Sistemas de un Grado de Libertad Sujetos a Vibración Forzada.

Sistemas de un Grado de Libertad Sujetos a Vibraión Forzada. José María Rio Martínez Departamento de Ingeniería Meánia División de Ingenierías, Campus Irapuato-Salamana Universidad de Guanajuato Salamana, Gto. 38730, Méxio email: jrio@ugto.mx Introduión En estas notas se presentan los fundamentos teórios de los sistemas de un grado de libertad sujetos a vibraión forzada. El objetivo de estas notas es su empleo omo un auxiliar didátio en los ursos de vibraiones meánias. En esta seión, se analizará la respuesta de un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibraión forzada, se analizarán tres diferentes asos:. La exitaión del sistema está dada por una fuerza armónia de amplitud onstante.. La exitaión del sistema está dada por una fuerza armónia de amplitud proporional al uadrado de la freuenia de exitaión. 3. La exitaión del sistema está dada por un movimiento armónio de la base del sistema, que en este aso no está fija, además la amplitud del movimiento es onstante. Exitaión onstituida por una fuerza armónia de amplitud onstante Considere un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibraión forzada, bajo una exitaión representada por la funión Ft) F 0 Sent, está exitaión es una fuerza armónia de amplitud onstante y freuenia. Vea la figura. Figure : Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Sujeto a Vibraión Forzada. Para obtener la euaión de movimiento del sistema. Suponga que a partir de la posiión de equilibrio del sistema, el sistema se separa de su posiión de equilibrio una distania yt) omprimiendo el resorte y se le da una

veloidad dada por ẏt) en la direión positiva. Entones, observando el diagrama de uerpo libre de la masa, vea la figura, y apliando la segunda ley de Newton, se tiene que Figure : Diagrama de Cuerpo Libre Para un Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Sujeto a una Fuerza Armónia de Amplitud Constante. o ΣF y M d yt) dt ; M g δ est yt)) dyt) dt M g δ est yt) dyt) dt Por lo tanto, sustituyendo la euaión ) F 0 Sent M d yt) dt, F 0 Sent M d yt) dt. δ est M g ) que determina la deformaión estátia del resorte, se obtiene la euaión de movimiento del sistema vibratorio M d y dt dy dt y F 0Sent, ) donde, M es la masa del sistema, es la onstante del resorte, es la onstante del amortiguador, y es la variable que representa el movimiento de la masa y t es el tiempo. La euaión ) es una euaión diferenial lineal de segundo orden, pero a diferenia de las seiones anteriores, esta euaión diferenial es no homogénea. Nuevamente de la teoría de las euaiones difereniales ordinarias, se sabe que la soluión general de la euaión ) está dada por y G t) y H t)y P t), 3) donde, y H t) es la soluión de la euaión homogénea asoiada; es deir, la soluión de la euaión diferenial que se obtiene eliminando la exitaión Ft) F 0 Sent, esta parte de la soluión se denomina respuesta en el estado transitorio y y P t) es una soluión de la euaión no homogénea, esta parte de la soluión se denomina respuesta en el estado permanente o estaionario. La soluión de la euaión homogénea asoiada está dada por ] y H t) e M C t e M M t C e M M t 4) Evidentemente, es onveniente determinar ual de los tres posibles asos sobreamortiguado, rítiamente amortiguado o subamortiguado es el apliable para este aso. Es importante señalar que puesto que en todos los sistemas existe amortiguamiento en mayor o menor grado, esta parte de la soluión desaparee on el tiempo, de allí su denominaión estado transitorio. Además se supondrá que yt) < δ est, de manera que el resorte está sujeto a tensión, la euaión de movimiento del sistema es independiente de esta suposiión, el objetivo es evitar ambigëdades en la derivaión de la euaión.

La parte importante de este análisis es la determinaión de la respuesta en el estado estaionario o permanente. El proedimiento para obtener esta parte de la soluión se fundamenta en que el espaio generado por el onjunto de funiones {Cost,Sent} es un espaio invariante respeto a las derivadas on respeto a t de ualquier orden. De manera que se propone omo soluión y P t) ACostBSent. 5) Derivando la soluión propuesta on respeto al tiempo dos vees, se tiene que dy P t) d y P t) ASentBCost, dt dt A Cost B Sent, 6) Sustituyendo las eauiones 5, 6) en la euaión ), se tiene que M A Cost B Sent ) ASentBCost) ACostBSent) F 0 Sent. Puesto que el onjunto {Cost,Sent} es linealmente independiente, es posible separar la euaión en un sistema de euaiones lineales en las inógnitas A y B, A M ) B) 0 A )B M ) F 0, Es importante señalar que, de manera semejante a la soluión de sistemas vibratorios sujetos a vibraión libre, este método permite transformar una euaión diferenial en un sistema de euaiones lineales, un problema muho más simple. El determinante de la matriz de oefiientes del sistema lineal, denotado por, está dado por M M Reordando la definiión del amortiguamiento rítio, euaión 7), 4M 0 o M M M M, 7) y de la freuenia natural del sistema no amortiguado asoiado, se tiene que ) ] De aquí que, las soluiones para los oefiientes A y B están dadas por F 0 ) F ) 0 M A { ) ] } B { ) ) ] } 9) Por lo tanto, la soluión partiular de la euaión diferenial está dada por y P t) F 0 ) CostF ) 0 M Sent { ) ] } δ 0 Cost ] δ 0 ) ] ) ] Sent ) ] ) ] ] Sent Cost 8) δ 0 Sen t φ) ) ], 0) 3

