Los númros rdondos son simpr falsos. Samul Johnson. Unidad 4 Númros rals Objtivos dcimals. n cifras
mat mát ic as 1 Introducción Iniciarmos sta unidad rcapitulando los difrnts tipos d númros qu hmos studiado hasta ahora. Lo harmos a través d un diagrama d Vnn para ilustrar la contnción ntr los conjuntos. Q N Z Figura 4.1. Los difrnts tipos d númros qu hmos visto. En la figura 4.1 podmos obsrvar qu l conjunto más grand d los studiados hasta ahora s l d los númros racionals, s dcir, aqullos qu pudn rprsntars como cocint d dos ntros. En la unidad 3 dijimos qu cuando un númro s pud rprsntar como l cocint d dos ntros, ntoncs l dcimal qu lo rprsnta s priódico o trmina n cro. La prgunta s: xistn dcimals qu no son priódicos? O d manra quivalnt, xistn númros x 2 = 25 u 2 x qu no pudn scribirs como l cocint d dos ntros? La rspusta s sí, pro cómo aparc st tipo d númros? x x= 5u L a forma más sncilla para ilustrar sta ida s apoyándonos n l aspcto gométrico. Figura 4.2. x 2 = 25u 2. Trabajmos un poco al stilo grigo antiguo. Sabmos qu la cuación x 2 = 25 nos indica qu l ára d un cuadrado, cuyo lado s dsconoc, s 25 unidads cuadradas (figura 4.2). Cuánto mid l lado? Fácilmnt dtrminamos qu la longitud s 5 unidads (un númro ntro). Si considramos la cuación x 2 = 25/9, ntoncs nos intrsa conocr l lado d un cuadrado cuya ára s 25/9 unidads cuadradas. Concluimos qu la longitud dl lado s 5/3 unidads (un númro racional). Sin mbargo, si nos topamos con la cuación x 2 = 2, cuánto mid l lado d un cuadrado cuya ára s 2? Exist un númro racional (rcurda qu s l conjunto más grand conocido hasta ahora) tal qu al lvarlo al cuadrado nos dé como rsultado 2? no! Los númros racionals no 165
Unidad 4 Torma d Pitágoras 2 1 1 1 2 + 1 2 = 2 son suficints para mdir todas las longituds. D hcho, varios siglos ants d Cristo los grigos tuviron qu nfrntars a st problma. Dmostraron qu si s considra un triángulo rctángulo isóscls con cattos d longitud 1 unidad, su hipotnusa mid 2 unidads y st númro no pud rprsntars como l cocint d dos ntros, s dcir, como una razón, d aquí l nombr d númro irracional. U n númro irracional no pud rprsntars como l cocint d dos ntros. El conjunto d st tipo d númros rcib l nombr d númros irracionals. Su símbolo s Q. Tnmos ahora dos grands conjuntos d númros, los qu pudn scribirs n la forma a/b, n dond a y b son ntros y b 0, y los qu no pudn scribirs d sta forma. L os númros rals stán formados por la unión dl conjunto d los númros racionals con l d los númros irracionals. Su símbolo s. = Q Q y n gnral la raíz d un númro primo son algunos númros irracionals. Existn dos númros irracionals sumamnt famosos: y. La pruba d su irracionalidad quda fura d los objtivos d st libro, ya qu rquir d rcursos matmáticos más laborados. Es important nfatizar qu un númro s irracional si su xpansión dcimal no s rpit, s dcir, no s priódica y admás infinita. Por jmplo: 2 = 1.414213562373095048801688724209698078569... = 2.718281828459045235360287471352662497757... = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307... Obsrva qu si omitimos los puntos suspnsivos n cada una d stas xpansions dcimals la igualdad ya no s cumpl, ya qu sría posibl ncontrar un cocint d dos ntros qu tuvira como rsultado s dcimal. Considrmos l caso d 1.41421358342= U n racional! A continuación rforzarmos algunas d las idas qu ya hmos studiado con los númros naturals, ntros y racionals, dbido a qu las propidads d las opracions fundamntals 166
mat mát ic as 1 qu s satisfacn con stos conjuntos s sigun cumplindo n l caso d los númros rals. La difrncia consist n qu st último conjunto,, contin lmntos qu los conjuntos d númros antriors no tnían: los númros irracionals. Ejrcicio 1 1. Clasifica con una quis los siguints númros sgún las catgorías. Pudn prtncr a más d una. 8 4/3 2 2 1/2 0 3 Z+ Z Q Q N Primo Par Impar El conjunto d los númros rals s rprsnta gráficamnt por la rcta numérica. Exist una corrspondncia ntr los puntos d la rcta numérica y los númros rals. A cada punto d la rcta numérica l corrspond un númro ral y a cada ral l corrspond un punto n la rcta numérica. El hcho d qu la rcta no s una lína puntada s muy significativo, ya qu sto nos indica qu todos sus puntos pudn rlacionars con un númro ral y vicvrsa. Aunqu ya hmos dicho qu los númros rals no sólo stán formados por los ntros, s usual qu éstos s ubiqun y s dstaqun n la rcta ral para tomarlos como puntos d rfrncia. D sta forma si qurmos localizar 3, podmos rcurrir a nustra calculadora para ncontrar una aproximación: 167
