 y como m = 0, se tiene m = 0 y de ahí también el es un triángulo 0 60 con cateto mayor =. omo en todo triangulo 0 60, el cateto mayor es el cateto menor, se tiene = Finalmente tenemos [] = [] + [] = E 0. Se tiene un trapecio donde es la base menor. = 0 cm y = 0 cm. Las medidas de los ángulos, y son 0, 50 y 0 respectivamente, entonces el área del trapecio mide. 00 cm.. 00 cm.. 00 cm.. 00 cm. E. 00 cm. 0 Sean y las proyecciones de y sobre la base mayor y sean = x, = y. h 0 Por ser paralela a, m = 80 m = 80 0 = 60 0 60 El es un triángulo 0 60, luego h = = 0 y x 0 y y = = 0 También el resulta ser un triángulo 0 60, con su cateto menor = h = 0, luego 0 0 = 0 0 Tenemos entonces que la base mayor mide = x + 0 + y = 0 + 0 +0 = 50. 50 0 0 Luego el área del trapecio resulta [] = 00 7
. En la figura, m =, mp = mq = 90. Entonces la medida de H es P H Q. 80.. 90. E. omo mp = mq = 90, también mph = mqh = 90. PHQ es un cuadrilátero convexo y en todo cuadrilátero convexo la suma de sus ángulos internos es 60, luego mh + + 90 + 90 = 60 y de ahí mh = 80. Si las medianas en un triángulo rectángulo, trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos miden 5 cm y 0 cm, entonces la medida en cm de la hipotenusa del triángulo rectángulo es. 5. 6. 8. 9 E. 0 N M Sean M y N los puntos medios de y respectivamente. a c Sean M = 0 y N = 5, = a, = c, luego M y N. Sea la hipotenusa = b plicando el teorema de Pitágoras en los M y N a M M c 0 () c N N a 5 () l sumar () y () resulta 5c 5a 5 a c 5 6 b b 6 6 5 8
. En la figura, los dos cuadrados tienen el mismo centro. La razón entre el lado del cuadrado menor y el lado del cuadrado mayor es /5. Entonces la razón entre el área sombreada y el área del cuadrado mayor es H E b G F a Sean b la longitud del lado del cuadrado menor y a la longitud del lado del cuadrado mayor, luego b a 5 Por la simetría de la figura se deduce que el área sombreada, es decir el trapecio FE, representa la cuarta parte de la diferencia entre los dos cuadrados, luego [FE] [] [EFGH] y de ahí [FE] a b [] a y [EFGH] b La razón buscada será omo b, resulta a 5. /6. /00. /. /5 E. /9 a b [FE] a b b [] a a a [FE] [] 5 00. En la figura, = =, = = y m = 60, entonces la longitud del segmento es. 5. + 5.. E..5 E l unir con, obtenemos un triángulo equilátero, ya que = y m = 60. Se tiene que E, ya que sus tres pares de lados son congruentes, de ahí resulta m = m y por tanto es bisectriz del l prolongar, sea E el punto donde corta a. Luego como el es equilátero, E además de bisectriz es mediatriz y por tanto E y E = E =. Resulta entonces que el E es rectángulo, con hipotenusa = y un cateto, E =. Por el Teorema de Pitágoras, E 5 Por otro lado E es una altura en un triángulo equilátero de lado y por tanto E Finalmente obtenemos que = E E = 5 9
5. En la figura el cuadrilátero E es un trapecio tal que E = 5 cm., = cm y la altura es cm. Sabiendo que es el punto medio del lado, el área del cuadrilátero O es E 5 b a O. cm. 7 cm. 0 cm. 0 cm E. 60 cm omo E, resulta que O EO, con razón de semejanza E 5 5 Sean a y b las alturas de los triángulos O y EO respectivamente, indicadas en la figura. ado que los elementos homólogos en triángulos semejantes están en la misma razón de semejanza, se tiene a. b 5 6 0 omo a + b = (la altura del trapecio), al considerar la razón anterior resulta a, b. l analizar la