RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES CONCEPTOS ACTIVIDADES INICIALES PÁGINA 47

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1 CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES. Ecuaciones de segundo grado. Resolución.. Propiedades aplicaciones de la ecuación de segundo grado.. Ecuaciones de grado superior.. Ecuaciones irracionales.. Sistemas de ecuaciones de º grado.. Sistemas de ecuaciones lineales. 7. Sistemas equivalentes. 8. Método de Gauss. 9. Resolución de problemas con ecuaciones. Formulación de problemas haciendo uso del lenguaje simbólico algebraico. Revisión de las técnicas de resolución de ecuaciones de primero segundo grado. Utilización del método de Gauss en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Uso del lenguaje algebraico para representar, comunicar o resolver situaciones con igualdades en los ámbitos cotidiano, científico o técnico. Curiosidad e interés por enfrentarse a problemas que comportan el uso del lenguaje algebraico. Gusto por la presentación ordenada de los procedimientos resultados obtenidos en la resolución de ecuaciones sistemas de ecuaciones. Perseverancia fleibilidad en la búsqueda de soluciones de ecuaciones, sistemas problemas que comporten ecuaciones sistemas. Disposición favorable hacia el trabajo propuesto. RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES PÁGINA 7 ACTIVIDADES INICIALES. Halla los valores que, sustituidos por, verifiquen las igualdades siguientes: a) ( ) ( ) a) Operando Esta igualdad sólo se verifica para. Esta igualdad se verifica para todos los valores de.. Qué dos números dan el mismo resultado cuando se suman que cuando se multiplican? Y si consideramos tres números? Son números, que verifican:. Es decir:. Todos los números ; con dan igual resultado al sumar que al multiplicar. En el caso de tres números son números de la forma: ; ; con se obtienen de forma análoga al caso anterior.. Los pueblos de Abejar, Buitrago Cidones no están situados en línea recta. Para ir desde Abejar a Cidones, pasando por Buitrago, se recorren km. En el camino de Buitrago a Abejar, pasando por Cidones, se cubren km. Caminando desde Cido- G UÍA D IDÁCTICA

2 nes a Buitrago, pasando por Abejar, se recorren 8 km. Cuáles son los pueblos más cercanos? Consideremos el siguiente esquema: Imponiendo las condiciones del problema z z 8 PÁGINA 0 ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 8 ( ) 0 a) 8 ( ) 0 BUITRAGO Resuelve las siguientes ecuaciones: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ABEJAR 0 km de Abejar a Buitrago km de Buitrago a Cidones z 8 km de Abejar a Cidones z CIDONES ( ) ( ) f) 0 g) 9 h) 0 i) ( ) ( ) 0 j) 0 Las soluciones son: a) ( ) ( ) 0 No tiene soluciones reales. 0 ; ( ) ( ) ( ) 0 7; ; 9 ( ) ( ) 8 0 ; f) 0 ; ; ; g) 9 ; h) 0 ; ; ; i) ( ) ( ) 0 0 ; j) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ; ; Resuelve las siguientes cuestiones: a) Halla el valor de m en la ecuación m 0 sabiendo que una de las raíces es 8. Las raíces de la ecuación a b 0 son. Halla a b. Halla b en en la ecuación b 0 0 para que las dos raíces de la ecuación sean iguales. Dada la ecuación 0, escribe una ecuación de segundo grado que tenga como soluciones las soluciones dobles de las de la ecuación dada. G UÍA D IDÁCTICA 7

