A LOT SIZE MODEL WITH LOSS OF SALES AND ALL-UNITS DISCOUNTS

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1 27 Congreso Nacional de Estadística e Investigación Operativa Lleida, 8 11 de abril de 2003 A LOT SIZE MODEL WITH LOSS OF SALES AND ALL-UNITS DISCOUNTS L.A. San José 1, J.G. Laguna 2 1 Departamento de Matemática Aplicada a la Técnica Universidad de Valladolid, Valladolid, España augusto@mat.uva.es 2 Departamento de Estadística e Investigación Operativa Universidad de Valladolid, Valladolid, España laguna@eio.uva.es ABSTRACT We develop a mathematical model for an inventory system in which the demand during the stockout time is completely lost and the purchase unit price depends on the quantity ordered. In some real situations the unsatisfied demand is lost because the customers decide to buy elsewhere. The optimal policy is established using a sequential optimization procedure in two stages. We also develop an efficient algorithm for solving the model and we give an illustrative numerical example. The composite EOQ model with all-units quantity, all-weight freight discounts and total lost sales is commented. Key Words: inventory management, EOQ models, stockout, lost sale, discount. AMS subject classification : 90B05. 1 Introducción Desde que en 1913 Harris formuló el modelo EOQ, diversas extensiones del mismo han sido propuestas a través de la consideración de diferentes hipótesis. Una de las hipótesis que con más frecuencia se ha considerado es la de permitir escasez. En un amplio grupo de modelos que permiten escasez se supone que si un cliente llega cuando el sistema carece de existencias, se marcha y compra en otro establecimiento. Esta situación se conoce como pérdida de ventas. En el modelo de Harris, el coste unitario de compra se considera independiente del tamaño del lote, y por ese motivo no se incluye en la función de coste. Los sistemas de inventario en los cuales el precio unitario de compra depende del tamaño 1

2 del lote se conocen como sistemas con descuentos en los precios. Habitualmente, dos son los tipos de descuentos que se consideran: descuento en todas las unidades (en donde el descuento en el precio se aplica a todas las unidades del lote) y descuento incremental (en el que el descuento sólo se aplica a las unidades del lote que exceden un determinado nivel). Algunos autores (Hadley (1963), Naddor (1966), Love (1979), Silver y Peterson (1985) y otros) han estudiado estos problemas en el contexto del modelo EOQ de Harris-Wilson. Los procedimientos de solución que proponen necesitan habitualmente de la evaluación de alguna función de coste como parte del algoritmo. Recientemente se han realizado nuevas extensiones en diferentes líneas de investigación. Si no se considera escasez, Hwang et al. (1990), Tersine y Barman (1991 y 1994), y algunos otros, han estudiado los descuentos de los proveedores y de los exportadores. El modelo del tamaño del lote dinámico con descuentos en el precio de compra se trata en Federgruen y Lee (1990). Benton (1991) considera procedimientos para el tratamiento de descuentos con múltiples artículos, limitaciones de recursos y varios suministradores. Un modelo EOQ en el que el precio está descrito mediante una función decreciente de la cantidad se estudia en Matsuyama (2001). El modelo EOQ con escasez y descuentos se considera en Hadley (1963), Tersine (1994) y Tersine et al. (1995). Estos autores suponen que toda la escasez es retropedida. En Laguna y San José (2002) se considera un modelo EOQ con descuentos en todas las unidades y coste unitario de escasez constante. Un modelo diferente, pero similar al de este trabajo, referido al caso de demanda acumulable y donde el coste de escasez incluye un coste fijo y un coste proporcional a la longitud de tiempo que se espera hasta que se recibe el pedido se considera en San José y Laguna (2002). En este trabajo se estudia el modelo EOQ con pérdida de ventas y descuentos en todas las unidades. A diferencia de lo que se hace en Tersine (1994) y Tersine et al. (1995), la política óptima aquí propuesta se obtiene a través de un método de optimización secuencial en dos etapas. Este trabajo está estructurado como sigue. En la Sección 2 se introducen las hipótesis y la notación que se utilizarán en el resto del trabajo y se describe el modelo. La política óptima del modelo se presenta en la Sección 3. En la Sección 4 se expone un algoritmo para determinar la política óptima. Un ejemplo numérico se considera en la Sección 5. El trabajo concluye con algunos comentarios y las conclusiones que se dan en la Sección 6. 2 Formulación del modelo y notación 2.1 Hipótesis y notación El modelo matemático del sistema de inventario se basa en las siguientes hipótesis: (1) El inventario es de un solo producto con demanda independiente. No se consideran órdenes conjuntas con otros artículos. 2

