ECUACIONES PROMEDIO PARA EL TRANSPORTE DE ENERGÍA EN UN REACTOR DE TRES FASES

Casa abierta al tiemp UNIERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA UNIDAD IZTAPALAPA ECUACIONES PROMEDIO PARA EL TRANSPORTE DE ENERGÍA EN UN REACTOR DE TRES FASES TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS (INGENIERÍA QUÍMICA) PRESENTA I.Q JOSÉ ALBERTO MACÍAS ARGAS ASESOR: DR. JESÚS ALBERTO OCHOA TAPIA

Resumen En este trabaj se desarrlla un mdel para el transprte de energía, en el prces de hidrdesulfuración (HDS) en un reactr trifásic, en términs de ecuacines prmedi. También se plantea la metdlgía para la predicción de ls ceficientes efectivs asciads a las ecuacines prmedi. La deducción del mdel se realiza pr la aplicación de la técnica del prmedi vlumétric a las ecuacines puntuales de energía térmica para btener las del medi efectiv que sn válidas en td el dmini. Se cnsidera cntact físic entre la fase líquida cn el catalizadr y la gasesa. Per se descarta entre el gas y el catalizadr. En el desarrll del mdel se utiliza la disparidad entre las lngitudes características asciadas cn el reactr para simplificar las ecuacines prmedi y el prblema de cerradura que eventualmente da el métd de predicción de ls ceficientes efectivs de transprte. En el prblema de cerradura se impne también la supsición de fals-estad estacinari y el equilibri lcal de temperatura en las diferentes interfases. El mdel btenid cnsta de tres ecuacines prmedi de transprte de energía: una para la región prsa, tra para la fase gas y la última para la fase líquida. En ellas, además de trs, se bservan términs de intercambi de energía cn ceficientes de película que sn generads pr las cndicines de frntera interfaciales de las ecuacines puntuales y pr el prces de cerradura. El métd de predicción de ls ceficientes de película se muestra detalladamente. En el cuerp principal del trabaj se presentan ls resultads de la aplicación del métd del prmedi vlumétric y en ls apéndices el desarrll en extens de cada resultad, así cm una prpuesta de slución al prblema de cerradura.

Página Resumen i I. Intrducción 1 a. Antecedentes 2 b. Justificación 4 II. Objetivs 6 III. Descripción del sistema a. Prces y cndicines b. Descripción del prces y cnsideracines sbre el sistema multifásic I. Metdlgía a. Descripción Métd del Prmedi lumétric 7 b. Desarrll del Prmedi lumétric 7. Resultads a. Ecuacines Prmedi y ceficientes efectivs de transprte i. De la región prsa 20 ii. De la fase gas 25 iii. De la fase líquida 30 b. Discusión 35 b.1 Discusión 2ª etapa 39 I. Cnclusines 41 II. Nmenclatura 43 III. Bibligrafía 46

I. Intrducción En este trabaj se mdeló el transprte de energía en el prces de hidrdesulfuración (HDS) en un reactr trifásic, mediante la deducción de ecuacines prmedi ( de medi efectiv), también se plantea la metdlgía para el cálcul de ls ceficientes efectivs asciads a las ecuacines prmedi. Baj diferentes punts de vista ls reactres se han clasificad pr frma física, pr cndicines de peración, y pr las fases que ls cnstituyen. Ls reactres químics trifásics se han bservad cm sistemas cmplejs [Gates y Cl., 1979], sin embarg se han estudiad y prpuest mdels matemátics que ls representen, para ser utilizads en su ptimización y simulación. En este estudi de un reactr de lech fij, para el prces de HDS, se presentan las cnsideracines sbre las interaccines entre las fases, es decir el cntact físic que existe entre ellas; Región Prsa, Fase Líquida y Fase Gas, que se realizan para el desarrll del mdel, así cm ls balances de energía puntuales que l representan, en la descripción del sistema ( III). Ls mdels para la representación e interpretación de prcess en áreas cm la Ingeniería Química, sn cruciales. De est se desprende el estudi para la deducción del mdel mencinad a partir de ls desarrlls de las ecuacines prmedi para cada fase (Apéndices A.1 a A.11), mediante la aplicación del métd del Prmedi lumétric [Whitaker, S., 1999]; en la sección de Metdlgía ( I) se detalla el métd, sin embarg cabe señalar que el tratamient matemátic y desarrll algebraic se presenta en ls apéndices señalads, para n perder la cntinuidad en la expsición de resultads y cnclusines de esta investigación. Las ecuacines prmedi y la expresión de ls ceficientes efectivs de transprte de energía, se presentan resumids en la sección de resultads (.a y.b). En la sección 1

I, se presenta un resumen de ls resultads btenids para el mdel de un sistema trifásic cm el de un reactr de HDS. a. Antecedentes El us de reactres químics en la industria, es sin duda una de las actividades más cmunes, y debid a est, el estudi y cmprensión de ls fenómens que se presentan en ells, representa un ampli camp de trabaj, que incluye desde la btención y análisis de dats experimentales hasta la prpuesta de mdels matemátics que describan el cmprtamient de estas unidades. Es así cm desde ls inicis de la ingeniería química se tiene cncimient de algunas descripcines de reactres químics, cm la prpuesta realizada pr diverss autres [McCabe y Cl., 1965; Carberry, 1976], dnde se dice que un reactr químic es la pieza fundamental de un prces, y se mdela mediante balances de materia y energía en ecuacines diferenciales ya sean estas, parciales u rdinarias, derivads del análisis de un element de vlumen, etc.; cntinuand cn tras descripcines y representacines de reactres químics realizadas pr diferentes autres [Aris, 1973; Krsten y Cl. 1996]. Otr aspect imprtante dentr del camp de acción de este tip de investigación sn, sin duda, ls mdels cinétics que en cnjunción cn ls mdels tradicinales prmediads frecen tra alternativa en el mdelad y simulación de reactres químics, en particular para el presente desarrll, la hidrdesulfuración (HDS). En este sentid el estad del arte indica de manera general la siguiente descripción para el mencinad prces. El azufre está presente en diversas frmas en las fraccines de petróle: Mercáptans R-SH, sulfurs R-S-R, disulfurs R-S-S-R, tifen, benztifen, dibenztiefen y sus derivads alquilads [Frment, 1994]. El prces de HDS es, básicamente, el tratamient de fraccines de petróle, cn hidrógen en presencia de un catalizadr, cm ya se ha mencinad, en un reactr trifásic de lech fij, a l que debe incluirse la transferencia de calr y masa, la hidrdinámica del sistema y la cinética invlucrada en la misma, a este respect se puede mencinar la cinética prpuesta pr Frment [Frment y Cl., 1994], trabaj en el cual se cncluye acerca de la prblemática que representa el sistema en cuant 2

