Guía de estudios de Física

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1 Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey Campus Estado de México División de Ingeniería y Arquitectura Departamento de Ciencias Básicas Guía de estudios de Física Esta guía de estudios te ayudará a prepararte en los temas de Física que tienes que conocer para presentar el examen de Física y Matemáticas. En la primera parte de esta guía encontrarás 11 ejemplos de los siguientes temas: Vectores, Cinemática lineal, Equilibrio, Leyes de Newton, Trabajo, Cinemática angular, Máquinas Simples, Gravitación, Hidrostática y Termodinámica. En la segunda parte se presentan dos versiones de exámenes de física de opción múltiple donde esta marcada la respuesta correcta con dos asteriscos. 1.- Una espeleóloga está explorando una cueva; sigue un pasadizo 180 m al oeste, luego 210 m 45 al este del sur, después 280 m 30 al este del norte. Tras un cuarto desplazamiento vuelve al punto inicial. Determine ese cuarto desplazamiento. Tomando la dirección al este como el eje positive de las x y la dirección al norte como la dirección positiva de las y. Para los primeros tres desplazamientos 180 m 210 msin msin mcos mcos m, 108 m, El desplazamiento resultante de los primeros tres desplazamientos es: m 108 m 94.0 m 144 m, arctan m El cuarto desplazamiento debe tener una magnitud de 144 m en una dirección sur del oeste, para regresar así al punto de partida al 2.- Dos corredores parten simultáneamente del mismo punto de una pista circular de 200 m y corren en la misma dirección. Uno corre con una rapidez constante de 6.2 m/s, y el otro, con rapidez constante de 5.5 m/s. Cuándo alcanzará el más rápido al más lento (sacándole una vuelta) y qué distancia desde el punto de salida habrá cubierto cada uno? En el tiempo t el corredor más rápido ha viajado 200 m más que el corredor más lento, entonces:

2 . (5.50 m/s)t m = (6.20 m/s)t, entonces t = 286 s. El corredor más rápido ha recorrido ( 6.20 m s) t 1770 m. El corredor más lento ha recorrido ( 5.50m s) t 1570m. 3.- Dos pesos de 25 N cuelgan de extremos opuestos de una cuerda que pasa por una polea ligera sin fricción sujeta a una cadena fija en el techo. Si el sistema está en equilibrio. A) qué tensión hay en la cuerda? B) Y en la cadena? a) La tensión en la cuerda debe ser igual a cada peso suspendido 25.0 N. b) Si la masa de la polea es despreciable, la fuerza total sobre la polea es la suma de los dos pesos, la tensión en la cadena es 50.0 N. 4.- Imagine que empuja su libro de física 1.50 m sobre una mesa horizontal con una fuerza horizontal de 2.40 N. La fuerza de fricción opuesta es de 0.60 N. a) Cuánto trabajo efectúa la fuerza de 2.40 N sobre el libro? B) Y la fricción? C) Qué trabajo total se efectúa sobre el libro? a) ( 2.40 N) (1.5m) 3.60 J b) ( N)(1.50 m) J c) 3.60 J J 2.70 J. 5.- Un saco de 5 kg de harina se levanta 1.5 m verticalmente con rapidez constante de 3.5 m/s. a) Qué fuerza se requiere? B) Cuánto trabajo realiza esa fuerza sobre el saco? C) Qué pasa con dicho trabajo? a) Si la rapidez es constante la fuerza total es cero, la fuerza requerida para subirla es, 2 (5.00 kg)(9.80 m s ) 49 N. b) Como la fuerza y el desplazamiento están en la misma dirección, el trabajo es ( N) (15.0m) 735 J; c) El trabajo se convierte en energía potencial 6.- A) Qué ángulo en radianes es subtendido por un arco de 1.5 m en la circunferencia de un círculo de 2.5 m de radio? B) Un arco de 14 cm de longitud en la circunferencia de un círculo subtiende un ángulo de 128. Qué radio tiene el círculo? Recuerde que s = r (longitud de arco es igual al radio por el ángulo en radianes) 1.50 m a) = s/r = 0.60 rad m (14.0 cm) b) r = s/ 6.27 cm. (128)( π rad 180) 7.- Un satélite de 2150 kg empleado en una red de teléfonos celulares está en una órbita circular a una altura de 780 km sobre la superficie terrestre. Qué fuerza gravitacional actúa sobre él?

3 G = x N.m 2 /kg 2 y m tierra = 5.97 x kg F g m m G r ( N m ( kg)(2150 kg) kg ) 5 6 (7.810 m m) N. 8.- Una muestra de mineral pesa 17.5 N en el aire pero, si se cuelga de un hilo ligero y se sumerge por complete en agua, la tensión en el hilo es de 11.2 N. calcule el volumen total y la densidad de la muestra. La fuerza boyante es B = 17.5 N 11.2 N = 6.3 N V B ρ g water ( ( N) kg m )(9.80 m s ) m. La densidad es: m ρ V w g B ρ water g ρ water w 3 ( B kg m ) kg 3 m. 9.- Un barril contiene una capa de aceite (densidad de 600 kg/m 3 ) de 0.12 m de espesor sobre 0.25 m de agua. A) Qué presión manométrica hay en la interfaz aceite agua? B) Qué presión manométrica hay en el fondo del barril? Presión manométrica P = gh 3 2 a) ρgh 600 kg m 9.80 m s 0.12m 706Pa b) 706Pa 1000 kg m 9.80 m s 0.250m Pa Imagine que trabaja en un laboratorio de prueba de materiales y su jefe le dice que aumente la temperatura de una muestra en 40 C. El único termómetro que encuentra en su mesa de trabajo está graduado en F. Si la temperatura inicial de la muestra es de 68.2 F, qué temperatura deberá tener en F una vez que se haya efectuado el aumento pedido? Recuerde que 1 C = (9/5) F T T 70.0 F F 2 1 entonces 40 = 72 F 11.- Un centavo de dólar tiene 1.9 cm de diámetro a 20 C y está hecho de una aleación con un coeficiente de expansión lineal de 2.6 x 10-5 C - 1 a) Qué diámetro tendría en un día caluroso a 48 C? a) αd 0T ( (C ) )(1.90cm)(28.0 C) cm, el diámetro sería de cm

4 Examen Tipo A Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey Campus Estado de México División de Ingeniería y Arquitectura Departamento de Ciencias Básicas 1.- Las tres fuerzas siguientes actúan simultáneamente sobre el mismo objeto: F A = 300 N, 30 al Norte del Este, F B = 600 N, 270 y F C = 100 N hacia el este. Halle la fuerza resultante. a) 576 N, 51.4 S del E ** b) 452 N, 53.7 S del W c) 422 N, 53.7 S del E d) 402 N, 38.5 S del W e) 385 N, 27.7 N del W 2.- Un cable esta tendido entre dos postes colocados con una separación de 10 m. A la mitad del cable se cuelga un letrero que provoca un pandeo, por lo cual el cable desciende verticalmente una distancia de 50 cm. Si la tensión en cada segmento del cable es de 2000 N. Cuál es el peso del letrero? a) 200 N b) 400 N ** c) 1200 N d) 2000 N e) 4000 N 3.- Una máquina con 25% de eficiencia realiza un trabajo externo de 200 J. Qué trabajo de entrada requiere? a) 50 J b) 400 J c) 800 J ** d) 4000 J e) 5000 J 4.- Un pistón de 20 kg descansa sobre un gas en un cilindro de 8 cm de diámetro. Cuál es la presión manométrica sobre el gas? a) Pa b) Pa c) Pa d) Pa e) Pa **

