Pr 5\{atfiematica: /f. JI, 'J{p. 3, 1988 LOGARITMO DE UNA MATRIZ Emili Gnzaga Ramirez (*) l. Intrducción. Estas breves ntas cnstituyen simplemente la slución de un prblema, imprtante pr sus aplicacines, plantead en [2]. He creíd cnveniente publicarlas.prque, tratándse básicamente de un ejercici de Algebra Lineal, su enunciad n se encuentra en ls texts usuales sbre la materia.' Esper que la slución que he dad al prblema n desent ne cn las existentes, que, pr l mens, valga la pena prestarle atención 2. Preliminares. Cnsiderems el espaci vectrial cmplej e 11 x 11 de las matrices cuadradas cmplejas de rden n. cn las perad nes usuales de adición de matrices y multiplicación de un númer cmplej pr una matriz. A este espaci se le puede cnvertir en un espaci nrmad, definiend, pr ejempl, la nrma de una matriz A = [a..] E en x 11 pr la 1 = m áx { 1 a.. 1 / 1.;;;; i,j.;;;; n } 1) 1) (') Prfesr Principal de la Sección Matemáticas de la PUCP. 23
Se sabe (ver [2] ) que para tda matriz A E en X n, serie la +... es cnvergente en C 11 x 11 (Aquí E denta la matriz identidad). La suma de esta serie se llama la matri:: expnencial de A y es dentada pr ea. Pr tant pdems escribir (1) La matriz expnencial gza de algunas prpiedades análgas a las de ls expnenciales numérics. Señalams las siguientes para ser utilizadas a cntinuación: 2.1. e 0 = E 2.2. ea es n singular 'tj A E e 11 x 11 2.3. ecx ea = e O. E+ A 'ti. E e, 'ti A E e 11 X 1/ - 1 2.4. ep AP =P"l cap 2.5. Si A = diag.(a 1, A 2, Ak) entnces A A A 2 Ak 1 e = diag. (e, e e 3. Planteamient del Prblema. O existen númers cm Para cada númer cmplej a :f=. plejs b tales que (1) Se desea btener un resultad similar para matrices: Dada A :f=. O existe B tal que eb =A. Pr la prpiedad 2.2., A debe ser n singular. Pr tant la 24
frmulación crrecta debe ser: Si A en X 11 es una matriz n singular demstrar que existe una matriz B czzx.n tal que (2) Una tal matriz B se llama un lgaritm natural de A. 4. Slución del Prblema. Reslverems el prblema plantead reduciéndl a prblemas similares per cn matrices sencillas. Cn este fin, el siguiente terema (ver [1]) es la base de la slución. 4.1. Terema. [Frma Canónica Cmpleja de Jrdan] Tda matriz A en x n es semejante a una matriz J de la frma {1) dnde cada blque J 1 (/ = 1,2,...,k) es de la frma J(>..) = >..E + El (2) siend >.. valr prpi de A, E una matriz identidad y E 1 la matriz nilptente 1 1 E = 1 1 (3) Además la suma de ls órdenes de ls blques J(X) igual a la multiplicidad de >.. cm raíz característica. es 25
Primera Simplificación. Pr el terema 4.1. existe una matriz n singular P tal que A = r 1 JP. Supngams que para cada 1 = 1,..., k existe una matriz cuadrada B 1 tal que B e t = J 1 Definiend Ji = diag ( B 1, B 2,..., B k), y usand las prpiedades 2.4 y 2.5 se tiene ep -1 P = p-1 ij p 1 Bl B2 B k = r diag (e, e,..., e ).P = p-ijp =A Tmand B = r~"b P se btiene la cnclusión. Así el prblema se reduce al siguiente: Encntrar una matriz B = tal que dnde A. es el valr prpi de A (n nul pues A es n singular) y E. E 1 cm antes. Segunda Simplificación. Haciend a = ~, pdems escribir ( 4) en la frma (4) (4 ') Per cm a =!= O, existe b C tal que a = cb. Reemplazand en (4') y usand la prpiedad 2.3 tenems ebe +B = E + ae 1 26 Pr tant es suficiente encntrar una matriz B tal que
, equivalentemente (5) El primer miembr de ( 5) es una serie infinita. Es raznable buscar B que sea nilptente para que la serie se trunque. Pr la frma que tiene el segund miembr de (5), busquems B de rden m de ia frma (*) b12 b13 b 1,m -1 b l,m b23 b 2,m -1 b 2,m B(m) = (6), puesta en blques: b m-j,m O B(m) = B(m-1) e (6 ') Pr inducción matemática sbre k se puede demstrar que \J k = 1,2,.., Ahra, pr inducción sbre m, se sigue de (7) que (7) (8) Para enfatizar el rden m de las matrices B. E y E 1 escribirems B(m), E(m), E/m). 27
Usand (8), la igualdad (5) se reduce a B 2 (m} sm-i(m}. B(m) + 21 +... + (m-jj.' = a.e 1 (mj {9) Usand (7) vems que (9) es equivalente a B 2 (m-l) Bm- 2 (m-1) B(m-1) Bm- 2 (m-l) B(m-1)+ 21 +... + {m- 2 )! [E(m-1))+~+... + (m- 1 ), )C ae /m-1) = ae/m) = 1 ( 1 l La igualdad (10) sugiere usar la inducción sbre el rden m para encntrar B de la fl"!na (6) que satisfaga (9). a Slución final. (Pr inducción sbre m} Para m = 2: Basta tmar B ( 2.J = O a Supngams que existe una matriz B(m) de la frma (6) que satisface (9). La matriz B(m; E(mJ + --y - +... B""- 1 (m) + m.' 28 es n singular, pues es triangular superir y ls elements de su diagnal principal sn distints de cer. Lueg existe una matriz C de rden m x 1 tal que
B{mj sm-i(m)- 0 (E(m) + ~+... + m! ]C =a ( 11) Definiend B(m + 1) = B(m) se sigue de la hipótesis inductiva y de (11) que B 2 (m+1) C Bm(m+1) B(m + 1) + 2! +... + m 1 = 1 B 2 (m) sm- 1 (m) B(m) +-y-+... + (m-1 )! ae fm) a B(m).sm-I(m) [E{m) +..,...,---+... +, ]C = - m. 1 = ae 1 (m + 1) Cn est se termina la slución al prblema plantead. Referencias. [1] Hftinan K-Kun::e R. Algebra Lineal, Prentice Hall Intematinal, 1979. [2] Stmayr J. Lic;es de Equac;es Diferenciais Ordinárias. Il\.JPA, 1979. 29