Medidas de tedecia Cetral Estadígrafos de tedecia cetral. Cada vez que se observa u feómeo cuatitativo, os iteresa saber si los datos recolectados se aglutia e toro a ciertos valores represetativos que so propios del feómeo estudiado. Por ejemplo si pesamos e la Edad de los jugadores beisbol, la experiecia os dice que sus edades varía etre los 17 y 35 años, siedo raro pero o imposible, ecotrar jugadores co más de 35 años o meores de 17 años, además sabemos que la gra mayoría de estos jugadores tiee etre 23 y 30 años. Ahora la preguta geeral se hace obvia, dada ua colecció de datos, es posible saber a qué valores tiede dichos datos?, la respuesta la etrega los llamados estadísticos de tedecia cetral. E cosecuecia llamamos estadísticos de tedecia cetral a aquellos valores hacia los cuales tiede a aglomerarse los datos de ua muestra. Los más utilizados so: 1) La Media aritmética o Promedio aritmético: es el estadígrafo de tedecia cetral más coocido, usado y abusado. Dada ua colecció de datos 1, 2,..., el promedio se defie como LA SUMA DE LOS DATOS DIVIDIDA POR LA CANTIDAD DE DATOS y se deota por, e símbolos el promedio es:... 1 2 1 i 1 i Formalmete, represeta el Cetro de Masas de la muestra, e la práctica, esto sigifica que se puede cosiderar que cada dato tiee valor igual al promedio. Esta idea o es ta lejaa, pues e el leguaje corriete, muchas veces se habla del hombre promedio de la familia promedio, etc. es decir hablamos de u sujeto TIPO al cual asimilamos a todos los sujetos estudiados. Obviamete esta asimilació podría resultar erróea, como veremos más adelate.
El promedio aritmético posee las siguietes propiedades frete a cambios de escala: a a a a a a Veamos u ejemplo umérico: si las calificacioes de u escolar e matemáticas durate u semestre so 50, 60, 30, 50 y 70, su calificació promedio es: 50 60 30 50 70 x 50.2 5 Es decir podemos asumir, que su redimieto geeral e matemáticas es 50.2. Si se dispoe de ua base de datos de gra tamaño, resulta trabajoso calcular. E este caso podemos obteer u valor aproximado para, a partir de la iformació que cotiee ua tabulació, esta aproximació se obtiee de MULTIPLICAR LOS PUNTOS MEDIOS DE CADA INTERVALO POR LAS RESPECTIVAS FRECUENCIAS, SUMAR ESTOS PRODUCTOS Y LUEGO DIVIDIR POR LA CANTIDAD DE DATOS. Ejemplifiquemos usado la tabla de Edad de los cosumidores de determiada bebida o producto. Edad frec porcetaje F 10-19 2 6.67 6.67 20-29 5 16.67 23.33 30-39 13 43.33 66.67 40-49 7 23.33 90.00 50-59 3 10.00 100.00 Total 30 100.00 15 2 25 5 35 13 45 7 55 3 1090 Así: x 36. 3 años. 30 30 Cuado se usa el promedio como medida de cetralizació, debemos teer cuidado de que los datos sea homogéeos, es decir razoablemete parecidos, pues el promedio es muy sesible a valores extremos, esto es valores demasiado elevados o demasiado miimizados. E estos casos el promedio como resume
miete. Por ejemplo, supogamos que pregutamos por el sueldo aual, e miles de pesos, a cico persoas vigilates e edificios distitos, obteiedo 140, 150, 142, 160 y el sueldo del último ecuestado sea 350, puesto que trabaja para ua Empresa de Esueños, al observar los datos vemos que los sueldos de los vigilates, e geeral está alrededor de los $ 150 mil, si embargo si los promediamos teemos que dicho promedio es de $ 188,400 obviamete esta distorsió se produce por el astroómico sueldo de $ 350 mil. E estos casos, lo justo es o icluir e el promedio el sueldo astroómico, co lo que el promedio es de $ 148 mil o bie e vez del promedio usar el valor mediaa que es $ 150 mil, lo que cocuerda co la realidad que estamos estudiado. 2) La Mediaa (me): es aquel valor que divide la muestra e dos partes iguales, de esta defiició os damos cueta que la mediaa o es otra cosa que el Percetil cicueta o Cuartil 2, es decir Mediaa=P 50 =Q 2. Notemos que la mediaa es tato u estadígrafo de posició y de cetralizació. El procedimieto para calcular la mediaa es el siguiete: 1- Ordear los datos de meor a mayor 2- Calcular (+1)/2 3- Cotar los espacios co el valor idicado del paso 2, e el cojuto de datos ordeados Percetil de orde k = cuatil de orde k/100 La mediaa es el percetil 50 El percetil de orde 15 deja por debajo al 15% de las observacioes. Por ecima queda el 85% Cuartiles: Divide a la muestra e 4 grupos co frecuecias similares. Primer cuartil = Percetil 25 = Cuatil 0,25 Segudo cuartil = Percetil 50 = Cuatil 0,5 = mediaa Tercer cuartil = Percetil 75 = cuatil 0,75 Ejemplo Qué peso o llega a alcazar el 25% de los idividuos? Primer cuartil = percetil 25 = 60 Kg.
