Capítulo 2 Operadores 21 Operadores lieales 22 Fucioes propias y valores propios 23 Operadores hermitiaos 231 Delta de Kroecker 24 Notació de Dirac 25 Operador Adjuto
2 Operadores E la mecáica cuática los operadores so objetos que se usa cotidiaamete Este capítulo está dedicado a revisar alguos coceptos relacioados co estos objetos h Defiició: U operador O es u objeto que trasforma a ua fució g e otra Og = h Por ejemplo al derivar ua fució f ( x ) la fució resultate ( ) f x geeralmete es distita Por lo tato al procedimieto de derivació se le puede asigar u operador df d f = = dx dx f x ( x) ( ) Df ( x ) A este operador D le llamaremos operador diferecial Al multiplicar ua fució por ua costate obteemos ua ueva fució o mismo ocurre cuado la multiplicamos por otra fució A este tipo de operadores les deomiaremos operadores multiplicativos 2π f ( x) = g( x ) ( ) k( x) x f x = os operadores puede combiarse formado otros más complejos suma de operadores: ( ) A + B f = Af + Bf composició de operadores: ( AB ) f A ( Bf ) = os operadores siguietes so ejemplos de estos casos d A = 1 + Af = f + f dx B d dx x d Bf = dx xf = ( ) 2-2
Defiició: El comutador de dos operadores es el operador siguiete [ ] A B AB BA El comutador cumple las siguietes propiedades: [ B A ] [ A B ] = [ A B + C ] = [ A B ] + [ A C ] [ A BC ] [ A B ] C B [ A C ] = + Tambié existe los operadores itegrales etre ellos la trasformada de aplace f e f x dx F t tx ( ) 0 ( ) 21 Operadores lieales Etre la gra variedad de operadores que existe los operadores lieales so los más comues Defiició: U operador A es lieal si cumple las dos propiedades siguietes: 1) A( cf ) 2) ( ) = caf A f + g = Af + Ag e dode f y g so fucioes arbitrarias y c es cualquier escalar Por ejemplo el operador diferecial es u operador lieal 22 Fucioes propias y valores propios Para todo operador lieal existe u cojuto de fucioes{ u } y u cojuto de escalares { a } tales que satisface la ecuació Au = a u 2-3
A esta ecuació se le cooce como la ecuació de valores propios del operador A a los escalares a se les llama valores propios del operador y a las fucioes u se les deomia fucioes propias Al cojuto de valores propios comúmete se le llama espectro del operador Ejemplo: Para el operador p x i la ecuació de valores propios es la x siguiete p φ = pφ x p p e dode p es el valor propio y φ p es la fució propia Esta ecuació es ua ecuació diferecial ordiaria que puede rescribirse e la forma φ = p ip φ p y que tiee las siguietes solucioes φ p ( x) ipx = ce e dode el valor propio es cualquier úmero real E este caso el espectro es cotiuo Ejemplo: Si las fucioes propias de p x debe ser periódicas co período φ ( x) φ ( x ) p = + p etoces se debe cumplir la codició 1 = e ip Esta codició es equivalete a las dos siguietes cos p = 1 p si = 0 Por lo tato p = 2 π φ ( x) = e 2πx i = 0 ± 1 ± 2 2-4
E este caso el espectro es discreto 23 Operadores hermitiaos Detro de los operadores lieales existe u grupo de operadores que so de gra importacia e la mecáica cuática Defiició: U operador O es hermitiao si para todo par de fucioes f y g se cumple la igualdad ( ) ( ) = f Og Of g Por ejemplo el operador A = x es hermitiao mietras que D d = d x o lo es Si embargo u operador relacioado co D si es hemitiao El operador C = i d d x es hermitiao siempre que f g 0 e los bordes del domiio de las fucioes E muchas aplicacioes los cojutos de fucioes forma espacios vectoriales e estos casos las fucioes tiee propiedades similares a los vectores cartesiaos E particular es posible defiir el cocepto de ortogoalidad etre fucioes Defiició: Dos fucioes so ortogoales si a itegral f g = 0 f g puede usarse como ua defiició del producto itero etre las fucioes f y g ya que cumple co las propiedades de este tipo de producto por lo que es posible itroducir coceptos tales como proyecció y orma e los espacios vectoriales de fucioes 2-5