5 Examen Tipo B Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey Campus Estado de México División de Ingeniería y Arquitectura Departamento de Ciencias Básicas 1.- Un automóvil de 1200 kg tiene una rapidez de 25 m/s. Qué fuerza resultante se requiere para detenerlo en 70 m en un terreno horizontal? a) 2734 N b) 3182 N c) 4659 N d) 5357 N ** e) 6241 N 2.- Una rueda gira inicialmente a 6 rev/s y después se le da una aceleración angular constante de 4 rad/s 2. Cuántas revoluciones completará la rueda después de 5 s? a) 37.9 rev ** b) 51.3 rev c) 82.7 rev d) rev e) rev 3.- Un cilindro de 2 kg tiene un radio de 20 cm. Rueda sin deslizarse a lo largo de una superficie horizontal a una velocidad de 112 m/s. Cuál es su energía cinética total? a) 72 J b) 144 J c) 216 J ** d) 318 J e) 428 J 4.- Un trozo de carbón vegetal que estaba inicialmente a 180 F experimenta una disminución de temperatura de 120 F. Cuál es la temperatura final en la escala Celsius? a) 15.6 ** b) 37.3 c) 48.9 d) 66.7 e) 82.2

6 Bibliografía 1.- Tippens. Paul. E.; Física Conceptos y Aplicaciones, Séptima Edición, 2007, Mc Graw Hill Interamericana

7 Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey Campus Estado de México División de Ingeniería y Arquitectura Departamento de Ciencias Básicas Guía de estudios de Matemáticas Esta guía de estudios te ayudará a prepararte en los temas de Matemáticas que tienes que conocer para presentar el examen de Física y Matemáticas. Primera Unidad: Funciones Dominio y rango 1. Determina el dominio e imagen de 3x 2 f ( x) 2x - 3 Para el dominio, debemos tener cuidado de no realizar divisiones entre cero, entonces: 2x 3 > 0 2x > 3 x > 3 / 2 Por lo tanto D f = R { 3 / 2 } Para hallar la imagen debemos determinar para qué valores de y existe un x 3x 2 tal que y f ( x) se cumpla. De esta ecuación se tiene que: 2x - 3 2xy 3y = 3x + 2 x (2y - 3) = 3y + 2 Despejando la variable x, 3y 2 x = 2y - 3 D f que tendrá sentido siempre y cuando y 3 De aquí concluimos que If = R { 3 / 2 } 2 2. Determina el dominio e imagen para g(x) = -2 + (x - 2) 2 1 Respecto a el dominio, requerimos que (x - 2) 2 1 0, de lo cual resulta que x 1 o x 3. En conclusión: D g = (-, 1] U [3, + ) En cuanto a la imagen, 2 (x - 2) 2 1 0, por lo cual:

8 g(x) = -2 + (x - 2) 2 1-2, para todo x D g De aquí resulta que I g = [-2, + ) Inyectivas, suprayectivas y biyectivas 1. Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: g(x) = 1 x 3. Elaboramos una tabla de pares ordenados y luego graficamos. x g(x) Gráfica de una función 1. Grafica la siguiente función: V(x) = x 2 La función V(x) no tiene una estructura simple, así que elaboramos una tabla para conocer algo más de ella. En la tabla se muestran los resultados obtenidos. Observando la tabla y la gráfica puede intuirse que, con el valor de x ç= 4 se obtendrá el máximo valor para V. x V(x) = y , , , , , , ,46140

9 4.0 95, , Función inversa 1. Dada f(x) =, determina f -1 en caso de que exista. Despejamos a x de y = : y(2x - 1) = 3x + 2 2xy y = 3x +2 2xy 3x = 2 + y x(2y - 3) = 2 + y x = = Al intercambiar las variables x y y, concluimos que f -1 (x) = =. Observa que D f-1 = R { 3 / 2 }, mientras que la imagen es I f-1 = R { 1 / 2 }. 2. Si existe, determina la función inversa de f(x) = x 2 + 2x 2, x -1.

10 Si escribimos y = f(x), requerimos despejar a x de la ecuación y = x 2 + 2x + 2. De manera equivalente, la ecuación anterior es x 2 + 2x + (2 - y) = 0. Esta ecuación es una ecuación de segundo grado para la variable x, por lo tanto, x = = = -1 ± Como x -1, concluimos que el signo (-) en el resultado anterior debe descartarse, por ello, el despeje final queda como x = Al intercambiar las variables x y y, concluimos que f -1 (x) = Observa que sino se hubiera restringido el dominio de la función, f no sería inyectiva y, en consecuencia, no tendría inversa. Segunda Unidad: Funciones trigonométricas. Razones trigonométricas 1. Evalúa las seis funciones trigonométricas para el ángulo que está a 225 o, sin usar calculadora. El ángulo de referencia del ángulo 225 o es 45 o, en tanto que 225 o se encuentra en el cuadrante III. sen 225 o = -sen 45 o = - cos 225 o = -cos 45 o = - tan 225 o = tan 45 o = 1 csc 225 o = = - sec 225 o = = - cot 225 o = = 1 2. Evalúa las seis funciones trigonométricas para el ángulo que forma sin usar calculadora. El ángulo de referencia es, en tanto que se encuentra en el cuadrante III. sen = -sen = - cos = -cos = - tan = tan =

11 csc = = - sec = = -2 cot = = Resolución de triángulos rectángulos 1. Resuelve para x Tan 60 o = = x = = = Ley de senos 1. Si: a = 12 α = 20 o b =? β = 50 o c =? γ = Resolver el triángulo Como α + β + γ = 180 o, tenemos que: γ = 180 ( ) = 110 Usando la calculadora tenemos: sen α = sen 20 o = sen β = sen 50 o = sen γ = sen 110 o = De la ley de los senos, despejando:

