TEMA. MATRICES Y DETERMINANTES. DEFINICIÓN Un mtriz es un tbl de números ordendos en fils y columns de l siguiente form: n A m mn que es un mtriz de m fils y n columns, donde el elemento ij es el número que se encuentr en l fil i, column j. L designremos por A = ( ij ). Diremos que un mtriz es de orden m x n si tiene m fils y n columns. Ejemplo: A = es un mtriz x cuyos elementos son: =, =, =, =, = y =. Dos mtrices A y B son igules si tienen el mismo orden y los elementos que ocupn l mism posición coinciden.. TIPOS DE MATRICES Mtriz fil: Es quell que tn sólo tiene un column. Mtriz column: Es l que sólo tiene un fil. Mtriz nul: Es quell que tiene todos los elementos igules. Mtriz cudrd: Es l que tiene el mismo número de fils que de columns (m = n). Un mtriz cudrd n x n diremos que es de orden n. Ejemplo: A y B = respectivmente. son mtrices cudrds de orden y 9 En ests mtrices llmremos digonl principl los elementos ii. En l mtriz B nterior, l digonl principl está formd por los números, y 9. Mtriz identidd o unidd: Es un mtriz cudrd en l que los elementos de l digonl principl son y los demás. Ejemplo: I =
Mtriz digonl: Es l mtriz cudrd en l que son todos los elementos excepto los de l digonl principl. Ejemplo: D = 9 Mtriz tringulr: Es un mtriz cudrd en l que todos los elementos situdos por debjo (o por encim) de l digonl principl son. En el primer cso se llm tringulr superior y en el segundo tringulr inferior. Ejemplo: T = 9 es tringulr superior. Mtriz trnspuest: L trnspuest de un mtriz A es l resultnte de intercmbir ls fils por ls columns. Por lo tnto, si A mxn = ( ij ), entonces, A t nxm = ( ji ). Ejemplo: A = x entonces A t =. OPERACIONES CON MATRICES SUMA Y RESTA Pr poder sumr y restr mtrices, ésts deben tener el mismo orden. En este cso, se sumn o se restn los términos que ocupn el mismo lugr. A mxn ( ij ) + B mxn (b ij ) = C mxn ( ij + b ij ) Ej: Sen A = y B =, entonces A + B = Not: Se cumple l propiedd conmuttiv pr l sum de mtrices: A + B = B + A. PRODUCTO O DIVISIÓN DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ Se multiplic (o divide) dicho número por cd uno de los elementos de l mtriz. Ejemplo: 9 =
PRODUCTO DE MATRICES Pr poder multiplicr dos mtrices, el número de columns de l primer h de ser igul l número de fils de l segund. L mtriz resultnte tiene ls misms fils que l ª y ls misms columns que l ª. Ejemplo: A x B x = C x Vemos con un ejemplo cómo se reliz l multiplicción: A = x y B = x, entonces A B = 9 x Vemos que se multiplic cd fil de l mtriz A por cd column de l B. Not: El producto de mtrices no cumple l propiedd conmuttiv: A B B A. DETERMINANTES DE ORDEN Y Dd un mtriz cudrd A de orden n, llmremos determinnte de A y lo denotremos por A o Det(A) un número que se clcul de l siguiente form: Mtrices de orden A = c b d d bc Ejemplo: Mtrices de orden = + + Vemos que hy tres productos positivos y tres negtivos. Pr clculr los determinntes de orden tres de form sencill, utilizremos el siguiente digrm:
Positivos: Negtivos: Ejemplo: A = Positivos: + + (-) (-) = + + = Negtivos: (-) + + (-) = (-) + + (-) = -9 Por tnto, A = (-9) =. MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO Si en un mtriz cudrd nxn, destcmos un elemento ij y suprimimos su fil y su column, obtenemos un submtriz (n-) x (n-). A su determinnte se le llm menor complementrio del elemento ij y se design por α ij. Llmmos djunto del elemento ij l número A ij = (-) i+j α ij (es decir, l menor complementrio con su signo o con el signo cmbido dependiendo de que i+j se pr o impr. Ejemplo: Dd l mtriz M = el menor complementrio α = 9 Y el djunto A = (-) + 9 = -9. DESARROLLO DEL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ Si los elementos de un fil o un column de un mtriz cudrd se multiplicn por sus respectivos djuntos y se sumn los resultdos, se obtiene el determinnte de l mtriz. Pr ello se puede utilizr culquier fil o column (si hy lgun con muchos ceros, se simplific considerblemente el proceso) Ejemplo: (desrrollndo por l primer fil) ( ) 9 ( 9 ) ( ) ( )
. CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ Un mtriz cudrd A es invertible si existe otr mtriz A - (mtriz invers) que cumpl: A A - = A - A = I Not: Sólo se puede clculr l invers de un mtriz cudrd cuyo determinnte no se nulo. L mtriz invers se clcul medinte l siguiente expresión: Dónde A ji es l mtriz trspuest de l mtriz de Adjuntos. Regl práctic pr clculr l invers de un mtriz: ) Clculmos A y si no es nulo, continumos. ) Clculmos los menores complementrios de todos los elementos y formmos con ellos un nuev mtriz. ) Cmbimos los signos lterntivmente pr obtener los djuntos. ) Trsponemos dich mtriz. ) Dividimos cd elemento por A Ejemplo: A = A = - L mtriz de menores es L mtriz de djuntos es Su trspuest Y l dividir por su determinnte (-) d / que es l mtriz invers de A (A - ) Tmbién podemos clculr l invers de un mtriz de orden medinte l siguiente fórmul: Se A = d c b, entonces A - = c b d A Ejemplo: A =, por lo tnto, A - =
ACTIVIDADES ) Si A =, B =, C = y D =, clcul: ) A - D b) A B c) C D d) A e) A f) D g) A - h) D - ) Sen ls mtrices A =, B = y C =, clcul: ) A B C b) (A B) c) A B d) A e) B f) C ) Clcul el determinnte de ls mtrices: A =, B = / y C = ) Clcul el vlor de k pr que A =, siendo A = k k ) Se A = y B =, clculr A B y B A. ) Si A =, B = y C =. Clcul X pr que A X + B = C