donde δ 0 es la deformaión que sufriría el resorte si la fuerza Ft) F 0 Sent no fuera armónia sino estátia, es deir δ 0 F 0, ) y el ángulo, φ, denominado omo el ángulo de fase, viene determinado por Tanφ Senφ Cosφ o φ Tan ) Una gráfia del ángulo de fase omo funión de la relaión de amortiguamiento,, y de la relaión de la freuenia de exitaión a la freuenia natural del sistema vibratorio, se muestra en la figura 3. 80 Gráfia del Ángulo de Fase 60 / 0. Ángulo de Fase φ 40 0 00 80 / 0. / 0.3 / 0.4 / 0.6 /.0 60 40 0 0 0 0.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 Relaión de Freuenias, / Figure 3: Ángulo de Fase de la Respuesta de un Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Sujeto a una Fuerza Armónia de amplitud Constante. Si se esribe, la soluión partiular del sistema omo y P t) Sen t φ) entones, es la amplitud de la respuesta, partiular, del sistema vibratorio, es posible esribir δ 0 ] 3) Una gráfia de la relaión de amplitudes y0 δ 0 omo funión de la relaión de amortiguamiento,, y de la relaión de la freuenia de exitaión a la freuenia natural del sistema vibratorio, se muestra en la figura 4. Las euaiones, 3) permiten determinar la respuesta del sistema vibratorio uando se exita mediante una fuerza armónia de amplitud onstante. Como puede observarse, las euaiones, 3) dependen de dos parámetros, la relaión de freuenias,, y la relaión de amortiguamiento,.. Análisis de la respuesta del sistema para determinados valores de la relaión de amortiguamiento. Además, es importante analizar, tanto algebraia omo gráfiamente, el omportamiento de la respuesta del sistema para tres valores de la relaión de freuenias: 4

6 Respuesta a una Fuerza Armónia de Magnitud Constante 5 / 0. Parámetro Adimensional, /δ 0 4 3 / 0. / 0.3 / 0.4 / 0.6 / 0.8 /.0 0 0 0.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 Relaión de Freuenias, / Figure 4: Relaión de Amplitudes de la Respuesta de un Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Sujeto a una Fuerza Armónia de Amplitud Constante.. Cuando 0, sustituyendo este valor en las euaiones, 3), se tiene que δ 0, δ 0 y φ 0. La expliaión de este resultado es simple, si 0, entones 0, la fuerza de exitaión es estátia, de manera que la respuesta del sistema es la deformaión estátia del sistema y está en fase on la fuerza de exitaión. Una interpretaión gráfia de este resultado se presenta a ontinuaión, la respuesta del sistema está dada por yt) Sen t φ) por lo tanto, sus primeras dos derivadas son ẏt) Sen t φ π ) y ÿt) nsen t φπ) la ondiión / 0 puede interpretarse omo <<, el símbolo << india muho mayor, por lo tanto << M M <<. Sustituyendo, la soluión en estado estable del sistema vibratorio y sus derivadas en la euaión diferenial Se tiene que M d y dt dy dt y F 0Sent. M nsen n t φπ) Sen t φ π ) Sen t φ) F 0 sent. 4) 5

Figure 5: Interpretaión Gráfia de la Respuesta del Sistema Vibratorio Para Cuando 0. Reurriendo a la interpretaión de funiones armónias omo fasores, una representaión gráfia de esta euaión está dada por la figura 5. Debe notarse que las fuerzas del resorte, del amortiguador y la de ineria se han orientado, para simplifiar el problema, a lo largo de los ejes oordenados. Evidentemente, a medida que 0, el vetor de magnitud es muho mayor que los restantes de manera que φ 0 y F 0 Por lo tanto F 0 δ 0 y δ 0.. Cuando, sustituyendo este valor en las euaiones, 3) y evaluando el límite de manera apropiada pues la sustituión simple ondue a una indeterminaión, se tiene que δ 0 0, 0 y φ 80. Nuevamente la expliaión es simple, si, entones la freuenia de la exitaión es tan elevada que el sistema, la masa, es inapaz de seguir la exitaión. La interpretaión gráfia de este resultado se fundamenta, omo en el aso anterior, en la representaión gráfia de funiones armónias omo fasores. Sin embargo, en este aso, se tiene que la ondiión / puede interpretarse omo <<, el símbolo << india muho mayor, por lo tanto << << M M Sustituyendo, la soluión en estado estable del sistema vibratorio y sus derivadas en la euaión diferenial Se tiene que M d y dt dy dt y F 0Sent. M nsen n t φπ) Sen t φ π ) Sen t φ) F 0 sent. 5) Reurriendo a la interpretaión de funiones armónias omo fasores, una representaión gráfia de esta euaión está dada por la figura 6. 6

Figure 6: Interpretaión Gráfia de la Respuesta del Sistema Vibratorio Para Cuando. Debe notarse que las fuerzas del resorte, del amortiguador y la de ineria se han orientado, para simplifiar el problema, a lo largo de los ejes oordenados. Evidentemente, a medida que, el vetor de magnitud M es muho mayor que los restantes de manera que Por lo tanto Pues. φ 80 y F 0 M F 0 M 0 o F 0 M δ 0 3. Cuando sustituyendo este valor en las euaiones, 3), se tiene que δ 0, δ 0 y φ 90. y δ 0 0. Es importante señalar que en los dos primeros asos, el resultado es independiende del valor de la relaión de amortiguamiento. Además, el terer aso representa el valor para el ual se presenta el fenómeno de resonania. En este fenómeno una fuerza relativamente pequeña puede produir vibraiones de amplitud elevada, pues uando, δ 0 6) y usualmente los valores de la relaión de amortiguamento es, usualmente pequeña, menor a 0.. Reurriendo a la interpretaión de funiones armónias omo fasores, una representaión gráfia de esta euaión está dada por la figura 7. Debe notarse que las fuerzas del resorte, del amortiguador y la de ineria se han orientado, para simplifiar el problema, a lo largo de los ejes oordenados. Evidentemente, si, se tiene que o o M M M De aquí que, los vetores de magnitud M y son iguales. Por lo tanto, los restantes vetores tambien deben ser iguales; es deir F 0 y φ 90 Además, reordando que M y se tiene que F 0 F 0 F 0 7 F 0 δ 0.