a la hidrdinámica, la naturaleza de la crriente de alimentación, el cálcul de prpiedades termdinámicas y del aspect cinétic del prces; l cual presenta la prtunidad de cntinuar desarrlland este tema en función de las diferentes áreas mencinadas, es decir que, se presenta la prtunidad de prpner y evaluar mdels de reactres de HDS de fraccines de petróle, encntrads en la literatura cm prducts de la aplicación de tras metdlgías. Debid al desarrll tecnlógic y académic en diferentes etapas y grads de avance, se encuentran en la literatura planteamients de mdels desde ls que cnsideran el criteri de Mars, el cual indica la imprtancia de ls efects de la dispersión axial en un reactr [McCabe y Cl., 1965], pasand pr las bservacines sbre la interpretación del fluj de fluids mediante mdels hidrdinámics [Sicardi y Cl., 1980], hasta la prpuesta de mdels en ecuacines diferenciales rdinarias; es decir, simplificand ls mdels cnsiderand peración adiabática, catalizadr istérmic, cntribución pr cnvección y cnducción debid al transprte de entalpía pr la transferencia de masa interfacial [Frment y Cl., 1994], así cm mdels que cnsideran peración adiabática e isbárica del reactr, y la n presencia de evapración cndensación, etc., para un reactr de HDS [Krsten y Cl., 1996]; también debe mencinarse ls mdels llamads reactres ideales, (a) Reactr discntinu, (b) Reactr de fluj pistón y (c) Reactr de mezcla cmpleta, tds ests estudiads en el text Ingeniería de las Reaccines Químicas [Levenspiel, O.,1997]. Dentr de la métds, para la btención de mdels de reactres multifásics se encuentra el Métd del Prmedi lumétric [Whitaker, S., 1999]. Esta metdlgía frece la alternativa de btener ls balances de cantidad de mvimient, materia y energía, en términs de cantidades prmedi, definidas mediante un peradr; cnsiderand la transferencia de energía en sus diverss mecanisms entre las diferentes fases. A este particular se encuentran diferentes desarrlls en temas cm slidificación de mezclas binarias cn dispersión en estructuras ramificadas [Busquet-Melu y Cl. 2002], transprte en medis hetergénes [Chang, 1982a], mdels de reactres de lech empacad [Chang, 1982], difusión y cnducción efectiva en ds fases [Chang, 1983], difusión y reacción en medis hetergénes [Ocha-Tapia, J. A., 1988], mdel de una 3

ecuación en sistemas de ds fases [Ocha-Tapia, J. A., 1991], difusión en medis prss [Ocha-Tapia y Cl, 1993], transprte difusiv en ds fases [Ocha-Tapia y Cl, 1994], transferencia de calr en la frntera de un medi prs [Ocha-Tapia y Cl, 1998], transprte en medis prss rdenads y desrdenads [Quintard, M y Cl, 1994], restriccines del equilibri térmic lcal [Whitaker, S., 1991] y el prpi métd del prmedi vlumétric [Whitaker, S., 1999]. Así que la cnveniencia del estudi del cmprtamient de un reactr trifásic de lech fij de hidrtratamient de fraccines de petróle, baj el métd del prmedi vlumétric, representa la cmprensión de ls fenómens de transferencia de energía y pr ende la futura psibilidad de prpner mdels de simulación y ptimización de prcess químics baj esta metdlgía. b. Justificación El interés fundamental pr intrducir un desarrll en ecuacines prmedi para btener un mdel de reactr radica en la necesidad de incluir en su cas excluir, las resistencias a la transferencia de calr que deben cnsiderarse para la peración de este tip de reactres, así cm la necesidad de un desarrll que cntemple el escalamient del reactr, ya que se advierten diferencias imprtantes entre la peración a nivel labratri y la peración industrial (Fgler, H. S., 2000) y debid a la cmplejidad de ls sistemas reactivs actuales, cm pr ejempl ls que se llevan a cab en la industria petrquímica, tal cm el prces de HDS, en un reactr de lech fij; es necesari encntrar metdlgías y herramientas, que interpreten el cmprtamient del reactr baj diferentes cndicines de peración, dnde al reslver las incógnitas parámetrs, se cnsiga explicar ls fenómens presentes y de esta frma estar en psición de instrumentar mds de peración para el mejr rendimient y eficiencia de un reactr químic. Entnces la prpuesta de un mdel en ecuacines prmedi, que cuantifique ls diferentes tips de transprte de energía, y permita el cálcul de ceficientes efectivs de 4

transferencia de calr, en tres fases, prblema n resuelt en la bibligrafía cnsultada y que se cita cm una necesidad, así cm el btener mdels en tres fases para n perder de vista ls efects de ls fenómens de transprte cm l deduce Satterfield (1975) en un estudi sbre reactres de lech empacad, así cm la imprtancia en ls camps de diseñ, simulación y ptimización de prcess. Pr ls mtivs antes expuests se exhibe necesaria la generación de un mdel en ecuacines prmedi de energía de un sistema trifásic cm el de un reactr de HDS. 5

II. Objetivs a. Deducción de un mdel para el transprte de energía en el reactr de HDS en términs de ecuacines prmedi b. Planteamient de ls prblemas de valr a la frntera de cuya slución se btienen ls ceficientes efectivs de transferencia de energía asciads a las ecuacines prmedi 6

I. Metdlgía La metdlgía, el Métd del Prmedi lumétric [Whitaker, 1999], seleccinada pr ls mtivs expresads en la intrducción y la justificación, se ha utilizad en diferentes casines para el estudi de prblemas en una y ds fases, Ocha-Tapia y Cl. (1991), Ocha-Tapia y Cl. (1994), así cm pr Quintard y Whitaker (1994), entre trs citads en ls antecedentes ( I.a). En este text se tratará un sistema de tres fases; también debe mencinarse el us de métds matemátics aplicads en parte de la metdlgía de este trabaj, tales cm el métd de superpsición de variables en prblemas de valr a la frntera, y el métd de separación de variables para reslver ecuacines diferenciales, así cm el de la celda de Chang, métd este últim que permite calcular slucines analíticas, cuand en la literatura generalmente se presentan slucines numéricas, de ls prblemas de cerradura generads pr el prmediad de las ecuacines puntuales del sistema y cnsta de circunferencias cncéntricas en las cuales se distribuyen las fases y se les asignan radis característics a cada fase, teniend así identificadas las interfases frmadas pr el cntact entre las fases, y cndicines de frntera hmgéneas prpuestas pr el métd, facilitand la slución de ls prblemas de cerradura mencinads. La finalidad de aplicar el Métd del Prmedi lumétric es btener las ecuacines prmedi de energía para cada fase, es decir el mdel del transprte de energía de un sistema trifásic. El desarrll del métd es cmplej y larg, pr l tant en el cuerp principal del trabaj se resumen ls pass imprtantes del desarrll, y ls detalles del mism se presenta en ls apéndices listads al final de esta sección, sin embarg a l larg de la sección se recurre a ests apéndices para la explicación de alguns de ls resultads que así l requieren. a. Descripción El métd del prmedi vlumétric es una técnica que puede aplicarse para la derivación rigursa de las ecuacines de cnservación en sistemas multifásics. Est significa que las ecuacines puntuales que describen el transprte de energía, en este cas, sn válidas 7