3 (2) La demanda por unidad de tiempo es conocida, constante, continua e insensible aloscambiosdeprecios. (3) Se permite escasez, que es totalmente perdida; el coste unitario de una pérdida de ventas, excluyendo la pérdida de beneficios es constante. (4) Los costes unitarios de compra son conocidos y, a excepción de los descuentos, constantes. El coste de realizar un pedido es constante e independiente del tamaño del pedido. El coste de almacenamiento es una función lineal basada en el inventario medio. (5) El inventario es de revisión continua. (6) El plazo de reabastecimiento es cero. (7) Hay espacio, capacidad y capital suficientes para obtener el pedido deseado. Las hipótesis anteriores son esencialmente las mismas que las del modelo EOQ de Harris-Wilson, a excepción de las referidas al coste de pérdida de ventas y al coste de compra. En lo que sigue utilizaremos la siguiente notación: D : demanda anual (> 0). K : coste de realizar un pedido (> 0). J : número de diferentes costes unitarios de compra. u j : puntos de ruptura de precios. Consideraremos que 0=u o <u 1 <... < u J =. p j : coste unitario de compra si u j 1 q<u j,j=1,..., J. Supondremos que p 1 >p 2 >... > p J > 0. h j : coste anual y unitario de almacenamiento, j =1,..., J. Supondremos h j = rp j > 0. v : precio unitario de venta (v >p j,j=1,..., J). π o : coste de pérdida de confianza por cada venta perdida; es decir, coste debido a una venta perdida sin incluir la pérdida de beneficios ( 0). π j : coste unitario de pérdida de ventas, incluyendo la pérdida de beneficios y de confianza; π j = π o + v p j, j =1,..., J. Evidentemente, 0 < π 1 < π 2 <... < π J. EOQ j : la cantidad económica de pedido; es decir, EOQ j = p 2KD/h j. I 1 =(u o,u 1 ) e I j =[u j 1,u j ),j=2,..., J. R j = {(q, b) :q I j,b 0}, j=1,..., J. q : tamaño del lote (> 0). b : máxima pérdida de ventas por ciclo o punto de reabastecimiento ( 0). Como en gran parte de la literatura, supondremos que las variables de decisión q y b son continuas. 2.2 El modelo Consideraremos el modelo EOQ con pérdida de ventas y descuentos en todas las unidades siguiente. La relación de costes unitarios de compra para los descuentos 3

4 en todas las unidades es: p j = p 1 si u o <q<u 1 p 2 si u 1 q<u 2. p J si u J 1 q<u J donde 0=u o <u 1 <...<u J = es la secuencia de los puntos de ruptura de precios y p 1 >p 2 >...>p J > 0 son los costes de compra asociados. Si el tamaño del lote pedido es q I j y b es la máxima pérdida de ventas por ciclo, entonces la función de coste anual total es (ver, por ejemplo, Fernández (1999, p. 143)): q 2 C j (q, b) =K D q + b + h j 2(q + b) + π jb D q + b +(p j v)d (1) sujeta a (q, b) R j. Sea C(q, b) la función obtenida por yuxtaposición de las funciones C j (q, b). Es decir, C(q, b) =C j (q, b) para (q, b) R j, con j =1,..., J. Es claro que C(q, b) está definida en R, siendor = {(q, b) :q>0,b 0} y que si alcanza el mínimo en R, necesariamente existe algún j tal que la función C j (q, b) alcanza su mínimo en R j. En ese caso, considerando sólo los índices j para los que existe min (q,b) Rj C j (q, b), se tiene: min (q,b) R C(q, b) =min{ min C j (q, b)} j (q,b) R j En otro caso, es decir si C(q, b) no alcanza su mínimo en R, necesariamente existe algún índice j tal que la función C j (q, b) no alcanza su mínimo en R j e inf C(q, b) = inf C j (q, b) (q,b) R (q,b) R j Por tanto, hemos reducido el problema de minimizar la función C(q, b) en R a el problema de minimizar C j (q, b) en R j. 3 Estudio En esta Sección se presenta un método para calcular la política óptima que minimiza la función de coste total C(q, b) en la región R. El problema de minimizar la función C j (q, b) en la región R j se estudia en el Lema siguiente. Lema 1. Sea W j (q) =K D + h q j q +(p 2 j v)d para j =1,..., J. Entonces: 1. Si EOQ j <u j 1, se tiene: 4