12 b = = = c = = = Ley de cosenos Resolver el triángulo siguiente: Llamemos a al ángulo de 25 porque está opuesto al lado A; C al lado que mide 12 porque está opuesto al ángulo γ. y B al lado de 9 porque está opuesto al lado β. Lo que tenemos entonces es: A =?B = 9C = 12 α = 25 β=? γ=? Usando la ley del coseno tenemos sustituyendo: Realizando las operaciones queda: A = Para encontrar los ángulos faltantes usaremos la ley de los senos, :Sustituyendo los datos del problema y el valor de A que acabamos de encontrar queda: Para encontrar el ángulo b, vamos a fijarnos en la primera igualdad: de ésta igualdad despeja el ángulo β (una forma rápida de despejar cuando lo que queremos despejar está abajo, es como sigue: Invierte primero los quebrados - lo de arriba pásalo abajo y lo de abajo pásalo arriba-: luego, lo que está dividiendo al sen(β) abajo, pásalo multiplicando arriba del otro lado y así es más rápido.) haciendo las operaciones nos queda: inviértelo para que quede bien escrito: sen (β) = y saca la función inversa del seno (el arcoseno): β = sen -1 ( ) β= = 44 42' El ángulo γ es ahora muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre suma 180. O sea que cuando tengas dos ángulos de un triángulo, el tercero siempre sale así: γ = α β Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela bien o apúntala por ahí porque la usarás muchísimo en matemáticas. Sustituimos en ésta expresión los ángulos que nos dan y queda así: γ = ' = ' = ' γ= ' y con este resultado ya queda resuelto todo el triángulo. Razones trigonométricas para un ángulo en cualquier cuadrante. 1. Determinar el valor exacto de las seis funciones trigonométricas del ángulo y el punto P que se nuestra se encuentra en el lado final.

13 x = -, y = 1, r = = = 2 sen = = cos = = - tan = = - = - csc = = 2 sec = = - = - cot = = - 2. Suponer que ángulo se encuentra en posición normal. Determinar el cuadrante donde se encuentra el ángulo para el que sec < 0 y cot > 0 Se tiene que sec = como r > 0, sec < 0 cuando x < 0, entonces se puede encontrar en los cuadrantes II o III. Si se tiene que cot > 0, x & y, deben ser positivas o negativas a la vez; en este caso, el ángulo puede estar en los cuadrantes I o III. Por tanto, el lado final de ángulo se encuentra en el cuadrante III. Círculo trigonométrico. 1. Aplicando la fórmula de longitud de un arco circular resolver el siguiente problema. Una banda conecta una polea de 2 pulgadas con otra de 5 pulgadas. Si la polea menor gira 5 radianes, cuántos radianes girará la polea mayor? Para resolver el problema, primero se hace un esquema:

14 Cuando la polea menor gira 5 rad., el punto de su circunferencia recorre la misma distancia (longitud de arco) que la que viaja al punto P de la circunferencia mayor. Para la polea menor: = ; s = r * = (2)*(5) = 10 pulgadas Para la polea mayor: = = = 2 radianes Por lo tanto, cuando la polea menor gira 5 rad. La polea mayor gira 2 rad. 2. Aplicando la fórmula del área de un sector circular, determina el área del sector sombrado de la gráfica. A = es la fórmula del área de un sector circular. A =, r = 9 cm, = 120 o = rad A = cm 2 Funciones trigonométricas directas. Dominio, rango, periodicidad, amplitud, desfasamiento y asíntotas. 1. Determina la amplitud, el periodo, el ángulo de fase y el valor promedio de la función f(x) = 4 sen (3x - 7) + 2. Posteriormente, grafica la función. Primero escribimos la ecuación en la forma general f(x) = 4 sen[3( x - )] + 2 Identificamos ahora los coeficientes. - La amplitud es A = 4 > 0.

15 - El ángulo de fase es x o = 7/3. - El promedio es B = 2. De estos resultados deducimos que el periodo es P = observamos que un periodo inicia cuando:. Para construir la gráfica 3x o -7 = 0 x o = x o = y termina cuando: 3x f 7 = 2 x f = x f = Dividimos el intervalo que definen x o y x f en cuatro subintervalos de longitud igual. Evaluando a continuación la función sinusoidal en los puntos extremos de estos subintervalos, obtenemos la tabla de valores adjunta. Reuniendo todos estos elementos, construimos la gráfica de la función. x f(x) , Determina las regiones de crecimiento y decrecimiento y las ecuaciones de las asíntotas verticales. Con esa información, construye la gráfica de la función. f(x) = 2 tan( ) La función f(x) = 2 tan( ) es creciente en su dominio porque el coeficiente 2, que multiplica a la tangente, es positivo. El dominio consta de todos los puntos donde el argumento es diferentes de ±, ±, ±,. Estos puntos satisfacen que: Es decir, ±, ±, ±, ±2, ±6, ±10, 6 ± 2, 6 ± 6, 6 ± 10,

16 D f = R {6 ± 2, 6 ± 6, 6 ± 10, } La curva cruza el eje x cuando el argumento de la tangente es n. Es decir, cuando = n - 6 = 4 n = 6 + 4n Por ejemplo, dos de las asíntotas verticales se obtienen cuando el argumento de la función es igual a ± /2. Es decir, cuando = ± - 6 = ±2 8 = 6 ±2 = 4 Como la distancia entre dos asíntotas consecutivas es igual al periodo, tenemos que la función se repite cada cuatro unidades. En conclusión, las ecuaciones de las asíntotas son x = 4n con n Z. Con esta información, y tomando como base la gráfica de la función tan(x), se obtiene la gráfica pedida. Funciones trigonométricas inversas. Ramas principales. Dominio, rango y gráfica de las funciones trigonométricas inversas 1. Construye la gráfica de la función f(x) = 5 arctan (x - 2) 3 La gráfica se obtiene haciendo operaciones de traslación y escala en la gráfica de arctan(x). Observemos que: - La función arctan(x - 2) corta el eje x en el puntos = 2 - El factor 5 reescala el eje y - El término -3 baja la gráfica en tres unidades, de manera que la imagen es : (- - 3, -3) = ( , ).

17 En la figura se muestra la gráfica de la función. 2. Dada f(x) =, determina f -1 en caso de que exista. Despejamos a x de y = : y(2x - 1) = 3x + 2 2xy y = 3x + 2 2xy 3x = 2 + y x(2y - 3) = 2 + y x = Al intercambiar las variables x y y, concluimos que f -1 =. Observa que D f-1 = R {3/2} mientras que la imagen es I f-1 = D f = R {1/2} Tercera Unidad: Funciones exponenciales y logarítmicas. 1. Analiza cuidadosamente la función f(x) = y esboza su gráfica. Podemos intuir lo siguiente: a) Como e -x > 0 para cualquier x R, D f = R lo que significa que la gráfica se extiende a lo largo de todo el eje horizontal. Además, la función sólo toma valores positivos menores que 1, por lo cual la gráfica se encuentra entre las rectas y = 0 e y = 1 (sin tocarlas). b) Por el lado negativo, al considerar valores hacia la izquierda en el eje x, el denominador crece, por lo que f(x) decrece aproximándose a cero; mientras que por el lado positivo, al tomar valores hacia el lado derecho del eje x, e -x se acerca al valor cero y por tanto f(x) se aproxima a la recta y = 1. c) Finalmente notamos que f(0) = ½. El esbozo de la gráfica es:

18 2. Se invierten $ a una tasa de3 interés nominal de 12%. a) Cuál será el monto cinco años más tarde si la capitalización es mensual? b) Cuál será el monto si la capitalización es continua? a) Sustituyendo los valores correspondientes en la fórmula K = K O (, se tiene que: K = (1 + ) 12 (5) = pesos b) La fórmula correspondiente a capitalización continua es K =K O *e it, por lo tanto: K = *e 0.12 (5) = pesos 3. Una población de bacterias se encuentra en un ambiente que le permite crecer exponencialmente con un tiempo de duplicación de 5 horas. En t = 0 hay 500 mil bacterias, cuántas habrá 20 horas más tarde? Supón que P = P(t) representa el número de bacterias existentes al tiempo t. Entonces, el crecimiento exponencial de este número se puede determinar por P = P o b t, donde P o = 500 mil es el número inicial de bacterias. La duplicación en cinco horas implica 2P o = P o b 5, de donde b =. Por lo tanto, el crecimiento de bacterias queda determinado por P = 500 ( ) t o bien P = 500 (2) t/5, donde P está expresada en miles de bacterias y t en horas. Para t = 20 el tamaño de la población será P = 500 (2) 20/5 = miles de bacterias = 8 millones de bacterias. 4. Indica el dominio y la imagen de f(x) = ln(x), y traza su gráfica. Puesto que las funciones inversas intercambian dominio por imagen, y como ln(x) es la inversa de e x, se puede deducir que D ln = (0, + ) puesto que I Exp = R porque D Exp = R. La gráfica de ln(x) es la reflexión especular de la gráfica de e x, tomando a la recta y = x como el espejo plano.

19 5. Resuelve la ecuación log(x + 2) - log(x - 1) = log(4). log( ) = log(4) =, de donde = 4, o bien x+2 = 4x 4 Finalmente, x = 2 Cuarta Unidad : Sistemas de coordenadas y algunos conceptos básicos. 1. Qué es (12,5) en coordenadas polares? Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa): r 2 = r = ( ) r = ( ) = (169) = 13 Usa la función tangente para calcular el ángulo: tan( θ ) = 5 / 12 θ = atan( 5 / 12 ) = Qué es (13, 23 ) en coordenadas cartesianas?

20 Usamos la función coseno para x: cos( 23 ) = x / 13 Cambiamos de orden y resolvemos: x = 13 cos( 23 ) = = Usamos la función seno para y: sin( 23 ) = y / 13 Cambiamos de orden y resolvemos: y = 13 sin( 23 ) = = Determina la forma punto pendiente y la forma general de la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 5) y (4, 8), luego dibuja la gráfica de la misma. Comenzamos calculando la pendiente: m = = Ahora sustituimos en la ecuación punto pendiente con (x 1, y 1 ) = (2, 5) (a propósito, es indistinto cuál de los dos puntos se elija, si se elige (x 1, y 1 ) = (4, 8), el resultado es el mismo!): y 5 = (x - 2) y 5 = x 3 Al despejar, obtenemos la forma punto pendiente, y = x + 2 Si multiplicamos por 2 cada lado de esta ecuación y pasamos los términos con variables juntos obtenemos la forma general: 3x 2y = -2 Para la gráfica, basta con dibujar dos puntos. Podemos utilizar los puntos dados originalmente, (2, 5) y (4, 8). Otra forma consistente en trazar su gráfica a partir de las intersecciones con los ejes coordenados.

21 4. En el triángulo GAW, QK // GA ( segmentos paralelos ) AK = 4, KW = 8, GQ = 5 Encuentra QW =? AW GW KW QW QW 8 QW QW * 1.5= 5 + QW 1.5QW QW = 5 QW = 10 A K W Q G 5. Calcular el ángulo formado por las rectas r: y = 3x + 5; y s: y = -2x + 1 m de r m=3 & m de s m = -2 tan α = m m 1 ( m)( m ) 3 ( 2) 1 (3)( 2) = 1 α = 45 Discusión de ecuaciones algebraicas 1. Determina los puntos de intersección con los ejes a partir de la recta y=2x+3 Para sacar la intersección con el eje "y" (ordenada) hacemos x cero y = 2*0 + 3 y=3 Esta función corta al eje "y" en y= 3 Para sacar la intersección con el eje "x" (abscisa) hacemos y cero 0 = 2x+3-3 = -2x x = -3/2 Esta función corta al eje "x" en x = -3/2

22 2. Determinar el punto simétrico al punto (-2, 3) con respecto del eje x, del eje y y del origen. El punto simétrico al punto (-2, 3) con respecto del eje y es el punto con la misma altura que (-2, 3); por lo tanto, su coordenada y es 3. Está a la misma distancia del eje x, sólo que del lado opuesto de este eje; por lo tanto, su coordenada x es 2. El punto es (2, 3). El punto simétrico al punto (-2, 3) con respecto del eje es el punto con la misma coordenada x que (-2, 3), que es -2. Está a la misma distancia del eje y, sólo que del lado opuesto de este eje; por lo tanto, su coordenada y es -3. El punto es (-2, -3). El punto simétrico al punto (-2, 3) con respecto del origen es el punto con coordenadas (x, y) opuestas, que es (2, -3). Véase al figura Determinar el dominio y rango de la siguiente función: y= Puesto que, si la variable x tiene un valor menor a 4, el numero dentro de la raiz seria negativo y el resultado final seria un numero imaginario. con esto, si el valor mas pequeño que puede tener x=4 entonces y=0 después de resolver la ecuación. Dominio = [4, ) Rango = [ ) 4. Calcula la asíntota horizontal y vertical de f(x) = a) Asíntota horizontal: Primero debemos identificar n y m: En este caso el grado del numerador es 0, la n = 0; y el grado del denominador es 1, la m = 1. Como n < m. y = 0 por lo que podemos concluir que la asíntota horizontal es el eje x b) Asíntota vertical: Debemos simplificar al máximo la función. Luego, igualar el polinomio del denominador a cero y despejar la variable. Eso será la asíntota vertical, es así que procederemos a resolver: f(x) = x 1 = 0