figura vemos que [O] = [E] [E] [EO] Tenemos que el área del trapecio E resulta 5 [E] El E, tiene base y altura, luego su área es [E] 7 0 Para el EO, resulta [EO] 5 50 [O] = 7 50 = 6. En la figura, es un cuadrado de lado 6 cm. y E = E = 5 cm., entonces la longitud de E es 09 cm. 5 cm.. 0 E. 6 Sean F y G los puntos medios de y respectivamente. Luego F = F = G = G = y FG = 6 omo E = E, el E es isósceles y por tanto E, F, G son colineales y EF y EG. El FE es rectángulo en F, luego por el Teorema de Pitágoras, EF 5. EG = EF + FG = + 6 = 0 E F G El FG también es rectángulo con EG = 0 y G =, luego E 0 09 0
7. En la figura, a partir de la información dada, cuál es el valor de x?. 76. 5... 5.8 E. 5 Se tiene E, por dato, y E, por ser opuestos por el vértice, luego E, por el teorema de semejanza. x 66 Luego x 5 E 0 5.8 x 8. es un paralelogramo. P es un punto de la diagonal. Trazamos por P paralelas a los lados del paralelogramo. Estas paralelas intersecan a los lados del paralelogramo en los puntos indicados en la figura. Sabiendo que el área de es 0 cm, entonces el área del cuadrilátero RQMN es igual a ado que RM y NQ, resulta que los cuadriláteros NPR, PQR, MPN y MQP son paralelogramos y los segmentos NR, RQ, QM y MN son diagonales de esos paralelogramos. Es sabido que una diagonal divide a un paralelogramo en dos triángulos congruentes, con áreas igual a la mitad del área del paralelogramo. Por tanto [RQMN] = [] = 0 9 6 66 0 E R N P Q. 0 cm 0 cm. 0 cm. 0 cm E. 50 cm M En el triángulo rectángulo cuál es la longitud del segmento? x. 5.. 0. 9 E. 7.5 asta aplicar el teorema del cateto: x 6 x
0. Sea un cuadrado. Por el vértice se traza un segmento que corta a la prolongación del lado en E, al lado en F y a la diagonal en G. Si G = y GF = cuál es la longitud de FE? H G F.. 0. 9. 8 E. 6 E Sea x la longitud de cada lado del cuadrado. esde G tracemos una perpendicular a y sea H el pie de esta perpendicular. Luego GH F. omo G = y GF =, resulta F = G H H e la semejanza se tiene H x y H = H = x x x F x omo G esta sobre la diagonal, HG = H = x x G HG e la misma semejanza se tiene F x. F F F Luego F = F = x x x omo es un cuadrado, y por tanto E. e ahí resulta que F EF e esta semejanza se tiene x FE F FE F F FE 8 x
. EJERIIOS SORE IRUNFERENIS Y POLÍGONOS. En la figura de la derecha si la medida de los arcos y son 0º y 80 respectivamente, entonces el valor de es. 0. 50. 60. 70 E. 80 Tenemos que m m ado que m m m m 60 y m m 80 0 0, tenemos que m m 0, luego m m 0 70. El triángulo está inscrito en un semicírculo de diámetro. Si = 8 y = 6, el área de la región sombreada tiene un valor de. 5.7.. 6.7. 6.07 E. 8 El área sombreada es la diferencia entre el área del semicírculo y el área del triángulo. El es rectángulo en, por estar inscrito en un semicírculo. Luego por el Teorema de Pitágoras, r = 5 8 6 0 Por tanto el área del semicírculo es El área del triángulo está dada por 5 r 5 86 El área buscada es = 5 5.7. El triángulo está inscrito en un semicírculo de diámetro. Si = 8 y =.8, el área de la región sombreada tiene un valor de. 5.7.. 6.7. 6.07 E. 8 Por el Teorema de Pitágoras, 8.8 6. omo el es rectángulo en, se tiene por el teorema del cateto 6 8 6. 0. Y de nuevo por el Teorema de Pitágoras resulta 6. = 6. ado que estos valores coinciden con los datos del ejercicio anterior, el área resulta la misma.