5 (a) Si W j (u j 1 ) < π o D, entonces C j (q, b) alcanza su mínimo en qj = u j 1,b = 0 con valor C j (q,b )=W j (u j 1 ). (b) Si W j (u j 1 )=π o D, entonces C j (q, b) alcanza su mínimo en qj = u j 1 y todo b [0, ) con valor C j (q,b )=π o D. (c) Si W j (u j 1 ) > π o D, entonces C j (q, b) no alcanza su mínimo en R j e inf (q,b) Rj C j (q, b) =π o D =lim b C j (q, b), para todo valor fijo q I j. 2. Si u j 1 EOQ j <u j, se tiene: (a) Si W j (EOQ j ) < π o D, entonces C j (q, b) alcanzasumínimoenqj = EOQ j,b =0con valor C j (q,b )=W j (EOQ j )= p 2KDh j +(p j v)d. (b) Si W j (EOQ j ) = π o D, entonces C j (q, b) alcanzasumínimoenqj = EOQ j ytodob [0, ) con valor C j (q,b )=π o D. (c) Si W j (EOQ j ) > π o D, entonces C j (q, b) noalcanzasumínimoenr j e inf (q,b) Rj C j (q, b) =π o D =lim b C j (q, b), para todo valor fijo q I j. 3. Si EOQ j u j, se tiene: (a) Si W j (u j ) < π o D, entonces C j (q, b) no alcanza su mínimo en R j inf (q,b) Rj C j (q, b) =W j (u j ) = lim q u C j(q, 0). j (b) Si W j (u j ) = π o D, entonces C j (q, b) no alcanza su mínimo en R j inf (q,b) Rj C j (q, b) =π o D =lim q u C j(q, b) para todo valor fijo b 0. j (c) Si W j (u j ) > π o D, entonces C j (q, b) noalcanzasumínimoenr j inf (q,b) Rj C j (q, b) =π o D =lim b C j (q, b), para todo valor fijo q I j. e e e En el siguiente Lema se estudian los casos en los que la función C j (q, b) no alcanza su mínimo en R j. Lema 2. Si j<jy C j (q, b) no alcanza su mínimo en R j, entonces inf (q,b) Rj C j (q, b) inf (q,b) Rj+1 C j (q, b). Como consecuencia de este lema podemos enunciar el siguiente Corolario 3. Si j < J y C j (q, b) no alcanza su mínimo en R j, entonces no es necesario considerar la región R j para calcular el mínimo de C(q, b). Teniendo en cuenta los dos lemas anteriores podemos dar el siguiente método exhaustivo para resolver el modelo propuesto en este trabajo Método Para cada j =1,..., J 1 calcular, utilizando el Lema 1, los valores (q j,b j) R j en los que C j (q, b) alcanza su mínimo y los valores C j (q j,b j). Si la función C j (q, b) no alcanza su valor mínimo en la región R j, entonces no considere esa región. 5

6 2. Para j = J calcular, utilizando el Lema 1, el punto (q J,b J) R J en donde C J (q, b) alcanzasumínimoyelvalorc J (q J,b J). Si la función C J (q, b) no alcanza su valor mínimo en la región R J, entonces considere como q J cualquier punto de I J,b J = y C J(q J,b J )=π od. 3. Para cada una de las regiones consideradas, comparar los costes C j (q j,b j) y elegir como solución óptima el valor (q j,b j) que proporciona el mínimo coste. 4 Algoritmo En esta Sección se desarrolla un algoritmo que simplifica el método dado en la sección anterior. Por este motivo damos a continuación un lema que es una extensión del criterio para la eliminación de los intervalos en que se apoya el algoritmo dado en Love (1979, pág. 49), pero adaptado aquí al modelo que se presenta en este trabajo. Lema Si EOQ j π j D/h j o EOQ j u j 1, entonces la función C(q, b) no alcanza su mínimo en ninguna región R i,coni<j. 2. Si EOQ j π j D/h j y j<j, entonces C(q, b) no alcanza su mínimo en R j. El problema de determinar el ínfimo de C(q, b) cuando C(q, b) no alcanza su mínimo en R se estudia en el siguiente Lema. Lema 6. Si C(q, b) no alcanza su mínimo en (q, b) R, entonces el ínfimo de C(q, b) es π o D yseobtienecuandob para cualquier valor q>0 fijo. Utilizando los resultados anteriores, podemos proponer el siguiente algoritmo eficiente para resolver el problema propuesto en este trabajo. Algoritmo 7. El mínimo de C(q, b) puede calcularse con el algoritmo siguiente: 1. Calcular sucesivamente EOQ j = p 2KD/h j para j = J, J 1,... hasta encontrarelprimeríndicej para el que EOQ j min{u j 1, π j D/h j }. Para i = j +1,...,J, calcular C i (u i 1, 0) = W i (u i 1 ), ysiw i (u i 1 ) > π o D, no considerar el punto (u i 1, 0). 2. (a) Si u j 1 EOQ j < π j D/h j, entonces comparar los costes de los puntos considerados en la etapa anterior y C j (EOQ j, 0) = W j (EOQ j ). Si el valor mínimo obtenido es menor o igual que π o D, elegir como solución óptima el valor que proporciona el coste mínimo. En otro caso, considerar como solución óptima cualquier punto q>0,b = y C(q, ) =π o D. Fin. 6