Figure 7: Interpretaión Gráfia de la Respuesta del Sistema Vibratorio Para Cuando.. Análisis de un Sistema Vibratorio No Amortiguado en Condiiones de Resonania. Existe un aso espeial que meree atenión adiional. Considere un sistema no amortiguado sujeto a una fuerza armónia de amplitud onstante uya freuenia es igual a la freuenia natural del sistema M, de modo que la euaión diferenial está dada por M d y dt y F 0Sent donde M. 7) Se sabe que la euaión de la soluión general de la euaión homogenea asoiada está dada por y H t) ACos t)bsen t) 8) Entones, debe notarse que en este aso no es posible que la soluión partiular de la euaión no homogenea esté dada por y P t) C Cos t)c Sen t), pues esta es preisamente la soluión de la euaión homogenea asoiada. De la teoria de euaiones difereniales, se propone omo soluión y P t) C tcos t)c tsen t) 9) Derivando esta expresión respeto al tiempo dos vees, se tiene que y dy P t) dt C Cos t) C t Sen t)c Sen t)c t Cos t). d y P t) dt C Sen t) C Sen t) C t ncos t) C Cos t)c Cos t) C t nsen t) C Sen t) C t ncos t)c Cos t) C t nsen t). 0) Sustituyendo las euaiones 9) ) en la euaión 7), se tiene que M C Sen t) C tncos n t)c Cos t) ] ] C tnsen n t) C tcos t)c tsen t) F 0 Sent ) 8

o, puesto que el onjunto de funiones {Sen t),tsen t),cos t), tcos t)}, la euaión vetorial ] ] 0 Sen t) C M F 0 Cos t) C M ] ] tsen t) M C n C tcos t) M C n C ) ondue a 4 euaiones esalares C M F 0 0 M C n C 0 C M 0 M C n C 0 Para C la soluión está dada por Para C se tiene que de la primera euaión C 0. C F F0 0 M M δ 0 n δ 0 n 3) Mientras que sustituyendo n M, se tiene que M C M C C ] 0. De manera que esta euaión es redundante, por lo tanto, la soluión partiular para esta exitaión está dada por Por lo tanto, la soluión general de la euaión diferenial está dada por y P t) δ 0 ntcos t4) y G t) y H t)y P t) ACos t)bsen t) δ 0 ntcos t5) Si las ondiiones iniiales para este sistema son para t 0, y G 0) 0 y ẏ G 0) 0, por lo tanto ẏ G t) A Sen t)b Cos t) δ 0 ncos t) δ 0t 3 nsen t6) Sustituyendo los ondiiones iniiales, se tiene que y ACos0)BSen0) δ 0 n0cos0) 0 A 0. A Sen0)B Cos0) δ 0 ncos0) δ 00 3 nsen0) 0 B δ 0 Por lo tanto, la soluión partiular está dado por y G t) δ 0 Sen t) δ 0 ntcos t7) La figura 8 muestra el omportamiento de un sistema no amortiguado sujeto a resonania. 3 Exitaión onstituida por una fuerza armónia de amplitud proporional al uadrado de la freuenia de la exitaión Considere un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibraión forzada, bajo una exitaión representada por la funión Ft) me Sent. Esta exitaión es una fuerza armónia de amplitud proporional al uadrado de la freuenia, dada por. Este tipo de exitaión se presenta uando un eje o rotor desbalaneado gira a una veloidad angular dada por, entones, me es el desbalane del rotor. 9

4 3 Desplazamiento, u.l. 0 3 4 0 5 0 5 0 5 30 35 40 Tiempo, segundos Figure 8: Desplazamiento de un Sistema no Amortiguado Sujeto a Resonania. Este análisis no requiere la soluión de otra nueva euaión diferenial adiional, basta on sustituir la nueva amplitud de la fuerza de exitaión dada por F 0 me, 8) en la soluión del problema de exitaión onstituida por una fuerza armónia de amplitud onstante, vea la seión. Por lo tanto δ 0 ) ] F 0 / ) ] me ) ] me M ) ] me M M ) ] 9) o en forma adimensional me M ) ] 30) me M Una gráfia de la relaión de amplitudes omo funión de la relaión de amortiguamiento,, y de la relaión de la freuenia de exitaión a la freuenia natural del sistema vibratorio, se muestra en la figura 9. Puesto que el ángulo de fase, no depende de la amplitud de la exitaión, se tiene que la misma euaión, ), repetida aqui, es apliable φ Tan De manera semejante, la gráfia del ángulo de fase omo funión de la relaión de amortiguamiento,, y de la relaión de la freuenia de exitaión a la freuenia natural del sistema vibratorio, es la misma que se muestra en la misma figura 3. 0

6 Respuesta a una Fuerza Armónia de Magnitud Proporional al Cuadrado de la Freuenia 5 Parámetro Adimensional, M /m e 4 3 / 0. / 0. / 0.3 / 0.4 / 0.6 / 0.8 /.0 0 0 0.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 Relaión de Freuenias, / Figure 9: Relaión de Amplitudes de la Respuesta de un Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Sujeto a una Fuerza Armónia de Amplitud Proporional al Cuadrado de la Freuenia. Por lo tanto, la respuesta en el estado estable del sistema bajo este tipo de exitaión, está dada por y P t) Sen t φ) donde está dada por la euaión 30) y el ángulo de fase está dado por la euaión ). Nuevamente, es importante analizar el omportamiento de la respuesta del sistema para tres valores de la relaión de freuenias:. Cuando 0, sustituyendo este valor en las euaiones, 30), se tiene que me M 0, 0 y φ 0. La expliaión de este resultado es simple, si 0, entones 0, la fuerza de exitaión debida al desbalane es nula, de la manera que la respuesta del sistema es igualmente nula.. Cuando, sustituyendo este valor en las euaiones, 30) y evaluando el límite pues la simple sustituión ondue a una indeterminaión, se tiene que me M, me M y φ 80. 3. Cuando sustituyendo este valor en las euaiones, 30), se tiene que me M me M, y φ 90. Es importante señalar que en los dos primeros asos, el resultado es independiende del valor de la relaión de amortiguamiento. Además, el terer aso representa el valor para el ual se presenta el fenómeno de resonania. En este fenómeno una fuerza relativamente pequeña puede produir vibraiones de amplitud elevada, pues uando, se tiene que me M 3) y los valores de la relaión de amortiguamento son, usualmente pequeños, menores a 0..