Unidad 4 Entrada: 3 Salida: 1.732050807569 Est númro sólo s una aproximación d 3, por lo qu dbs vitar scribir l signo d igualdad (= ) y n su lugar utilizar l d aproximación ( ). Tnmos ntoncs qu 3 1.732050807569. Ahora sabmos qu 3 stá ntr 1 y 2. D hcho stá muy crcano (Vr figura 4.3). Basándonos n la gráfica d los ntros o d algunos racionals, podmos ubicar d una manra aproximada, pro razonabl, númros como 2.71828,. 3 2 + 3 1 0 1 2 3 4 Figura 4.3. Rals positivos y rals ngativos + L os puntos a la drcha dl orign rprsntan los rals positivos y los puntos a la izquirda rprsntan los ngativos, como l cro no s positivo ni ngativo d aquí qu los númros rals stén formados por: = + {0} Rals positivos 0 orign Rals ngativos Una lína vrtical también pud rprsntar una rcta numérica; + arriba dl 0 s ncuntran los y abajo los. Si qurmos utilizar la rcta numérica para sumar o rstar númros rals, l procdiminto s l mismo qu s siguió n las unidads 2 y 3 con los númros ntros y con los númros racionals. El cuadro sinóptico qu aparc a continuación mustra cómo stán divididos los númros rals: 168
mat mát ic as 1 4.1.1. Rdondo Cuando mdimos algunas magnituds s común qu aparzca una gran cantidad d cifras dcimals qu n la práctica no tin sntido consrvar. Para facilitar ntoncs los cálculos y la intrprtación d datos s convnint considrar númros aproximados. El procso d rdondo consist n liminar las cifras qu sigun a una dtrminada, sumando una unidad a sta última si la primra qu s limina s mayor o igual qu 5. En caso contrario s dja igual. Ejmplo: 1. El rdondo d 78.543432 a décimas (1 cifra dcimal) s 78.5, ya qu al dschar 43432 la primra cifra liminada s mnor qu 5. El rdondo d a milésimas (3 cifras dcimals) s 1.414, ya qu la primra d las cifras liminadas s 2 y 2< 5. El rdondo d 3765.3567896 a dizmilésimas (4 cifras dcimals) s 3765.3568. El rdondo d 0.2599978 a 5 cifras dcimals s 0.26000= 0.26. Cifras significativas: son aqullas qu aparcn, n un númro, a partir d la primra qu no s cro, lyndo d izquirda a drcha. Ejmplo: 2. 145786 tin 6 cifras significativas. 0.00000678 tin 3 cifras significativas: l 6, l 7 y l 8. Rglas dl rdondo Suma y rsta El rsultado d una suma o rsta d númros rdondados s db rdondar a la cifra qu Multiplicación y división Si s multiplican o s dividn númros rdondados l rsultado s db rdondar al mnor númro l signo. Ejmplos: 3. 29.564+ 7.987 675.09 3 640.54. S rdondó a 2 cifras dcimals porqu 675.09 s la cantidad más grand sin considrar los signos. 4. 45.45673 875 0.039786 0.002. S rdondó a 3 cifras dcimals porqu 875 s la cantidad con l mnor númro d cifras significativas. L os siguints jmplos aplican l rdondo para ubicar númros rals n la rcta numérica. 169
Unidad 4 5. L ocalizar n la rcta numérica 4+ 2.5+ 7. L o primro qu harmos srá calcular una aproximación d 7. Apoyándonos n la calculadora obtnmos qu 7 2.645751311065. Entrada: 7 Salida: 2.645751311065 Como son dmasiadas cifras aproximarmos a 3. Si qurmos sumar 4+ 2.5+ 7 procdmos así: Entrada: 4 + 2.5 + 7 = Salida: 9.145751311065 Rdondando a milésimas tnmos: 9.146. 9.146 2.646 0 1 2 2.5 3 4 5 6 7 8 9 10 4+ 2.5 + 7 6. Localizar n la rcta numérica. Si tomamos 5 2.23 y 2 = 2 = 0.6366203. Por la rgla d rdondo para la suma obtnmos 1.13. 1.13 0.6366 2.23 4 0.5 1 0 1 2 2.5 3 4 Ejrcicio 2 Rsulv las siguints opracions y ubica l rsultado n la rcta numérica. 1. 6.2 2. 3. 7. 4. Los lados d un rctángulo son u. y u. Suma l dobl d cada uno para qu ncuntrs su prímtro. 170
mat mát ic as 1 5. rprsntan las longituds d los lados d un triángulo. Encuntra su prímtro. 4.2. Valor absoluto d un númro ral H mos visto qu l uso d la calculadora pud sr útil para ubicar aproximadamnt los númros rals n la rcta numérica. Al rprsntar un númro n la rcta ral simpr hay rrors n las mdicions, pro n l caso d algunos irracionals sto s acntúa más. El valor absoluto s un concpto qu nos prmitirá no dpndr d las aproximacions para oprar númros rals. Valor absoluto d un númro ral Sa x, l valor absoluto d x s rprsnta por x y stá dado por x x x x x Ejmplos: 7. Encontrarmos l valor absoluto d los siguints númros. Cuando l númro sa un irracional darmos una aproximación con trs dcimals. a) 89.3 = 89.3 b) 8.5 = 8.5 c) d) ) f). Con ayuda d la calculadora obtnmos qu 1.682: Entrada: 8 shift x y 4 = Salida: 1.68179283 Por lo tanto 1.682 g) porqu. Por lo tanto,. 171
Unidad 4 h), ya qu =. Por lo tanto, 2.048. i), porqu La rspusta con una aproximación d trs dcimals s:. Con la calculadora s procd como sigu: 1 Entrada: 2 shift 3 ( 2 ) = Salida: 0.802090652 0.802 Obsrva qu s considró la igualdad:. Ejrcicio 3 1. Un submarino s sumrgió n l mar 27.98 m. Calcula l valor absoluto d 27.98 para dtrminar a cuánto ascind la profundidad.. 2. La bas d un pntágono tin su vértic drcho dscansando sobr l orign. Para indicar qu stá n l lado ngativo d la rcta numérica s ha scrito qu mid cm. Calcula l valor absoluto d sta cantidad para dtrminar la longitud ral d la bas.. Aproxima a milésimas cada una d las siguints cantidads: 3. 4. 5. = 4.3. Opracions con númros rals Dado qu los númros naturals, los ntros y los racionals son númros rals, la forma d oprarlos, aún bajo la prspctiva d rals, no pud sr difrnt; por sta razón las rglas qu ya hmos studiado (vr página 132) para oprar stos tipos d númros s consrvan y s hrdan a los irracionals y por lo tanto a los rals. 172