dentr de una fase en particular, per pueden suavizarse espacialmente para prducir ecuacines prmedi que sn válidas en cualquier punt del sistema [Whitaker, 1999]. De acuerd a l anterir el cnjunt de ecuacines puntuales que describen el transprte de energía en el sistema multifásic está dad pr: Ecuación de energía Para las fases fluidas Para la región prsa T ρ para α =, (I.1) α t α ( Cp ) + vα Tα = ( kα Tα) T t ( ρcp ) ( k T ) = +Φ (I.2) en dnde ρ es la densidad, C p la capacidad calrífica, k la cnductividad térmica, prpiedades cnsideradas cnstantes en el vlumen que se muestra en la Fig. 3-3. Además T es la temperatura, y v la velcidad; Φ es el términ de generación de calr debid a la reacción química que se lleva a cab en la región prsa. Ls subíndices α =, y indican la fase gas, líquida y región prsa respectivamente. Entnces el calr de reacción está dad pr la expresión: i= n T R ( ) (I.3) Φ = a Η ve i i i= L Dnde a ve es el área específica dnde se lleva a cab la reacción, i-ésim cmpnente y R i la tasa de reacción del Η i la entalpia de reacción de la i-ésima reacción química respectivamente. Las ecuacines (I.1) y (I.2) están sujetas a las siguientes cndicines de frntera interfacial. 8

Interfase líquid gas ρ n ( q q ) + n ( v w ) ρ ( h h ) P 1 = 0 (I.4) ρ Dnde T = T = T (I.5) n es el vectr nrmal a la fase y en dirección a la fase, q α es el flux de calr, ρ α la densidad y h α la entalpía de cada fase región, para α =,,. Interfase líquid partícula catalítica T = T = T (I.6) ( ) = 0 n q q (I.7) En la ecuación (I.4) ngl w es la rapidez de desplazamient de la interfase gas-líquid. Así mism es imprtante mencinar que las ecuación (I.5) y (I.6) representan el cncept de equilibri térmic lcal, el cual prpne la existencia de una sla temperatura en cada interfase que representa la cntinuidad de la temperatura. Además, el flux pr cnducción es q α kα Tα para α =,, (I.8) Y ls símbls restantes tienen el significad ya mencinad. A cntinuación se presenta el desarrll cndensad de la metdlgía prpuesta para la deducción de un mdel en términs de ecuacines prmedi. 9

b. Desarrll Partiend de las ecuacines puntuales de transprte de energía del sistema, ecuacines (I.1) y (I.2), se btienen las ecuacines prmedi, cn el fin de btener un mdel de tres ecuacines, cnsiderand el vlumen de la Fig. 3-3, se desarrlla el prmedi lcal para cada fase, bteniend La ecuación prmedi para la región prsa(), 1 1 C T k ρ ε T n T da = ε + % + n k T da t A A ( p ) ( ) + ε Φ (I.9) Ecuación prmedi de la fase líquida () ( p) ( ) 1 ρc ε T + n ( ρc p) T( v w) da t A ( t) 1 + n v w + v A ( t) ( ρcp) T ( ) da ( ρcp) ( ε T ) 1 1 k = T T da n T da ε + n % + % ( C p ) v T ρ % % A () t A () t 1 1 + n k T da + n k T da ( ) A t A () t (I.10) 10

Ecuación prmedi de la fase gas() ( ) ( ) 1 ρcp ε T + n ρcp T v w da+ ρcp ε v T t A ( t) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 = εk T + n T% da ( C p ) v T + n k T da ρ % % A ( t) A ( t ) (I.11) Ls detalles de la deducción de las ecuacines (I.9) a (I.11), se presentan en el Apéndice A.1, dnde se emplearn las siguientes definicines: ψ α 1 = ψαd α prmedi superficial de la fase (I.12) ψ α α 1 = ψαd prmedi intrínsec de la fase (I.13) α α α α α α ψ% = ψ ψ desviación espacial (I.14) α ε = fracción vlumen de la fase α (I.15) α Dnde ψ α puede ser T α ó v α. En las ecuacines (I.12) a (I.15) el vlumen representa el vlumen de muestra de la Fig. 3-3 y α representa el vlumen de la fase α cntenid en la muestra, pr últim ε α es la fracción vlumen de cada fase. Las fraccines se cnsideran cnstantes en el resultad final. Para llegar a las ecuacines (I.9) a (I.11) se intrduj la variable llamada desviación espacial de la temperatura T α %, y el prmedi de la temperatura en las tres fases. Pr ell se requiere btener las ecuacines diferenciales de las desviacines, para reslver y btener la frma de las desviacines de la temperatura, prcedimient que se lleva a cab mediante la aplicación la definición (I.14) 11

y se presenta en extens en el Apéndice A.2; entnces la ecuación para las desviacines de la temperatura en las diferentes fases sn: Para la región prsa (), está dada pr Ecuación para T% Para la fase gas se tiene Ecuación para T% ( ρ p) v ( ρ p) 1 0 = Ñ kñ T% n kñ T% da (I.16) A C p C Ñ T % + C v% Ñ T + M & T 144424443 1442443 Para la fase líquida se tiene Ecuación para T% ( ρ p) v ( ρ p) Fuente Fuente Fuente 1 Ñ ( k T % )- n kñ T % da (I.17) = A C p C Ñ T % + C v% Ñ T M & T 144424443 1 442 4 43 Fuente ( t) 1 1 = Ñ kñ T% n kñ T% da n kñ T% da (I.18) A ( t) A ( t) Sujetas a las siguientes cndicines de frntera En A ; T% = T% + T T 1 4 2 4 43 Fuente (I.19) 12

n Ñ % n Ñ % + n Ñ n Ñ 1442443 1442443 Fuente Fuente M& ρ + ρ h + ρ 1 ρa ρ 1444442 444443 Fuente (I.20) En A ; T% = T + T% T (I.21) { { Fuente Fuente n Ñ % = n Ñ % + n Ñ n Ñ (I.22) 1442443 1442443 Fuente Fuente Prmedis T% = 0 T% = 0 T% = 0 (I.23) Peridicidad ( r+l ) = T ( r) T % % (I.24) i ( r+l ) = T ( r) T % % (I.25) i ( r+l ) = T ( r) T % % (I.26) i Del análisis de la ecuacines (I.16) a (I.18), se determina la necesidad de cncer T % α, tmand en cuenta que existen fuentes generadras de estas desviacines, identificadas cm ls términs de las ecuacines (I.16) a (I.23), que n están sól en función de las variables de desviación, es decir aquells términs que en su estructura cntienen cntribucines diferentes a las desviacines, pr ejempl prmedis de alguna variable, términs puntuales de las mismas. A este punt se especifican las cntribucines pr evapración, transprte interfacial y transferencia de calr debid al calr sensible de las fases, entre trs. Se prpne entnces la frma de las desviacines basándse en las 13