4 Exitaión onstituida por un movimiento armónio de la base Considere un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibraión forzada. Sin embargo, a diferenia de los dos asos anteriores, la exitaión está produida por el movimiento de la base omo muestra la figura 0, donde xt) y yt) representan los movimientos absolutos del uerpo y la base respetivamente. Figure 0: Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Sujeto a Vibraión Forzada Debido a Movimiento en la Base. Se supondrá que en la posiión mostrada en la figura, el sistema está en reposo. Entones, es posible reurrir a las euaiones de la estátia para determinar la deformaión estátia del resorte, δ est, para tal fin por lo tanto, ΣF y 0 M g δ est 0, δ est M g 3) La longitud del resorte en esta posiión, está dada por l 0 δ est, donde l 0 es la longitud libre del resorte. Suponga ahora que el movimiento absoluto de la base yt) está dado por yt) Sent. 33) Para obtener la euaión de movimiento del sistema. Suponga que xt) > yt) y que xt) yt) > δ est. Entones, observando el diagrama de uerpo libre de la masa, vea la figura, y apliando la segunda ley de Newton, se tiene que o ΣF y M d xt) dt ; M g xt) yt) δ est ) dxt) dt dyt) ) M d xt) dt dt, dxt) M g δ est xt) yt)) dyt) ) M d xt) dt dt dt. Por lo tanto, sustituyendo la euaión ) que determina la deformaión estátia del resorte, se obtiene la euaión de movimiento del sistema vibratorio M d x dx dt dt dy ) x y) 0, 34) dt donde, M es la masa del sistema, es la onstante del resorte, es la onstante del amortiguador y t es el tiempo. Definiendo la variable zt) xt) yt), 35) La euaión de movimiento es independiente de estas suposiiones, pero estas suposiiones permiten eliminar ambigüedades en la suma de fuerzas neesaria para obtener la euaión.

Figure : Diagrama de Cuerpo Libre Para un Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Sujeto a Vibraión Forzada Debida a un Movimiento de la Base. el signifiado físio de esta variable es el movimiento relativo de la masa respeto a la base. Además, Por lo tanto dz dt dx dt dy dt y M d z dt Md x dt Md y dt 36) M d x dt Md z dt Md y dt Md z dt M Sent. 37) Sustituyendo euaiones 36, 37) en la euaión 34), se tiene que M d z dz dt dt z M Sent. 38) Nuevamente, este análisis no requiere la soluión de otra nueva euaión diferenial adiional, basta on sustituir la nueva amplitud de la fuerza de exitaión dada por F 0 M, 39) en la soluión del problema de exitaión onstituida por una fuerza armónia de amplitud onstante, vea la seión. Por lo tanto z 0 δ 0 ) ] M ) ] F 0 / ) ] ) ] 40) De manera que la soluión del movimiento relativa de la masa respeto a la base, zt), está dada por zt) z 0 Sen t φ) 4) donde z 0 está dado por la euaión 40) y el ángulo de fase φ, está dado por φ Tan 4) 3

Una vez determinado el movimiento relativo entre la masa y la base, es posible determinar el movimiento absoluto de la base, xt), que de auerdo de la definiión dada por la euaión 35), está dada por 3 xt) zy)yt) z 0 Sen t φ) Sent 43) Para tal fin, se sustituyen los valores de las funiones oseno y seno del ángulo φ, dadas por Por lo tanto Cosφ ) ] Sen t φ) xt) ) ] Sent Senφ ) ] SentCosφ CostSenφ] ) ] Sent ) ] ) 3 Sent ]Cost ) ] ) Sent { ) ) ] } ) ] Sent { { ) ] ] ) } ] Sent ) ] ] } Sent ) ] ) 3 ]Cost Por lo tanto, el movimiento absoluto de la base, xt) está dada por donde, el ángulo de fase ψ está dado por Tanψ. ) 3 ]Cost ) 3 ]Cost 44) xt) x 0 Sen t ψ), 45) ) 3 ]. 46) Una gráfia del ángulo de fase, ψ, omo funión de la relaión de amortiguamiento,, y de la relaión de la freuenia de exitaión a la freuenia natural del sistema vibratorio, se muestra en la figura. 3 La determinaión del movimiento absoluto xt), requiere la adiión de dos funiones armónias de la misma freuenia, los detalles de este proedimiento se presentan en el Apéndie C. 4

60 Gráfia del Ángulo de Fase, Movimiento en la Base / 0. 40 0 / 0. Ángulo de Fase ψ 00 80 60 / 0.4 / 0.6 / 0.3 40 /.0 0 0 0 0.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 Relaión de Freuenias, / Figure : Ángulo de Fase de la Respuesta de un Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Sujeto a un Movimiento Armónio de la Base. Además, la amplitud del movimiento está dado por ) x 0 y0 ] ) ] ) y0 ) ] y0 ] { ) ] y 0 y 0 y 0 ] ] ] { ] { ] { ) 3 ] ] ) 4 } } ) 4 ] } ] ) 4 ] } ) 6 ) 6 ) 4 ) 4 ) 4 5

y 0 y 0 ] ) ] { ) ] { ) ] { ) ] Por lo que, finalmente, se tiene que x 0 } ) } ) ] } y 0 ] ) ] ) 47) ) ] ) 48) Es importante señalar que evaluando la primera y segunda derivada, on respeto al tiempo, del movimiento de la base, vea la euaión 33), se tiene que dyt) dt Cost) y d yt) dt Sent). 49) De manera semejante, si se evalúan la primera y segunda derivada, on respeto al tiempo, del movimiento absoluto de la masa M, vea la euaión 45), se tiene que dxt) dt x 0 Cos t ψ) y d xt) dt x 0 Sen t ψ) 50) De manera que las relaiones entre las magnitudes del desplazamiento, veloidad y aeleraión del movimiento absoluto de la masa respeto a las magnitudes del desplazamiento, veloidad y aeleraión del movimiento de la base, están dadas por x 0 x 0 x 0 ] 5) Una gráfia de la relaión de amplitudes x0 omo funión de la relaión de amortiguamiento,, y de la relaión de la freuenia de exitaión a la freuenia natural del sistema vibratorio, se muestra en la figura 3. 5 Transmisibilidad En esta seión, se mostrará la definiión del onepto de transmisibilidad, denotado por T R, uno de los oneptos más importantes para la prátia del aislamiento pasivo de vibraiones. Este onepto tiene una definiión dual, en una primera versión, la transmisibilidad se define omo la relaión entre la amplitud del movimiento de un sistema vibratorio, x 0, respeto a la amplitud del movimiento de la base que exita el sistema,. Es deir T R x 0. 5) Sin embargo, por los resultados de la seión 4, vea la euaión5), está definiión puede extenderse a la relaión entre las magnitudes de las veloidades o a la relaión entre las magnitudes de las aeleraiones orrespondentes y está dada por T R x 0 x 0 x 0 ]. 53) 6