mat mát ic as 1 4.3.1. Suma y rsta d rals Suma d rals La suma d dos rals con signos iguals s obtin sumando sus valors absolutos. El signo d la suma s l mismo qu l d los sumandos originals. La suma d dos rals con signos difrnts s obtin rstando al mayor valor absoluto l mnor. El signo d la suma s l signo dl númro con mayor valor absoluto. Ejmplos: Rsulv con una aproximación d trs dcimals 8. 8.3 9. + 11.442 9.. Como 11.442 = 11.442 y 9. = 9.7545454... 9.755, l signo dl rsultado srá positivo. Por lo tanto, (8.3+ ) 9. 11.442 9.755 = 1.687. 9.. Ejrcicio 4 Rsulv con una aproximación d trs dcimals. También xprsa l rsultado xacto. 1. y. 2. y. 3. y. 4. Los lados d un cuadrilátro irrgular midn n dcímtros: 8.65, 0.34,. Cuál s su prímtro?. 5. El lado d un triángulo scalno mid xactamnt cm. Exprsa su longitud con una aproximación d 3 cifras dcimals.. 173
Unidad 4 4.3.2. Multiplicación y división d númros rals Multiplicación y división d rals. Para multiplicar o dividir dos númros con signos iguals, ambos difrnts d cro, s multiplican o s dividn sus valors absolutos y l rsultado srá positivo. Para multiplicar o dividir dos númros con signos difrnts, ambos difrnts d cro, s multiplican o s dividn sus valors absolutos y l rsultado srá ngativo. Simbólicamnt Rgla d los signos Cómo multiplicamos o dividimos fr accions con numr ador o dnominador ir r acional? Ejmplos: Aunqu los numradors y los dnominadors no son númros ntros, l producto y la división d fraccions con componnts irracionals s fctúa d la misma forma como s haría si furan fraccions qu rprsntan númros racionals. 10. Calcularmos ( )( 8 )= (+ )( 8)(+ )= (+ )( )(+ )(8 )= 8. Una aproximación con 3 dcimals arroja l siguint rsultado: 8 8(3.14159)(2.71828)= 68.31782 68.318. Obsrva qu s hiciron todos los cálculos con más dcimals d los qu s pidn y qu s cortó n la cifra indicada hasta l final. 11. La bas d un triángulo s cm y su altura cm. Calcularmos su ára: 12. Para obtnr l costo mínimo n la laboración d una caja rctangular, sus dimnsions n toría dbn sr las siguints: largo m, ancho m, y alto m. Si l prcio d vnta s d $26.50 por m 3, a qué prcio db vndrs la caja, si n la práctica las dimnsions s ajustan a trs dcimals? Volumn: 174
mat mát ic as 1. Por lo tanto, l prcio d la caja s $(8.543)(26.50) = $226.3895 $ 226.39 13. El volumn d un cilindro circular rcto s y su altura s h= 5 dm. Si sabmos qu l radio R stá dado por la fórmula, cuánto mid la mitad dl radio? Dividindo ambos h mimbros d la igualdad por 2 y sustituyndo los valors n la fórmula obtnmos: Por lo tanto, la mitad dl radio mid 0.932 dm. 14. Calcularmos Rgla d los signos para un producto d númros rals con más d dos factors. Si todos los factors son positivos o l númro d factors ngativos s par, l producto s positivo. Si l númro d factors ngativos s impar, l producto s ngativo. Ejmplos: 15. Calcularmos con una aproximación d 3 dcimals. Obsrva qu l númro d factors con signo ngativo s 3, ya qu:. Por lo tanto, l rsultado srá ngativo: 175
Unidad 4 16. Calcularmos con una aproximación d 3 dcimals: Ejrcicio 5 Con ayuda d tu calculadora rsulv los siguints jrcicios dando l rsultado con una aproximación d 3 dcimals. 1. S dsa fabricar una cubirta d lámina para un chapotadro d forma rctangular cuyas dimnsions son 8 m d ancho por 5 m d largo. Cuántos mtros cuadrados d lámina s dbn comprar?. 2. Cuál s l volumn d un parallpípdo (una caja rctangular) cuyas dimnsions son: 3/7 m,, si s sab qu l volumn d st curpo stá dado por l producto d sus dimnsions?. 3. La constant d proporcionalidad k ntr l volumn d un cono circular rcto y su radio stá dada por. Si l volumn s 7 3 pl 3 y l radio s pl, ncuntra l valor d k.. 4. 5. 4.3.3. Potncias d rals Es usual qu n los ngocios las cuacions qu rprsntan los movimintos d las mprsas, como pudn sr las vntas o las ganancias, involucrn potncias d númros rals. Por jmplo, para una mprsa A las vntas s calculan a través d la cuación x, n dond x rprsnta la cantidad n mils d psos qu s invirt n publicidad. Así, si la invrsión ha sido d 176
mat mát ic as 1 $2 560.00, las vntas stán dadas por. Para una mprsa B, las ganancias s calculan a través d la cuación x x n dond x rprsnta l nivl d producción por hora. D sta forma si l nivl d producción fu d 35 unidads por hora, las ganancias qudan dtrminadas por (2 + 35) 2 + 3(35). En cincias hay innumrabls lys o fórmulas n las qu aparcn xponnts. Aquí t mostramos algunas: l= l 2. m n nrgía = mc 2. Dond c s la vlocidad d la luz n l vacío. r r 2. r r. k x.. P a intrés compusto. r y altura h= 2.. v 0 y ángulo. (dond k s la constant d la gravitación univrsal). m qu s muv a una vlocidad v =. En sta scción studiarmos cómo calcular st tipo d opracions con rals. Potncia ntra d un ral Ejmplos: 17. Cuántos litros d agua cabn n un rcipint cúbico cuyo lado mid El volumn dl rcipint s m? Como 1 m 3 = 1 000 litros, al rcipint l cabn aproximadamnt (3.1565)(1 000)= 3 156.5 litros d agua. Obsrva: bas positiva, potncia positiva. 177
