6.5. DERIVADAS DE MAYOR ORDEN 37

Transcripción

1 6.5. DERIVADAS DE MAYOR ORDEN Observación: a) Lo anterior supuso que la curva de nivel pudo parametrizarse en la forma α(t), t I. Esto aún no se ha visto, pero más adelante veremos el Teorema 6.22 de la función implícita, que mostrará que si f tiene derivadas parciales continuas y f(p) 0, esto es posible. b) Los resultados anteriores se pueden extender para funciones de tres variables, introduciendo las superficies de nivel {(x, y, z) R 3 /f(x, y, z) = k)}. nivel. Se demuestra en forma similar que f es perpendicular a las superficies de Ejemplo: Veamos un ejemplo de b): si f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, los conjuntos {(x, y, z)/x 2 + y 2 + z 2 = k}, con k > 0, representan esferas de centro en el origen. Si P = (x 0, y 0, z 0 ), f(p ) = (2x 0, 2y 0, 2z 0 ) = 2(P O) proporcional al radio vector y por lo tanto perpendicular a la esfera Derivadas de Mayor Orden Supongamos que f(x, y) tiene derivadas parciales en todos los puntos interiores a D. Tenemos definidas, entonces, dos funciones de dos variables, f x (x, y) y f y (x, y). Si éstas a su vez tienen derivadas parciales, obtenemos las derivadas segundas: p223 de [5] f xx = f x x = 2 f x x 2, f yx = f y x = 2 f x y, f xy = f x y = 2 f y x, f yy = f y y = 2 f y 2. Análogamente, pueden definirse derivadas terceras f xxx, f xyx, etc., si las funciones anteriores tienen derivadas parciales.

2 38 CAPÍTULO 6. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Ejemplo f(x, y) = x 2 e xy. Derivando se obtiene f x = (2x + x 2 y)e xy, f y = x 3 e xy, (6.1) f xx = (x 2 y 2 + 4xy + 2)e xy, f = x 4 e xy, (6.2) f xy = f yx = (3x 2 + x 3 y)e xy. (6.3) Se observa en el ejemplo que las derivadas cruzadas f xy, f yx, son iguales. Para funciones con suficiente regularidad este hecho es general. Teorema Si f xy, f yx existen en un B p, y son continuas en p, entonces f xy (p) = f yx (p). p224 de [5] Demostración. Sea p = (x 0, y 0 ) y v = (h, h) tal que a + v B p. y y 0 + h + v y 0 + p x 0 x 0 + h x Calculamos el siguiente incremento doble de la función f en los vértices del cuadrado de lado h y vértice inferior izquierdo p: ϕ(h) = f(x 0 + h, y 0 + h) f(x 0, y 0 + h) f(x 0 + h, y 0 ) + f(x 0, y 0 ). Agrupando la expresión anterior, se la puede escribir en dos formas: (1) ϕ(h) = [f(x 0 ) + h, y 0 + h) f(x 0 + h, y 0 )] [f(x 0, y 0 + h) f(x 0, y 0 )], (2) ϕ(h) = [f(x 0 ) + h, y 0 + h) f(x 0, y 0 + h)] [f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 )].

3 6.5. DERIVADAS DE MAYOR ORDEN 39 Trabajamos con la forma (1). Llamando ψ(x) al incremento ψ(x) = f(x, y 0 + h) f(x, y 0 ), se tiene que ϕ(h) = ψ(x 0 + h) ψ(x 0 ) = hψ (x 0 + θh), θ (0; 1), donde la última igualdad es por Lagrange aplicado a ψ en [x 0, x 0 + h]. ϕ(h) = h [f x (x 0 + θh, y 0 + h) f x (x 0 + θh, y 0 )] θ (0; 1). Aplicando nuevamente Lagrange a la función λ(y) = f x (x 0 + θh, y) en [y 0, y 0 + h]: ϕ(h) = h 2.f xy (x 0 + θh, y 0 + θ h) θ, θ (0; 1). De donde, ϕ(h) h 2 = f xy (x 0 + θh, y 0 + θ h) f xy(p) por ser f xy continua en h 0 p. El razonamiento anterior puede repetirse en forma análoga partiendo de la forma (2). En ese caso se llega a ϕ(h) h 2 h 0 f yx(p). Como el límite en único, se deduce f xy (p) = f yx (p). p225 de [5] Notas: Puede parecer que el teorema anterior no sea muy útil, ya que para verificar las hipótesis hace falta conocer las derivadas segundas para saber si son continuas. Sin embargo, en muchos casos usuales se sabe de antemano que existen derivadas parciales continuas de todos los órdenes, salvo a lo sumo en algún punto. Por ejemplo, para f(x, y) = x 2 e sen y /(x 2 + y 2 ) se sabe que f xy (x, y) = f yx (x, y) (x, y) (0, 0). Existen, por otra parte, versiones, del teorema anterior con hipótesis más débiles: Basta pedir que, además de f x, f y, exista y sea continua f xy para que exista también f yx, y f xy = f yx. Ver [1]. Por último, se pueden dar ejemplos en que no se cumple f xy = f yx, aunque