7 (b) En caso contrario, comparar los costes de los puntos considerados en la etapa 1. Si el valor mínimo obtenido es menor o igual que π o D, elegir como solución óptima el valor que proporciona el coste mínimo. En otro caso, considerar como solución óptima cualquier punto q>0,b = y C(q, ) =π o D. Fin. Observaciones. 1) El algoritmo propuesto es eficiente porque no requiere una enumeración exhaustiva de todas los valores EOQ. 2) Si en el algoritmo anterior nosotros consideramos π o, entonces recaemos en el algoritmo del modelo de Harris-Wilson con descuentos en todas las unidades (ver Love (1979, p. 49)). 5 Ejemplo numérico Consideremos el sistema de inventario propuesto por Tersine (1995) en la página 117. Después de reestructurar los intervalos de descuentos y suponiendo que el coste de almacenamiento durante el transporte es 0, se obtiene un modelo equivalente con los siguientes parámetros: D =1200,K =30,r =0.30,u 1 =50,u 2 =100,u 3 =200,u 4 =500,p 1 =12,p 2 = 11.9,p 3 =11.7,p 4 =11.6 y p 5 =11.5. Supongamos ahora que el coste de pérdida de confianza es π o =0.45. Utilizando el método dado en la Sección 3 se obtiene lo siguiente: 1: (Para j =1, 2, 3, 4, utilizando el Lemma 1, se tiene): EOQ 1 = y u 1 =50. Como EOQ 1 u 1,calculamosW 1 (u 1 )=570. Dado que π o D =540,seconcluyequeC 1 (q, b) no alcanza su valor mínimo en la región R 1 y no se considera dicha región. EOQ 2 = y u 2 =100. De donde, EOQ 2 u 2, luego debemos calcular W 2 (u 2 ) = ComoW 2 (u 2 ) < π o D, C 2 (q, b) no alcanza su mínimo en la región R 2 y dicha región no será considerada. EOQ 3 = y u 3 =200;comou 2 EOQ 3 <u 3,secalculaW 3 (EOQ 3 )= Por tanto, W 3 (EOQ 3 ) < π o D y q3 = EOQ 3,b 3 =0y C 3 (q3,b 3)= EOQ 4 = y u 3 =200. Como EOQ 4 <u 3,calculamosW 4 (u 3 )= 192. Por tanto, q4 = u 3,b 4 =0y C 4 (q4,b 4)= 192. EOQ 5 = y u 4 =500. Como EOQ 5 <u 4,calculamosW 5 (u 4 )=94.5. Por tanto, q5 = u 4,b 5 =0y C 5 (q5,b 5)= : Para j =5se tiene: EOQ 5 = y u 4 =500. Como EOQ 5 <u 4,calculamosW 5 (u 4 )=94.5. Por tanto, q5 = u 4,b 5 =0y C 5 (q5,b 5)= : La solución óptima es q = q4 =200,b =0y el coste mínimo es 192. Esta solución óptima también se puede obtener aplicando el algoritmo 7: 7