3 a) Si una de las raíces es 8, esta verifica la ecuación; es decir, 8 m 8 0 m. Si las raíces de la ecuación son, éstas deben verificar la ecuación, por lo tanto: Las dos raíces son iguales si el valor del discriminante es 0, es decir: b ac 0 b 0 0 b ±0 La ecuación 0 tiene como soluciones 0. La ecuación que tenga como soluciones dobles de las anteriores, 0, es: a b 0 9 a b 0 0 a b Descompón 00 en dos partes de forma que la cuarta parte de la primera menos la quinta parte de la segunda de. Las dos partes son e ; deben verificar: En un parking ha 7 vehículos entre coches, motos camiones de ruedas. El número de motos ecede en al de coches camiones juntos. Halla el número de vehículos de cada clase si en total suman 8 ruedas. Llamando al nº de coches, al de motos z al de camiones. Se tiene que cumplir: 8 z 7 z z 8 La diferencia de cuadrados de dos números pares consecutivos es 00. Cuáles son esos números? Sean los números pares consecutivos: ( ) (). Se debe cumplir: ( ) () 00 Los números buscados son. PÁGINA coches 0 motos z camiones Luego las dos partes son Resuelve las siguientes ecuaciones: Encuentra un número de dos cifras sabiendo que éstas suman que si invertimos el orden de las cifras el número obtenido ecede en al número dado. Llamando al número de dos cifras e imponiendo las condiciones del enunciado Por tanto el número buscado es 8. ( 0 ) ( 0 ) La edad actual de Luis es el triple de la de su hija María. Halla las edades de ambos sabiendo que dentro de años el padre tendrá doble edad que la hija. Llamando a la edad de Luis e a la edad de María. Se debe cumplir: ( ) 8 Luis tiene 8 años María tiene años. 8 a) a) Elevando al cuadrado ambos miembros operando 9 0. Las soluciones de la ecuación son: ; 9 f) Elevando al cuadrado ambos miembros operando: 0 ; La solución que verifica la ecuación dada es 8 G UÍA D IDÁCTICA

4 0 9 9 Operando de forma análoga a los casos anteriores 0 ; ; ; Las soluciones que verifican la ecuación dada son: ; Elevando al cuadrado ambos miembros operando 8 0 ; La solución que verifica la ecuación dada es: Elevando ambos miembros al cuadrado Elevando, otra vez, ambos miembros al cuadrado Esta solución no verifica la ecuación dada, por tanto la ecuación dada no tiene soluciones. ( )( ) 9 8 Elevando al cuadrado ambos miembros La ecuación dada tiene como solución: El dividendo de una división es 08. El cociente el resto son iguales el divisor es doble del cociente. Halla el divisor. Las condiciones del problema nos dan: 08 De donde: Las soluciones son: ;, El divisor de esta división es o 7 Los dos catetos de un triángulo rectángulo difieren en unidades la hipotenusa mide cm. Calcula los catetos. El triángulo tiene por catetos, por hipotenusa, por lo tanto: ( ) cm Un cateto mide 0 cm el otro cm. La suma de un número su inverso es /; cuánto vale el número? Llamando al número e imponiendo las condiciones del enunciado 0 Las soluciones son: ; El número de días que tiene un año tiene la propiedad de ser el único número que es suma de los cuadrados de tres números consecutivos. Además es también suma de los cuadrados de los dos números consecutivos a los anteriores. Demuéstralo. ( ) ( ) Los números son: 0,,. Los números consecutivos a éstos son: se cumple. Resuelve los siguientes sistemas: a) 7 ( ) ( ) ( ) 0 8 f) 7 0 G UÍA D IDÁCTICA 9

