Academia PITÁGORAS. Academia PITÁGORAS

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1 MATEMÁTICA 0. Sean las clases de equivalencia de números racionales: a b, m n y r s Dadas las siguientes proposiciones: a m I. Si = Φ, entonces an= bm b n a m II. Si Φ, entonces b n n b ' m a a m r III. Si + =, entonces b n s an%bm bn 0 r s Cuáles son correctas? A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) II y III E) I y III 0. Halle el menor valor de a + n, donde a, n, M 0 ù tales que (a)9(a)9... (a) '59 M ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ ÆÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÇ n cifras n cifras ù es el conjunto de los números naturales. A) B) C) D) E) 5 0. Se tiene dos barras de oro, en la primera el 80% del peso total es oro y en la segunda el 75% de su peso es oro, siendo esta el cuádruple de la anterior. Si se mezclan, determine la pureza resultante de dicha mezcla. A) 0,755 B) 0,760 C) 0,765 D) 0,770 E) 0, En un total de 5 personas, 0 son hombres y 5 son mujeres, van a ser divididos al azar en cinco grupos con personas cada uno. Calcule la probabilidad que en cada uno de los cinco grupos siempre haya una mujer. A) 0,05 B) 0,06 C) 0,07 D) 0,08 E) 0, Señale la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. () = (5) Ð II. 0,5 = 0, (5) III. 0, () = 0, (5), donde a = 0. a Ð Ð A) FVF B) FVV C) VFF D) VVF E) VVV 06. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones I. Si a - b 0 ù y b 0 ù, entonces a 0 ù II. Si a - b 0 ù y a 0 ù, entonces b 0 ù III. Si a 0 ù, entonces a 0 ù ù es el conjunto de los números naturales. A) VFF B) VFV C) VVF D) VVV E) FVF 07. Sean P(x) = 9-x, Q(x) = ax - x + Determine el valor de "a" para que P(x).(Q(x)-) sea divisible por x- y satisfaga que la suma de los coeficientes de los términos del cociente sea -. A) B) C) D) E) Determine cuántos números de cifras que son divisibles por, tienen por suma de sus cifras igual a 5. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) Determine el conjunto de valores de K para que el siguiente sistema lineal en x e y admita al menos una solución. (K + )x + Ky = 5K - 9 (K + )x +(K-)y = K + A) <-, -> c <, > B) <-, -> c <-, > c <, > C) <-, -> c <-, > D) <-, > c <, > c <, > E) <-, > c <, > 0. Indique la secuencia correcta después Respecto al sistema de ecuaciones lineales en x, y, ( - λ)x + y = c x - λy = c x - y = ( + λ)c I. Si λ = - el sistema tiene solución para todo c 0 ú. II. Si λ = 0 el sistema no tiene solución. III. Si λ = el sistema tiene solución única para cada valor real de c. A) VVV B) VFV C) VFF D) FVF E) VVF. En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 5 unidades de una sustancia A y 0 unidades de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo M con una composición de unidad A y 5 unidades de B, y el tipo N con una composición de 5 unidades de A y de B. El precio del tipo M es de 000 soles y el del tipo N es de 000 soles. El dueño de la granja quiere saber qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un costo mínimo. Si x : núm ero de uni dades del compuesto M que se compran y : núm ero de unidades del compuesto N que se compran Modele el problema que responda a la inquietud del dueño de la granja. A) mín ( 000 x y) sujeto a x + 5 y # 5 5 x + y # 0 x $ 0, y $0 B) mín ( 000 x y) sujeto a x + 5 y $ 5 5 x + y # 0 x $ 0, y $ 0 C) mín ( 000 x y) sujeto a x + 5 y $ 5 5 x + y $ 0 x $ 0, y $ 0 D) mín( 000 x y) sujeto a x + 5 y $ 0 5 x + y $ 5 x $0, y $ 0 E) mín ( 000 x y) sujeto a x + 5 y $ 5 5 x + y $ 0 x $ 0, y $ 0. Sea x% & x% M' x0ú x& & x% $ 0 Cuántos números enteros hay en M C? A) 0 B) C) D) E)