4 40 CAPÍTULO 6. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES existan las dos. Dos posibles ejemplos son xy(x 2 y 2 ) 1)f(x, y) = x 2 + y 2 (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0). xy si x 2 < y 2, 2)f(x, y) = xy si x 2 > y 2, 0 si x 2 = y 2. En ambos casos f xy (0, 0) = 1, f yx (0, 0) = 1. (Ejercicio) p226 de [5] 1. Funciones de Clase C k Definición 22. f(x, y) es de clase C k si tiene derivadas parciales continuas hasta orden k. Si eso para todo k entonces la función es de clase C. 2. Diferenciales de Mayor Orden Al definir diferenciabilidad vimos la idea de aproximar el incremento Δf de la función por un término lineal (de 1er grado) en Δx, Δy, que llamamos diferencial df. Nos proponemos ahora generalizar el desarrollo de Taylor que permite, en funciones de una variable con k derivadas, aproximar Δf por un polinomio de grado k. Introducimos previamente algunas notaciones: Sea f de clase C k. Habíamos denotado df p (Δx, Δy) = f x (p)δx + f y (p)δy Ahora escribiremos d 2 f p (Δx, Δy)= fxx(p)δx 2 + 2fxy(p)ΔxΔy + fyy(p)δy 2, d 3 f p (Δx, Δy) = fxx(p)δx 3 + 3f x 2 y (p)δx2 Δy + 3f xy 2(p)ΔxΔy 2 + f y 3(p)Δy 3, p227 de [5] d k f p (Δx, Δy) = f x k(p)δx k + + Ci kf x k i y i (p)δx k i Δy i + + f y k(p)δy k, donde Ci k es el coeficiente binomial que es igual a k! i!(k i)!. En general d k f p, (Δx, Δy), llamado diferencial de orden k de f en p, es un

5 6.5. DERIVADAS DE MAYOR ORDEN 41 polinomio homogéneo de grado k en los incrementos Δx, Δy, en particular d k f p (v) v k = d k f p (u) con u = v v. Una forma de recordar la fórmula es trabajar formalmente con el binomio de Newton. d k f(δx, Δy) = ( Δx x + Δy ) k f y identificando los productos k i x k i i y i con k x k i y i. 3. Desarrollo de Taylor Recordamos brevemente el desarrollo de una función de una variable en un punto p. Si f(x) tiene k derivadas en p, puede escribirse f(p+δx) = f(p)+f (p)δx+ f (p) 2 Δx f (k) (p) Δx k +r k (Δx), k! r k (Δx) lím Δx 0 (Δx) k = 0. Si además f tiene derivada continua de orden k + 1, se puede escribir r k (Δx) = f (k+1) (a + θδx)(δx) k+1, con θ (0; 1) (resto de Lagrange.) (k + 1)! Para funciones de dos variables, hay resultados análogos. En este caso los polinomios son de dos variables Δx, Δy, y el término d i f p, (Δx, Δy) juega el papel del término f (i) (p)δx Nota: Se tienen los siguientes resultados: (A) Si f es k-veces diferenciable en p (f y sus derivadas parciales hasta orden k 1 son diferenciables en p), entonces, si Δp = (Δx, Δy) se tiene: f(p + Δp) = f(p) + df p (Δp) d2 f p (Δp) k! dk f p (Δp) + r k (Δp), p228 de [5]