5 a) 7 ( ) ( ) ( ) 0 ; 8 ; 7 0; f) 0 ; 0 Halla las dimensiones del rectángulo de 0 cm de área cua base es 7 cm más larga que su altura. Llamando a la longitud de la altura, la base tendrá por longitud (7 ). Conocida el área se verifica: (7 ) 0 cm El rectángulo mide cm de altura cm de base. Marta quiere hacer el marco de un espejo con un listón de madera de m, sin que le sobre ni le falte nada. Sabiendo que el espejo es rectangular que tiene una superficie de dm, de qué longitud deben ser los trozos que ha de cortar? El espejo será como el de la figura. Llamando a la longitud de la base e a la de la altura e imponiendo las condiciones del problema 0 cm cm o bien cm cm De donde el lado de un cuadrado mide m el del otro mide m. 8 Dos albañiles hacen un trabajo en horas. Uno de ellos lo haría en sólo horas. Calcula el tiempo que tardaría en hacerlo el otro solo. Llamando al tiempo que tarda él solo en hacer el trabajo 9 horas tardaría el solo. Los estudiantes de º de Bachillerato están preparando una ecursión. La Agencia de Viajes les da un presupuesto de 0 euros. En el último momento dos estudiantes se ponen enfermos al no poder ir de ecursión el resto ha de pagar,8 más cada uno. Cuántos estudiantes había en el curso? Llamando al número de estudiantes del curso e al dinero que han de pagar cada uno por la ecursión, 0 ( ) (, 8) 0 0 En un multicine ha dos salas de proección, una grande en la cual las entradas valen a euros otra pequeña en la cual el precio de las entradas es igual al 7 % del precio de las mismas en la otra sala. Un día en que asistieron al multicine 80 personas se recaudaron 87, euros. Cuantas personas estuvieron en cada sala? Llamando al número de personas que asistieron a la sala grande e al número de personas de la sala pequeña; imponiendo las condiciones del enunciado, 7 87, estudiantes euros paga cada uno personas en la sala grande personas en la sala pequeña 7 Las sumas de las áreas de dos cuadrados es 0 m su diferencia 800 m. Calcula la medida de sus lados. Llamando al área de un cuadrado e al área del otro 0 0 m 800 m PÁGINA Utilizando el método de Gauss, resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a) 0 G UÍA D IDÁCTICA

6 a) f) g) h) i) f) g) z h) z i) z 7 z 0 z 9 z z 8 z z z 9 8z 8 8 z 7 8 z 0 z z z z z z 0 ; ; ; z ; ; z ; ; z ; ; z ; ; z Sistema incompatible. No tiene solución. t ; 7 t. Sistema indeterminado. Infinitas soluciones. ; ; z t t t La suma de las tres cifras de un número es 7. La cifra de las centenas es igual a la suma de la de las decenas más el doble de la de las unidades. Si se permutan entre sí las cifras de las centenas la de las unidades el número disminue en 97 unidades. Calcula dicho número. Sea el número z. De las condiciones del enunciado obtenemos el siguiente sistema: z 7 z z z 97 Resolviendo el sistema,, z. El número buscado es:. Un hombre le dijo a su hijo: Cuando transcurra la tercera parte de los años que o tengo, tú tendrás la mitad de mi edad actual. Sí, contestó el hijo, pero hace sólo años, tu edad era veces la mía. Cuál es la edad actual del hijo? Llamando a la edad del padre e a la edad del hijo ( ) El padre tiene 8 años el hijo 8 años. Las tres cifras de un número suman 8. Si a ese número se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, se obtiene 9; la cifra de las decenas es media aritmética entre las otras dos. Halla dicho número. Sea el número z. Imponiendo las condiciones del enunciado z 8 ( 00 0 z) ( 00z 0 ) 9 z z 8 9 z z 0 z El número es 9. z 7 z 0 ( 00 0 z) ( 00z 0 ) Las edades de una familia formada por los padres una hija suman 8 años. Halla la G UÍA D IDÁCTICA