6 Gráfia de la Transmisibilidad 5 Transmisibilidad T r F t /F 0 x 0 / 4 3 / 0. / 0. / 0.3 / 0.4 / 0.6 / 0.8 /.0 0 0 0.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 Relaión de Freuenias, / Figure 3: Relaión de Amplitudes de la Respuesta de un Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Sujeto a un Movimiento Armónio de la Base. En una segunda versión, la transmisibilidad se define omo la relaión de la amplitud de la fuerza transmitida, F T, por el sistema vibratorio a la base, respeto a la amplitud de la fuerza de exitaión, F 0. Es deir T R F T F 0. 54) En este aso, es neesario realizar algunos álulos adiionales. Para ello onsidere el sistema vibratorio mostrado en la figura 4. La amplitud de la fuerza de exitaión es F 0, además, ya se sabe que la respuesta del sistema está dada por yt) Sent φ) 55) La derivada de esta euaión, que representa la veloidad de la masa está dada por dyt) dt Cost φ) 56) De manera que la fuerza ejerida por el resorte 4, denotada por F Res, está dada por F Res Sent φ). 57) De manera semejante, la fuerza ejerida por el amortiguador, denotada por F Amor, está dada por F Amor Cost φ) Sen t φ π ). 58) La fuerza total transmitida por el sistema vibratorio a la base está dada por 5 F Total t) F Res F Amor Sent φ) Sen t φ π ). 59) 4 Esta fuerza solo inluye la fuerza debida a la respuesta del sistema y no inluye la deformaión estátia del resorte. 5 En sentido estrito, los puntos de apliaión de la fuerza ejerida por el resorte sobre la base y de la fuerza ejerida por el amortiguador sobre la base, no oiniden, de manera que esta suma de fuerzas uniamente tiene signifiado en puntos de la base alejados de los puntos de apliaión de la fuerza, reuerde el prinipio de Saint Venant. 7

Figure 4: Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Sujeto a Vibraión Forzada on una Fuerza de Exitaión de Amplitud Constante. Debe notarse que las omponentes del lado dereho de la euaión están desfasadas 90 ; por lo tanto, del apéndie C, se tiene que la amplitud de la fuerza total transmitida, denotada por F T, está dada por F T ) y0 Sustituyendo el valor de, la amplitud del estado permanente o estaionario, de la respuesta del sistema vibratorio, euaión 3), reproduida a ontinuaión δ 0 ] o δ 0 ) ] F 0 ) ] Por lo tanto, la fuerza transmitida está dada por F 0 F T ) ] F 0 n ) ] ) 60) Por lo tanto, la primera versión de la transmisibilidad está dada por ) T R F T F 0 ) ] ). 6) Conluyendo, la transmisibilidad tiene múltiples interpretaiones y una misma euaión, dadas por ) T R x 0 x 0 x 0 F T F 0 ) ] ). 6) Esta euaión de la transmisibilidad es la misma dada por la euaión 5) y la gráfia de la transmisibilidad omo funión de la relaión de amortiguamiento,, y de la relaión de la freuenia de exitaión a la freuenia natural del sistema vibratorio, se muestra en la figura 3. 8

6 Simulaión de sistemas vibratorios de un grado de libertad sujetos a vibraión forzada Para propósitos de simulaión, onviene esribir la euaión de movimiento del sistema omo d y dt dy M dt M y F 0 M Sent. Es bien sabido que la soluión general, y G t), de la euaión diferenial está dada por y G t) y H t)y P t), donde, y H t) es la soluión general de la euaión homogénea asoiada. Fisiamente, y H t) representa una vibraión transitoria que desaparee on una veloidad proporional al amortiguamiento del sistema. Por otro lado, y P t) es una soluión partiular de la euaión no homogénea. Fisiamente, y P t) representa una vibraión permamente que, usualmente, es el objetivo prinipal del análisis. Esta vibraión permanente está dada por y P t) Sentφ), donde, es la amplitud de la vibraión forzada y φ es el ángulo de fase de esta vibraión respeto a la fuerza de exitaión. Los arhivos forseno.mdl, vea la figura 5, y forseno.mdl, vea la figura 6, simulan el omportamiento del sistema Figure 5: Primer Modelo de un Sistema Ligeramente Amortiguado Sujeto a Exitaión Armónia. d y dt dy 5y 0Sen.5t. dt En el arhivo forseno.mdl 0., por lo que / 0.0, mientras que en el arhivo forseno.mdl 4, por lo que / 0.4. En ambos asos las ondiiones iniiales son Para t 0, y0), y dy 0) 0. dt Nuevamente, debe suponerse que las unidades son onsistentes y orresponden a un sistema de unidades, por ejemplo el Sistema Internaional. Los resultados del sistema vibratorio simulado en el arhivo forseno.mdl se muestran en la figura 7 mientras que los resultados del sistema vibratorio simulado en el arhivo forseno.mdl se muestran en la figura 8. Observe que los resultados de la primera simulaión muestran la persistenia de la vibraión transitoria, debido a que el amortiguamiento presente en el sistema es muy pequeño. Al ontrario, la vibraión transitoria de la segunda simulaión desaparee rapidamente, dejando omo únia respuesta la vibraión forzada. 9

Figure 6: Segundo Modelo de un Sistema Fuertemente Amortiguado Sujeto a Exitaión Armónia..5 Respuesta de un Sistema Ligeramente Amortiguado Sujeto a Exitaión Armónia 0.5 Desplazamiento, u.l. 0 0.5.5 0 0 0 30 40 50 60 70 80 Tiempo, segundos Figure 7: Respuesta del Primer Modelo de un Sistema Ligeramente Amortiguado Sujeto a Exitaión Armónia. más aún, on los resultados del arhivo forseno.mdl es posible verifiar la amplitud de la vibraión forzada, dada por F 0 / ) ]. ] 7 Sistemas vibratorios sujetos a exitaión periódia no armónia Finalmente, en esta seión, se analizará el aso de un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibraión forzada uando la exitaión es una vibraión periódia no armónia. Este análisis es importante para expliar la metodología del aislamiento pasivo de vibraiones uando la exitai on tiene estas araterístias. más aún, la exitaión que se analiza en este aso está intimamente ligada on la que se presenta en el prototipo experimental que se desea diseñar. Considere el meanismo de manivela biela orredera mostrado en la figura 9, la longitud de la manivela es r, la longitud de la biela es l, θ es el ángulo de la manivela y se onsidera la variable de entrada, mientras que la arrera s se onsidera la variable de salida, el objetivo es enontrar una relaión entre la variable de entrada, θ, y la variable de salida, s. En este análisis, se emplea la variable adiional φ. 0