2 . La ecuación cuadrática x +bx+c = 0 tiene como conjunto solución { -, + }, es el discriminante de la ecuación. Determine la suma de sus raíces. A) B) C) 6 D) 8 E). El mayor rango de la función x &8x %5 es: x &5 A) [-, > \ { 5; - 5} B) [-, > C) [-, > \ {} D) [-, > \ {} E) [-, > \ {} 5. Considere la siguiente función f: [0; 6]! [-; ] cuya gráfica se muestra a continuación: Indique la secuencia correcta después I. f es biyectiva. II. f(x) -f(x) > 0 para todo x 0 [0, 6]. III. g(x) = f(x) + f(x) es inyectiva. A) VVV B) VVF C) VFF D) FFV E) FFF 6. Dado xyz =, calcule E' (xy%z) %(x y &z ) %(xy&z) (xy%z) 6 &(xy&z) 6 A) B) C) D) E) 7. Indique la secuencia correcta después I. La función f(x) = x + -x es monótona. II. La función g(x) = x - -x posee en algún x 0 0 ú su valor mínimo. III. La función h(x) = x - -x es una función impar A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FFF 8. Indique la secuencia correcta después Sea A una matriz cuadrada de orden n e I la matriz identidad del mismo orden. I. Si A - ki = 0, k número real, entonces A T - ki = 0 II. Si A = I - A, entonces A = 0 III. Si B = (-) n+ A A n, entonces B = A n A) VVV B) VFV C) VVF D) FFV E) VFF 9. Indique la secuencia correcta después Sea la matriz 0 A' I. det(a n ) = n para todo n 0 ù 0 n II. A n = 0 0 para todo n 0 ù 0 0 III. Si B es la matriz inversa de A n, entonces det (B n ) = -n para todo n 0 ù. A) VVV B) VFV C) FVV D) FVF E) FFF 0. Indique la secuencia correcta después I. Si a los términos de una progresión aritmética se le aumenta un valor constante, entonces se forma una progresión aritmética con la misma razón. II. Si la progresión tiene una cantidad par de términos, la suma de los términos extremos de una progresión aritmética (primero y último) es igual a la suma de los términos centrales. III. Si a los términos de una progresión aritmética se le multiplica por el valor constante, entonces se forma una progresión aritmética con la misma razón. A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) VFF. Se tiene un tronco de cilindro circular recto con AB = 8 cm como diámetro de la base y generatrices AC > cm y BD = cm. La bisectriz del ángulo ACD corta a AD en E de tal forma que AE = 9 68 Si AC + CD = 8 cm, halle volumen (cm ) del tronco de cilindro. A) 60π B) 70π C) 80π D) 90π E) 00π. Se tiene conos rectos de la misma altura h y bases del mismo radio R. Si el vértice de cada cono está en el centro de la base del otro cono, el volumen común (en u ) a los conos es: πr A) h πr B) h C) 6 πr D) h E) πr h πr h 8. Se tienen dos esferas concéntricas, se traza un plano secante a la esfera mayor y tangente a la esfera menor, determinando un círculo de área 6π m. Calcule el área, en m, del casquete menor formado en la esfera mayor sabiendo que el radio de la esfera menor es m. A) 6π B) 8π C) 0π D) π E) π. Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F), según el orden dado: I. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan entonces e l c u a d r i l á t e r o e s u n paralelogramo. II. Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares y c ongruentes entonces el cuadrilátero es un cuadrado. III. Si las diagonales de un trapecio son congruentes entonces el trapecio es isósceles. A) VVF B) VFF C) VFV D) FVF E) VVV 5. Sean ABCD un cuadrado y AEF un triángulo equilátero, ambos inscritos