fuentes mencinadas, a esta prpuesta se le cnsidera cm una de las cntribucines del trabaj; tmand en cuenta que si bien las ecuacines diferenciales de las desviacines de la temperatura sn diferentes para cada fase también es ciert que pdems prpner una slución similar de la temperatura para cada fase cn el fin de btener prblemas tip e intentar generalizar las slucines, cm una cnsecuencia lógica de este tratamient se desprende cm resultad que alguns de ls términs invlucrads en las ecuacines slución n existirán, y en parte debid a que alguns de ests términs darían razón del cntact entre las fases gas y región prsa, cntact inexistente debid a la descripción del sistema, así la slución prpuesta a las desviacines de la temperatura en las tres fases se escribe cm: ( ) ( ) T% = b Ñ T + b Ñ T + b Ñ T + S T T + S T T + r M& T + r M& T + mm& ( ) ( ) T% = b Ñ T + b Ñ T + b Ñ T S T T + S T T + r M& T + r M& T + mm& ( ) ( ) T% = b Ñ T + b Ñ T + b Ñ T + S T T S T T + r M& T + r M& T + mm& (I.27) (I.28) (I.29) Dnde ls términs del tip b Ñ T α en las ecuacines (I.27) a (I.29) indican αβ α cntribucines de tip difusiv pr la estructura de ls términs de dnde prvienen y se han señalad, ls términs del tip S ( T T ) α β αβ α β en (I.27) a (I.29) indican transferencia de energía similar a la ley de enfriamient; y ls términs que cntienen M& dependen de la tasa de evapración que curre en el prces. Ls ceficientesb αβ, S αβ, r αβ, M&, y m α se cnsideran cnstantes en este desarrll, aquí α, β =, y, para las ecuacines (I.27) a (I.29). Las variables restantes mantienen el mism significad. 14

De acuerd a la inserción de las variables definidas cm desviacines de la temperatura T α %, se requiere entnces reslver prblemas llamads de cerradura, es decir encntrar el valr de ls ceficientes de las ecuacines (I.27) a (I.29) que cnstituyen las desviacines. En este sentid se presentan ls prblemas de cerradura generads al sustituir las definicines (I.27) a (I.29) en las ecuacines (I.16) a (I.18) y sus respectivas cndicines de frntera aplicand álgebra en esta peración, así cm la cnsideración de fals estad estacinari debid a las restriccines impuestas en las ecuacines (A.2.28) y (A.2.29) del Apéndice A.2, que dicen que la variación de las desviacines cn respect al tiemp es menr que el prduct de la cnductividad térmica cn el Laplacian de las desviacines, es decir, la cntribución de las variacines pr acumulación es menr que la realizada pr el términ de cnducción; el desarrll en extens de este prcedimient se puede cnsultar en el Apéndice A.3; entnces al realizar las peracines mencinadas se generan ch prblemas de cerradura, cada un cn tres ceficientes descncids, pr ejempl para ls ceficientes b, b y b, se tiene el prblema I dad pr: Prblema I Prblema de b, b y b En la región : 2 1 k =ε b c (I.30) En A b = b (I.31) y n k b = n k b + n k (I.32) 2 1 1 En la fase : ( ) ρc v b = k b + ε c + ε c (I.33) p En A b = b (I.34) y n k b = n k b (I.35) En la fase : ( ) 2 1 ρc v b = k b ε c (I.36) ρ = = = Prmedis b 0 b 0 b 0 (I.37) Cndición de Peridicidad b ( r+l ) = b ( r ) b ( r+l ) = b ( r ) ( ) = ( ) i i b r+l b r (I.38) i 15

El ttal de ls prblemas de cerradura se presenta en el Apéndice A.3, cm ya se ha mencinad, en las ecuacines (I.30) a (I.38) ls ceficientes c αβ, sn cntribucines pr el intercambi de energía interfacial cn la frma general dada pr 1 A αβ n k b αβ α αβ da y el desarrll para la definición de estas cntribucines se presenta en el Apéndice A.2. El prcedimient para slucinar las ecuacines diferenciales de las desviacines es frmand prblemas de valr a la frntera, pr el métd de superpsición de variables, para btener prblemas mens cmplejs de reslver analíticamente, sin embarg, aun se presentan demasiad cmplejs, para el desarrll general cnsultar el Apéndice A.7. En este sentid se presenta a cntinuación la frma en la que se aplica el métd de superpsición de variables a ls prblemas de cerradura, para esta aplicación es necesari prpner una descmpsición de cada variable de las desviacines en diversas cntribucines resultad del análisis de la estructura del prblema de cerradura, ecuacines (I.30) a (I.38), pr ejempl en la ecuación (I.33) se tienen cntribucines que cntienen c y c, términs invlucrads en las ecuacines (I.30) y (I.36) respectivamente, así la descmpsición de variables de cerradura en base a este análisis para este ejempl, está dad pr: b = b + B c + A c (I.39) b = b + B c + A c (I.40) b = b + B c + A c (I.41) Cm una cnsecuencia lógica de la metdlgía que se sigue, es necesari encntrar la frma de ls ceficientes c, cn α, β =,,, y para est se hace valer la cndición αβ dada pr la ecuacines (I.37), que dicen que el prmedi intrínsec de la temperatura en las tres fases es igual a cer, entnces aplicand esta cndición y la definición de la ecuacines (I.39) a (I.41), pueden escribirse las siguientes expresines para ls ceficientes efectivs: 16

c c ( ) 1 b A (I.42) ( ) 1 b B (I.43) (.) las ecuacines (I.34) a (I.36), sn un de ls resultads intermedis necesaris para la deducción de un mdel de transprte de energía en ecuacines prmedi, y a este respect ls ceficientes de las ecuacines en mención quedarán determinads al reslver el prblema de cerradura de este trabaj. Cm puede bservarse en las ecuacines (I.31) a (I.33), están presentes las cntribucines región prsa, el ceficiente c c y c, ya mencinadas; y si bien en la, n participa, y pr tant su valr es cer, es necesari prpner estas frmas para la simplificación de la slución de ls nuevs prblemas generads pr el métd de superpsición de variables para btener prblemas hmgénes, cm ls aquí presentads: Aplicand las descmpsicines (A.7.1) a (A.7.3) del Apéndice A.7 al primer prblema de cerradura (apéndice A.3), se tiene: En la región Prsa : B A (I.45) 2 1 0 = k b + c + c ε c Sujeta a las siguientes cndicines a la frntera: En la interfase A y b + B c + A c = b + B c + A c (I.46) n k b + B c + A c = n k b + B c + A c + n k (I.47) En la fase : 2 ( ρcp ) k v b + B c + A c = b + B c + A c + ε c + ε c 1 1 (I.48) 17

Sujeta a: En la interfase A b + B c + A c = b + B c + A c (I.49) y n k b + B c + A c = n k b + B c + A c (I.50) En la fase 2 1 ( ρcp ) + B + A = k + B + A ε v b c c b c c c (I.51) Prmedis Peridicidad = = = b 0 b 0 b 0 (I.52) b ( r+l ) = b ( r ) b ( r+l ) = b ( r ) ( ) = ( ) i i b r+l b r (I.53) i Cntinuand cn la estrategia utilizada, se genera el siguiente cnjunt de prblemas de valr a la frntera, para cada ceficiente de ls utilizads en la frma prpuesta para las desviacines de la temperatura y se escribe a manera de ejempl el primer prblema para el ceficiente b de la ecuación (I.31) que indirectamente define el ceficiente b de la ecuación (I.19); el prcedimient para el ttal de ls ceficientes se presenta en el Apéndice A.7, dnde se desarrlla pas a pas la btención de este resultad: Prblema I En la región : 2 b = En la interfase A b = b 0 (I.54) (I.55) En la fase : n k b = n k b + n k (I.56) 2 ( ρ Cp ) = k v b b (I.57) 18