Unidad 4 Para todo a 0 s cumpl qu, por lo tanto 1 Considra la antrior igualdad para continuar con los jmplos. 18. Calcularmos con una aproximación d 3 dcimals: Obsrva qu como la bas s positiva y l xponnt s ntro ngativo, la potncia s positiva. 19. Con l fin d mostrar sus dots matmáticas, un studiant ha acptado l siguint rto: d no rsolvr cirto problma pagará a quin s lo plant una multa d $, n dond n rprsnta los días qu tarda n dar la rspusta. Si han transcurrido 5 días y l studiant no ha rsulto l problma, a cuánto ascind su duda? Rcurda qu s usual utilizar un signo mnos para rprsntar cantidads qu s dbn. n Por lo tanto, su duda s aproximadamnt d $0.473. Obsrva qu l studiant s ralmnt listo, pus utilizó una bas mnor qu 1. D sta manra a mdida qu aumnta l númro d días d rtraso su duda disminuy. 20. Calcularmos con una aproximación d 3 dcimals Obsrva qu como la bas s ngativa y l xponnt s impar, la potncia s ngativa. Ejrcicio 6 Con ayuda d tu calculadora rsulv los siguints jrcicios con una aproximación a 3 dcimals. 1. = 178
mat mát ic as 1 2. Cuál srá l costo d dos caras cuadradas d una caja rctangular cuyos lados midn, si l costo por dcímtro cuadrado s d $ 35.45?. 3. Cuántos litros d agua cabn n un rcipint cúbico cuyo lado mid?. 4. Considra l jmplo 19 y calcula para n= 6, n= 7 y n= 8. Compruba qu a mdida qu aumnta l númro d días la duda disminuy.. 5. =. N otación cintífica Cualquir fracción dcimal s pud xprsar como l producto d un númro ntr 1 y 10 y alguna potncia ntra d 10. Cuando un númro s rprsnta d sta forma s dic qu stá dado n notación cintífica. Simbólicamnt s scrib como a 10 n, n dond a s un ntro tal qu 1 a < 10. En gnral l xponnt dl 10 indica l númro d lugars qu s db rcorrr l punto dcimal. Si n s positivo l punto s rcorr a la drcha y si n s ngativo s rcorr a la izquirda. Ejmplos: 21. 1 dcímtro cúbico= 1 000 000 milímtros cúbicos. Con notación cintífica s scrib: 1 dcímtro cúbico = 1 10 6 milímtros cúbicos. Rcurda qu l punto dcimal n un ntro s ncuntra a su drcha, pro no s scrib. (1.= 1). 22. Un dcímtro cúbico d hilo psa 921 gramos, s dcir 9.21 10 2 gramos. 23. El númro d cabllos n una prsona morna s aproximadamnt d 102 000, s dcir, 1.02 10 5. 24. La población d bactrias n un cultivo dspués d 10 días s 78 600 000, s dcir, 7.86 10 7. 25. El spsor d una lámina s.005 mm, s dcir, 5 10 3. 26. S midió l diámtro d un j d acro con un pálmr micrométrico y s obtuvo l siguint rsultado: 0.57846 in, s dcir, 5.7846 10 1. 27. 0.0000675= 6.75 10 5. 28. El númro d Avogadro (númro d moléculas por mol) s 6.02 10 23. 179
Unidad 4 29. Es usual qu las calculadoras xprsn númros muy grands o muy pquños con notación cintífica. Por jmplo, raliza las siguints instruccions n la calculadora: Entrada: 65 1689234795 Salida: 3.847896112 08 = 3.847896112 10 8 = 0.00000003847896112 Pantalla N úmro rprsntado 5.879654 13 5.879654 10 13 = 58 796 540 000 000 4.87698874 15 4.87698874 10 = 0.00000000000000487698874 Aun cuando trabajs con la calculadora, n ocasions srá imprscindibl qu utilics la notación cintífica para ralizar tus cálculos. Por jmplo, n la siguint xprsión no todas las cantidads pudn ntrar dirctamnt n la calculadora:, ntoncs puds scribirlas con notación cintífica: y fctuar los cálculos con. El rsultado final db considrar la potncia 10 35 qu no has tomado n cunta. Por lo tanto, Ejrcicio 7 1. Si la masa d la Tirra s aproximadamnt d 6.1 10 27 g y cada gramo quival aproximadamnt a 2.2 10 3 libras, cuál s la masa d la Tirra n libras? Exprsa l rsultado con notación cintífica y n forma natural.. 2. Exprsa n forma natural 7.65 10 6. 3. Exprsa con notación cintífica 0.0000000007845. 180
mat mát ic as 1 4. Suponindo qu una gota d agua s una sfra d 1 mm d radio, cuántas gotas d agua hay n los océanos n dond s stima un volumn d 1 300 000 000 000 000 000 d litros? Exprsa sa cantidad con notación cintífica. L a fórmula para l volumn d una sfra s: r. 5. U tiliza la notación cintífica para ralizar las siguints opracions con tu calculadora. Exprsa tu rsultado n notación cintífica.. 6. El oxígno libr d la Tirra psa 1.5 10 21 g. Si un gramo quival aproximadamnt a 2.2 10 3 libras, cuál s l pso dl oxígno libr n libras?. Potncias racionals d un ral Rcurda qu los númros racionals continn los ntros, por lo qu las siguints lys d los xponnts son válidas para ambos. Lys d los xponnts Si a, b, difrnts d cro y n, m Q, ntoncs: 1. a n a m = a n + m 2. (a n ) m = a nm 3. a n b n = (ab) n Si n=, ntoncs Ejmplos: 30. Calcularmos con aproximación d 3 dcimals l ára d un rctángulo cuyas dimnsions son y. 31. Calcularmos con aproximación d 3 dcimals : 181
