SEMANA 8 DIVISIBILIDAD II. La suma de trece números enteros consecutivos es de la forma a9a. Halle el mayor de los números. A) 363 B) 368 C) 369 D) 3 E) 3 De la condición: N 6 + N + N +... + N +... + ( N + ) + ( N + 6) = a9a Efectuando la suma indicada: 3 a9a a9a = 3 a 3 9 + (a) = 3 a = 3 9 369 El mayor número: ( N + 6) = 3. Si un número de dígitos donde sus 3 últimas son iguales se le ha restado otro que se obtuvo al invertir el orden de las del primero. Si la diferencia es múltiplo de. Halle la diferencia. A) B) C) 33 D) 66 E) 6 993 3. Si: = bac = cab = Calcule el menor valor de: (a + b + c) A) 6 B) C) D) E) = a b + c = bac = ib + 3i a + c = cab = b = De las ecuaciones: a + c = 3a + c = 3 a = a = 3 c = 3 a + b + c = 3 + + =.. Se cumple: mnp = pnm = mp = 9 Calcule: m x n x p A) B) 8 C) 9 D) 6 E) 6 abbb bbba = Descomponiendo 999ia 999i b = 999 ( a b) = a b =. La diferencia: 999() = 6993 p mnp = : par; m n p = (+)(-)(+) m n + p = pnm = ; 3 p + 3n + m =...
mp = 9 m + p = 9; p: par. m + p = 9 3 en 9 - n = n = 9 3 en 9 + p + = p + 36 = p = 6 m = 3 m n p = 3 9 6 = 6. Cuántos números capicúas de no son múltiplos de 9? A) 8 B) 89 C) 896 D) 898 E) 899 ba = 9 b c b = 99 () () 99 + b + c + b + = 99 + b + c = 99 9 9 8 Hay números 9. 3 6. Si: a b c b a 3......... 9 9 9 9 = 9#s. Números que no son 9 - = 898 9 º 8a63 = 9! Halle a A) B) C) 6 D) E) 8 El criterio más preciso es 9; porque se analiza todas las. Tendremos 9! 9 8a63 = 9 a + 3 = 9 a = 6. Halle: ( n + x + p) si: x8 n nx = y n ppxp = A) B) 6 C) D) 8 E) RPTA.: C
x8 n nx = n ppxp = n ;n 6 Criterio: nx = ; n = x = ; x = ppxp = Criterio º pp p = 33 - + 3p + p + 6 = p + 9 = p + n + x = 8 8. Sabiendo que: d = 36(d a + b + 3c). Halle la expresión: ( ab + cd) A) B) C) D) 6 E) 8 Como 36 = º d = d = 36 ( d a + b + 3c) + d a + b + 3c = 36(d a + b + 3c) + 363d a+ b + 3c (d a + b + 3c) = d a + b + 3c = en d = 36 = 6 a = b = 6 c = d = Verificando: d-a+b+3c = -++= ab + cd = x 6 + x = 8 9. El número de la forma: aabbc al ser dividido entre ; 9 y deja como residuo ; y respectivamente. Halle a. A) 6 B) C) 3 D) E) M = aabbc Por lo tanto: Propiedad: M = m.cm.(;) + 8 M = + 8 entonces: aa8 8 = 9+ a = 9+ a = 9+ ; a =. Halle el residuo que se obtiene al dividir: + 9+ + + + 8 = + 8 º + + = + 8 aabbc = + 8 ab abab Entre. A) B) 3 C) D) E) 6
M = abab = - + - + - + ( + a + b ) a + 3 ( + + b ) ab º º ab ab M 3 3 = + = + Gaus: modulo: 3 = + 3 3 = + 9 3 3 = + 3 = + 3 = + = Cada vez que la potencia de 3 es múltiplo de el residuo es.. Cuántos capicúas de son divisibles por 99 pero no por? A) 8 B) 9 C) D) E) Sea: abba = 99 a * Caso ab + ba = 99 a + b = 9 9 8 6 3 3 6 8 Hay ocho números. Halle el residuo de dividir el número 68 99899 con. A) B) 6 C) D) E) 6 8 9 98 99 + + + = + 99 + 98 +... + + 689 99 + = + 9 + + + 9 6 8 = + 9. + = + 6 3. Halle el residuo de dividir el número 39 9999 con 9. A) 6 B) C) 3 D) E) 3. 9 9 99 = 9 + + 3 + +... + 99 (Criterio de divisibilidad) = 9+ (Suma de números impares) = 9 + = 9 +. Halle el resto de dividir el número: 3aaa3aaa( ) Entre. A) B) C) 3 D) E) * Caso ab + ba = 89 a = 9 b = 9 Hay un número Rpta. 9 números 6 + a 6 + 6 + a (+ ) + + (+ ) +
