Tema10 Señales moduladas en Angulo

Transcripción

1 Tea10 Señales oduladas en Angulo

2 Modulación 2 Toda onda senoidal iene 2 paráeros principales: Apliud y Angulo. F() = A()cos[ ω + θ()] F() = A()cos φ() c Tano si se varia la frecuencia coo si se odifica la fase provocarán la odificación del ángulo. ω() v () y A() K () K = 1 θ = 2 FM θ() v () y A() = K ω() = K 1 2 PM

3 Modulación Angular -PM F() = A()cos ϕ() = Acos[ ωc+ θ()] SI: θ() v () y A= V = El odulador de PM logrará que: C ω ω C θ() = K v () = p PM [ rad] K p Es una consane, represena la sensibilidad del odulador de fase. Su diensión es: rad/volios, e indica cuanos radianes se corre la poradora por volio de señal oduladora. V C 3 3 El ángulo será: Y la señal odulada: La frecuencia angular: ϕ() = ω+ K v () c p vpm() = VC cos ωc+ Kpv() ϕ() ωc+ Kp v() ω() = = θ() V C Por lo ano: v () () ωi = ωc+ Kp ω= K p v ()

4 Modulación Angular- PM 4 SI: v () = V senω El odulador de PM logrará que: θ = K V senω Enonces: () p La señal odulada: La frecuencia angular: Por lo ano: ω() = ω + K V ω cosω c p θ() = K v () p θ = = K V áx p p ϕ ω K V senω () = c + p v () = V cos( ω + K V senω ) PM C c p ϕ() ωc+ Kp v() ω() = = K p es una consane y depende del circuio odulador. Su diensión es rad/volios ω() = K V ω cosω p ω = K V ω = ω áx p p

5 Modulación Angular- PM 5 SI: v () = V senω θ () El odulador de PM logrará que: [rad] θ = K V senω () p Kp V θ() = K v () p K p es la sensibilidad del odulador y su diensión es: rad/volios Una señal esá odulada en fase cuando: La desviación de fase de la señal odulada respeco a su valor sin odular es proporcional a la apliud de la señal oduladora

6 Modulación Angular- PM 6 El áxio valor que alcanza θ() es: θ = K V = [ θ ] áx p p = = áx p rad El índice de odulación p represena la áxia desviación de fase que puede darse a la función g PM ()y esá dado por el valor áxio de la apliud de la odulane por la consane k P El ángulo será enonces: ϕ ω K V senω () = c + p

7 Modulación Angular- PM La señal odulada: v () = V cos( ω+ K V senω ) PM C c p 7 v PM () Cuando la odulane va de un valor negaivo a uno posiivo, su derivada es posiiva, enonces la frecuencia es áxia. Cuando la odulane va de un valor posiivo a un valor negaivo su derivada es negaiva, enonces la frecuencia es ínia.

8 La frecuencia angular: Modulación Angular- PM 8 [ ω K v () ] ϕ() c + θ ω() = = Por lo ano: ω() = ω + K V ω cosω c p ω= K V ω cosω p ω = áx K V ω p f = K V f p cosω f = K V f áx p

9 Modulación Angular- PM v ( ) = V senω ϕ() = ω+ K v () c p θ = = K V áx p p ω() = ω + K V ω cosω c p ω = K V ω = ω áx p p vpm() = V cos( ω + senω ) C c p 9

10 Modulación Angular- PM Si se grafica θ en función de la frecuencia oduladora: 10 θ = K V = áx p p Todas las frecuencias se odulan igual Muy iporane!! θ Kp V Si se grafica ω en función de la frecuencia oduladora: ω = áx áx K V ω p f = K V f p f A ayor frecuencia de oduladora ayor variación de la frecuencia insanánea f f () = C+ fáx

11 Modulación Angular - FM 11 SI: SI: F() = A()cos ϕ() = A()cos[ ω + θ()] El odulador de FM logrará que: Coo: El ángulo: ω() v () y A= K θ= K Por lo ano: La señal odulada: 1 2 ω= 2π f Kω = ϕ() ω() = ϕ() = ( ωc+ Kω v() ) d ϕ() = ωc+ K ω v() d c FM ω() = ω + K v () O lo que es lo iso: f() = f + K v () K f es la sensibilidad del odulador y su diensión es: Hz/volios Así coo: c f π 2 Kf vfm() = VCcos( ωc+ Kω v() d c ω

12 Modulación de Frecuencia - FM 12 SI: v () = V cosω El odulador de FM logrará que: ω() = ωc+ Kω v() ω() = ω + K V cosω f() = fc+ Kf Vcosω c ω K f es la sensibilidad del odulador y su diensión es: Hz/volios