Unidad 4 32. Calcularmos con aproximación d 4 dcimals l ára dl triángulo qu tin como hipotnusa la diagonal d un cuadrado d lado. 2) Por lo tanto l ára dl triángulo s 33. Calcularmos l volumn d un cono circular rcto con radio cm y altura cm con una aproximación d 2 dcimals. Volumn= (radio) 2 altura= r 2 h Exponnts fraccionarios ngativos Si a= s una fracción difrnt d cro (q 0) y s un racional, ntoncs s cumpl qu 34. Calcularmos con una aproximación d 3 dcimals 182
mat mát ic as 1 35. Calcularmos con aproximación d 3 dcimals Ejrcicio 8 Con ayuda d la calculadora rsulv los siguints jrcicios con una aproximación a 3 dcimals: 1. El ára d un triángulo rctángulo con cattos d longitud s. 2. =. 3. =. 4. El producto d las áras d dos cuadrados, uno d los cuals tin d lado unidads y l sgundo d lado unidads s. 183
Unidad 4 5. El radio d una sfra stá dado por unidads. Si s sab qu l volumn s u, cuál s l radio d la sfra?. 4.3.4. Opracions combinadas El tipo d opracions qu dbn rsolvrs n los problmas d aplicación rara vz involucran una sola opración. Vamos los siguints jmplos. Ejmplos: 36. Al ralizar una invrsión n publicidad d $2 560.00, la mprsa A pud calcular las vntas adicionals mdiant la siguint xprsión. Por lo tanto, una invrsión d $2 560.00 n publicidad impulsa la vnta d 67.500 unidads adicionals. 37. Para ncontrar las ganancias d la mprsa B, cuando l nivl d producción ha sido d 35 unidads por hora, dbmos calcular: Por lo tanto, las ganancias son d aproximadamnt $ 21 741.59. 38. Aplicarmos la prioridad ntr las opracions (vr unidad 2) y calcularmos con una aproximación d 3 dcimals: 184
mat mát ic as 1 Ejrcicio 9 Aplica la prioridad ntr opracions y con ayuda d la calculadora rsulv los siguints jrcicios con una aproximación a 3 dcimals: 1. Cuál sría l incrmnto n las vntas d la mprsa A dl jmplo 36, si la invrsión n publicidad hubira sido d $1 785.50?. 2. Cuáls srían las ganancias n la mprsa B dl jmplo 37, si la producción hubira sido d 57 unidads por hora?. 3. =. 4. =. 5. L os sgmntos qu forman una lína qubrada tinn las siguints longituds n cntímtros.. Cuál s la longitud d la lína?. 4.4. Radicals Fórmulas tan familiars como las siguints son xprsions qu involucran radicals: hipotnusa= ra d un triángulo d lados a, b, c s A= Timpo d caída dsd una altura h s t = 2 ; dond 2 Priodo d oscilación d un péndulo d longitud l s 2 185
Unidad 4 En ralidad al studiar las potncias con xponnts fraccionarios s han contmplado las opracions con radicals, ya qu si p y q 0 son ntros y a 0 s un ral para l cual tin sntido la xprsión, ntoncs. Sin mbargo, n los cursos d álgbra lmntal s usual dar las rglas d los radicals por sparado, con la finalidad d agilizar algunos dsarrollos. Raíz cuadrada d un númro ral Si a, ntoncs dcimos qu b s una raíz cuadrada d a si b 2 = a. El símbolo s utiliza para indicar la raíz positiva (principal) d a. Por lo tanto, si b s la raíz cuadrada positiva d a. 0 0 y cualquir ral ngativo no xist, ya qu ningún númro multiplicado por sí mismo nos da un númro ngativo. (Rcurda las lys d los signos). 4.4.1. Existncia d la raíz n ésima d un ral Algunas caractrísticas importants sobr las raícs d un númro ral son: a) Si a + y n Z +, ntoncs (raíz n ésima d a) +. b) Si a y n Z + s impar, ntoncs (raíz n ésima d a). c) Si a y n Z + s par, ntoncs (raíz n ésima d a) no tin sntido n rals. d) Si n Z + n, ntoncs 0 0 Ejmplos: Analizarmos si cada una d las siguints xprsions tin sntido n los rals. En caso afirmativo calcularmos la raíz indicada con una aproximación a 4 dcimals: 39. El lado d un cubo cuyo volumn s 345 m 3 stá dado por l= m. Como l radicando s positivo, por l inciso (a) sta raíz cúbica sí prtnc a los rals positivos. Por lo tanto, con ayuda d la calculadora obtnmos: Entrada: 345 shift x y 3 = Salida: 7.013579083 Por lo tanto, l 7.013579083 m. 40. El lado d un cuadrado cuya ára s cm 2 stá dado por: l cm. Por l inciso (a) sta raíz cuarta sí xist n los rals y s positiva. Por lo tanto, con ayuda d la calculadora obtnmos. 186