. X Y Z La circunferencia de la figura tiene radio y el arco XYZ tiene longitud. uánto mide la cuerda XZ?.... E. X O Z Sea la medida del ángulo central XOZ. La longitud de un arco está dada por s = r, con el ángulo medido en radianes. s Tenemos s = y r =, luego, es decir 90 r Luego XOZ es un triángulo rectángulo isósceles con XZ como hipotenusa y por tanto XZ = 5. En la figura el área del círculo mayor es m. El círculo menor es tangente internamente al círculo mayor y también es tangente a los lados del ángulo inscrito que mide 60. El vértice del ángulo inscrito y los centros de los círculos están alineados. Entonces el área del círculo menor es.. 9.. E. O O esde el vértice del ángulo inscrito, trazamos un diámetro. Sean O y O los centros de los círculos, mayor y menor respectivamente. Sea el otro extremo del diámetro trazado, el punto donde uno de los lados (el arriba) del ángulo corta a la circunferencia. Y sea el punto de tangencia de este lado del ángulo con el círculo menor. Sean R y r los radios de los círculos, mayor y menor respectivamente. Tenemos que O biseca al ángulo inscrito, luego mo = m = 0. omo es un diámetro del circulo mayor, m = 90 resultando que m = 60, y el es 0 60. ado que = R, se obtiene que = R, ya que es el cateto menor y la hipotenusa del omo es tangente al círculo menor en, O, es decir mo = 90 y de ahí mo = 60 Luego también el O es un triángulo 0 60 y su cateto menor O = r, mide la mitad de su hipotenusa, O. Se tiene O = r, por ser radio del circulo menor y de ahí O = O = R r. Luego O = O R r = r r R. omo el área del círculo mayor es R, el área del círculo menor es R r R 9 9
6. Q r T r P En la figura es el centro de la circunferencia de radio r y TP es un segmento tangente en T, de longitud r, entonces P mide. r. r. r. r 5 E. 5r omo TP es tangente a la circunferencia en T, mpt = 90. Luego aplicando el teorema de Pitágoras resulta P r r 5r r 5 7. 0 8 Los extremos de la figura son semicírculos, uál es el área de la región sombreada?. 80. 8. 0. 6 E. 6 + 80 omo el área sombreada únicamente son los extremos y estos son semicírculos, al unirlos se forma un circulo de diámetro 8, es decir de radio, luego r 6 8. O En la figura es un diámetro. Si m = 50, entonces m =?. 5. 50. 65. 90 E. 0 ado que m = 50, se tiene m = m = 5, por ser ángulo inscrito que subtiende dicho arco; m = 90, por estar inscrito en una semicircunferencia ( es diámetro). Luego la medida del ángulo buscado es: m = 80 m m = 80 5 90 = 65 5
9. En la figura, los círculos son tangentes y tienen radio igual a 0. Si se unen los centros de los círculos se forma un cuadrado. uál es el área de la región sombreada?. (00 00). 00 00. 00 00. 00 00 E. 00 00 El área de la región sombreada es la diferencia entre el área del cuadrado formado y las áreas de los cuatro sectores circulares que se forman. ado que la distancia entre los centros de dos círculos tangentes exteriormente, es la suma de las longitudes de los radios, resulta que el cuadrado formado tiene lado de longitud 0 y por tanto el área del cuadrado es 00. ada sector formado tiene un ángulo central de 90, luego entre los cuatro forman un circulo de radio 0, cuyas áreas suman entonces r 0 00 Por tanto el área buscada es: = 00 00 0. P En la figura, la medida del arco es 0, y la medida del P es 5. Las medidas del arco y el ángulo (en grados) son respectivamente. 00 y 5. 50 y 50. 00 y 50. 50 y 5 E. 5 y 50 ado que P es un ángulo exterior, formado por dos secantes, su medida es la semidiferencia de los las medidas de los arcos que intercepta. Es decir m m mp. e esta expresión despejamos m, resultando m mp m Introduciendo los datos se obtiene m 5 0 00 Por otro lado se tiene que el es un ángulo inscrito que subtiende el arco, luego m m 00 50 6