23 x = 1 Podemos concluir que la asíntota vertical está en x= En el aeropuerto de una cierta ciudad dos compañías se disputan los clientes interesados en viajar del aeropuerto a cualquier sitio de la urbe. La compañía Viaje Seguro cobra por kilómetro recorrido 3.50 pesos por kilómetro y 25 pesos de cuota inicial. En cambio, la compañía Los Pequeños Aquiles ofrece un costo por kilómetro recorrido de 2.60 pesos, pero cobra una cuota inicial de 40 pesos. En cuál de las dos compañías convendrá viajar? Organizamos la información que se nos proporciona de las dos compañías. La compañía Los Pequeños Aquiles cobra una alta cuota inicial, pero ofrece un menor costo por cada kilómetro recorrido que la compañía Viaje Seguro, que a cambio de cobrar una cuota superior por cada kilómetro recorrido cobra una menor cuota inicial. Lo anterior significa que la respuesta a la pregunta de cuál es al compañía en la que conviene viajar dependerá del número de kilómetros que el usuario necesite recorrer. Si el pasajero viajará grandes distancias, le convendrá la compañía Los Pequeños Aquiles, porque cobra una menor cuota por kilómetro recorrido y él recorrerá muchos; en cambio, si el usuario recorrerá una distancia corta, le convendrá usar la compañía que cobra menor cuota inicial. Para que nuestra respuesta sea consistente, es necesario ocuparse de contestar qué significa grandes distancias y distancia corta, es decir, hay que preocuparse por resolver cuántos kilómetros tendrá que recorrer el usuario para que la compañía Viaje Seguro deje de ser conveniente para él y le convenga usar la compañía Los Pequeños Aquiles. Observamos que el número de kilómetros es nuestra variable independiente. El costo de viaje depende de ello; por lo tanto, se pueden establecer las ecuaciones del costo del viaje en función del número de kilómetros recorridos para cada compañía: Para observar mejor la tendencia de las dos compañías, se puede recurrir a una tabla y a la gráfica de ambas ecuaciones. Observamos que la variable independiente es la distancia recorrida y la dependiente es el costo del viaje, de modo que la primera irá en el eje de las abscisas y la segunda en el eje de las ordenadas. Tanto en la tabla como en la gráfica observamos que el costo por el viaje es superior en la compañía Los Pequeños Aquiles, si la distancia recorrida está entre 0 y 16 kilómetros aproximadamente; a partir de ahí, la compañía Viaje Seguro comienza a ser más cara para el usuario que debe recorrer una distancia mayor a 16 kilómetros aproximadamente. Es decir, la cuota que buscamos está alrededor de los 16 kilómetros, pero no la conocemos con exactitud porque la tabla o la gráfica no nos lo permiten. Podríamos hacer una tabla más precisa, pero también recurrir a una herramienta matemática. Observamos que la cuota que buscamos es donde ambas compañías cobran lo mismo, es decir, donde el costo es igual para las dos, que también es el punto de intersección de las rectas que describen el comportamiento de ambas. De modo que nos encontramos ante un sistema de ecuaciones del que queremos conocer el valor de sus variables que hace que ambas ecuaciones se cumplan. Resolveremos el sistema de ecuaciones por el método

24 de suma y resta, aunque sabemos que es posible usar cualquier otro método que se nos facilite. La ecuación del costo del viaje para La ecuación del costo del viaje para la la compañía Viaje Seguro compañía Los Pequeños Aquiles es: C = d C = d Nos conviene eliminar la variable C porque tiene coeficiente 1 en ambas. Basta con multiplicar por (-1) cualquiera de las dos ecuaciones para eliminar la variable. Multiplicaremos por (-1) la ecuación de la compañía Los Pequeños Aquiles y la sumaremos con la ecuación de la compañía Viaje Seguro. C = d -C = d 0 = d De la ecuación resultante, ya es posible despejar d: d = = = sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales para conocer C: C = ( ) C = = Comprobemos la solución en las ecuaciones originales: C = d C = d = ( ) = ( ) = 25 + = 40 + = = La igualdad se cumple en ambas ecuaciones; por lo tanto, el par ordenado : (, ) es la solución al sistema de ecuaciones propuesto. El resultado es algo que ya esperábamos, porque queríamos una idea de cuál sería la solución por la tabla y la gráfica que elaboramos, de modo que podemos estar seguros que esa solución no sólo es correcta desde la perspectiva matemática, sino también en el contexto del problema. Por lo tanto, la solución al problema propuesto será: Si el usuario de los taxis recorre una distancia menor a kilómetros, le convendrá usar la compañía Viaje Seguro ; en cambio, si el usuario necesita recorrer una

25 distancia superior a kilómetros le convendrá usar la compañía Los Pequeños Aquiles. Cuando el usuario desea recorrer kilómetros, le dará lo mismo usar cualquiera de las dos compañías, ya que ambas le cobrarán lo mismo: pesos. Sexta Unidad: Ecuación de primer grado 1. Determina el significado geométrico de la pendiente de la ecuación lineal -10x+5x=20 Primero despejamos y: -10x+ 5y = 20 5y = x y = 4 + 2x Veamos de esta forma que la pendiente es m = 2 = 2/1, lo que quiere decir que para cada avance vertical hacia arriba de dos unidades se tiene un avance horizontal hacia la derecha de una unidad. Observa que debido al significado geométrico de la pendiente, si la pendiente es positiva, la recta se inclina hacia la derecha, mientras que si la pendiente es negativa la recta se inclina hacia la izquierda. Qué sucede desde le punto de vista geométrico cuando la pendiente de una recta es 0?. La respuesta es simple, si la pendiente es 0, m = 0 = 0/1, por lo que por cada avance horizontal hacia la derecha, no hay avance hacia arriba, es decir, la recta no tiene inclinación, es una recta horizontal. Por cierto, en este caso la forma punto pendiente de la ecuación es y =b. en otras palabras, no aparece la variable x para la ecuación de una línea horizontal. Otro caso importante lo constituyen las líneas rectas verticales. Para éstas, la pendiente no existe y en la ecuación no aparece la variable y. la ecuación es de la forma x = k con k una constante. El coeficiente b que aparece en la forma punto pendiente (3), representa la intersección de la recta con el eje y.

26 Así como para determinar la pendiente de una línea recta bastan dos puntos, también para construir su gráfica es suficiente trazar dos puntos por los que pase la recta para dibujar la misma. De la misma forma, la ecuación de una recta se puede obtener a partir de dos puntos por los que pase la recta: Si (x 1, y 1 ) y (x 2, y 2 ) son puntos de una recta que no es vertical, entonces su ecuación está determinada por: y - y 1 = m(x x 1 ) (5). Con m = Por cierto, no importa el orden en que consideren los puntos, esto es, también una ecuación de la recta es y y 2 = m(x x 2 ). Por ejemplo, para determinar una ecuación de la recta con los puntos (2, 5) y (4, 8). 2. Dada la ecuación lineal 2x + 3y = 12, determina la forma punto pendiente, la pendiente, las intersecciones con los ejes coordenados, tres puntos por los que pase la recta y dibuja la misma. La forma punto pendiente se obtiene despejando y: 2x + 3y = 12 3y = 12 2x y = 4 - x Así la pendiente es m = -2/3, y la intersección con el eje es b = 4 o el punto (0, 4). La intersección con el eje x la obtenemos al hacer y = 0 y despejar para x: 0 = 4 - x x = 4 Por lo que obtenemos el punto (6, 0). Podemos utilizar estos puntos para obtener la gráfica:

27 Y tenemos dos puntos de la recta, (0, 4) y (6, 0). Para determinar otros puntos, damos un valor para x y despejamos para y, elegimos, por ejemplo x = 3, entonces y = 4 (2/3) (3) = 4 2 = 2, es decir, un tercer punto por el que pasa la recta es (3, 2). 3. Determina la forma punto pendiente de la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2, 1) y que es: a) Paralela a la recta 4x 2y = 12 b) Perpendicular a la recta 4x 2y = 12 Al despejar y de 4x - 2y = 12, encontramos que la recta dada tiene pendiente m=2 a) Como nos piden la recta paralela, m = 2 es también la pendiente de la recta que buscamos. y 1 = 2(x + 2) y = 2x + 5 b) Buscamos ahora la recta perpendicular, si m es la pendiente de esta recta, entonces m = -1/2 de acuerdo con el teorema anterior. Por lo tanto, la ecuación es: y 1 = - (x + 2) y = - x Séptima Unidad: Ecuación general de segundo grado.