Qué peso es superado por el 25% de los idividuos? Tercer cuartil= percetil 75= 80 kg. Etre qué valores se ecuetra el 50% de los idividuos co u peso más ormal? Etre el primer y tercer cuartil = etre 60 y 80 kg. Observar que idica cómo de dispersos está los idividuos que ocupa la parte cetral de la muestra. Esta dísticos PESO Percetiles 25 50 75 60,00 70,00 80,00 Número de años de escolarizació 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Total Porcetaje Frecuecia Porcetaje acumulado 5,3,3 5,3,7 6,4 1,1 12,8 1,9 25 1,7 3,5 68 4,5 8,0 56 3,7 11,7 73 4,8 16,6 85 5,6 22,2 461 30,6 52,8 130 8,6 61,4 175 11,6 73,0 73 4,8 77,9 194 12,9 90,7 43 2,9 93,6 45 3,0 96,6 22 1,5 98,0 30 2,0 100,0 1508 100,0 Esta dísticos Número de años de escolarizació N Media Mediaa Moda Válidos Perdidos 1508 0 12,90 12 Perc etiles 10 20 25 30 40 50 60 70 75 80 90 9,00 11,00 13,00 14,00 15,00 16,00 16,00
3) La Moda (mo): es aquel valor que más se repite e ua muestra y se deota por m o, por ejemplo si cosideramos los datos 2,2,3,3,4,4,4,4,5,5 la moda e cuestió es 4. Si embargo la defiició dada cobra validez sólo si la variable es discreta. Si la variable es cotiua, formalmete la moda o existe, pues es muy difícil que al sacar ua muestra de úmeros reales dos o más de ellos coicida. Por ejemplo si se hilara muy fio y midiéramos el peso de las persoas e milígramos, sería muy poco probable ecotrar dos o más persoas co igual peso e ua muestra, pero geeralmete el peso es medido e kilógramos eteros y e este caso, como se ha discretizado la variable es posible calcularla. Cuado se dispoe de u tallo y hoja, la moda correspode al valor que más se repite detro de la hoja más grade del tallo. Retomemos uestro ejemplo de las edades de los bebedores de cerveza, el tallo y hoja se muestra a cotiuació, dode se ha destacado e egritas la hoja más larga: 1. 69 2* 23 2. 677 3* 112223 3. 5555679 4* 24 4. 55568 5* 1 5. 78 Observamos que el valor más repetido e esta hoja es 35 años, que correspode al valor de la moda. Podemos utilizar la formula de la moda dode: L i : límite iferior del itervalo que cotiee la frecuecia más alta D p : diferecia etre la frecuecia más alta y la del itervalo siguiete D a : diferecia etre la frecuecia más alta y la del itervalo aterior A: acho del itervalo Veamos el ejemplo respectivo: Cosideremos la tabulació de las edades, dode se ha eegrecido el itervalo y la frecuecia modal:
Edad frec porcetaje F 10-19 2 6.67 6.67 20-29 5 16.67 23.33 30-39 13 43.33 66.67 40-49 7 23.33 90.00 50-59 3 10.00 100.00 Total 30 100.00 Aquí: L i : 30 años Da : 13-5=6 Dp : 13-7=8 A: Ls-Li co lo que: 8 M o Li ( )10 35. 71años 6 8 valor muy coicidete co el calculado a partir del tallo y hoja. Media ( mea ) Es la media aritmética (promedio) de los valores de ua variable. Suma de los valores dividido por el tamaño muestral. Media de 2,2,3,7 es (2+2+3+7)/4=3,5 Coveiete cuado los datos se cocetra simétricamete co respecto a ese valor. Muy sesible a valores extremos. Cetro de gravedad de los datos Mediaa ( media ) Es u valor que divide a las observacioes e dos grupos co el mismo úmero de idividuos (percetil 50). Si el úmero de datos es par, se elige la media de los dos datos cetrales. Mediaa de 1,2,4,5,6,6,8 es 5 Mediaa de 1,2,4,5,6,6,8,9 es (5+6)/2=5,5 Es coveiete cuado los datos so asimétricos. No es sesible a valores extremos. Mediaa de 1,2,4,5,6,6,800 es 5. La media es 117,7! Moda ( mode ) Es el/los valor/es dode la distribució de frecuecia alcaza u máximo.
Breve resume Posició Divide u cojuto ordeado de datos e grupos co la misma catidad de idividuos. Cuatiles, percetiles, cuartiles, deciles,... Cetralizació Idica valores co respecto a los que los datos parece agruparse. Media, mediaa y moda Dispersió Idica la mayor o meor cocetració de los datos co respecto a las medidas de cetralizació. Desviació típica, coeficiete de variació, rago, variaza Forma Asimetría Aputamieto o curtosis Peso M. Clase Fr. Fr. ac. 40 50 45 5 5 50 60 55 10 15 x i i i x 45 5 55 10 58 115 3 69,3 60 70 65 21 36 70-80 75 11 47 80-90 85 5 52 90-100 95 3 55 100 130 115 3 58 58