mat mát ic as 1 41., por l inciso (b) sta raíz novna sí xist n los rals y s ngativa. Por lo tanto, con ayuda d la calculadora obtnmos: Entrada: 576 shift x y 9 = Salida: 2.026346027 Por lo tanto, 2.0263 Rcurda qu la raíz n ésima d un númro significa ncontrar un ral tal qu al lvarlo a la n ésima potncia dé como rsultado l radicando. Si x s positivo y n ntro positivo, la notación rprsnta la raíz positiva. 42., como l radicando s ngativo y l índic s par, sta xprsión no tin sntido n los rals. Supongamos qu xist un númro a tal qu a, ntoncs aaaaaa= 541. No pud a sr cro porqu a 6 = 0. Si a> 0, ntoncs a 6 > 0 y no podría sr igual a 541. Si a< 0, ntoncs a 6 = aaaaaa arrojaría un producto d 6 signos ngativos:, pro sabmos qu, con lo qu obtnmos qu y por lo tanto a 6 no pud sr igual a 541. Concluimos ntoncs qu no xist n los númros rals. Ejrcicio 10 Llna l spacio blanco con: positiva, ngativa o qu no xist n rals. 1. s una raíz. 2. s una raíz. 3. s una raíz. 4. s una raíz. 5. s una raíz. Ejmplos: 43. Considra. Sabmos qu l rsultado s 2. Ahora calcula 2 3. Obsrva qu l rsultado s 8: l radicando! 187
Unidad 4 44. Considra. Para calcular sta raíz mpla tu calculadora. Obtndrás 2.5 como rsultado. Ahora lva 2.5 a la cuarta potncia; l rsultado s 39.0625: l radicando! 45. Considra 3.2 5 ; con ayuda d la calculadora obtndrás 335.54432. Ahora xtra su raíz quinta; l rsultado s 3.2: la bas! 46. Considra ( 67.3) 3. El rsultado s 304 821.217. Ahora xtra su raíz cúbica; obtins la bas 67.3. Estos jmplos compruban qu n los rals también s satisfac qu la potncia n ésima y la raíz n ésima son opracions invrsas. La forma como pud sr xprsado un radicando rsulta important porqu xistn cirtos tipos d xprsions qu nos prmitn fctuar los cálculos con mayor facilidad. Por jmplo, si t pidn slccionar ntr la xprsión ó 1 820 2, cuál scogrías? No t dsgasts dmasiado n tomar una dcisión porqu las dos rprsntan l mismo númro. Pro, cómo podmos simplificar los radicandos? Las propidads qu nos lo indican s dsprndn dirctamnt d la dscomposición n factors primos (l torma fundamntal d la aritmética, visto n la unidad 2) y d la igualdad 1 (I gualdad 4.1). Ejmplos: 47. Considrmos 48. Simplificarmos 49. Simplificarmos 50. Simplificarmos En gnral sta forma d procdr s una rgla qu s obtin como sigu: 51. Suponindo qu a y b son númros rals y n un ntro positivo, y suponindo también qu los radicals xistn, apliqumos la igualdad 4.1 para xprsar n forma distinta. Tnmos qu. Por la propidad d los xponnts podmos asgurar qu. 188
mat mát ic as 1 Aplicando d nuvo la igualdad 4.1 concluimos qu nustra primra ly d los radicals:. Tnmos ntoncs L as rglas básicas para los radicals son: Lys d los radicals. Si a y b son númros rals, n un ntro positivo y los radicals xistn, ntoncs s cumpl qu: i) ii) iii) Cada una s dduc d una forma análoga a la qu s prsntó n l jmplo 51. 52. Simplificarmos. Como l radicando n un cocint, s factibl aplicar la rgla (ii). Factoricmos (n factors primos) l numrador y l dnominador d la fracción: Es común qu st tipo d rsultados s prsntn sin raícs indicadas n l dnominador. Para canclarlas sin altrar la fracción s multiplica numrador y dnominador por la raíz qu s quir liminar (n st caso ). Obtnmos: ; aplicando la rgla (i) tnmos qu 53. Aplicarmos la rgla (iii) para simplificar. Como l índic d la raíz intrior no aparc xplícitamnt, s 2, por lo tanto Ejrcicio 11 1. La longitud d una barda s m. Utiliza la factorización n númros primos para simplificar la xprsión. 2. Simplifica la xprsión qu rprsnta l lado d un cubo d volumn 27 000 u 3. 3. Simplifica. 4. Cuál s l lado d un cubo cuyo volumn s? Simplifica tu rspusta. 5. Simplifica. 189
Unidad 4 Caso práctico d aplicación Un tanqu qu tin la forma d un cono circular rcto d 15 pis d alto y radio d la bas pis, tin su j vrtical y su vértic al nivl dl sulo. El tanqu stá llno d agua. Calcular l trabajo ralizado al bombar toda l agua y hacr qu salga por arriba dl tanqu. La cuación para calcular l trabajo W para st problma n particular s: lb pi. n dond x s la altura dl cono. Por lo tanto, W 190
mat mát ic as 1 Ejrcicios rsultos 1. Rprsnta gráficamnt los rsultados aproximados d las siguints opracions con númros rals. Aproxima a 3 dcimals l rsultado final: a) 5.4 b) Solución: a) 5.4. Comncmos por aproximar con 5 dcimals /3 y 3 0.90609; y. Por lo tanto, 5.4. b). Empcmos por aproximar con 5 dcimals 4.21489,.4. Así, 4.21489+ 0.40000 0.23115 4.04604. 4.596 4.04604 a) b) 4 3 2 1 0 4 3 2 1 0 2. El comta H ally atravisa l cilo cada 76 años. La última vz aparció n 1986. En qué año dl siglo XXIII s spra qu aparzca d nuvo? Solución: Como aparció n 1986 y 1986+ 76, volvrá a aparcr n l año 2062. Lugo como 2062 + 76 = 2138, n l si gl o XXI I apar cr á n l año d 2138. Como 2138 + 76 = y como 2214 + 76 n l si glo XXI I I aparcr á dos vcs: una n l año 2214 y ot r a n l año 2291. 3. La longitud d una tla s d 30.5 m y s ncsitan trozos d una longitud d 85 cm. Cuántos trozos s pudn obtnr? Solución: L o primro qu harmos srá convrtir todo a mtros. Sabmos qu 85 cm = m. A hora rprsntmos l dcimal 30.5 como fracción; obtnmos:. Por lo tanto tnmos qu 30.5m = m. El númro d trozos d tla con una 191