28 1. Grafica la siguiente función e indica su dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. f ( x) - 3x -1 El dominio de la función es x -1/3 ; como a = -3 < 0, la parábola abre a la izquierda; luego, es decreciente en todo su dominio y su gráfica es: 2. Un avión sale del aeropuerto de la ciudad de México y vuela a una altura de 3700 pies. El piloto debe comunicarse a la torre de control hasta que la distancia en diagonal del avión al aeropuerto sea de 7000 pies. El piloto necesita conocer la distancia horizontal que habrá recorrido el avión en ese momento y la gráfica de la distancia. a) Identifica las variables Sea x la distancia en diagonal del aeropuerto al avión y sea d la distancia horizontal recorrida por el avión. b) Expresa todas las cantidades en términos de la variable (diagrama o tabla) Usando el teorema de Pitágoras, la distancia horizontal es de d(x)= c) Establece una función La función que modela la distancia horizontal recorrida por el avión es: d(x)= d) Resuelve el problema y verifica tu respuesta

29 Hay que encontrar el valor de la distancia horizontal cuando x = 7000 pies; evaluando, tenemos: d(x)= = ft La representación gráfica es la semihipérbola horizontal: Verificamos nuestra respuesta comparando nuestra gráfica con el resultado que obtuvimos y observamos que los valores de la función distancia son iguales. 3. Grafica la siguiente función; indica dominio, así como los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. f(x) = - El dominio de la función es - x ; el semicírculo es decreciente en - x 0 y creciente en 0 x, y su gráfica es: 4. La población de San Juan desea construir un puente de un arco de piedra sobre el río del mismo nombre que vaya de orilla a orilla. El río mide 10 metros de ancho y desean que bajo el puente pasen botes de 2 metros de alto; por ello, le han sugerido al arquitecto Luis Fuentes que deje un espacio libre de 1 metro hacia arriba. El arquitecto desea graficar la función que represente el arco del puente, pero además se ha enterado de que las embarcaciones miden cuatro metros de ancho y desea saber si la altura del arco es suficiente para librar un bote que pase exactamente por el centro del río. a) Identifica las variables Si tomamos el centro del río como el origen de coordenadas, tenemos que el puente debe tener el diagrama siguiente:

30 b) Expresa todas las cantidades en términos de la variable De los datos, suponemos que el puente tomará la forma de una semielipse horizontal; entonces, la forma estándar de la ecuación de la elipse es: + = 1 c) Relaciona las cantidades De los datos, concluimos que el semieje mayor es de cinco metros y el semieje menor es de tres pulgadas, por lo que la ecuación queda como: + = 1 d) Establece una función Luego, la función que representa la semielipse es La gráfica que representa esta función es: g ( x) x e) Resuelve el problema y verifica tu respuesta Cuando el bote pase exactamente por el centro del río es cuando x = 2; la altura del arco será: g ( 2) 25-2 = = 2.75 m luego, el barco tendrá suficiente espacio para cruzar debajo del puente, lo cual comprobaremos al comparar nuestro resultado con la gráfica obtenida.

31 Octava Unidad: Circunferencia. 1. Determina la ecuación, centro, radio y la ecuación general de la circunferencia que tiene centro en C(4, -7) y radio 5. La ecuación centro radio es: (x - 4) 2 + (y (-7)) 2 = 5 2 ó (x - 4) 2 + (y + 7) 2 = 25 Para obtener la ecuación general, simplemente desarrollamos el paréntesis y simplificamos: x 2 + y 2 8x + 14y = 25 De esta forma obtenemos: x 2 + y 2 8x + 14y + 40 = 0 2. Bastan tres puntos para determinar la ecuación de una circunferencia. Determina la ecuación en su forma general de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, -1), B(-4, -3) y C(0, 3). Tenemos dos métodos de solución. El primero radica en observar que al sustituir las coordenadas de A, B y C obtenemos respectivamente las ecuaciones (2) 2 + (-1) 2 + D(2) + E(-1) + F = D E + F = 0 (-4) 2 + (-3) 2 + D(-4) + E(-3) + F = 0 ó 25 4D 3E + F = 0 (0) 2 + (3) 2 + D(0) + E(3) + F = E + F = 0 Al resolver este sistema de ecuaciones lineales 3 * 3, obtenemos D =, E = y F =-, por lo que la ecuación en su forma general es: X 2 + y 2 + x + y - = 0 El segundo método de solución consiste en recordar que la intersección de dos mediatrices de dos cuerdas no paralelas se intersecan en el centro de la circunferencia. De esta forma, el centro corresponde a la intersección de las rectas bisectrices de los segmentos de la recta AB y BC, en tanto que el radio lo calculamos como la distancia del centro a uno de los puntos A o B o C. - Calculamos la bisectriz del segmento AB: El segmento tiene punto medio M(, ) ó M( -1, -2). Por lo que buscamos una ecuación de la recta que pasa por M y es perpendicular a la recta que pasa por A y B. La pendiente de la recta que pasa por A y B es m =, por lo que la pendiente de la recta que buscamos es -1/m = -3. Finalmente, la ecuación es:

32 y + 2 = -3(x + 1) ó y = -3x -5 - Calculamos ahora la ecuación de la bisectriz del segmento BC. La pendiente de este segmento es: m = = por lo que la pendiente de la bisectriz es -2/3 (por ser perpendicular al segmento AC). El punto medio del segmento tiene coordenadas: (, ) = (-2, 0) Al utilizar la fórmula punto pendiente, obtenemos: y = - (x + 2) ó y = - x + - Calculamos la intersección de las bisectrices al igualar sus ecuaciones: -3x 5 = - x + de donde obtenemos x = -, y = -, que corresponden precisamente a las coordenadas del centro de la circunferencia. - El radio es entonces la distancia del centro al punto A: R = = Por lo que la forma punto centro de la ecuación de la circunferencia es: + =

33 3. Determina el centro y el radio de la circunferencia definida por x 2 y 2-10x + 2y + 17= 0 Para cambiar de la forma general a la forma centro radio, basta completar el cuadro para x y para y. X 2 + y 2 10x + 2y + 17 = 0 (x 2 10x) + (y 2 + 2y) + 17 = 0 Para x sumamos 25 a cada lado de la ecuación y para y sumamos 1 a cada lado: (x 2 10x + 25) + (y 2 + 2y + 1) + 17 = (x - 5) 2 + (y + 1) = 26 (x - 5) 2 + (y - 1) 2 = 9 Esta ecuación nos indica que el centro es C(5, -1) y el radio es Encuentra la ecuación de la circunferencia, de radio 3, que es tangente en el punto P(2, 3) a la recta L: y = x + 2 Como conocemos el radio, bastará determinar las coordenadas del centro C(h, k). Puesto que la recta L es tangente a la circunferencia, el centro de la circunferencia se encuentra sobre la recta que es perpendicular a L y que pasa por el punto de tangencia P, que llamaremos S. la recta S tiene pendiente m = -2, por lo que su ecuación es: y 3 = -2(x-2) S: y = 7 2x