8 1: EOQ 5 =144.46, u 4 =500y π 5 D/h 5 =400,portantoEOQ 5 <u 4 y EOQ 5 < π 5 D/h 5. EOQ 4 =143.84, u 3 =200y π 4 D/h 4 =362.07, luegoeoq 4 <u 3 y EOQ 4 < π 4 D/h 4. EOQ 3 =143.22, u 2 =100,yπ 3 D/h 3 =324.79, luegoeoq 3 u 2. En consecuencia, j =3. C 4 (u 3, 0) = W 4 (u 3 )= 192, que es menor que π o D. C 5 (u 4, 0) = W 5 (u 4 )=94.5, que es menor que π o D. 2: Como u 2 EOQ 3 < π 3 D/h 3,calculamosC 3 (EOQ 3, 0) = W 3 (EOQ 3 )= En consecuencia, una solución óptima es q = u 3 =200,b =0yelcostemínimo es 192. Utilizando el método es necesario considerar cinco regiones, mientras que con el algoritmo sólo se necesita la consideración de tres regiones.por tanto es claro que el algoritmo es más eficiente que el método. Si en vez de utilizar este modelo, consideramos el que aparece en Laguna y San José (2002), con ω o =0.45, la solución óptima que se obtiene es q =500,b = con valor (ver Laguna y San José (2002)). Por consiguiente, como en nuestro modelo C(500, ) = , está claro que la política óptima obtenida en el modelo de Laguna y San José (2002) no es óptima para el modelo estudiado en este trabajo. 6 Conclusiones En este trabajo se presenta un modelo EOQ determinístico con pérdida de ventas y descuentos en todas las unidades. La política óptima de ese modelo se obtiene a través de un método de optimización en dos etapas. Además, se desarrolla un algoritmo eficiente para encontrar la política óptima. El algoritmo expuesto en la Sección 4 se puede extender sin dificultad a las siguientes situaciones: 1. Aunque en la Sección 2 hemos supuesto que h j = rp j,loslemas1,2,5y6,el corolario 3, el método 4 y el algoritmo 7 siguen siendo válidos si sólo exigimos que h 1 h 2... h J. Esta condición es más general que la considerada en Love (1979, p. 48). 2. El algoritmo 7 se puede adaptar a los casos u o > 0, o/yu J <. 3. Aucamp (1982), Tersine et al. (1991, 1994 y 1995) han incluido en el modelo EOQ los costes de transporte. La inclusión de estos costes de transporte ha originado la consideración de descuentos tanto en los precios de compra como en los costes de transporte. Tanto el modelo como el algoritmo que aquí se presentan pueden extenderse de forma sencilla a esta nueva situación. 8

9 7 Agradecimientos Este trabajo ha sido financiado parcialmente por el proyecto UV34/02 de la Consejería de Ecucación y Cultura de la Junta de Catilla y León. Los autores agradecen dicha financiación. Referencias Aucamp, D.C. (1982): Nonlinear Freight Costs in the EOQ Problem. European Journal of Operational Research 9, Benton, W.C. (1991): Quantity discount decisions under conditions of multiple items, multiple suppliers and resource limitations. International Journal of Production Research 29/10, Federguen, A. and Lee, C.Y. (1990): The Dynamic Lot Size Model with Quantity Discount. Naval Research Logistics 37, Fernández, N., Laguna, J.G., Martínez, J. y San José, L.A. (1999): Gestión de Stocks. Modelos de Optimización y Software. Secretariado de Publicaciones. Universidad de Valladolid. Hadley, G. and Whitin, T.M. (1963): Analysis of Inventory Systems. Prentice Hall. Harris, F.W. (1913): How Many Parts To Make at Once. Factory, The Magazine of Management, 10, 2, , 152. Reprinted in: Operations Research 38, 6, Hwang, H., Moon, D.H. and Shinn, S.W. (1990): An EOQ Model with Quantity Discounts for Both Purchasing Price and Freight Cost. Computers and Operations Research 17, No.1, Laguna, J.G. y San José, L.A. (2002): An EOQ model with backorders and all-units discounts. Preprint. Love, F.S. (1979): Inventory Control. McGraw Hill. Matsuyama, K. (2001): The EOQ-Models modified by introducing discount of purchase price or increase of setup cost. International Journal of Production Economics 73, Naddor, E. (1966): Inventory Systems. John Wiley. San Jose, L.A. and Laguna, J.G. (2002): Optimal lot sizing with all-units quantity discounts and complete backordering. Working paper. Departamento de Estadística e Investigación Operativa. Universidad de Valladolid. Silver, E.A. and Peterson, R. (1985): Decision Systems for Inventory Management and Production Planning. John Wiley & Sons. Tersine, R.J. and Barman, S. (1991): Lot Size Optimization with Quantity and Freight Rate Discounts. Logistics and Transportation Review 27, 4, Tersine, R.J. and Barman, S. (1994): Optimal Lot Sizes for Unit and Shipping Discounts Situations. IIE Transactions 26, Tersine, R.J. (1994). Principles of Inventory and Materials Management, 4 a ed. Prentice-Hall. 9

10 Tersine, R.J., Barman, S. and Toelle, R.A. (1995): Composite Lot Sizing with Quantity and Freight Discounts. Computers and Industrial Engineering 28, 1,