En la interfase A b = b (I.58) n k b n k b (I.59) En la fase 2 ( ρ Cp ) = k = v b b (I.60) = = Prmedis b 0 b 0 b 0 (I.61) Cndición de peridicidad b ( r+l ) = b ( r ) b ( r+l ) = b ( r ) ( ) = ( ) i i b r+l b r (I.62) i De esta manera se frman ls prblemas de valr a la frntera cn características en su estructura tales que permiten cnsideran la aplicación de celdas para la slución de ls misms, las celdas mencinadas sn herramientas que permiten tener cndicines de frntera hmgéneas partiend de la cnsideración de la cndición de peridicidad ecuacines (I.54), en el vlumen muestra, generándse valres cncids de las variables en las interfases del sistema. Existen diferentes tips de celdas en la literatura; la idea general de estas celdas se basa en que una celda unitaria rectangular cntenga la las fases dispersas del sistema y que las cndicines de frntera cambien en la nueva frntera creada pr cada celda, de este md se generan celdas unitarias simétricas para medis prss espaciads periódicamente, una prpuesta de esta metdlgía se encuentra en ls Apéndices A.9 y A.10, sin embarg para efects de este trabaj sól se mencina cm anex al resultad, que es el mdel en ecuacines prmedi de energía, btenidas a este punt. En la Sección siguiente se presentan ls resultads btenids de la aplicación del Métd del Prmedi lumétric a un sistema trifásic. 19

. Resultads a. Ecuacines Prmedi y ceficientes efectivs de transprte En esta sección se presentan las ecuacines prmedi de energía del sistema trifásic, este cnjunt de ecuacines es el mdel que pdrá predecir el cmprtamient de ls perfiles de temperatura generads pr ls diferentes prcess de intercambi de calr en el sistema. i. De la región prsa Para la región prsa, la ecuación prmedi está dada pr la expresión: T ρc ε + u T + u T + u T 144424443 t 1444444 42444444443 ( p ) Acumulacin Cnveccin ( T T T ) a h1 ( T T ) = + + + 144444444424444444443 144424443 Difusin Transprte intefacial ( ) ( & ) ( ) + a h2 T T + f M T + f T + f T + e M& 144424443 1444444444244444444443 Transprte intefacial Transprte pr evapracin + ε Φ 142 43 Generacin pr reaccin (.1) En la ecuación (.1), el primer términ del lad izquierd es de acumulación y del segund a cuart términs refieren de cntribucines tip cnvección, mediante ls ceficientes efectivs que invlucran, u, u yu. Así el primer términ del lad derech de la ecuación indica el transprte pr cnducción, segund y tercer de intercambi de calr interfacial en frma de ley de enfriamient, cuart y quint términs invlucran la evapración y el últim el calr pr reacción química; que se lleva a cab en la Región Prsa. 20

La ecuación (.1), está en función de ceficientes efectivs, cuys desarrlls cmplets se presentan en el Apéndice A.4, ls cuales se detallan a cntinuación: Dnde 1 ε k K = da I + n b Tensr de cnductividad térmica efectiva (.2) A b = b + B c + A c (.3) Pr el métd de superpsición de variables (Apéndice A.7) y c c ( ) 1 b A (.4) ( ) 1 b B (.5) Dnde εk K = da n b Tensr de cnductividad térmica efectiva (.6) A b = b + B c + A c (.7) Pr el métd de superpsición de variables (Apéndice A.7) y c c ( ) 1 b A (.8) ( ) 1 b B (.9) 21

Dnde k K = da n b Tensr de cnductividad térmica efectiva (.10) A b = b + B c + A c (.11) Pr el métd de superpsición de variables (Apéndice A.7) y c c ( ) 1 b A (.12) ( ) 1 b B (.13) Dnde = + k u c n A S da Ceficiente efectiv tip cnvección S = S + d h + p h 1 3 (.14) (.15) Pr el métd de superpsición de variables (Apéndice A.7) y h 1 S p (.16) h 3 S d (.17) u k k = c + S da + r da M n n & A A Ceficiente efectiv tip cnvección (.18) 22

Dnde S = S + dh+ ph 2 4 (.19) Pr el métd de superpsición de variables (Apéndice A.7) y h 2 S p (.20) h 4 S d (.21) Y además r = r + d f + p f (.22) Pr el métd de superpsición de variables (Apéndice A.7) y f r p (.23) f r d (.24) k k k u = c n S da n S da + r da n M& A A A Ceficiente efectiv tip cnvección (.25) Dnde ls ceficientes S, S y r mantienen el significad dad. A este punt es necesari mencinar que ls tensres efectivs de cnductividad térmica, y y ls efectivs de tip cnvección u, u y u, se han desarrllad para la región prsa y 23

se espera que alguns de ells n existan en el mdel final que su cntribución sea despreciable cn respect a sus símil en el prces de transprte y pr l tant n se cnsideren. Al slucinar ls prblemas de cerradura crrespndientes a ls ceficientes de este de las ecuacines (.1) a (.25) en el Apéndice 10, se btiene el resultad para la ecuación prmedi y ls ceficientes efectivs de la región prsa baj la cnsideración de que n se tiene presencia de un camp de velcidad cm una primera aprximación de slución mediante la aplicación de la Celda de Chang: T ( Cp ) = ( T T T ) ρ ε K + K + K + ε Φ (.26) t Dnde K 1 = ε k ( ξb1 Cs ( θ) ) da I + n A α K K εk = n α A k = n α A Tensr de cnductividad térmica efectiva ( ξb2 Cs ( θ) ) da Tensr de cnductividad térmica efectiva ( ξb3 Cs ( θ) ) da (.27) (.28) Tensr de cnductividad térmica efectiva (.29) u = 0 Ceficiente efectiv tip cnvección (.30) u = 0 Ceficiente efectiv tip cnvección (.31) u = 0 Ceficiente efectiv tip cnvección (.32) Las ecuacines (.27) a (.29) sn la expresión de ls tensres de cnductividad térmica efectiva btenids para la región prsa del sistema y ls valres btenids para 24

u, u y u, ecuacines (I.30) a (I.32) sn ls btenids pr el hech de n tener cntribución de velcidad. ii. De la Fase Gas Para la Fase Gas, la ecuación prmedi está dada pr la expresión: T ε ( C ) ( ) ρ p ε + T + εe& + ρcp { ( ε v T ) t t 14444 424444443 Acumulacin Transprte de Calr Sensible net entre fases ( ) ( ) Transprte interfacial pr enfriamient 1444 42444443 Cnveccin + u T + u T + u T 1444444 42444444443 Cnveccin εk = { Ñ T + Ñ T + Ñ T } + m da M n & 144444444424444444443 Cnduccin A ( t) 1444442444443 Flux interfacial a h3 T T a h4 T T + f M& T + f M& T + em& 1444444442444444443 144444 4244444443 Transprte interfacial pr evapracin (.33) En la ecuación (.36), el segund términ del lad izquierd de la ecuación es la cantidad de calr sensible acarread entre fases, el tercer términ de cntribución pr cnvección. El segund términ del lad derech de la ecuación es del intercambi de calr interfacial. Ls términs n mencinads representan la misma cntribución que su símil en la región prsa. La ecuación (.36), está en función de ceficientes efectivs, cuys desarrlls cmplets se presentan en el Apéndice 5, que a cntinuación se detallan: Rápidez de calr 1 sensible net acarread E& = n C T v w da = = pr la cantidad de líquid A ( t) de a ( ρ p ) ( ) [ ] E t 25

