1.5 EJERCICIOS PROPUESTOS Temas: Elementos básicos del cálculo proposicional y cuantificacional. Nociones preliminares sobre una teoría deductiva. Métodos de demostración. Sean P, Q, R, S proposiciones. 1. Si se sabe que P es verdadera, Q es verdadera y R es falsa, que puede concluirse sobre el valor de verdad de las siguientes fórmulas: 1.1 P S 1.6 ( P Q) ( R S) 1.11 P ( Q R) P 1.7 Q ( R S) 1.2 R 1.12 R ( P S) 1.3 R S 1.8 Q ( R P) 1.13 ( P R) ( S Q) 1.4 R S 1.9 ( Q S) ( R P) 1.14 ( S R) ( P) P 1.10 (( P R) Q) ( P S) 1.5 R 1.15 S ( R ( S R)) 2. Para cada una de las siguientes proposiciones, conociendo el valor de verdad de la proposición compuesta, determina en cada caso, si es posible, el valor de verdad de cada una de las proposiciones simples. 2.1 P Q es verdadera 2.9 ( P Q) R es falsa 2.2 P Q es falsa 2.10 ( P Q) ( P Q) es verdadera 2.3 P Q es verdadera 2.11 P ( Q R) es verdadera 2.4 P Q es falsa 2.12 ( P Q ) ( R Q ) es falsa 2.5 ( P Q) R es verdadera 2.13 ( T P) (( Q S) P) es falsa 2.6 ( P Q) R es falsa 2.14 P ((Q P ) ( S Q )) es falsa 2.7 ( P Q) R es falsa 2.15 Q ( P P) es verdadera 2.8 ( P Q) R es verdadera
3. A continuación se indican los pasos que supuestamente permiten, a partir de las hipótesis, llegar a las conclusiones respectivas. Analice cada paso indicando la regla de validez, de inferencia que lo justifique, e indique finalmente, si la argumentación es ó no válida 3.1 1. P Q 2. P S 3. Q ( T H ) 4. S H 5. P ( T H ) 6. S 7. H 8. P 9. T H 10. T 11. T H 3.2 1. T H 2. P Q 3. S T 4. Q S 5. P 6. Q 7. S 8. S H 9. S H 10. S H 11. H : : H T H 3.3 1. Q H 2. Q T
3. P T 4. T P 5. Q P : P 6. Q 7. P 3.4 1. P R 2. S P 3. Q S 4. H Q 5. F R 6. P 7. R 8. S 9. Q 10. H 11. F 12. H F : H F 4. A partir de las premisas en cada numeral anterior, elabore demostraciones que lleven a las conclusiones que se indican así: 4.1 De las premisas del numeral 3.1 concluir P K 4.2 De las premisas del numeral 3.2 concluir H S 4.3 De las premisas del numeral 3.3 concluir H P 4.4 De las premisas del numeral 3.4 concluir F H 5. Utiliza las reglas de inferencia, las reglas de validez y las equivalencias necesarias para determinar en cada caso, si de las premisas dadas, es posible obtener la conclusión establecida. 5.1 P Q
nop noq 5.2 P Q Q S S 5.3 S T nor not nor nos 5.4 K T S not nos H K H 5.5 S F K F noh nof S ó K H 5.6 S nor no (T y no R) H D.y.S noh F no F no T
6. Dado el siguiente teorema: Si un triángulo es rectángulo, entonces, el triángulo tiene exactamente dos ángulos agudos. Indique para los siguientes condicionales derivados, su nombre relativo respecto a la implicación inicial y el valor de verdad de cada uno. 6.1 Si un triángulo tiene exactamente dos ángulos agudos, entonces el triángulo es rectángulo. 6.2 Si un triángulo no es rectángulo, entonces, el triángulo no tiene exactamente dos ángulos agudos. 6.3 Si un triángulo no tiene exactamente dos ángulos agudos, entonces, no es un triángulo rectángulo 7. Dada la siguiente proposición: Si un triángulo es equilátero, entonces el triángulo es isósceles. 7.1 Indique si la proposición anterior es verdadera o falsa. 7.2 Determine con relación a la proposición anterior, los condicionales derivados (recíproco, contrario y contrarrecíproco) e indique el valor de verdad de cada uno. 8. Utilice el método directo para demostrar la conclusión pedida, en cada una de los siguientes numerales. 8.1 P Q R Q P R Q 8.2 P Q R Premisa P R 8.3 P Q R Premisa Q R
8.4 P Q R P Q R 9. Utilice el Método de reducción al absurdo para demostrar la conclusión pedida, en cada uno de los siguientes numerales. 9.1 noq P nor Q nop R R 9.2 P W S now no P S nop 10. Demuestre utilizando el Método directo, el siguiente teorema: La suma de tres enteros consecutivos, es un múltiplo de 3. 11. Demuestre utilizando el Método directo, el siguiente teorema: Si m es un número par, entonces, para cualquier entero k, m.k es par. 12. Demuestre utilizando el Método directo, el siguiente teorema: En los números enteros, si a divide a b y b divide a c, entonces a divide a c 13. Demuestre utilizando el Método del contrarrecíproco, el siguiente teorema: Si el producto de dos números enteros es par, entonces, al menos uno de ellos es par. 14. Demuestre utilizando el Método de reducción al absurdo, el siguiente teorema: Para x, y números reales. Si x.y 0, entonces x 0 ó y 0.
15. Demuestre utilizando el Método de reducción al absurdo, la siguiente proposición: 2 es un número irracional. 16. Utilice el método del contraejemplo para probar que la siguiente proposición es falsa. Para t, b, c números enteros. Si t divide a b c, entonces t divide a b ó t divide a c. 17. Utilice el Método del contraejemplo para probar que la siguiente proposición es falsa: Todo número primo es un número impar. 18. Utilice el Método del contraejemplo para probar que la siguiente proposición es falsa: Si un triángulo no es equilátero, entonces, no es escaleno. 19. Utilice el Método del contraejemplo para probar que la siguiente proposición es falsa: Si un cuadrilátero convexo no es regular, entonces, no es equilátero. 20. Utilice el Método del contraejemplo para probar que la siguiente proposición es falsa: En todo triángulo, cada ángulo es menor que la suma de los otros dos.