Respuesta de un Sistema Fuertemente Amortiguado Sujeto a Exitaión Armónia 0.5 Desplazamiento, u.l. 0 0.5 0 0 0 30 40 50 60 70 80 Tiempo, segundos Figure 8: Respuesta del Segundo Modelo de un Sistema Fuertemente Amortiguado Sujeto a Exitaión Armónia. Figure 9: Meanismo de Manivela Biela Corredera. De la figura, es fáil observar que la arrera s está dada por sθ) rsenθ lcosφ. sin embargo, los ángulos θ y φ están relaionados por la euaión rcosθ lsenφ, por lo que Senφ r l Cosθ Sustituyendo este resultado y apliando la identidad trigonométria orrespondiente, se tiene que sθ) rsenθ l En general, el ángulo de entrada θ es una funión del tiempo, donde dθ dt y d θ α. dt r l Cosθ 63) más aún, se supondrá que la manivela gira a veloidad angular onstante, de manera que d θ α 0. dt

Por lo tanto, r ] ] st) rsen t)l l Cos t) r r ] l Sen t) l l Cos t) l λsen t) ] λ Cos t) 64) El desplazamiento de la orredera, st), depende de la veloidad de rotaión de la manivela,, la longitud de la biela, l, y la relaión entre las longitudes de la manivela y de la biela, λ r l. La segunda derivada de la funión, st), es la aeleraión, at), de la orredera, es deir at) d st) dt 65) Si la masa de la orredera es M, suponiendo que la biela y manivela tienen masa despreiable, entones, la fuerza que debe ejererse sobre la orredera, igual y de sentido ontrario a la fuerza que el meanismo de manivela biela orredera ejere sobre el eslabón fijo, está dada por Ft) M at) M d st) dt 66) A partir de esta euaión, es neesario realizar un análisis de Fourier de la funión que representa la fuerza que el meanismo de manivela biela orredera ejere sobre el eslabón fijo, sin embargo, es muy ompliado realizar un análisis paramétrio de esta funión. Ejemplifiaremos el análisis bajo las siguientes suposiiones:. La veloidad angular de la manivela está dado por 400rpm 40π 3 rad/s. La relaión λ r l 3 3. La longitud de la biela l está dado por l u.l. 4. La masa de la orredera M está dado por M u.m. La figura 0 muestra la gráfia de la fuerza dada por la euaión 66), Fuerza que el Meanismo de Biela Manivela Corredera Ejere Sobre el Eslabon Fijo 400 300 00 0.3 0. tiempo 0. 00 0.0 0. 0. 0.3 0 00 00 300 ft) 400 500 600 700 800 Figure 0: Gráfia de la Fuerza que el Meanismo de Manivela Biela Corredera Ejere Sobre el Eslabón Fijo. El arhivo FourierBielaManivelaCorredera.mw esrito en el lenguaje Maple, realiza el análisis de Fourier de esta funión, la aproximaión de esta funión mediante series de Fourier hasta la otava armónia, está dado por ) 40 Ft) 584.865446 sin 3 πt.3750003 0 0 ) 80 00.67350 sin 3 πt.57079637

.05883675 0 7 sin40πt.897749) ) 60 5.90660484 sin 3 πt.57079637 ) 00 7.76405558 0 8 sin 3 πt.570795993 0.955976576 sin80 π t.57079667) ) 80 4.79705567 0 8 sin 3 πt.3579637 ) 30 0.006397393 sin 3 πt.570794943 67) Es importante notar que la relaión entre la amplitud de la segunda armónia respeto a la amplitud de la primera armónia está dado por 00.67350 584.865446 0.343 y las restantes relaiones entre las magnitudes del resto de las armónias respeto a la amplitud de la primera armónia son despreiables. Además, la freuenia de las armónias superiores es el múltiplo orrespondiente de la primera armónia. La figura muestra el espetro de Fourier de la funión desplazamiento de la orredera de un meanismo de manivela biela orredera. Es importante señalar que úniamente la primera, segunda y uarta armónia se alanzan a distinguir. Espetro de Fourier 400 n 00 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Armónia Figure : Espetro de Fourier de la Fuerza que el Meanismo de Manivela Biela Corredera Ejere Sobre el Eslabón Fijo. 8 Apliaiones En esta seión se presentarán las apliaiones más omunes de los análisis de sistemas de un grado de libertad sujeto a vibraiones forzadas. Esas dos apliaiones son: Aislamiento de vibraiones e instrumentos de mediión de vibraiones. 8. Aislamiento de vibraiones En esta seión se presentarán los fundamentos neesarios para el diseño de sistemas de aislamiento de vibraiones. Existen dos tareas en el aislamiento de vibraiones. Aislamiento de la fuerza transmitida por una máquina que produe fuerzas vibratorias a su base. 3