7 edad de cada uno de ellos sabiendo que la edad de la madre es triple de la edad de la hija, las edades del padre de la hija difieren en años. Llamamos a la edad del padre, a la edad de la madre z a la edad de la hija. Obtenemos: z 8 8 z z z El padre tiene 8 años, la madre años la hija años. Un país importa 00 vehículos entre motos, coches todoterrenos, al precio de 800, euros, respectivamente. Si el total de los vehículos importados cuesta 8, millones de euros, cuántos vehículos de cada tipo importa este país si de coches importa el 0 % de la suma de motos todoterrenos? Llamamos al número de motos que importa este país, al de coches z al de todoterrenos. Obtenemos: El país importa 8 00 motos, 8 00 coches 00 todoterrenos. 7 En un centro ha dos equipos de fútbol A B. Si del equipo A pasan tres personas al B en ambos queda el mismo número. En cambio, si del B pasan 7 al A queda en éste un número que es el cuadrado de los de aquél. Cuántos deportistas ha en cada equipo? Llamamos al número de jugadores del equipo A e al del equipo B. 7 ( 7) z z 8, 0 0 ( z) z 00 8 ; 9; La única solución válida con el enunciado es que en el equipo A ha 8 deportistas en el B ha. 8 PÁGINA En un número de seis cifras, la cifra de su izquierda es. Si se lleva esta cifra al primer lugar de la derecha, el número obtenido es triple del primitivo. Calcula el número primitivo. Por ensao error dirigido obtenemos que el número es 87. También se puede hacer por ecuaciones: Número ( ) 0 87 Número 87 9 En un trabajo actúan tres mecanógrafas lo terminan en cuatro días. Si trabajase solamente la primera, lo terminaría en días; si trabajase solamente la segunda, lo terminaría en 0 días. En cuánto tiempo lo terminaría la tercera actuando sola? Llamamos al tiempo que invertiría la tercera ella sola. Obtenemos: 0 días tarda la ª 0 Dos capitales se diferencian en 7 euros. Se sabe que si se colocan a interés simple al mismo tanto por ciento, el primero durante meses el segundo durante meses, ambos producen el mismo interés. Determina dichos capitales. Llamando e a los capitales, 7 r r Los capitales pedidos son de 89 euros euros. Invirtiendo mil euros en acciones de tipo A dos mil en acciones de tipo B, obtendríamos unos intereses totales (anuales) de 80 euros, si invertimos dos mil en A mil en B, obtenemos 0 euros. Cuáles serían los intereses si se invirtieran 000 euros en A 000 euros en B? Llamando al interés que produce cada acción tipo A e al que produce cada acción tipo B, , euros 0, euros Por tanto 000 euros en tipo A 000 en B producen 0 euros. 89 G UÍA D IDÁCTICA

8 Disponemos de fotos para pegar en las hojas de un álbum. Si pego fotos en cada hoja, me sobran hojas si pego fotos en cada hoja, me sobran 0 fotos. Cuántas fotos tenemos cuántas hojas tiene el álbum? Llamamos al número de hojas del álbum e al número total de fotos. Obtenemos: El álbum tiene 8 hojas disponemos de fotos. Una empresa recoge papel usado para reciclar, que clasifica en tres tipos: bueno, medio bajo. Ha realizado tres pruebas con diferentes mezclas: en la primera han obtenido kg, habiéndose utilizado, kilogramo de cada tipo, respectivamente; en la segunda, con, kg se produce un total de kg; en la tercera kg con, kg. Cuál es el rendimiento de cada tipo de papel? Llamando al rendimiento que produce el tipo bueno, al del tipo medio z al del tipo bajo, z z z ( ) 0 Un grupo de personas se reúne para ir de ecursión, juntándose un total de 0 entre hombres, mujeres niños. Contando hombres mujeres juntas, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres. Averigua cuántos hombres, mujeres niños han ido de ecursión. Llamando h al número de hombres, m al de mujeres n al de niños, h m n 0 h m n m h 7 ; ; z 9 9 h 8 m 7 n En total fueron de ecursión 8 hombres, 7 mujeres niños Un ganadero tiene vacas que comen la misma cantidad de pienso cada día. Observa que si vende vacas el pienso le dura días más, en cambio si compra vacas el pienso le dura días menos. Cuantas vacas tiene este ganadero? Llamamos v al número de vacas que tiene el ganadero t al tiempo en días que le dura el pienso para sus vacas. Obtenemos: v t ( v ) ( t ) v t ( v ) ( t ) El ganadero tiene 7 vacas. En cierto colegio, al principio de curso, la relación del número de alumnas al de alumnos era de 8/7. Al finalizar el curso, habían causado baja, por diversas causas, 0 chicas el % de los chicos, la relación era de /. Cuántos alumnos de cada seo acabaron el curso? Llamamos al número de alumnas que había al principio en el curso e al número de alumnos. Obtenemos: 0 09, 8 7 Finalizan el curso 0 chicas chicos. 7 En una confitería envasan los bombones en cajas de 0 g, 00 g kg. Cierto día envasaron 0 cajas en total, habiendo cajas más de tamaño pequeño (0 g) que de tamaño mediano (00 g). Sabiendo que el precio del kilo de bombones son euros que el importe total de los bombones envasados asciende a 70 euros, determina cuántas cajas se han envasado de cada tipo. Llamamos al número de cajas de 0 g, al de 00 g z al de 000 g. Obtenemos: z 0 ( 0, 0, z) 70 v 7 vacas t días 00 alumnas 0 alumnos 0 z Se han envasado cajas pequeñas, 0 medianas cajas grandes. G UÍA D IDÁCTICA