. La expresión (p + q) p = (r + s) r, se cumple en la situación representada por q r s s r q r p p p s q p r s q l recordar las relaciones métricas en una circunferencia, vemos que los productos de esta forma surgen cuando se tienen dos secantes que se cortan (también aparecen cuando hay semejanzas de triángulos) o una secante y una tangente que se cortan. partir de estas relaciones tenemos: En la figura, la relación es r s s p En la figura, la relación es r (r + s) = p (p + q), la cual es la misma expresión dada. La respuesta es ésta. Para estar más seguros vemos que resulta en las otras. En la figura, la relación es r s = p q y en la figura, r p p q Solo satisface y por tanto es la respuesta., que son diferentes a la dada.. En la figura se dan tres semicircunferencias mutuamente tangentes. y son diámetros de las circunferencias menores. El punto está en la semicircunferencia mayor.. Si =, entonces el área sombreada es igual a.... E. 9 El área de la región sombreada es la diferencia entre el área del semicírculo exterior menos las áreas de los semicírculos interiores. Sean r, r, R los radios del semicírculo menor, del semicírculo mediano y del semicírculo exterior respectivamente. Luego = r, = r y = R omo = +, se tiene R = r r o sea R = r r () l unir con y con, se forma un triángulo rectángulo, con como hipotenusa y como altura relativa a la hipotenusa. Por el teorema de la altura, r r r r () omo el área de un semicírculo está dada por l considerar () [ r r r r )] r l considerar () r r r, el área buscada es R r r r r r r r rr 7
. Las medidas de los arcos y se indican en la figura. La medida del es 0 0. 55. 60. 65. 0 E. 0 El es un ángulo inscrito en una circunferencia, por tanto su medida es la mitad de la medida del arco que subtiende, en este caso el arco. Tenemos que m 60 m m 60 0 0 0, luego m = m 60. En la figura, une los centros de los círculos tangentes., = 8 y = 0, entonces la longitud de la circunferencia pequeña es igual a.... E. 5 Sean R y r los radios de las circunferencias grande y pequeña respectivamente. omo las circunferencias son tangentes exteriormente, R + r = = 8 ado que el es rectángulo en, tenemos R 0 8 6 y r =. Luego la longitud de la circunferencia pequeña resulta = r = 5. La figura representa un hexágono regular, cuál es el valor de x? x.. 6. 6. 8 E. 9 6 Todo hexágono regular puede dividirse en seis triángulos equiláteros congruentes. En la figura se indica que x equivale al doble de la altura de cada triangulo: x = h omo el lado de cada triangulo mide 6, las alturas miden h 6 9 x h 8 8
6. 0. La figura representa un círculo inscrito en un cuadrado que a su vez está inscrito en otro cuadrado. es punto medio de uál es el área de la región sombreada?. 0.05. 0.08. 0.8. 0.5 E. 0.58 Si llamamos al área del cuadrado mayor, al área del cuadrado menor y al área del círculo, el área de la región sombreada resulta El lado del cuadrado mayor mide 0., luego su área es = 0.6 omo es punto medio = 0.. Los triángulos que se forman en cada esquina del cuadrado mayor, son rectángulos isósceles, y sus hipotenusas forman los lados del cuadrado menor, por tanto, el lado del cuadrado menor resulta 0. y su área es = 0. 0.08 omo el circulo está inscrito en el cuadrado menor, su diámetro es el lado de dicho cuadrado, y su radio es la mitad o sea r = 0., su área Luego = 0.6 0.08 +0.068 =0.8 r 0. 0.068 7. P Los segmentos y se cortan en P y son tangentes a las circunferencias en los puntos,, y. Si =, P = 9 uál es el valor de P?. 6.. 5. 5 E. 50 ado que P y P son segmentos tangentes a la circunferencia de la izquierda, desde un mismo punto, son congruentes, luego P = P = 9. omo = P + P, P = P = 9 =. 8. Seis triángulos equiláteros de cm. de lado se unen para formar un hexágono como se muestra en la figura. Se circunscribe un círculo alrededor del hexágono cuál es el área de la región sombreada?. ( ) cm. ( ) cm. ( ) cm. cm E. ( ) cm Tenemos que el área de la región sombreada es el área del circulo menos el área del hexágono. El radio del circulo es la longitud del lado de los triángulos, es decir r =, luego su área es r El área de cada triángulo equilátero es reduce a x, donde x es el lado del triángulo, y como el lado mide, se. omo hay seis triángulos, el área del hexágono es 6 Por tanto el área de la región sombreada es = ( ) cm 9