13 Modulación de Frecuencia- FM La frecuencia insanánea varía, respeco a su frecuencia cenral: ω= K V ω f = K V cosω cosω f 13 La áxia desviación será: ω = áx f = K V ω K V áx f Una señal esá odulada en frecuencia, cuando: La desviación de la frecuencia de la señal odulada respeco a su valor sin odular es direcaene proporcional a la apliud de la señal oduladora

14 Modulación de Frecuencia- FM El ángulo: ϕ() ( ω cosω ) = c+ KωV d KωV ϕ() = ωc+ senω ω El índice de odulación represena la áxia desviación de fase que puede darse a la función g FM () f θ K V ω = áx = = ω K V f f = rad f

15 Modulación de Frecuencia- FM 15 La señal odulada: K V vfm() = VCcos( ωc+ ω senω ) = VCcos( ωc+ fsenω ) ω

16 Modulación MODULACIÓN en Frecuencia EN ANGULO - FM 16 v ( ) = V cosω KωV ϕ() = ωc+ senω ω ω ( ) = K v ( ) ω vfm() = V cos( ω + senω ) C c f

17 Modulación Angular- FM Si se grafica f en función de la frecuencia oduladora: 17 f = K V áx f f Todas las frecuencias se desvian en igual valor K V f Si se grafica el índice de odulaciónen función de la frecuencia oduladora: f = θ = áx K V f f θ Los onos de ayor frecuencia se odulan enos

18 FM Modulación en Angulo- COMPARACION φ F() = A()cos φ() ω() v () y A= K θ= K ω() = ωc+ Kω v() ω() = ω + K V cosω c ω 1 2 f ϕ() áx = Kf V ω() = ϕ() = ( ωc+ KωVcosω ) d KωV ϕ() = ωc+ senω ω Kω V θ() = ω KωV vfm() = VCcos( ωc+ senω ) ω senω θ = áx f f PM F() = A()cos () F() = A()cos[ ω + θ()] θ() v () y A= K ω= K θ() = K v () p θ = K V senω () p () = c + p c 1 2 ϕ ω K V senω ϕ() ω() = ω() = ω + K V ω cosω f = K V f áx c p p θ = áx v () = V cos( ω+ K V senω ) PM C c p KpV 18 18

19 f K V f Modulación en Angulo- COMPARACION FM PM Kω V vfm() = VCcos( ωc+ senω ) vpm() = VCcos( ωc+ KpVsenω ) ω f = K V áx f f áx 19 f = K V f p θ f θáx = = f f θ Kp V θ = K V = áx p p

20 Funciones de Bessel 20 En general una señal FM generada a parir de una señal oduladora sinusoidal no es periódica v () = V cos( ω + senω ) FM C c f ( ) cos A+ B = cos A cos B sena senb vfm() = V C cos ωc.cos( f senω) senωcsen. ( f senω) v = V C J0( )cosωc+ J ( )[cos( ωc + ω) cos( ωc ω) ] + { 1 + J ( )[cos( ω + 2ω ) + cos( ω 2ω )] + 2 c c + J ( )[cos( ω + 3ω ) cos( ω 3ω )] + 3 c c + J4 ( )[cos( ωc + 4ω) + cos( ωc 4ω) ] +...}

21 Especro de una señal odulada en Angulo 21 El especro FM consise en una coponene poradora f c y en un núero infinio de bandas laerales ubicadas de fora siérica con respeco a f c a frecuencias f, 2f, 3f y así sucesivaene. Esa es una diferencia iporane con respeco a AM donde 1 ono genera solo 1 par de bandas laerales. Para el caso especial en el que sea enor que la unidad, solo los coeficienes J 0 () y J 1 () son significaivos, de odo que la señal FM (PM) esá forada por una poradora a f c y únicaene 1 par de bandas laerales a f c ± f. En ese caso se llaa FM (PM) de banda esrecha. En FM, la apliud de la poradora odulada varía con el índice de odulación de acuerdo con J 0 (). En AM, la apliud de la poradora no depende del índice de odulación.