y M& Rápidez de evapración n ( v w) = = = M& ρ a neta de la fase líquida De igual frma se tienen ls ceficientes efectivs: Dnde 1 = ε k I + nb da Tensr de cnductividad térmica efectiva (.34) A ( t) b = b + B c + A c (.35) Pr el métd de superpsición de variables (Apéndice A.7) y c c ( ) 1 b A (.36) ( ) 1 b B (.37) Dnde εk = da n b Tensr de cnductividad térmica efectiva (.38) A ( t) b = b + B c + A c (.39) Pr el métd de superpsición de variables (Apéndice A.7) y c c ( ) 1 b A (.40) ( ) 1 b B (.41) 26

Dnde εk = da n b Tensr de cnductividad térmica efectiva (.42) A ( t) b = b + B c + A c (.43) Pr el métd de superpsición de variables (Apéndice A.7) y c c ( ) 1 b A (.44) ( ) 1 b B (.45) ε k ε k u = c S da + r da M n n & A ( t) A ( t) Ceficiente efectiv tip cnvección (.46) Dnde S = S + d h + p h 4 2 (.47) Pr el métd de superpsición de variables (Apéndice A.7) y h 2 S p (.48) h 4 S d (.49) Y además r = r + d f + p f (.50) 27

Pr el métd de superpsición de variables (Apéndice A.7) y f r p (.51) f r d (.52) εk u = c + ns da A ( t) Dnde Ceficiente efectiv tip cnvección (.53) S = S + dh+ ph 3 1 (.54) Pr el métd de superpsición de variables (Apéndice A.7) y h 1 S p (.55) h 3 S d (.56) εk εk εk u = c n S da S da r da M + n + n & A ( t) A ( t) A ( t) Ceficiente efectiv tip cnvección (.57) 28

Dnde ls ceficientes mantienen el significad mstrad. En la fase gas, ls ceficientes, y, sn ls tensres de cnductividad térmica efectivs y ls ceficientes uuu, sn ls ceficientes efectivs de tip cnvección. Al slucinar ls prblemas de cerradura, apéndice 10, se btiene el siguiente resultad para la ecuación prmedi y ls ceficientes efectivs de transprte: T ε ( ρcp ) ε + T = ( T + T T ) t t Ñ Ñ + Ñ (.58) 1 1 = ε k I + (( ξ ξ) B2 Cs ( θ) ) da n A ( t) µ εk = n A ( t) 1 (( ξ ξ) B1 Cs ( θ) ) µ Tensr de cnductividad térmica efectiva (.59) da εk = n A ( t) 1 (( ξ ξ) B3 Cs ( θ) ) µ Tensr de cnductividad térmica efectiva da (.60) Tensr de cnductividad térmica efectiva u = 0 Ceficiente efectiv tip cnvección u = 0 Ceficiente efectiv tip cnvección u = 0 Ceficiente efectiv tip cnvección (.61) (.62) (.63) (.64) 29

iii. De la Fase Líquida Para la Fase Líquida, la ecuación prmedi está dada pr la expresión: T ε ρc ε + ρc T + ε E& + ε E& 14444444244444443 t t 1 44 2 4 43 ( p) ( p) Acumulacin ( ρ p ) ( ε ) Transprte de Calr Sensible Net entre fases + C Ñ v T + u Ñ T + u Ñ T + u Ñ T 144444444444444 2444444444444443 Cnduccin Cnveccin = Ñ T + T + T Ñ Ñ Ñ 1444444444244444444443 k k + Ñ mda M mda n & + Ñ n M& A ( t) A ( t) 144444444444424444444444443 Flux interfacial ( ) ( ) ( & ) a h3 T T + a h4 T T f M T 144444444444424444444444443 Transprte interfacial pr enfriamient & ( ) + f M T em& 14444244443 Transprte interfacial pr evapracin (.65) En la ecuación (.65), debe ntarse que a diferencia cn la ecuación prmedi de la fase gas, la de la fase líquida, presenta cntribucines dbles pr un mism fenómen de transprte y est es debid a su interacción tant cn la región prsa cm cn la fase gas. Ls términs y sus cntribucines sn semejantes a ls de la fase gas. La ecuación (.65), está en función de ceficientes efectivs, cuys desarrlls cmplets se presentan en el Apéndice A.6, y a cntinuación se detallan ls resultads btenids en ls desarrlls mencinads: 30

1 1 = ε k I+ n b da + n b da A () t A () t Tensr de cnductividad térmica efectiva Dnde (.66) b = b + B c + A c (.67) Pr el métd de superpsición de variables (Apéndice A.7) y c c ( ) 1 b A (.68) ( ) 1 b B (.69) 1 1 = ε k n b da + n b da A () t A () t Tensr de cnductividad térmica efectiva Dnde (.70) b = b + B c + A c (.71) Pr el métd de superpsición de variables (Apéndice A.7) y c c ( ) 1 b A (.72) ( ) 1 b B (.73) 1 1 = ε k n b da + n b da A () t A () t Tensr de cnductividad térmica efectiva Dnde (.74) 31

b = b + B c + A c (.75) Pr el métd de superpsición de variables (Apéndice A.7) y c c ( ) 1 b A (.76) ( ) 1 b B (.77) k k k u = c c + n S da n S da + n r da M& A () t A () t A () t k k k + n S da n S da + n r da M& A () t A () t A () t Ceficiente efectiv tip cnvección Dnde S = S + d h + p h 3 1 (.78) (.79) Pr el métd de superpsición de variables (Apéndice A.7) y h 1 S p (.80) h 3 S d (.81) k k u = c c n S da n S da A () t A () t Ceficiente efectiv tip cnvección (.82) 32

Dnde ls ceficientes en (.82) cnservan su significad. k k k u = c c + n S da + n S da + n r da M& A () t A () t A () t k + n r da M& A () t Ceficiente efectiv tip cnvección (.83) Dnde ls ceficientes en (.83) cnservan su significad. Cm en la fase anterir, ls ceficientes, y, sn tensres de cnductividad térmica efectiva y u, u y u, ceficientes efectivs de tip cnvección, ambs tensres y ceficientes bjets de estudi de este trabaj, y aunque cm resultad se btienen las expresines analíticas, aún existe trabaj pr desarrllar, pr tra parte ests ceficientes se espera cntribuyan de frma incidente, mas n en la ttalidad de ls ceficientes en las ecuacines de transprte de energía btenidas al reslver ls prblemas de cerradura, Apéndice A.10, entnces el resultad para la ecuación prmedi y ls ceficientes efectivs de la fase líquida, de acuerd a l anterir y mediante la aplicación de la Celda de Chang, está dad pr T ε C + C T = Ñ T + T + T t t Ñ Ñ Ñ ( ρ p) ε ( ρ p) (.84) 1 1 1 1 = k (( ) B3 Cs ( )) da (( ) B3 Cs( )) da ε I+ n ξ + ε ξ θ + n ξ + ε ξ θ A () t A () t Tensr de cnductividad térmica efectiva (.85) β β 33