+ + = + + (+ ) = + N r =. Se tiene el numeral a3bc es * * * divisible por 8 y que al ser dividido entre, el residuo es ; y al ser dividido entre 9 el residuo es. Halle el mayor valor de: (a + b + c). A) B) C) D) 6 E) a 3 bc = 8 c = 8 8 + c + = 8 c = ; 6 a 3b c 99 6 + + + = + a + 3b + c + = 99 = 99 = 98 Si c = 6 b = ; a = 9 a + b + c = 6. Se sabe que ( ) m mnpq = + ( ) n mnpq = p mnpq = Calcule el residuo de dividir N entre. Si mnpq( ) a3bc = + + = + 6 a3bc = 9 + + 63 = 9 + 6 mnp( ) A) B) 3 C) 8 D) E) mnp( ) ( mnpq ) descomponiendo: mnp ( ) = 6m + n + p 6m n p mnpq mnpq mnpq m 6 n p ( mnpq ) ( mnpq ) mnpq 6 º + 6 + + + + 3 3 = (33 3) + 3 Resto: 3. Halle el residuo de dividir con el número 66...66 mnp A) B) C) 3 D) 6 E) 8 mnp mnp mnp mnp mnp mnpoo ( ) = k = ;mnp = k (( ) ) = k ((... ) ) = =... RPTA.: A 8. Cuántos valores puede tomar a si el número aaa...aa ( 9) de 6 es divisible entre 8? A) B) C) 6 D) 8 E)
6 9 8 aaa... aa = 8 + 6a = 8: se cumple para todo a a = ; ; 3; ; ; 6; ; 8 a toma 8 valores 9. Calcule a x b ; si a6b ( 9) es divisible entre y al ser dividido entre 8 el resto es. A) B) C) 3 D) E) * ( 9) +-+-+- + a6b = b a = 8 b a = * ( 9) a6b = 8+ a+ b + = 8+ a + b + = 8 a + b = ó Para a + b = b = b a = a = a b = 3 I RPTA.: C. Un animalito va de A hacia B dando saltos de cm y regresa dando saltos de 6 cm. Después de haber recorrido, m se detiene. Cuánto le falta para llegar al punto A?. Si Modulo 3 a + 6b = 3 + 3 + b = 3+ b = 3 + b = 3k + Reemplazando: a + 6() = 3 9 a = = = 6 La distancia de A a B es: 6(6) = 9 cm Falta: 9 6(b) = 8 "n" 333... =. Con n mínimo. Cuál será el residuo por exceso que se obtiene al dividir entre 6 al menor número de diferentes de la base n? A) 8 B) C) D) 6 E) A) 8 cm. B) cm. C) cm. D) 8 cm. E) menos de cm. Menor número de diferentes en base : 3 ( ) 6+ r = Descomponiendo: + + + 3 + = 69
Por defecto = 8 Por exceso = 8 RPTA.: A. Un niño si cuenta sus canicas agrupándolas de en le faltan canicas; si las cuentan de 6 en 6 le sobran 3; y si las cuentan de 8 en 8 le faltan ; por lo que decidió agruparlos de 9 en 9, así no le sobra ninguna canica. Si la cantidad de canicas se encuentra entre y 6. Cuántas canicas tiene el niño? A) 38 B) 8 C) 83 D) 8 E) 63 Sea N la cantidad de canicas que tiene el niño: + 3 6 + 3 8 + 3 MCM (;6;8) + 3+ 3 Entonces: 3; 3; 363; 83;63... Pero: 9 < N < 6 El niño tiene 63 canicas. RPTA.: C a + b + c = 3 3 + a + b = 3 a = 9 b = c = 9 a + b + c = 9 = 3. Cuántos números de dos hay, que al elevarse al cuadrado y al ser divididos entre cinco dejan resto cuatro? ab = A) 8 B) 8 C) 3 D) E) 36 ab = ± ± ab = + ó Existen36números ab = + ab = + 3. Cuál es la suma de las del mayor número entero de tres, tal que si se le resta la suma de sus tres el resultado es divisible por 3? A) 6 B) C) D) 3 E)