9. Un triángulo está inscrito en una circunferencia como se muestra en la figura. Se tiene m = 50º y m = 60º. Se trazan tangentes por, y de manera que se forma el triángulo circunscrito. Entonces la medida del ángulo es:. 0º. 60º. 80º. 00º E. 0º 50 omo y son tangentes a la circunferencia, los y son ángulos semiinscritos que subtienden el arco y el ángulo es un ángulo inscrito que subtiende el mismo arco. Por tanto estos ángulos son congruentes, es decir m = m = m = 50 Luego al considerar el, se tiene m = 80 m m = 80 50 50 = 80 0. El triángulo es equilátero y sus lados y son tangentes a la circunferencia con centro en O y radio. El área del cuadrilátero O es.. 6. 6 E. O Se tiene O, ya que los triángulos O y son isósceles. También O O, ya que sus tres lados son congruentes. omo además el es equilátero, mo = 0, luego el O es un triángulo 0 60 y de ahí resulta que O = y =. Tenemos entonces [O] = [O] =. Si un ángulo central de 0 en una circunferencia intercepta un arco de 6 m de longitud, entonces el radio de la circunferencia mide. /6. /6.. 6/ E. 80 Se tiene s = r, donde s es la longitud del arco, r el radio de la circunferencia y es el ángulo central correspondiente, medido en radianes. omo = 0 equivale a /6 radianes, tenemos 6 6 r r 6 0
. En la figura se tiene una circunferencia de radio y un hexágono regular de lado. Si O es el centro de la circunferencia, entonces el área de la región sombreada es. 0.5. 0.866...5 E. O O En vista que el hexágono tiene lado y la circunferencia tiene radio, el centro del hexágono es un punto de la circunferencia. La región sombreada puede descomponerse en dos triángulos que tienen la misma base y la misma altura que los triángulos que forman el hexágono. Luego el área buscada es = 0.866 Los arcos y son semicírculos cuyos centros están sobre un diámetro del círculo que se muestra en la figura. Si =, entonces la razón entre el área de la región sombreada y el área de la región no sombreada es: Sean r el radio del semicírculo mayor, r el radio del semicírculo mediano y r el radio del semicírculo menor. Se tiene r, r r, r r Luego las áreas de estos semicírculos son: Semicírculo mayor: Semicírculo mediano: Semicírculo menor:.... E. 9 r 8 r r 8 El área no sombreada está dada por: área del semicírculo mayor más el área del semicírculo mediano menos el área del semicírculo menor o sea 9 Área no sombreada = 8 8 El área sombreada está dada por: área del semicírculo mayor menos el área del semicírculo mediano más el área del semicírculo menor o sea 9 Área sombreada = 8 8 La razón buscada resulta rea sombreada rea no sombreada
. Una moneda circular de radio, está sobre una mesa. Si ponemos cuatro monedas más grandes de igual tamaño alrededor de ella, cuál es el radio de las monedas grandes que permite que cada una sea tangente a las dos adyacentes y a la de radio?.. +.. + E..5 R R R R R R Sea R el radio de las monedas grandes. omo estas monedas son tangentes a las monedas adyacentes y a la vez son tangentes a la moneda pequeña, al unir los centros de las monedas grandes se forma un cuadrado de lado R. l trazar una diagonal, esta debe pasar por el centro de la moneda pequeña, la cual tiene diámetro, luego la longitud de la diagonal resulta R +. Por tanto, dado que en todo cuadrado de lado x, su diagonal mide x, se cumple en este caso que R R R R R R l racionalizar el denominador obtenemos R 5. En la siguiente figura y E son semicírculos, F es el punto medio del diámetro, es punto medio del arco y F = uál es el área de la región sombreada? E F. /.. /. / E. / / El área de la región sombreada resulta de la diferencia entre el semicírculo E y el segmento circular determinado por la cuerda en el semicírculo. omo F es el punto medio del diámetro, es punto medio del arco, resulta F, luego el F es un triángulo rectángulo isósceles de cateto y por tanto = es diámetro del semicírculo E, luego su radio es y el área de este semicírculo resulta El área del segmento circular, está dada por la diferencia entre el área del sector circular que lo contiene y el área del triángulo determinado por la cuerda y los radios extremos. En este caso el sector circular correspondiente tiene ángulo central de 90 y radio, por tanto su área es la cuarta parte del área de un círculo de radio o sea y el triángulo correspondiente tiene base y altura, luego su área es. El área del segmento circular resulta Finalmente el área buscada es