9 PÁGINA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. VENDIMIADORES. Una cuadrilla de vendimiadores tenía que vendimiar dos fincas, una de doble superficie que la otra. Toda la cuadrilla estuvo vendimiando en la finca grande durante medio día. Por la tarde la mitad de la cuadrilla vendimió en la finca pequeña la otra mitad en la grande. Al finalizar el día sólo les quedó un poco de vendimiar en la finca pequeña, para lo cual fue necesario que vendimiara un solo vendimiador el día siguiente. Cuántos personas componían la cuadrilla? Podemos resolver este problema por medio de ecuaciones pero este camino es mu complicado. Intentemos representar la situación: Finca grande Finca pequeña día día día media cuadrilla toda la cuadrilla media cuadrilla Superficie finca grande Superficie finca pequeña Las condiciones del problema nos muestran que si toda la cuadrilla trabajó durante la mitad del día en la finca grande sólo la mitad de la cuadrilla el otro medio día. Entonces la mitad de la cuadrilla vendimió la tercera parte de la finca grande en medio día, es decir, /. Luego en la finca pequeña durante medio día vendimiaron el equivalente a la grande, es decir, / /, luego quedó sin vendimiar / de la finca pequeña que la vendimió trabajador al día siguiente. Si un trabajador vendimia / en un día se vendimiaron el campo grande / más el pequeño ( / / ) todos los trabajadores en día, entonces el primer día se hicieron: 8 8 es decir, en la cuadrilla había 8 vendimiadores. Sin segar. PRIMOS. Supongamos que X es cualquier número primo maor que. Demostrar que X da de resto cuando se divide por. Ha que ver que X. X ( X ) ( X ). X X o X X Al ser X primo > o X o En cualquier caso X. X. TINTA DE IMPRENTA. Para numerar las páginas de un libro grande hacen falta 989 dígitos. Cuántas páginas tiene el libro? Hacemos el siguiente diagrama: Páginas numeradas Dígitos usados Total dígitos * En total hacen falta: dígitos 00 dígitos son páginas hacen falta páginas. El libro tiene 0 páginas TRES NAIPES. Tres naipes de una baraja están colocados boca arriba en una fila horizontal. A la derecha del re ha una o dos damas. A la izquierda de una dama ha una o dos damas. A la izquierda de un corazón ha una o dos picas. A la derecha de una pica ha una o dos picas. Puedes decir de qué cartas se trata? Por medio de ensao error dirigido se obtiene: Con la información referida a los Rees (R) las Damas (D) llegamos a que puede ser: RDD o DRD. Con la información referida a los Corazones (C) las Picas (P) llegamos a que puede ser: PCP o PPC. Juntando los resultados obtenidos llegamos a que la solución es: Re de Picas - Dama de Picas - Dama de Corazones G UÍA D IDÁCTICA