6 42 CAPÍTULO 6. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES r k (Δp) con lím Δp 0 Δp k = 0. (B) Si f es de clase C k+1, se puede escribir además r k (Δp) = 1 (k + 1)! dk+1 f p+θδp (Δp), 0 < θ < 1. Nos limitamos aquí a demostrar (B), que puede deducirse fácilmente del caso de una variable, y cubre los casos usuales. Para (A), ver [4]. Teorema Sea f de clase C k+1 en B(p; δ), v B(0; δ). Entonces existe θ (0; 1) tal que f(p + v) = f(p) + df p (v) d2 f p (v) k! dk f p (v) + r k (v), donde r k (v) = 1 (k + 1)! dk+1 f p+θv (v). De lo anterior se deduce que lím v 0 r k (v) v k = 0. Demostración. Sea g : [0, 1] R, g(t) = f(p + tv) = f(x 0 + tδx, y 0 + tδy), donde v = (Δx, Δy). Entonces g(0) = f(p), q(1) = f(p + v). Derivamos g(t) p229 de [5] usando la regla de la cadena, hasta orden k + 1 g (t) = f x (p + tv)δx + f y (p + tv)δy = df p+tv (v) g (t) = f xx (p+tv)δx 2 + f xy (p+tv)δxδy + f yx (p+tv)δyδx + f yy (p+tv)δy 2 = d 2 f p+tv (v). Procediendo por inducción, no es difícil probar que g i (t) = d i f p+tv (v). Se utilizó en todos los pasos que f es de clase C k+1 para la regla de la cadena. Entonces g es una función de una variable con derivadas continuas hasta orden k + 1 en [0, 1]. La podemos desarrollar por Taylor en [0, 1] y obtener g(1) = g(0) + g (0) + 1 g (0) + + g(k) (0) + g(k+1) (θ) 2 2 k! (k + 1)!, 0 < θ < 1.

7 6.5. DERIVADAS DE MAYOR ORDEN 43 Sustituyendo con las expresiones obtenidas para las derivadas de g, se obtiene r k (v) el desarrollo de la tesis. Para terminar el teorema, veamos que lím v 0 v k = 0: r k (v) v k = v dk+1 f p+θv v k+1 (v) = v d k+1 f p+θv (u) con u = v B(0; 1). v Como las derivadas parciales de orden k + 1 de f son continuas, el diferencial de orden k + 1 de f será una función continua. Además las derivadas parciales de f están evaluadas en puntos del segmento [p, p + v] = {p +tv/t [0, 1]} que une p y p + v, que es un compacto de R n (es claramente acotado, y no es difícil ver que es cerrado) y u varía en el compacto B(0; 1). Por lo tanto d p+1 f p+θv (u) es una función continua en [p, p + v] B(0; 1) compacto (de R n+n ), por ende acotada. Como v 0 entonces r k(v) v k 0 como queríamos. v 0 p230 de [5] Ejemplo: Hallamos el desarrollo de Taylor de orden 2 de f(x, y) = log(1 + x + 2y) en el punto p = (2, 1). 1 f x (x, y) = 1 + x + 2y, f 2 y(x, y) = 1 + x + 2y, f xx (x, y) = Se obtiene: 1 (1 + x + 2y) 2, f xy = f yx = 2 (1 + x + 2y) 2, f yy = 4 (1 + x + 2y) 2. f(2+δx, 1+Δy) = log Δx+ 2 5 Δy 1 50 (Δx2 +4ΔxΔy+4Δy 2 )+r(δx, Δy) r(δx, Δy) con lím (Δx,Δy) (0,0) Δx 2 + Δy 2 = Nota: En funciones de más de dos variables, el desarrollo es válido y tiene la misma forma. En el caso f(x 1,..., x n ) debe interpretarse ( ) p d k f(δx 1,..., Δx n ) = Δx 1 + Δx Δx n f, x 1 x 2 x n polinomio homogéneo de grado p que se obtiene desarrollando formalmente