6. Si el radio de un círculo aumenta en unidades, cuánto aumenta su perímetro?.... E. r r + Sean L y L los perímetros del círculo original y el círculo con el radio aumentado, respectivamente. Luego L r y L' r r El aumento es la diferencia = L L = r r 7. os semicírculos de radio están inscritos en un semicírculo de radio 6 como se muestra en la figura. Un círculo de radio r es tangente a los tres semicírculos. uánto vale r? r...5...5 E. uando se tienen círculos tangentes exteriormente, la distancia entre los centros es la suma de los radios, y cuando son tangentes interiormente, la distancia entre los centros es la diferencia entre los radios. demás en ambos casos los centros y el punto de tangencia están alineados. r r r + r 6 r Sean,, y los centros de los semicírculos y del círculo interior como se muestra en la figura. Se tiene = = + r, = 6 r, = =. omo es isósceles y es punto medio de,, luego el es rectángulo en y por tanto sus lados cumplen con el teorema de Pitágoras. r 6 r 9 6r r Luego 6 r r 9 8r 6 r
8. En la figura los círculos adyacentes son tangentes y tienen radio. uánto vale el área de la región sombreada?. 6... 6 E. 6 l considerar el círculo central y dos círculos externos contiguos, vemos que encierran la sexta parte del área buscada. Vemos también que esta fracción corresponde al área de un triángulo equilátero de lado menos tres sectores circulares de radio y de 60º cada uno, que juntos forman un semicírculo de radio. Luego = 6 [ ] = (6 ) u 9. En la figura, m = 90º, = 5 y =. uál es el área del círculo con centro en O? O. 6. 8. 6. 5 E. omo el es rectángulo en, aplicamos el Teorema de Pitágoras para hallar : 5 omo es diámetro del círculo, se tiene r = y su área resulta r 0. El lado mayor del rectángulo de la figura mide 0. La curva trazada en su interior está formada por cinco semicircunferencias cuál es la longitud de la curva?. 5. 0. 5. 0 E. 5 Se observa que la curva está formada por 5 semicircunferencias, cuyos diámetros suman 0, luego cada diámetro mide 0 5 = y los respectivos radios la mitad o sea unidades. Luego L = 5 r 5r 5 0
. La figura muestra dos segmentos perpendiculares tangentes a ambas circunferencias, las cuales son tangentes entre sí. Si el radio de la circunferencia pequeña mide, entonces el radio de la circunferencia más grande mide. +.. 6. + E. 8 Sea r el radio de la circunferencia buscado. Sean y los centros de las circunferencias, pequeño y grande respectivamente. esde y trazamos perpendiculares a los segmentos H perpendiculares iniciales, formando el cuadrado rotulado en la figura como. Sean E, F, G y H los puntos donde estas perpendiculares cortan a los segmentos perpendiculares, como se indica en la figura. Tenemos que E = G = H = F=, el radio de la circunferencia G pequeña. omo H = G = F = r, tenemos que E F = = = = r, luego por esto y la perpendicularidad anterior es un cuadrado. omo las circunferencias son tangentes exteriormente, la distancia entre sus centros es la suma de sus radios, es decir = r +. Luego el es un triángulo isósceles, rectángulo en, con = = r y = r +. Luego =, es decir r + = (r ). l despejar r, se obtiene r = +. Tres círculos de radio, con sus centros colineales son tangentes como se muestra en la figura. uál es el área de la región sombreada?. 8... 8 E. + Rotulemos los puntos extremos de la región sombreada, como se muestra en la figura, vemos que se forma un rectángulo. En los extremos de la región se tienen dos semicírculos, que juntos forman un circulo. Luego la región sombreada es la diferencia entre las áreas del rectángulo y los dos círculos que se forman. ado que el radio de los círculos es, = y =. Luego = 8 5
. La figura muestra un hexágono regular inscrito en un círculo. Si el área del círculo es, cuánto mide el área del triángulo? O. 6. 6.. E. Se observa que los triángulos y O tienen la misma área, ya que tienen la misma base y la misma altura. Por ser un hexágono regular el O es un triángulo equilátero de lado igual al radio del círculo. omo el área del circulo es, se tiene r r Luego el área del triángulo es []. Qué polígono regular tiene la misma cantidad de diagonales que de lados?. Pentágono. Hexágono. Octógono. ecágono E. odecágono n n omo el número de diagonales en un polígono está dado por, donde es el número de lados del polígono. nn Luego n n n n n 5n 0 nn 5 0 n 5. Se descarta n = 0, por carecer de sentido. Por tanto el polígono buscado es un pentágono. 5. Sean O el centro de una circunferencia de radio r y E = r. Si me = k (m O), entonces el valor de k es: O E.... E. Trazamos el radio O y vemos que el OE es isósceles ya que O = E = r, luego E O. omo ele es un ángulo exterior con sus lados secantes a la circunferencia, su medida está dada por m m me. () omo los ángulos O y O, sus medidas están dadas por mo m y mo m m E Se tiene me = k (m O) = k m m Sustituyendo en (): mk m k m k mm k m k k 6