1 1 1 1 = ε k n (( ξ + ε ξ ) B1 Cs ( θ) ) da + n (( ξ + ε ξ ) B1 Cs ( θ) ) da A () t A () t Tensr de cnductividad térmica efectiva (.86) β β = ε k 1 1 1 1 n (( ξ + ε ξ ) B2 Cs( θ) ) da + n (( ξ + ε ξ ) B2 Cs ( θ) ) da A () t A () t Tensr de cnductividad térmica efectiva (.87) β β u = 0 Ceficiente efectiv tip cnvección (.88) u = 0 Ceficiente efectiv tip cnvección (.89) u = 0 Ceficiente efectiv tip cnvección (.90) El mdel en ecuacines prmedi de energía del sistema trifásic está cmpuest pr las ecuacines (.1), (.36) y (.84), las cuales están en función de ceficientes efectivs de transprte de energía que se han calculad en el Apéndice A.10. Cm se mencinó en ls bjetivs ( II), la frma de ls ceficientes efectivs de transprte de energía es tr de ls resultads del desarrll de este trabaj, ls cuales se btuviern para cuand n existe un camp de velcidad, cm aprximación de la slución del mdel de tres ecuacines. En la siguiente sección se presentan las cnclusines que sbre ls resultads se han frmad. 34

b. Discusión (Análisis cmparación de ls resultads de una investigación, a la luz de trs existentes psibles.) El mdel de un sistema trifásic cm el de un reactr de HDS en ecuacines prmedi de transprte de energía está dad pr el siguiente cnjunt de ecuacines, btenidas en el desarrll de este trabaj, cabe señalar que cm parte de la discusión de resultads se presenta el análisis de la presencia ausencia de alguns de ls términs que cmpnen cada ecuación, es decir en ls desarrlls y la sección de resultads se expnen las ecuacines cn la ttalidad de ls términs calculads y en esta parte de la discusión se agregan las cuestines físicas del sistema, cm pr ejempl la ausencia de un camp de velcidad en la región prsa, ya que está fija y pr l tant ls términs debids a la cnvección n aparecerán en la ecuación prmedi que mdela esta fase. A cntinuación se presenta este análisis. De la región prsa T ρ ε 144424443 t ( C p ) Acumulacin ( T T T ) a h1 ( T T ) = + + + 144444444424444444443 144424443 Difusin Transprte intefacial 2 ( ) + ( & ) + ( + + ) + a h T T f M T f T f T e M& 144424443 1444444444244444444443 Transprte intefacial Transprte pr evapracin + ε Φ 142 43 Generacin pr reaccin (.91) Se bserva en (.91) la presencia del términ de generación pr reacción química y se mencina debid a que sól aparece en esta ecuación indicand que en las fases líquida y gas únicamente existe transprte de energía y n generación. En una segunda etapa de discusión se presentará el mdel simplificad de acuerd a ls encntrads en la literatura. 35

De la fase líquida T ε ρc ε + ρc T + ε E& + ε E& 14444444244444443 t t 1 44 2 4 43 ( p) ( p) Acumulacin ( ρ p ) ( ε ) Transprte de Calr Sensible Net entre fases + C Ñ v T + u Ñ T + u Ñ T + u Ñ T 144444444444444 2444444444444443 Cnduccin Cnveccin = Ñ T + T + T Ñ Ñ Ñ 1444444444244444444443 k k + Ñ mda M mda n & + Ñ n M& A ( t) A ( t) 144444444444424444444444443 Flux interfacial ( ) ( ) ( & ) a h3 T T + a h4 T T f M T 144444444444424444444444443 Transprte interfacial pr enfriamient & ( ) + f M T em& 14444244443 Transprte interfacial pr evapracin (.92) La ecuación que mdela la fase líquida presenta cntribución pr cnvección a diferencia de la ecuación para la región prsa, y debid a la presencia de un camp de velcidad es que se cuenta cn términs del tip E& en (.92) y que simbliza el transprte de calr entre fases debid a la diferencia de velcidad entre las interfases, aunad a est el cntact físic entre la fase líquida cn las fases restantes, región prsa y fase gas, duplican las cntribucines del mism tip, especificand el transprte de energía pr diverss mecanisms hacia la región prsa y fase gas, cm ya se ha señalad y pr esta razón la ecuación prmedi para la fase líquida es la que presenta mayr númer de términs en cmparación cn las tras ds fases, que mdelan el transprte de energía en el sistema. 36

De la Fase Gas T ε ( C ) ( ) ρ p ε + T + εe& + ρcp { ( ε v T ) t t 14444 424444443 Acumulacin Transprte de Calr Sensible net entre fases ( ) ( ) Transprte interfacial pr enfriamient 1444 42444443 Cnveccin + u T + u T + u T 1444444 42444444443 Cnveccin εk = { Ñ T + Ñ T + Ñ T } + m da M n & 144444444424444444443 Cnduccin A ( t) 1444442444443 Flux interfacial a h3 T T a h4 T T + f M& T + f M& T + em& 1444444442444444443 144444 4244444443 Transprte interfacial pr evapracin (.93) La ecuación que mdela la fase gas presenta cntribución pr cnvección a diferencia de la ecuación para la región prsa, y debid a la presencia de un camp de velcidad es que se cuenta cn términs del tip E& en (.93) y que simbliza el transprte de calr entre fases debid a la diferencia de velcidad entre las interfases, es decir las cntribucines pr cnvección empiezan a cbrar imprtancia en el mdel, y clar la ausencia de términs de generación de calr debid a que la reacción química se lleva a cab en la región prsa. La ecuación para la fase gas se desarrlló cnsiderand las cndicines de frntera que presenta y debid a que sól tiene cntact cn la fase líquida, presenta menr númer de términs que la ecuación para la fase líquida cm puede bservarse al cmparar visualmente ambas y cuya razón se explica en el cntact de la fase líquida cn la región prsa, que la fase gas n presenta. 37