. Aislamiento del movimiento que aparee en un medio ambiente a los instrumentos o dispositivos onetados de alguna manera al medio ambiente. El fundamento del diseño de sistemas de aislamiento de vibraiones es omún y se basa en el onepto de transmisibilidad, dada por la euaión 6) y repetida aquí ) T R x 0 x 0 x 0 F T F 0 ) ] ). La euaión 6) muestra la multipliidad de interpretaiones que puede tener el onepto de transmisibilidad. Puede representar la relaión entre las amplitudes de la aeleraión, x 0, veloidad, x 0, y del movimiento, x 0, sufrido por un dispositivo on respeto a las amplitudes de la aeleraión,, veloidad,, y del movimiento,, que experimenta la base; similarmente puede representar la relaión entre las magnitudes de la fuerza, armónia, transmitida alabase, F T onrespetoalafuerza, igualmente armónia, produidaporlamáquina, F 0. Esarelaión depende de la relaión de amortiguamiento, ξ, y la relaión de veloidades angulares,. Si se onsidera y se onoe el amortiguamiento, la euaión 6), es la únia neesaria para produir un diseño de un sistema de aislamiento satisfarorio y la figura proporiona una interpretaión gráfia. 4 Grafia de la respuesta de la Transmisibilidad ξ0.05 3.5 TR F T x 0 F0 y0 3.5.5 ξ0. ξ0.0 ξ0.3 ξ0.4 ξ0.6 ξ0.8 ξ. ξ.6 0.5 0 0 3 4 5 6 Figure : Gráfia de la Transmisibilidad. Debe notarse que simportar el valor de la relaión de amortiguamiento, ξ, todas las urvas pasan por uando la relaión de veloidades angulares, 0, todas las urvas pasan por uando la relaión de veloidades angulares,.44 y todas las urvas tienden a 0 uando la relaión de veloidades angulares,, tiende a infinito. La gráfia separa dos regiones importantes:. Cuando la relaión de veloidades angulares,, el valor de la trasmisibilidad es siempre mayor o igual a, esta región se onoe omo la región de amplifiaión y existen algunas apliaiones industriales omo ribadoras, transportadores vibratorios y ompatadoras vibratorias que requieren que la fuerza o movimiento produido se amplifique. 4

. Cuando la relaión de veloidades angulares, >, el valor de la trasmisibilidad es siempre menor a, esta es la región en la que se lleva a abo el aislamiento de vibraiones. Es importante señalar que un aislamiento efetivo requiere usualmente que > 4 Debe notarse que mientras mas pequeña sea la relaión de amortiguamientom, ξ, más rápida es la onvergenia del valor de la transmisibilidad T R a ero, uando la relaión de veloidades angulares,, tiende a infinito. Este resultado puede llevar a la errónea onlusión de que el amortiguamiento es indeseable, esta onlusión no es orreta pues para llegar a la región de operaión de un diseño de aislamiento de vibraiones, la relaión de veloidades angulares, >, por lo que debe pasar por la región de resonania y en esa región se requiere de una relaión de amortiguamiento pequeña para evitar que las amplitudes sean muy elevadas. En la prátia de diseño de aislamiento de vibraiones freuentemente se despreia el amortiguamiento presente en el sistema reuerde que el amortiguamiento es una variable muy difíil de modelar y uantifiar y se realizan los álulos bajo la suposiión de que ξ 0, en este aso la euaión 6) se redue a T R x 0 x 0 x 0 F T F 0 ) ] 0 ) ] ) 0 68) Es importante reonoer que la raiz uadrada de un término elevado al uadrado es el valor absoluto del término. De manera que la euaión de diseño es ahora T R x 0 x 0 x 0 F T F 0 ) Más aún, si el objetivo es el diseño de aislamiento de vibraiones, entones se tiene que forzosamente > y por lo tanto > de manera que, en todos los asos de amortiguamiento si se desea amplifiar la fuerza o la vibraión existen siempre dos soluiones tales que < se tiene que T R x 0 x 0 x 0 F T F 0 8. Instrumentos de mediión de vibraiones. Existen tres importantes tipos de instrumentos de mediión de vibraiones:. Freuenímetro. Este instrumento determina la freuenia de la vibraión, el tipo más onoido omo el freuenímetro de lenguetas o de Frahm. Este instrumento onsiste en un onjunto de lengüetas o añas del mismo material y de diferente longitud y, por lo tanto, de diferente freuenia natural, alibrada para ada una de las lengüetas, de manera que la lengüeta o lengüetas que están en resonania, son las que determinan la freuenia de la vibraión que se desea medir. Una imagen de este tipo de instrumentos se muestra en la figura 3.. Vibrómetro, veloímetro o sismómetro. Este es un instrumento de muy baja freuenia natural, desafortunadamente la masa es usualmente grande, de manera que su rango de apliaión es limitado, sin embargo su uso fue muy generalizado entre 940 y 980. Una imagen de este instrumento se muestra en la figura 4 En el interior de la araza se enuentra una masa, de material ferromagnétio, soportada por un resorte y, en su aso un amortiguador de manera que la relaión de amortiguamiento es pequeña menor a 0.. Unida a la araza del sismómetro se oloan bobinas que al moverse en relaión a la masa produen un voltaje proporional a la veloidad relativa de la masa respeto a su araza y por lo tanto proporional a la veloidad del movimiento de la superfiie sobre la que se monta rígidamente el sismómetro. 5

Figure 3: Freuenímetro de lengüetas o de Frahm. Figure 4: Sismómetro o Veloímetro. Cuando se oloa sobre una superfiie, la masa y el sistema se omporta de auerdo on los resultados obtenidos en la seión de vibraión debido a movimiento armónia de la base. La euaión de movimiento del sistema vibratorio M d x dt dx dt dy dt ) x y) 0, 69) donde, M es la masa del sistema, es la onstante del resorte, es la onstante del amortiguador y t es el tiempo. Definiendo la variable zt) xt) yt), 70) el signifiado físio de esta variable es el movimiento relativo de la masa respeto a la base. Sustituyendo la euaión 70) y sus derivadas en la euaión 69), se tiene que M d z dz dt dt z M Sent. 7) Nuevamente, este análisis no requiere la soluión de otra nueva euaión diferenial adiional, basta on sustituir la nueva amplitud de la fuerza de exitaión dada por F 0 M, 7) en la soluión del problema de exitaión onstituida por una fuerza armónia de amplitud onstante, vea la seión. Por lo tanto z 0 ) ] 73) 6

Figure 5: Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Sujeto a Vibraión Forzada Debido a Movimiento en la Base. Esta euaión puede reformularse omo z 0 ] 74) De manera que la soluión del movimiento relativa de la masa respeto a la base, zt), está dada por zt) z 0 Sen t φ) 75) donde z 0 está dado por la euaión 40) y el ángulo de fase φ, está dado por φ Tan 76) La representaión gráfia de esta respuesta en términos de la relaión de freuenias naturales y la relaión de amortiguamiento está dada por la figura 6 7