34 Buscamos, de esta forma, las coordenadas del punto C(h, k), de tal forma que cumpla dos condiciones: a) que esté sobre la recta perpendicular, S, y b) que su distancia a la recta tangente, L, sea igual al radio. Cada condición nos da lugar a una ecuación: k = 7 2h.. a = 3.. b (para la ecuación (b), recuerda que la forma general de L es x +2y = 4). Sustituimos la ecuación (a) en la (b) y despejamos el valor de h: = 3 = 3 = 3 Elevamos cada lado de la ecuación al cuadrado para quitar el valor absoluto: (10 5h) 2 = 45 Al resolver esta ecuación cuadrática, obtenemos dos valores para h: h = 2 + y h = 2 - Al sustituir cada valor de h en la ecuación (a), obtenemos dos valores para k: k = 3 - y k = 3 + De esta forma, obtenemos dos soluciones: C1 (2 +, 3 - ) y C2 (2 -, 3 + ) Por lo tanto, existen dos circunferencias tangentes a L en el punto P de radio 3: (x ) 2 + (y ) 2 = 9 y (x ) 2 + (y ) 2 = 9 Es fácil darnos cuenta en la gráfica que efectivamente existen dos soluciones.

35 5. Determina si la ecuación x 2 + y 2 4x + 3y + = 0 corresponde a una circunferencia, una circunferencia degenerada o una circunferencia imaginaria. Tenemos, D = -4, E = 3 y F =. Así D 2 + E 2 4F = 4. Esto nos indica que la ecuación corresponde a una circunferencia de radio 2. Su ecuación centro radio se obtiene de completar los cuadrados: (x - 2) 2 + (y + ) 2 = 4 Novena Unidad: Parábola. 1. Determina la ecuación, en su forma general, de la parábola con vértice en V(2, 3) y foco en F(2, 1) Siendo h = 2, k = 3 y k + a = 1, es decir a = -2, la ecuación es: (x - 2) 2 = 4(-2)(y - 3) Al desarrollar y pasar todos los términos del lado izquierdo de la ecuación, obtenemos la forma general: x 2-4x + 4 = -8y + 24 x 2 4x + 8y 20 = 0

36 2. Determina la longitud del lado recto de la parábola del ejercicio anterior. El lado recto corresponde al segmento de línea paralelo a la directriz que pasa por el foco. En este caso, la directriz es horizontal. Por ello, los extremos del lado recto corresponden a las intersecciones de la recta horizontal y = 1 con la parábola. Tales intersecciones se obtienen sustituyendo y = 1 en la ecuación x 2 4x + 8(1) 20 = 0 x 2 4x 12 = 0 (x + 2)(x - 6) = 0 El lado recto es el segmento de línea que une los puntos (-2, 1) con (6, 1), por lo que su longitud es de ocho unidades. 3. Encuentra la ecuación, en su forma estándar, así como el vértice y el foco de la parábola horizontal que pasa por los puntos P(3, 1), Q(0, 3) y R(8, 11) Como la parábola es horizontal, sustituimos los puntos dados en la ecuación (5) y obtenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: (1) 2 + D(1) + E(3) + F = 0 D + 3E + F = -1 (3) 2 + D(3) + E(0) + F = 0 ó 3D + F = -9 (11) 2 + D(11) + E(8) + F = 0 11D + 8E + F = -121 Al resolver este sistema, obtenemos D = -10, E = -4, F = 21, por lo que la ecuación general de la parábola es: Y 2 10y 4x + 21 = 0

37 Para determinar el vértice y el foco, debemos encontrar la forma estándar de la ecuación. Para esto, basta escribir los términos en y en el lado izquierdo y los demás en el lado derecho de la ecuación, así como completar el cuadrado: y 2-10y = 4x -21 y 2 10y + 25 = 4x (y - 5) 2 = 4(x + 1) vemos que el vértice es V(-1, 5) y el foco es F(0, 5) 4. Grafica la siguiente parábola: y = x 2 1 1º Como a > 0 a = 1 U 2º Calculamos las coordenadas del vértice: - b 0 x = x = 0 2a 2 y = 0 1 y = -1 V(0, -1) 3º Puntos de corte con los ejes - Para conocer donde corta en x igualamos y = 0: x 2 1 = 0 x = ± 1 (1, 0) y (-1, 0) - Para conocer donde corta en y igualamos x = 0: y = -1 (0, -1) 4º Tabla de valores Procuraremos escoger valores simétricos al valor que tenga la x del vértice: x y º Graficar

38 Empezamos representando el vértice. Representamos el resto de los puntos. Unimos y obtenemos la gráfica. Estará Formada por dos ramas simétricas respecto al eje de simetría de la parábola. 5. Grafica la siguiente parábola: y = -x 2-1 1º Como a > 0 a = -1 2º Calculamos las coordenadas del vértice: - 2b 0 x = x = 0 a 2 y = 0 1 y = -1 V(0, -1) 3º Puntos de corte con los ejes - Para conocer donde corta en x igualamos y = 0: -x 2 1 = 0 x =0 (0, 0) - Para conocer donde corta en y igualamos x = 0: y = -1 (0, -1) 4º Tabla de valores Procuraremos escoger valores simétricos al valor que tenga la x del vértice: x y º Graficar Empezamos representando el vértice. Representamos el resto de los puntos. Unimos y obtenemos la gráfica. Estará Formada por dos ramas simétricas respecto al eje de simetría de la parábola. Décima Unidad: Elipse. 1. Determina los vértices, los focos y la longitud de los lodos rectos; luego, dibuja la elipse dada por 9x y 2 = 144

39 Dividimos cada lado de la ecuación por 144 para encontrar la forma estándar de la ecuación: + = + = 1 Como a = 4 y b = 3, la elipse es horizontal con centro en el origen. Sus vértices son (4, 0), (-4, 0), (0, 3) y (0, -3). Para determinar los focos, recuerda que b 2 = a 2 c 2 ó c =, por lo que en este caso, c = =. De esta forma, los focos son F1(-, 0) y F2(, 0) El lado recto mide = = = 2. Encuentra la forma estándar de la ecuación de la elipse dada por 49x y 2 98x 96y 1031 = 0, y grafícala. Primero complementamos los cuadrados en las variables x y y: 49x 2 98x + 24y 2 96y 1031 = 0 49[x 2 2x] + 24[y 2 4y] 1031 = 0 49[x 2 2x + 1-1] + 24[y 2 4y + 4-4] 1031 = 0 49[(x - 1) 2-1] + 24[(y - 2) 2-4] 1031 = 0 49(x - 1) (y - 2) 2 = 1176 Al dividir cada lado de la ecuación por 1176, obtenemos la forma estándar: + = 1 Vemos que se trata de una elipse vertical con centro en C(1, 2) y con a = y b = 7