Cndicines de Frntera Las ecuacines prmedi para las tres fases, ecuacines (I.91) a (I.93) están sujetas a las siguientes cndicines de frntera. En la interfase región prsa fase líquida T + T% = T + T% (.94) n % = n Ñ % + n Ñ n Ñ (.95) En la interfase fase líquida fase gas T + T% = T + T% (.96) -n Ñ % n Ñ % + n Ñ n Ñ 1 442 4 43 1442443 Fuente Fuente M& ρ + ρ h + ρ 1 ρa ρ 1444442 444443 Fuente (.97) Dnde tdas las variables mantienen el significad dad a su aparición. Dentr del desarrll de este mdel se aplic el Métd del Prmedi vlumétric a cada una de las ecuacines que describen el transprte de energía en cada fase, y se debiern bservar las características de cada fase y pr l tant realizar el desarrll para cada ecuación, incluidas las cndicines de frntera mstradas en (.94) a (.97) dnde pr frmat las variables cntenidas en estas ecuacines se presentan sin la expansión que tiene cada una puest que se han definid anterirmente. 38

b.1 Discusión 2ª etapa Se ha mstrad el desarrll de la aplicación del Métd del Prmedi lumétric para la btención de un mdel de un sistema trifásic en ecuacines prmedi de transprte de energía, manteniend la rigursidad de las herramientas matemáticas utilizadas y de la tería de ls fenómens de transprte, sin embarg se cnsidera la simplificación del mdel btenid en base a ls presentads pr trs autres en la bibligrafía cnsultada y es en este sentid que se presenta el mdel en ecuacines prmedi de energía de un sistema trifásic simplificad. De la región prsa T 2 ρ ε = K T + ε Φ (.98) t ( Cp ) De la fase líquida T 2 ( ρcp ) ε = t T (.99) De la Fase Gas T ρ ε 2 = T (.100) t ( Cp ) Cndicines de Frntera En la interfase región prsa fase líquida T + T% = T + T% (.101) n % = n Ñ % + n Ñ n Ñ (.102) 39

En la interfase fase líquida fase gas T + T% = T + T% (.103) -n Ñ % n Ñ % + n Ñ n Ñ (.104) 1 442 4 43 1442443 Fuente Fuente Dnde tdas las variables tienen el mism significad ya mencinad. Cm puede bservarse en las ecuacines (.98) a (104), un mdel simplificad para un sistema trifásic puede dejar de lad algunas cntribucines que pudieran ser relevantes en el transprte de energía que se desarrlla en el reactr, siend estas cntribucines las relativas a la cnvección, el transprte interfacial pr mecanisms similares a la ley de enfriamient, la dependencia del tiemp de las fraccines vlumen en cada fase, así cm la cntribución pr la evapración y el transprte debid a cambis de fase, mecanisms cntemplads en el mdel en ecuacines prmedi de energía desarrllad en esta tesis; sin embarg es necesari pder cuantificar tds ests términs para cntemplar discriminar en frma definitiva su participación en el mdel, trabaj planead a futur en la cntinuación de este trabaj. Y aunque se ha presentad un ejempl de slución en esta sección de resultads baj la cnsideración de n tener un camp de velcidad mediante la aplicación de la celda de Chang (Apéndices A.9 y A.10), este ejempl se presenta cn la finalidad de precisar la alta dificultad que invlucra reslver de manera analítica el sistema y que las herramientas dispnibles cm ls métds matemátics utilizads en este trabaj han permitid generar un avance significativ en el mdelad de sistemas trifásics cm ls presentes en reactres de lech fij para el prces de HDS. En la sección siguiente se presentan las cnclusines que sbre ests resultads se han generad mediante el estudi y discusión del mdel btenid. 40

I. Cnclusines De acuerd a ls bjetivs planteads para este trabaj, y en virtud de ls resultads presentads, puede cncluirse que se satisficiern ls primers, mediante la btención de un mdel en ecuacines prmedi de energía de un sistema trifásic cm el de un reactr de HDS y de las expresines que permitirán el cálcul de ls ceficientes efectivs de transferencia de calr derivad de la aplicación del Métd del Prmedi lumétric. Ests resultads permitirán la simulación de un sistema trifásic, en la medida de la btención de ls balances de masa y el acple al btenid para energía; Así cm la metdlgía de slución de ls ceficientes efectivs. Para efects de la metdlgía de slución de ls ceficientes efectivs de transferencia de calr, se prpne el us de la Celda de Chang mdificada para trabajar en tres fases, la cual n ha sid aplicada al mens en la literatura cnsultada y que representa tra de las prpuestas imprtantes de este trabaj, esta metdlgía que se sigue en ls apéndices A.9 y A.10, dnde se btiene la frma de una de las variables de cerradura que cnfrman ls ceficientes efectivs de transferencia de calr, y que en ttal deben reslverse veinticuatr de ests prblemas para el mism númer de ceficientes; entnces cm se plantea en la cerradura del prmedi realizad y cnsiderand la existencia de un camp de velcidad cncid, ya que de este camp dependen tant la distribución de fases cm las cndicines de frntera que describan crrectamente el sistema cm ya se ha mencinad y en función de este arregl distribución de fases es que se presentarán diferentes términs de ls prpuests en las representacines de las desviacines de la temperatura y pr tant la cntribución de diferente tensres y ceficientes efectivs de transprte de energía, así cm de la frma de ls ceficientes de película calculads. Cabe mencinar que la prpuesta de slución de las desviacines de la temperatura permite la implantación de las cndicines de labratri e industriales, debid a que cntempla la interacción entre las tres fases en sus ceficientes dnde ls existentes para cndicines de labratri valdrán cer y, cnsiderand para este trabaj ls ceficientes actuantes en el mdel industrial. Para simular experiments a nivel labratri escala industrial sól se necesita la mdificación de las cndicines de frntera, ya que cm se mencinó en la descripción del sistema la distribución de fases es diferente en cada escala [Satterfield, 1975], sin embarg debid al rigurs desarrll 41

aplicad al mdel, este permitirá simular las ds escalas mediante la declaración de cndicines de frntera adecuadas a cada escala. Puede mencinarse también, que mediante la aplicación del Métd del Prmedi lumétric, partiend de las ecuacines puntuales que describen el sistema se btiene un cnjunt de tres ecuacines que describen el transprte de energía en cada una de las fases en términs de cantidades prmedi cncidas u bservables cnsiderand el mayr númer de mecanisms psible, mediante ls cuales se realiza el transprte de energía y señaland las expresines que cuantifican cada mecanism de transprte. De manera similar se btuv un mdel simplificad de transprte de energía en ecuacines prmedi para un sistema trifásic cn el cual se muestra la prbable misión de cntribucines de transferencia de calr, quizá relevantes en el transprte de energía que se bservan en alguns mdels tradicinales encntrads en la literatura. De igual frma al reslver el sistema se btiene la frma analítica de ls tensres y ceficientes efectivs de transferencia de calr asciads a ests diferentes mecanisms de transferencia de energía, siend est tra medida de la imprtancia de ls diferentes fenómens de transprte presentes en el prces y resultad pr demás imprtante debid a la escasez de resultads analítics para este tip de tensres y ceficientes. De la frma de ests tensres efectivs de cnductividad térmica y ceficientes efectivs cabe resaltar la relevancia de pder aprximar valres de ls misms cn la expresión analítica baj cndicines de prces ya que tradicinalmente se cuenta cn crrelacines a cndicines estándar fuera de ls rangs de peración deseads requerids. Cm trabaj futur se pretende reslver ls prblemas de cerradura mediante la aplicación del Métd de la Celda de Chang, cm el ejempl presentand, cn la salvedad de incluir un camp de velcidad y la infrmación requerida de ls balances de masa e hidrdinámica del sistema. Permitiend est la simulación del prces de HDS en un reactr de tres fases. 42