3 en la misma circunferencia, de modo que AF y CD se intersecan en el punto I. ID = cm, halle el radio de la circunferencia (en cm). A) - 6 B) + 6 C) + 6 D) + 6 E) En la figura mostrada, determine PO (en cm), tal que PC es la bisectriz interior en el triángulo BPN, mëbno=mërop, AP= cm y ON= cm. 8. En una circunferencia dos cuerdas paralelas miden cm y 6 cm, si la distancia entre ellas es cm, calcule el radio (en cm) de dicha circunferencia. A) B) 0 C) D) E) 9. Un cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia tiene por lados AB=7a cm, BC=5a cm, CD = 0a cm y AD = a cm, si M y N son puntos medios de las diagonales AC y BD respectivamente, MN = 5 cm. Calcule el perímetro del cuadrilátero ABCD (en cm).. En el exterior de un poliedro convexo se toma un punto, el cual se une con los vértices de la cara más próxima; este nuevo poliedro posee 6 aristas, su número de vértices es igual al número de caras, y el número de aristas excede en a las del poliedro inicial. Determine el número de caras del poliedro inicial. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9. Sea ABCD un cuadrilátero con AB= cm, BC = cm, CD = cm y AD = 5 cm. %6Cos(B) Calcule el valor de E =. 5Cos(D) uno y los tres quintos del número de grados centesimales del otro es 0. Además son complementarios. A) π B) π C) π π π D) E) En la circunferencia trigonométrica del Ò gráfico mostrado si AM = θ, calcule la ordenada del punto P. A) 0 B) C) 5 D) 0 E) A) B) / C) D) 5/ E) A) B) C) 6 D) 8 E) 0 7. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se ubican los puntos M y N, puntos medios de los lados AB y BC respectivamente. En AC se ubican los puntos R y H de modo que R 0 AH. Sabiendo que el área de la región formada por el cuadrilátero RMNH es la mitad del área formada por la región triangular ABC. Calcule RH MN A) 0,5 B) 0,50 C) 0,75 D) E),5 0. En un ángulo triedro isósceles una cara es recta y la medida del ángulo entre dicha cara y la arista opuesta es 5. Calcule la medida de una de las caras congruentes. A) 0 B) 5 C) 60 D) ArcTan E) ArcCos. Desde un punto O fuera del plano de un triángulo ABC, cuyo perímetro es p, se proyecta dicho triángulo ABC sobre un plano Q paralelo al plano del triángulo. Si A'B'C' es el triángulo proyectado y AA' = AO, entonces el perímetro del triángulo A'B'C' es: p A) B) p C) p D) p E) p. Dado el punto P = (-, ), determine las nuevas coordenadas del punto luego que los ejes coordenados giran un ángulo de 0 en sentido antihorario. A) (&, ) B) (&, 5 ) C) (&, 7 ) D) (& ), 5 E) (& ), & 5. Dados dos ángulos, calcule la medida del menor ángulo en radianes, si la diferencia de los cuatro tercios del número de grados sexagesimales de Tan(θ) A) B) Tan(θ)& Cos(θ) C) D) Cos(θ)& Sen(θ) E) Sen(θ)& 7. Si el ángulo θ satisface: Tan(θ) &Tan(θ) Cos(θ) &Cos(θ) Sen(θ)=-Sen (θ), calcule M=Csc (θ) - Tan (θ) A) B) C) D) E) 5 5 6

4 8. Determine el conjunto solución de: + > 0 para Tan(θ)& Tan(θ)&6 θ 0 & π, π A) ArcTan() < θ < π B) ArcTan() < θ < ArcTan() ArcTan 6 < θ < π C) ArcTan() < θ < ArcTan(6) D) ArcTan() < θ < ArcTan() ArcTan(6) < θ < π E) ArcTan(6) < θ < π 9. La distribución diaria (en horas) de luz solar durante el año en Lima está dada por la función π f(t) = Sen +, 0 # t < (t&5) donde t es el número de días trascurridos desde el inicio del año. Determine en qué fecha del año se tiene la menor cantidad de luz. A) 9 de nov B) 7 de nov C) de nov D) 0 de nov E) 5 de nov 0. Resuelva la siguiente inecuación: x Cos(x) + $ 0 π A) x 0 & π, % B) x 0 & π, % C) x 0 &, & π D) x 0 &, & π E) x 0 & 5π, % 0. I. Falso La igualdad an = bm se cumple cuando la intersección es diferente de vacío No siempre se cumple. 0. Ejemplo: 5 ' 0 0 III. Verdadero an%bm bn 0, entonces: 0 5 'Φ a b % m n ' r s ' a b % m n 0 r s [(a)9.(0 n& )%(a)9.(0 n& )%...%(a)9].0 n ' 59.M RESOLUCIÓN (a)9.[0 n& %0 n& %...%0 ].0 n ' 59.M &.0 n ' 7.7.M n = M M 0 ù ˆ a + n = 0. Totales: 00K y 00K era da Au 80K 00K Otro 0K 00K Total 00K 00K Ley resultante = 80K 500K ' 0,760 0 hombres 0. 5 personas 5 mujeres i. Total: formar 5 grupos de personas cada uno. C 5.C.C 9.C 6.C ii. Favorables: En cada grupo siempre debe haber una mujer (y hombres) 00 (a)9. n &. 0 n ' 7.7.M 99 Siendo: n y a mínimos Si n = y a = Operando y reemplazando: P(A). 0,08 7 8