40 3. Encuentra una ecuación del lugar geométrico de todos los puntos medios de las ordenadas de la circunferencia x 2 + y 2 = 64 Las ordenadas de la circunferencia tienen ecuación y =, por lo que los puntos tienen ecuación y = ó 2y =. Al despejar, obtenemos: + = 1 4. Determina qué tipo de elipse representa la ecuación 3x 2 + 4y 2 6x + 4y + 4 = 0 Podemos utilizar el signo de A( ) 2 + B( ) 2 F, pero preferimos completar los cuadrados en cada variable: 3[x 2 2x] + 4[y 2 - y] + 4 = 0 3[x 2 2x + 1-1] + 4[y 2 + y + ¼ - 1/4] + 4 = 0 3[(x - 1) 2-1] + 4[(y + 1/2) 2 1/4] + 4 = 0 3(x - 1) 2 + 4(y + 1/2) 2 = 0 Vemos así que la ecuación representa una elipse degenerada; esto es, representa solamente un punto: (1, -1/2). 5. Determina la excentricidad y las ecuaciones de las directrices de la elipse: 7x 2 + 3y x 6y + 10 = 0 Completamos los cuadrados para determinar la ecuación en forma estándar:

41 7[x 2 + 4x] + 3[y 2 2y] + 10 = 0 7[(x + 2) 2-4] + 3[(y 1) 2-1] + 10 = 0 7(x + 2) 2 + 3(y - 1) 2 = 21 Al dividir cada lado por 21, obtenemos: + = 1 Es decir, se trata de la elipse vertical con centro en C(-2, 1) y a =, b = y c = 2 De esta forma, la excentricidad es e = =. las directrices se deben trasladar de acuerdo con el centro de la elipse: y = k ± ; en este caso, y = 1 + = y y =1 - =- Décima primera Unidad: Hipérbola. 1. Determina la forma estándar de la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos F 1 (0, -3) y F 2 (0, 3), con un vértice en V 1 (-2, 0). Se trata de una hipérbola vertical, por lo que b 2 = c 2 a 2 = 9 4 = 5: - = 1

42 2. Determina una ecuación de la hipérbola con centro en C(2, 3), distancia focal 8 y vértice en V 1 (2, 4). Se trata de una hipérbola horizontal con c = 8/2 = 4, a = 1 y b 2 = 16 1 = 15, por lo que al aplicar la formula, obtendremos: (x - 2) 2 = 1 3. Grafica la hipérbola - = 1 Las asíntotas son y = x y y = - x, que podemos trazar al dibujar el rectángulo con centro en el origen de largo 6 y altura 4, así como alargar sus diagonales. 4. Grafica la hipérbola - = 1 Se trata de la hipérbola conjugada de la hipérbola del ejemplo anterior. Sus asíntotas son, por lo tanto, las mismas, pero sus vértices son V 1 (0, -3) y V 2 (0, 3) y sus focos son F 1 (0, ) y F 2 (0, - )

43 5. Traza juntas la hipérbola = 1 y su conjugada. La ecuación de la hipérbola conjugada es - = 1; ambas tienen su centro en C(-1, 2), en tanto que las rectas asíntotas tienen ecuaciones, de acuerdo con (7), y = x + y y = - x + MATEMÁTICAS VI Límite de una función 1. Supón que f(x) y g(x) son dos funciones polinomiales y x 0 es un número real fijo tal que g(x 0 ) 0. Calcula el. Sabemos que = f(x 0 ) y = f(g 0 ) 0, por lo que una aplicación de un teorema, nos asegura que =. Después de los ejemplos tratados en este apartado, se podría pensar que el cálculo de los límites se reduce simplemente a calcular la función en el punto en el que deseamos calcular el límite; en realidad, esto será así en un buen número de

44 ejemplos. Sin embargo, esta situación no siempre se presentará, y será necesario establecer algunos criterios que nos permitan calcular el valor del límite. 2. Calcula. Análogamente a los ejercicios anteriores, tenemos que: = = (1 + x + ) = Calcula el. Tenemos que cot ( ) = ; de donde = y, por lo tanto, = = 1. Estos ejemplos muestran que el cálculo de límites de funciones racionales es relativamente simple. Todo depende del valor del numerador en el punto donde queremos calcular el límite. Si numerador y denominador se anulan, entonces se debe simplificar la expresión antes de calcular el límite. 4. Existirá el? Para analizar este caso, notemos que por lo tanto, - 1 si x < 0 x 1 si 0 < x = -1 y = 1. Observa que, aunque existen los límites laterales, éstos no son iguales y, en consecuencia, el no existe. 5. Calcula el ln(x) Para calcular este límite, debemos recordar que la función logaritmo es la inversa de la exponencial. De ésta sabemos que para valores muy pequeños negativos de x, e x es positivo y muy cercano a 0; de hecho, mientras más pequeño es x más cercano a cero es e x. la situación inversa nos conduce a ln(x) = -.

45 6. Calcula el. Calculamos primero el límite lateral por la izquierda; en este caso tenemos que: Para el límite lateral por la derecha, se tiene que: = - = - = -. De donde puedes concluir que el límite no existe. = = =. 7. Calcula, si es que existe. Estos casos también son muy comunes y la recomendación es hacer la división entre los dos polinomios para escribir = 3x + ; nota que cuando x tiende a infinito, el primer término tiende a pero el segundo a 0 y, por tanto, =. Lo interesante de este ejemplo es que el comportamiento asintótico de la función cuando x tiende a, es acercarse a la recta y = 3x. 8. Calcula el. Las funciones exponencial y logarítmica son crecientes y si N es un número positivo arbitrariamente grande, sabemos que manera que =. y, para todo x > lnn, de tal La derivada 1. Un vehículo se mueve de acuerdo a la función de posición x(t) = t 2 + 4t + 3

46 Determina la velocidad media en el intervalo de tiempo (1, 3), y la velocidad instantánea en el tiempo t = 1. La velocidad media en el intervalo (1, 3) se calcula usando v = = = 8 m/s. Para la velocidad instantánea usamos la definición v = = = = = = 6 m/s 2. Determina las derivadas de las funciones siguientes en los puntos indicados. Usa la definición de razón instantánea de cambio. a) f(x) = x 1/3 en a = 0. b) g(x) = en a = 3. c) F(x) = en a = 0. Directamente de la definición se tiene que: a) f (0) = = =. Es obvio que la derivada no existe, pero la recta tangente es vertical. b) g (3) = = Aplicamos la definición = Multiplicamos y dividimos por el conjugado = Simplificamos = = = Calculamos el límite c) F (0) = Usamos la definición = Simplificamos = Desarrollamos