os valores propios y fucioes propias de los operadores hemitiaos tiee propiedades muy iteresates Teorema: os valores propios de u operador hermitiao so reales Este teorema se demuestra partiedo de la ecuació de valores popios del operador y haciedo alguas maipulacioes Tambié es ecesario hacer uso de la propiedad de hermiticidad Au = a u ( Au ) ( ) a u = u Au = a u u = u Au = a u u ( a ) u u a = 0 a = a Teorema: as fucioes propias de u operador hermitiao so ortogoales si sus valores propios so diferetes E este caso se usa la ecuació de valores propios para dos fucioes propias co valor propio distito Au = a u ( Au ) ( ) m amum = u Au = a u u = u Au = a u u m m m m m ( a ) u u a = 0 m m u m u = 0 Cuado u operador tiee más de ua fució propia co el mismo valor propio se dice que estas fucioes so degeeradas El teorma aterior garatiza que las fucioes degeeradas so ortogoales a las fucioes propias que tiee valor propio distito si embargo el teorema o implica que las fucioes degeeradas sea ortogoales etre ellas Este hecho o geera igú problema ya que siempre es 2-6
posible hacer ua combiació lieal de las fucioes degeeradas para obteer u cojuto de fucioes propias que sea ortogoales etre sí Siempre que sea posible las fucioes propias deberá cumplir co la codició u u = 1 E este caso se dice que las fucioes está ormalizadas Así para todo par de fucioes propias se cumple la codició 1 umu = δ m= 0 231 Delta de Kroecker = m m a delta de Kroecker δ m es u símbolo que represeta dos posibles valores depediedo de sus ídices 1 = m δ m = 0 m Dado que este símbolo sólo es diferete de cero cuado sus ídices so iguales las sumas que icluye a la delta de Kroecker se puede simplificar fácilmete δ m Bm = δ 1 B1 + δ 2 B2 + + δ B + = 0 B + 0 1 B2 + + 1 B + m = B E geeral las fucioes propias de u operador hermitiao forma u cojuto completo Así toda fució arbitraria φ( x ) puede expresarse como ua combiació lieal de los elemetos de la base del espacio vectorial = ( ) ( ) φ x b u x e dode los coeficietes b i está dados por = ( ) φ ( ) b u x x dx i i Estos coeficietes juega el papel de compoetes y correspode a la proyecció de la fució f sobre la fució ormalizada u i Fialmete se puede ecribir la ecuació 2-7
φ( x) = u ( x ) φ( x ) dx u ( x) = u ( x) u ( x ) φ( x ) dx e dode la última itegral puede idetificarse como u operador itegral idetidad y a su parte itera agrupada e corchetes se le deota co el símbolo siguiete u( x) u ( x ) δ ( x x ) A la distribució δ( x x ) se le deomia la delta de Dirac Alguas propiedades de la delta de Dirac so las siguietes ( x ) δ x = 0 cuado x x ( ) ( ) = ( ) δ x x f x dx f x 0 0 ( ) ( ) ( ) δ x x f x dx = f x 0 0 24 Notació de Dirac a otació de Dirac e su versió más simple puede verse como ua otació abreviada que permite represetar a la mayoría de las operacioes etre operadores y fucioes ket g g( x) fució bra f f ( x) fució cojugada braket f g f g itegral etre ua fució y otra cojugada Así dado que u operador trasforma a ua fució e otra u operador tambié trasforma a u ket e otro A g Ag os brakets cumple co la siguiete codició g f = f g 2-8
as fucioes propias de u operador hermitiao puede represetarse por kets y éstos so ortoormales es decir so ortogoales y está ormalizados um = um = m m = δ m E esta otació la propiedad de hermiticidad para u operador O toma la forma siguiete f Og = Of g Observe que para los operadores hermitiaos el operador puede aparecer tato e el bra como e el ket si afectar el valor que tiee el braket Para los operadores que o so hermitiaos esto o es posible si embargo existe otra opció que se preseta posteriormete Ejemplos del uso de la otació de Dirac 1 Desarrollo de ϕ : ϕ =b b i i = ϕ [ ] ( ) ( ) ( ) ϕ ( ) ϕ x = u x u x x dx I = 2 Para las fucioes periódicas e el itervalo las fucioes propias del operador p x ϕ = ϕ 2 2 se tiee ua base formada por x = 1 e i 2π os coeficietes del desarrollo de la fució arbitraria ϕ tiee la forma b k = k ϕ = 1 2 2πkx i e 2 ϕ ( ) x dx 2-9
por lo que ϕ 1 = k b e k 2πkx i Esta ecuació correspode al desarrollo de ϕ e series de Fourier 25 Operador Adjuto Si A es u operador lieal al operador A + que satisface la igualdad ( ) ( + = ) f Ag A f g se le llama el adjuto del operador A Por ejemplo si D = d etoces dx d D + = dx Usado la otació de Dirac los operadores D y D + satisface la igualdad f Dg D + = f g ( D ) De acuerdo co la defiició aterior u operador hermitiao es su propio adjuto y + + = D 2-10