5 05. I. Verdadero = 5 = II. Verdadero Ð 0,5 = 0, 5 = III. Verdadero: a 0 ' Entonces a = Divisibilidad por : 0. I. Verdadero Si λ = - el sistema es: x%y'c! x = 0 v y = c x%y'c x - y = -c! satisface œ c 0 ú Si λ = 0 x%y'c x' c! x' c y'0 x - y = c! satisface œ c 0 ú. Tenemos: x% & x% $ 0 x& & x% Por propiedad: (x%) &(x%) $ 0 (x&) &(x%) (x%5)(&) $ 0 (x%)(&5) 06. I. Verdadero Si a - b 0 ù v b 0 ù! a - b = r, r 0 ù a = r + b 0ù 0ù! a 0 ù Si a - b 0 ù y a 0 ù Sea a = 8 y b = -! 8 - (-) = 0 0 ù Pero b = - ó ù I a 0 ù, para a = -5! a = 5 0 ù Pero a = -5 ó ù Rpta. E Rpta. A 07. Ya que P(x)(Q(x) - ) es divisible entre x -, debe existir un R(x) tal que: P(x)(Q(x) - ) / (x - ) Si x = i. a + c =, entonces: b = (No) ii. a + c =, entonces b = (Sí) Los valores de abc : 09.. Solución única: K% K% K K& Y K v K -. Infinitas soluciones: Y K 0 ú - {-} I Si λ = y'c x&y'c c! x = v y = c c x - y = c! - c = c Solo satisface si c = 0. x: # de unidades del compuesto M y: # de unidades del compuesto N # unidades A: x + 5y $ 5 # unidades B: 5x + y $ 0 Costo total: 000 x y (Minimizar) M C = & 5 ; & - 0 M C ˆ Número de enteros =. x + bx + c = 0 C.S. = { -; +} Reconstruyendo la ecuación: x - x + - = 0 Aquí: = (- ) - ()( -) = Reemplazando: x - 8x + 5 = 0 ˆ Suma de raíces = 8. f(x) = x &8x %5 x &5 Dominio: x x ± 5 Rango: tenemos: 9 0

6 f(x) = f(x) = x - Construyendo: œ x 0 ú - {± 5} x $ 0 v x 5 x - $ - v x - ˆ Ran(f) = [-; +[ - {} 5. f: [0; 6]! [-; ] 6. xy+z=a xy-z=b! ab=x y -z a E = %a b %b = a 6 &b 6 E = = = (a%b)(a&b) (xy)(z) xyz = = (/) I h(x) h(-x) Rpta. E 8. I. Verdadero Sabemos: M = M T A - ki = (A - ki) T A-kI = A T - ki T A-kI = A T - ki A = I - A A + A = I A(A + I ) = I A es inversible A 0 Tomando determinante: det(a n ) =.. = II. Verdadero I B = B n = 0. I. Verdadero I. Verdadero Del gráfico: Por el test de la recta horizontal vemos que f es inyectiva. Ran(f) = [-; ] Por lo tanto f es biyectiva. Si x = 0 tenemos: f(0) - f(0) = - = 0 I Si x = λ (del gráfico λ 6) g(λ) = f(λ) + f(λ) = 0 si x = 6 g(6) = f(6) + f(6) = 0 7. I. Falso Graficando: œ x 0 ú - : f(x) es decrec. œ x 0 ú % 0 : f(x) es crec. No es monótona Gráficamente: III. Verdadero B = (-) n+ A A n ÆÉÉÈÉÉÇ escalar B = ((-) n+ A ) n A n ÆÈÇ B = (-) (n+)(n) A n A n ÆÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÇ B = (-) (n+)(n) A n = A n ÆÉÉÉÉÈÉÉÉÇ 9. Tenemos: A = I. Falso Por propiedad: 0 n Sea la P.A. Aumentando un valor constante a cada término. Entonces forma una P.A. con la misma razón. II. Verdadero Porque la suma de términos equidistantes es igual a la suma de extremos. (Primero y último) I Sea la P.A. La función no tiene mínimo. A n = 0 0, siendo n 0 ù 0 0