6. Si se aumenta el radio de un círculo en un 00%, en qué porcentaje aumenta su área?. 50%. 00%. 00%. 00% E. 00% Si el radio original es r, el circulo con el radio aumentado, tiene radio r. r y r r Se tiene El aumento está dado por Porcentaje de aumento: r r r r 00% r 00% 00% 7. Se tienen tres círculos concéntricos de radios, y respectivamente. uál es la razón entre el área de la región cuadriculada y el área de la región oscura?.. 5. 9 9. 5 E. El circulo pequeño tiene área, ya que su radio es. El círculo mediano tiene área, ya que su radio es El círculo grande tiene área 9, ya que su radio es.. Área de la región oscura = área del circulo grande área del circulo mediano = 9 = 5 Área de la región cuadriculada = área del circulo mediano área del circulo pequeño = = área de la región cuadriculada área de la región oscura 5 5 8. El segmento es diámetro de una circunferencia de radio y lado del triángulo equilátero. Si la circunferencia corta a y en los puntos y E respectivamente, entonces la longitud E es:.... 5 E. omo me = 90, E es una altura del triángulo equilátero E. omo el radio es, =, luego E = (En todo triángulo equilátero de lado x, la altura mide x ) O 7
9. En una circunferencia se tienen dos cuerdas paralelas de longitudes 0 y que distan 6 entre sí. Entonces la longitud de la cuerda paralela a ambas y que equidista de ellas mide:.... 8 E. 9 Sean = 0 y =, las cuerdas dadas. omo la distancia R 5 entre ellas es 6, la cuerda paralela equidistante de ellas está a E Q y F unidades de cada una. Sea EF la cuerda buscada. Inicialmente no sabemos la posición de las cuerdas con respecto a un diámetro P 7 paralelo a ellas. omencemos asumiendo que están al mismo x lado del diámetro paralelo, como se muestra en la figura. O l trazar desde el centro una perpendicular a las cuerdas, esta pasa por el punto medio de cada cuerda. Sean P, Q, R los puntos medios de las cuerdas, como se muestra en la figura. Se tiene P = 7, R = 5. Sea QF = y, la longitud de la cuerda buscada es EF = y Supongamos que la cuerda está a x unidades del centro. Se forman tres triángulos rectángulos, todos ellos con hipotenusa igual al radio de la circunferencia. R 5 Q y F P 7 x x + r r x + 6 r O O O l aplicar el teorema de Pitágoras en cada uno ellos se forma el siguiente sistema de ecuaciones r x x 6 5 r x x 6 r x 6x 9 y r x 9 Restando la tercera ecuación de la primera r x x 6 r x 9 x = x = El valor negativo de x, nos indica que las cuerdas están en lados opuestos del diámetro paralelo a las cuerdas. Sustituyendo el valor de x en la tercera ecuación, obtenemos r 50 Sustituyendo el valor de x y r en la segunda ecuación obtenemos 50 = 6 + 9 + y y 6 y EF = y = 6 8 8
0. Un triángulo equilátero y un hexágono regular están inscritos en el mismo círculo. Si se divide el área del hexágono entre el área del triángulo se obtiene:..5...5. E. l observar el grafico fácilmente se deduce que el área del hexágono es el doble del área del triángulo. Esto puede verificarse considerando que el lado de un triángulo equilátero inscrito en un círculo de radio r, está dada por r y por tanto su área es r r También se tiene que el lado de un hexágono inscrito es igual al radio de la circunferencia, luego su área es 6 r, luego 6 r r. El área del círculo circunscrito a un hexágono regular es cm. Entonces el área del hexágono, en cm es. 6... 6 E. 6 Tenemos que el radio del círculo es r r omo el hexágono está inscrito su lado mide r, luego su área es 6. En una circunferencia se trazan tres cuerdas con las siguientes longitudes: :.05, :.50 y : 0.05. uál de las siguientes es una lista de las cuerdas en el orden en que se incrementa la distancia desde el centro de la circunferencia a la cuerda?.... E. La cuerda de mayor longitud está más cerca del centro y la de menor longitud está más alejada. Luego como.5 es la que está más cerca y le sigue.05 y la más alejada es 0.05 Por tanto el orden en que se incrementa la distancia es 9