Unidad 4 longitud d 17/20 m qu s pudn obtnr d m, stá dado por, d dond concluimos qu d stos 30.5 m pudn obtnrs 35 trozos con la longitud dsada. 4. Calcula: a) 0.000988 b) 49.005 c) d) ) Solución: a) 0.000988 = 0.000988. Como s un númro ngativo, al aplicarl l valor absoluto lo convrtimos n positivo. b) 49.005 = 49.005. Como l númro s positivo quda igual. Si aproximamos con 3 cifras dcimals, obtnmos 49.005, y con 6 cifras dcimals obtnmos 49.005002. c). Aplicando la rgla d los signos podmos obsrvar qu como, s positivo y como, s ngativo; ntoncs. d). Aplicando la rgla (i) d los radicals (scción 4.5.2) obtnmos qu. Aplicando la ly d los signos. Aproximación a 6 dcimals. ). Como, dirctamnt obtnmos qu Aproximando con 3 dcimals, tnmos qu 0.327. 192
mat mát ic as 1 5. Rsulv con una aproximación d 4 dcimals: a) b) Solución: a) b) 6. Rsulv con una aproximación a 3 dcimals: Solución:. Aplicando la ly d xtrmos y mdios, obtnmos qu. Aplicando la rgla (i) d los radicals: 7. Calcula con una aproximación d 2 dcimals: a) b) c) 193
Unidad 4 Solución: a). Aproximando con 4 dcimals l numrador y l dnominador d la bas obtnmos: b). Aproximando con 4 dcimals l numrador y l dnominador d cada fracción, obtnmos: c) 8. Calcula con una aproximación d 4 dcimals: 4.75 9.005 Solución: 4.75 9.005 4.75000 9.00542+ 4(3.03703) 194
mat mát ic as 1 9. El voltaj d un circuito stá dado por la fórmula 2. Simbólicamnt V 2 = PR. U n lctricista tin un circuito qu produc una potncia d 1 560 watts y ncsita qu la rsistncia sa cuando mucho d 3.99 ohms. Cuál db sr l voltaj dl circuito calculado n volts? Solución: Llammos x al voltaj. Sustituyndo los datos n la fórmula obtnmos qu x, por lo tanto x. Por lo tanto, l voltaj dl circuito db sr cuando mucho d (aproximadamnt) 78.89 volts. irracional 10. H allar l ára dl triángulo cuyos lados tinn 40, 50 y 60 cm d longitud, usando la rgla qu stá dado por s = Solución: 2, n dond a, b y c son las longituds d los lados y s l smiprímtro. s. Por lo tanto, A = cm 2. 11. Si la bas d una scalra d 19 m d longitud stá sparada 6 m d una pard, qué altura alcanza n la pard? Solución: Como s for ma un triángulo rctángulo aplicamos l t orma d Pitágoras. m. 195
Unidad 4 Curiosidads matmáticas Cuadrados mágicos Los cuadrados mágicos son arrglos d númros, d tal forma qu los lmntos d cada una d sus columnas, rnglons y diagonals suman l mismo númro. Un jmplo d cuadrado mágico s: la suma d los lmntos d todas sus columnas, d todos sus rnglons y sus dos diagonals s 0. Tú puds formar nuvos cuadrados mágicos si añads a cada uno d los lmntos un mismo númro. T mostramos cómo hacrlo con 4. 1 2 3 4 0 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Cuadrados con un númro a 2 3 2 7 d cldas. a 12 númro impar. 8 4 0 12 Con los númros ntros dl 1 hasta n s pudn construir cuadrados mágicos d 9, 25, 49 o cualquir númro n d cldas, simpr y cuando l númro sa l cuadrado d un impar. La forma d llnarlos s como 1 6 5 12 sigu: 12 12 12 12 12 1. S scrib l 1 n la clda cntral dl primr rnglón. 2. S avanza hacia arriba y a la drcha un paso cada vz. Si s ca n una clda ya ocupada o fura dl cuadrado, ntoncs: a) Si la clda stá ocupada, n lugar dl moviminto s baja al siguint rnglón. Si s ca fura d la squina suprior drcha, s omit l moviminto y s baja al siguint rnglón. b) Si s ca fura dl cuadrado por l lado suprior, s baja hasta la última clda d sa misma columna. Si camos fura a la drcha, ntoncs la posición s n la clda d la izquirda n l mismo rnglón. Cómo llnar un cuadrado d 3 3. La suma d sus rnglons, columnas y diagonals s 15. En gnral n un cuadrado d n n, con n impar, la suma d sus rnglons, columnas y diagonals s n n. 196
mat mát ic as 1 1 1 6 8 1 6 3 3 5 3 5 7 2 4 2 4 9 2 Parc sr qu los cuadrados mágicos aparciron por vz primra n China y s ls conocía como Lu Shu. S cunta qu hac muchos siglos ants d Cristo un hombr s ncontraba a la orilla dl río Lo cuando d pronto mrgió una xtraña tortuga n cuyo caparazón vnía inscrita una configuración. El intrés por los cuadrados mágicos no ha mrmado con l timpo. En l Rnaciminto Cornlio Agrippa construyó cuadros mágicos con n 2 númro d cldas, para n igual d 3 a 9. Éstos rprsntaban simbólicamnt a Saturno, Júpitr, M art, l Sol, Vnus, M rcurio y la Luna. Por otra part, los cuadrados también han stado prsnts n l art. Basta rcordar la obra M lancolía, dl pintor almán Albrto Durro, n la qu aparc n la squina suprior drcha l cuadrado d la drcha. 16 3 2 13 Obsrva qu las casillas cntrals n la última lína (1514) corrspondn al 5 10 11 8 año d cración dl grabado. 9 6 7 12 En 1693 Frénid d Bssy dmostró qu xistn 880 formas d crar cuadrados d 4 4. En 1973 Richard Schoppl, apoyando sus cálculos con una computadora, ddujo qu xistn 275 305 224 formas d crar cuadrados d 5 5. 4 15 14 1 Quirs conocr un cuadrado mágico n prsona? En los muros dl Tmplo d la Sagrada Familia n Barclona xist uno como l d abajo. 1 14 14 4 11 7 6 9 8 10 10 5 13 2 3 15 197