7 A cada término de la P.A. se le multiplica por una constante igual a. t Nos piden: V tronco = π() 8%. ˆ V tronco = 80π Notamos que la razón es diferente.. Datos: Radio: R Altura: h Nos piden: Volumen común: V x Área de la sección: S = πr = 6π ˆ r = En OMB: (; ; 5) R = 5 ˆ PM = h = Sea AC = BD y ACzBD ABCD: No es necesariamente un cuadrado. III. Verdadero En el trapecio isósceles las diagonales son congruentes. Datos: AC > ; BD = ; a + b = 8 t ABD: (AD) = + 8 A = 68 Se observa: ED = AD - AE Área del casquete: S x = π Rh S x = π. 5. ˆ S x = 0π 5. ED = t ACD: a b ' ! a = K; b = 5K V x = V (O - MN) V x = ˆ V x = πr h. I. Verdadero En los paralelogramos las diagonales se bisecan t Del dato: a + b = 8 K + 5K = 8 K =! a = 8; b = 0

8 En AID: 7. Igualando: x ' x& Resolviendo: x = 6 Del gráfico: Por Nagel: ( )( 5) = ()(R) ˆ R = 0 0. Datos: mëboc = 90 mëmoa = 5 OM es bisectriz calcular mëaob 9. R = + ˆ R = Datos: PA = ; ON = Nos piden PO =? Por propiedad de la bisectriz: PA = PL = ˆ LO = (x-) Teorema de Tales: RO// CN: PR = RC RL // CO: PR = RC x x& 8. ABC: MN // AC! RMNH: Trapecio Dato: S RMNH = S ABC Simplificando: x = y x ˆ = y Teorema de Ptolomeo: (BD)(AC) = (7a)(0a) + (a)(5a) BD (7a)(a)%(5a)(0a) = AC (7a)(5a)%(a)(0a) Resolviendo: BD = 5a; AC = 0a Se observa: mëabc = mëadc = 90 y M es centro de la circunferencia MN z BD MND: (5) + (0a) = Nos piden: a = Perímetro (ABCD) = 66a ˆ Perímetro (ABCD) = 5a Triedro isósceles mëbom = mëmoc = 5 ADM(5) : OD = DM = ˆ OM = OMA(5): OM = MA = ˆ OA = ODA: Cat. = hipo. ˆ x = 60. Datos: OA = AA0 Per(ABC) = p Nos piden: Per.(A0B0C0) =? 5 6

9 . P(-; ) v θ g = 0 x0 = xcosθ + ysenθ y0 = ycosθ - xsenθ! x0 = Y x0 = - y0 =. - (-). Y y0 = 5 6. ˆ P0 & ; 5 Se determinan pirámides semejantes. Per.(ABC) Per.(A0B0C0) ' a a p Per.(A0B0C0) ' ˆ Per.(A0B0C0) = p. t La diferencia en el número de aristas indica que se han trazado segmentos, es decir, la cara más próxima es un cuadrilátero. Luego en donde había una cara, se ha construido cuatro, quiere decir que aumentaron tres caras. ˆ C = x = 9 - = 6 5. Dato: S - C = 0 5 S - (00 - C ) = 0 5 PQO ~ MNO y &Senθ = &y Cosθ Tanθ ˆ y = Tanθ& 7. Senθ = Cos θ Tanθ = Cosθ Al - : Cotθ = Secθ Al : Cot θ = Sec θ Csc θ- = +Tan θ Csc θ - Tan θ = Rpta. A. t Poliedro inicial: A = (Convexo) C = x t Poliedro final: A = 6 V = C C + V = 6 + (Euler)! C = V = 9 Por el teorema de cosenos: ABC y ACD d = + -..CosB = CosD 5 - CosB = 9-0CosD 0CosD = + CosB 5CosD = + 6CosB Calcular: E = %6CosB 5CosD Reemplazando: ˆ E = Rpta. A S % C 5 ' 80 (9K) + (0K) = 80 5 K = 0 9 Y S = 0 v S = 50 ˆ R = π > 0 Tanθ& Tanθ&6 5Tanθ&0 (Tanθ&)(Tanθ&6) > 0 (Tanθ&) (Tanθ&)(Tanθ&6) > 0 7 8

10 < Tanθ < c 6 < Tanθ Reemplazando: P(x; 0) π 0 = Sen + 65 (t&5) - = Sen π 65 (t&5) ÆÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÇ π Primer ángulo que cumple con la condición. Evaluando: t = 8 Fecha: En x = Nov Fecha de menor cantidad de horas ArcTan<θ<ArcTan c ArcTan6<θ< π 9. Distribución diaria (horas) 0. Resolver: x Cos(x) + $ 0 π Cos(x) $ - x π Graficando: π f(t) = Sen +; 0 # t < (t&5) Donde: A =. D = Para la abscisa en el punto P(x; y) π x = - (único valor posible) Entonces: x 0 & π ;% Rpta. A 9