. En la figura, E es un cuadrado de lado. Los arcos E y tienen centro en. Entonces el área sombreada mide:.... 8 E. E La región E es la diferencia entre el área del cuadrado y el área del cuadrante E, es decir [E] = El área de la región es la diferencia entre el sector circular y el triángulo rectángulo, cuya área es. El sector circular tiene radio, el cual es la diagonal del cuadrado y por tanto = y su ángulo central es 5, es decir la octava parte de un circulo de radio. Luego [] = 8 Finalmente se tiene [E] = [E] + [] =. El polígono de la figura tiene todos sus lados congruentes de longitud 8, sus lados consecutivos son perpendiculares y ocho vértices están sobre la circunferencia. Entonces el área de la región sombreada mide. 0. 60 ( ). 0. 0( ) E. 80( ) Si tomamos tres vértices como se indica en la figura, se forma un triángulo rectángulo con catetos = 8 y =, la hipotenusa es el diámetro del círculo. Por el teorema de Pitágoras 8 8 0, luego r = 0 y el área del círculo es El polígono está formado por 5 cuadrados de lado 8 y su área es Luego el área sombreada es 60 0 = 60 ( ) 5 8 0 r 60 0
T r 5. os semicírculos de radio están inscritos en un semicírculo de radio como se muestra en la figura. os círculos de radio r, son tangentes a dos semicírculos y entre ellos. uánto vale r?.... E. 5 l tomar el centro del semicírculo grande (), el de un semicírculo mediano () y de un círculo pequeño (), se forma un triángulo, en el cual =, = + r y = r l considerar el punto de tangencia entre los círculos pequeños, por la simetría de la figura T es paralela al diámetro y mt = 90, formándose el triángulo rectángulo T con T igual a la altura del, : T = y T = r. e ahí resulta que T (teorema hipotenusa cateto), luego = T = r. Se tiene = y = r T r r r + r + r r Por el Teorema de Pitágoras T r r 6 8r r 6 8r r r r 6 8r r r 6r 6 r En el se tiene 6. El es un triángulo rectángulo con el ángulo recto en. Se traza la altura relativa a la hipotenusa y se inscriben dos circunferencias en los triángulos que se forman. Si los radios de estas circunferencias son y respectivamente, calcule el radio de la circunferencia inscrita en el.. 5.. 5. 6 E. 8 omo el es rectángulo en y es la altura relativa a la hipotenusa, se tiene que. omo en los triángulos semejantes, todos los elementos homólogos están en la misma razón de semejanza en la que están los triángulos, la razón de semejanza entre los triángulos y es la misma razón entre los radios de sus circunferencias inscritas, que en este ejercicio es a,
es decir a. e manera que todos los elementos del son el doble de los elementos correspondientes del. ado que las áreas están en proporción según el cuadrado de la razón de semejanza, se tiene [] = [] y como [] = [] + [] = 5 [], la razón de semejanza entre los triángulos y es 5 y por tanto el radio de su circunferencia inscrita es 5 veces el radio de la circunferencia inscrita o sea 5 r r h l unir los centros de los círculos se forma un triángulo equilátero de lado. Observamos que h es igual a dos veces el radio de los círculos más la altura del triángulo equilátero, la cual como el lado mide, es igual a, luego h = +. 7. Si cada círculo tiene radio, y son tangentes entre si y a las líneas paralelas como se muestra en la figura uánto mide h?.... + E. 8. Tres semicírculos iguales, de radio R, tienen sus centros en los puntos colineales, y tales que cada uno de estos puntos se encuentra sobre uno de los semicírculos. Se traza un cuarto círculo con centro (el círculo sombreado) tal que es tangente a los tres semicírculos, tal como se muestra en la figura. Si r es el radio del círculo pequeño, la razón R a r es:. :. 5:. :. 0: E. : l considerar el, se tiene un triángulo rectángulo con = R, = R r y = R + r. Por el teorema de Pitágoras, R r R R r R R Rr R r Rr r R R Rr r 0º 6 8 9. uál es el área de la región sombreada, redondeada al entero más cercano? 8.. 6. 9. E. 0º 60º 6 O 8 8 El área sombreada es la diferencia entre el área del triángulo y el segmento circular que forma por la intersección entre el triángulo y el círculo. Este segmento circular tiene un ángulo central de 60, ya que el ángulo inscrito mide 0, y un radio de 6, ya que el O es equilátero.