Unidad 4 Nota histórica En sta unidad hmos studiado los númros rals y hmos visto qu dicho conjunto s halla dividido n dos grands parts: l conjunto d los númros racionals y l conjunto d los númros irracionals. Aprndimos también qu un irracional s un númro ral con una rprsntación dcimal infinita y no priódica o también aqul qu no pud rprsntars como l cocint d dos ntros. Rsulta intrsant sabr qu a psar d qu dsd la época d los antiguos grigos (siglo V a. C.) ya s conocía la xistncia d los númros irracionals, no fu sino hasta l siglo XIX d nustra ra cuando l matmático almán Richard Ddkind dio una dfinición formal para llos. Más aún: xplicó cuál ra l lugar qu ocupan dntro d los númros rals. Todas stas idas las djó clara y rigurosamnt stablcidas n su obra Continuity and Irrational Numbrs. La ida d Ddkind para dfinir los númros irracionals fu la siguint: Supón qu l conjunto d los númros racionals stá dividido n dos subconjuntos no vacíos A y B, d tal forma qu todos los númros qu prtncn a A san mnors qu cualquira d los númros qu prtncn a B. A sto l llamó cortadura. Entoncs asgura qu xist un númro c, tal qu todo númro (racional) mnor qu c prtnc a A y todo númro (racional) mayor qu c prtnc a B. Si c prtnc a A o a B, ntoncs c s un númro racional. Pro si c no stá ni n A, ni n B, ntoncs c s un númro irracional qu quda dfinido por una cortadura d Ddkind spcífica. Vamos un jmplo d sto: Sa A l conjunto d todos los númros (racionals ngativos y no ngativos) qu lvados al cubo son mnors qu 5 y sa B l conjunto d todos los númros (racionals) positivos qu al lvarlos al cubo son mayors qu 5. Quién s c? Para dtrminar su valor basta considrar qu si a s lmnto d A, ntoncs a 3 5, lo qu implica qu a. Análogamnt, si b prtnc a B, ntoncs b, lo qu implica qu b. Por lo tanto, c=. Como st númro no s un racional, s concluy qu s un númro irracional. Con sta intrprtación d númro irracional Ddkind pudo dmostrar qu la rcta ral s complta, s dcir, no tin hoyos. Los spacios qu djaban los racionals, st gnial matmático los llnó con los númros irracionals. 198
mat mát ic as 1 Rspustas a los jrcicios Ej. 1 1. Z+ Z Q Q N Primo Par Impar 8 X X X X 4/3 X X 2 X 2 X X X X X X 1/2 X X 0 X X X X 3 X Ej. 2 6.3613 1. 6.361254481 0 1 2 3 4 5 6 7 3.1022 2. 3.102175247 0 1 2 3 3.5 6.8467 3. 6.846746452 0 1 2 3 4 5 6 7 4. Prímtro 9.956187198 u 5. Prímtro 14.11612007 u Ej. 3 1. 27.98 m 2. cm 0.55902 cm 3. 9.643 4. 2.122 5. 2.354 199
Unidad 4 Ej. 4 1. 5.872; xacto 2. 1.109; xacto 3. 1.549; xacto 4. Prímtro 9.968 dm; xacto dm 5. 3.188 cm Ej. 5 1. 341.589 m 2 2. 6.483 m 3 3. k 1.459 4. 0.454 5. 5.524 Ej. 6 1. 44.390 2. $55.30 3. 1 843.8 l 4. n= 6 0.407; n= 7 0.351; n= 8 0.302 5. 75.068 Ej. 7 1. Notación cintífica 1.342 10 25 libras; notación natural 13 420 000 000 000 000 000 000 000 libras. 2. 0.00000765 3. 7.845 10 10 20 0
mat mát ic as 1 4. Volumn aproximado d una gota d agua: mm 3. 1 m 3 = 1 10 9 mm 3. 1 m 3 = 1 000 litros. Volumn aproximado dl agua dl océano 1.3 10 18 litros= 1.3 10 15 m 3 = 1.3 10 24 mm 3. La cantidad aproximada d gotas d agua qu forman l océano s: 3.104 10 23, s dcir, aproximadamnt 310 400 000 000 000 000 000 000 gotas. 5. Notación cintífica: 3.4606 10 37. 6. 3.3 10 18 libras. Ej. 8 1. 3.0713 u 2 2. 1.357 3. 3.066 4. 1.512 u 4 5. 0.853 u Ej. 9 1. 67.500 unidads 2. 73 588.237 3. 0.102 4. 2.355 5. 6.514 Ej. 10 1. Positiva. 2. No xist n rals. 3. N gativa. 4. Positiva. 5. Positiva. Ej. 11 1. 20 1
Unidad 4 2. 3. 4. u 5. 20 2
Matmáticas 1 (Álgbra 1) Unidad 4. Númros rals Nombr: Grupo: Profsor: Númro d cunta: Campus: Autovaluación 1. Calcula con aproximación d 3 cifras dcimals a) 24.31958152 b) 24.31958152 c) 24.320 d) 18.319 ) 204.319 2. Calcula con aproximación d 3 cifras dcimals: a) 324.6634906 b) 324.668 c) 234.663 d) 324.663 ) 324.663 3. Calcula con una aproximación d 3 dcimals a) 0.25276 b) 0.2528 c) 0.253 d) 0.252 ) 0.253 4. Cirta ciudad s v amnazada por l dsbordaminto d un río, y s v n la ncsidad d sr vacuada. La distancia dl río al cntro d la ciudad s d 27.5 km. S han hcho 5 rgistros d las distancias rcorridas por l río n la última hora. Los primros 12 min rcorrió 117 m, los siguints 12 min rcorrió 166 m, los siguints 12 min rcorrió 213 m, los siguints 12 min rcorrió 258 m y n los últimos 12 min rcorrió 160 m. Cuántos kilómtros faltan para qu l río alcanc la ciudad? 203
a) 26.5833125 m b) 26.5833125 km c) 26.5833125 km d) 26.78 km ) 26 000 m 5. El costo n psos por tndr una lína tlfónica d una población a otra stá dado por a a, n dond a rprsnta la distancia n kilómtros ntr las poblacions. Calcula l costo si s sab qu la población A s ncuntra a una distancia d qu s n dond s ncuntran las oficinas tlfónicas. a) $21 245.98 b) $21 254.6513 c) $212 450.6513 d) $21 245.6513 ) $21 245 km d la población B 204