6 Respuesta a una Fuerza Armónia de Magnitud Proporional al Cuadrado de la Freuenia 5 Parámetro Adimensional, M /m e 4 3 / 0. / 0. / 0.3 / 0.4 / 0.6 / 0.8 /.0 0 0 0.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 Relaión de Freuenias, / Figure 6: Relaión de amplitudes de la respuesta del movimiento relativo entre la masa y la base sujeta a un movimiento armónio. De manera semejante, la respuesta del ángulo de fase en términos de la relaión de freuenias y la relaión de amortiguamiento está dada por la figura 7 80 Gráfia del Ángulo de Fase 60 / 0. Ángulo de Fase φ 40 0 00 80 / 0. / 0.3 / 0.4 / 0.6 /.0 60 40 0 0 0 0.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 Relaión de Freuenias, / Figure 7: Ángulo de fase de la respuesta del movimiento relativo entre la masa y la base sujeta a un movimiento armónio. Primero se mostrará que, sin importar el valor de la relaión de amortiguamiento, la relaión z0 tiende a uno uando la relaión de freuenias tiende a infinito. lim z 0 lim n n ) ] lim n ) n ] n 0 0 77) 8

De manera semejante, es fáil observando la figura 7, que sin importar el valor de la relaión de amortiguamiento, uando tiende a infinito, y más rapidamente si la relaión de amortiguamiento es pequeña, el ángulo de fase φ tiende a 80 π. Por lo tanto, uando tiende a infinito, zt) z 0 Sent φ) Sent π) Además, el movimiento absoluto de la masa, dentro del sismómetro, está dado por xt) zt) yt) Sent π) Sent Sent Sent 0 La onlusión es que uando tiende a infinito la masa dentro del sismómetro permanee estaionaria..03 Grafia de la respuesta de un sismometro.05 ξ0.6 z0 y0.0.05.0.005 0.995 0.99 ξ0.63 ξ0.64 ξ0.65 ξ0.66 ξ0.67 ξ0.68 ξ0.69 ξ0.70 ξ0.7 0.985 ξ0.7 0.98.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 Figure 8: Respuesta de un sismómetro omo funión de la relaión de amortiguamiento, ξ, y la relaión de veloidades angulares,. La gráfia 8 permite determinar el rango de operaión de un sismómetro para que el error de la señal del sismómetro sea menor o igual que un valor predeterminado, por ejemplo % o %. Como un ejemplo simple, un sismómetro uya relaión de amortiguamiento sea ξ 0.65, el sismómetro funionará on un error menor al % si la relaión de la freuenia de la vibraión a la freuenia natural del sismómetro sea mayor a 3.3. Es deir 3.3. Por esta razón los sismómetro son instrumentos de freuenia natural muy baja. 3. Aelerómetro. Este es un instrumento de muy alta freuenia natural, entre 5 40 KHz, y usualmente la relaión de amortiguamiento es de alrededor de 0.67, de esa manera que su rango de apliaión es muy extenso, en la atualidad es el instrumento de mediión de uso más generalizado. Una imagen de este instrumento se muestra en la figura 4 El fundamento de la operaión de un aelerómetro se enuentra en la euaión 74) vuelta a esribir aquí z 0 ] 9

Figure 9: Aelerómetro. La euaión puede reformularse omo z 0 n ) ] 78) Debe notarse que representa la aeleraión que se desea medir, mientras que n es una propiedad del aelerómetro de manera que la respuesta del aelerómetro depende del omportamiento del término loalizado en el lado dereho de la euaión 78). Una gráfia parial de los resultados de la euaión 78) se presenta en la gráfia 30. Esta gráfia permite determinar el rango de operaión de un aelerómetro para que el error de la señal del aelerómetro sea menor o igual que un valor predeterminado, por ejemplo % o %. Como un ejemplo simple, un aelerómetro uya relaión de amortiguamiento sea ξ 0.66, el aelerómetro funionará on un error menor al % si la relaión de la freuenia de la vibraión a la freuenia natural del sismómetro sea menor a 0.57. Es deir 0.57. Por esta razón los aelerómetros son instrumentos de freuenia natural muy elevada. 30

.03.0.0 Grafia de la respuesta de un aelerometro ξ0.6 ξ0.63 ξ0.64 ξ0.65 ξ0.66 z0 y0 0.99 0.98 0.97 0.96 ξ0.67 ξ0.68 ξ0.69 ξ0.70 ξ0.7 ξ0.7 0.95 0.94 0.93 0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 Figure 30: Respuesta de un aelerómetro omo funión de la relaión de amortiguamiento, ξ, y la relaión de veloidades angulares,. 9 Problemas Resueltos. Problema. Una masa m está suspendida de un resorte de onstante 4000N/m y está sujeta a una fuerza armónia de amplitud 00N y freuenia de 5Hz. La amplitud del movimiento forzado de la masa se observa igual a 0mm. Enuentre el valor de m. 6 Soluión. Se sabe que la respuesta forzada de un sistema vibratorio bajo una exitaión armónia está dada por δ 0 Sen t φ) y P t) Sen t φ) ) ] Sen t φ) ) ) ] F 0 79) Como el sistema no está amortiguado, se tiene que de manera que la soluión se redue a 0 y P t) Sen t φ) F 0 Sen t φ) Es importante notar que esta expresión se expande a dos posibles situaiones. Si <, entones F 0 y P t) Sen t φ) Sen t φ) 6 Este es el problema 3.8 del libro de Rao, Mehanial Vibrations, 5th Ed. 3

en uyo aso φ 0.. Si >, entones en uyo aso φ 80. y P t) Sen t φ) F 0 Sen t φ) Es importante señalar que en este problema, sólamente la amplitud es importante; sin embargo, se presenta el ángulo de fase para desarrollar ompletamente la soluión de la respuesta. Entones, es neesario determinar en ual de los dos posibles asos opera el sistema o en su aso analizar los dos posibles asos, sin embargo hay algunos datos en omún δ 0 F 0 00N 0.05m 5mm 4000N/m Pero se sabe que Por lo tanto 0mm 0mm δ 0 5mm 0.8 Este resultado, india que la respuesta del sistema es amortiguada y por lo tanto >. Por lo tanto, se analizará exlusivamente el segundo aso ) δ 0 n) y δ 0 0 n δ 0 y0 δ 0 Puesto que se tiene que Finalmente, se sabe que y finalmente m 5Hz 3.459rad/s 3.459rad/s 0.8 m por lo tanto 0.94393 rad/s m n 4000N/m 0.94393rad/s 4000gm/s 438.648/s 9.89gm. 3