22 Señales Moduladas en Angulo 22 Índice de Modulación FuncionesdeBesselparavaloresden=0an=15 = θ f Poradora Es el ódulo de la frecuencia cenral FUNCIÓN DE BESSEL ORDEN DE LA FUNCIÓN J0 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 J10 J11 J12 J13 J14 J15 0 1,00 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0,1 1,00 0,05 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Para ese índice de odulación la poradora se hace CERO! Desde J 1 Hasa J 15 represenan las bandas laerales 0,2 0,99 0,10 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0,25 0,98 0,12 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0,5 0,94 0,24 0,03 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0,75 0,86 0,35 0,07 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 0,77 0,44 0,11 0,02 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1,5 0,51 0,56 0,23 0,06 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 0,22 0,58 0,35 0,13 0,03 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2,4 0,00 0,52 0,43 0,20 0,06 0,02 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 3-0,26 0,34 0,49 0,31 0,13 0,04 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 4-0,40-0,07 0,36 0,43 0,28 0,13 0,05 0,02 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 5-0,18-0,33 0,05 0,36 0,39 0,26 0,13 0,05 0,02 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ A ayor índice de Modulación, ayor nuero de Bandas Laerales 6 0,15-0,28-0,24 0,11 0,36 0,36 0,25 0,13 0,06 0,02 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ 7 0,30 0,00-0,30-0,17 0,16 0,35 0,34 0,23 0,13 0,06 0,02 0,01 ~ ~ ~ ~ 8 0,17 0,23-0,11-0,29-0,11 0,19 0,34 0,32 0,22 0,13 0,06 0,03 0,01 ~ ~ ~ 9-0,09 0,25 0,14-0,18-0,27-0,06 0,20 0,33 0,31 0,21 0,12 0,06 0,03 0,01 ~ ~ 10-0,25 0,04 0,25 0,06-0,22-0,23-0,01 0,22 0,32 0,29 0,21 0,12 0,06 0,03 0,01 ~ 11-0,17-0,18 0,14 0,23-0,02-0,24-0,20 0,02 0,22 0,31 0,28 0,20 0,12 0,06 0,03 0, ,05-0,22-0,08 0,20 0,18-0,07-0,24-0,17 0,05 0,23 0,30 0,27 0,20 0,12 0,07 0, ,21-0,07-0,22 0,00 0,22 0,13-0,12-0,24-0,14 0,07 0,23 0,29 0,26 0,19 0,12 0, ,17 0,13-0,15-0,18 0,08 0,22 0,08-0,15-0,23-0,11 0,09 0,24 0,29 0,25 0,19 0, ,01 0,21 0,04-0,19-0,12 0,13 0,21 0,03-0,17-0,22-0,09 0,10 0,24 0,28 0,25 0,18

23 Funciones de Bessel Jn( 0, x) Jn( 1, x) 0.5 Jn( 2, x) Jn( 3, x) 0.25 Jn( 4, x) Jn( 5, x) x

24 Funciones de Bessel 24 M J J J J J J J J M J J J J J J J J

25 Ejeplos de Especros de FM 25

26 Ancho de Banda de una señal de FM El ancho de banda de una señal odulada en frecuencia por una onda seno, es infinio AB= ya que iene un núero de bandas laerales infinio. Pero no odas las bandas laerales son significaivas. Según Bessel solo algunas bandas laerales ienen agniud significaivas y en consecuencia el ancho de banda se hace finio. Regla de Carson = 2( ) áx+ ( ) áx = 2 f + 1 AB f f AB f áx Nuero de bandas Laerales Significaivas Una banda laeral es significaiva si iene agniud igual ó ayor al 1 % de la agniud de la poradora no odulada J ( ) 0.01 n β Vc N = f

27 Poencia de una señal odulada en ángulo Cuando la señal esá sin odular la poencia que desarrolla la poradora sin odular sobre una carga R es: Cuando la señal es odulada en ángulo: v() = V { J ( )cos ω + J( )[cos( ω + ω ) cos( ω ω )] + C 0 c 1 c c + J ( )[cos( ω + 2 ω ) + cos( ω 2 ω )] J ( )[cos( ω + 3 ω ) cos( ω 3 ω )] J ( )[cos( ω + 4 ω ) + cos( ω 4 ω )] +...} 4 c c c c c c P CM P V0 V1 V2 V3 Vn = R 2R 2R 2R 2R C 2 Vc = 2R La poencia, que desarrollará, será la sua de los apores de las n bandas laerales: Enonces: 27 P CM J0( ) Vc J1( ) Vc J2( ) Vc J3( ) Vc Jn( ) Vc = R 2R 2R 2R 2R 2 Vc PCM = J + J + J + J + + J + 2R ( 0( ) 2 1( ) 2 2( ) 2 3( )... 2 n( )...)

28 Poencia de una señal odulada en ángulo 28 Por propiedades de las Funciones de Bessel de priera clase y argueno : Osea: Reeplazando: n= n= J ( ) + 2 J ( ) + 2 J ( ) + 2 J ( ) J ( ) +... = n P J 2 ( ) = 1 C n = 2 Vc 2R Enonces la poencia, que desarrollará una señal odulada en ángulo sobre una resisencia R es idénica a la que desarrolla la señal sin odular P CM J0( ) Vc J1( ) Vc J2( ) Vc J3( ) Vc Jn( ) Vc Vc = = = 2R 2R 2R 2R 2R 2R P C La explicación de esa propiedad es debido a que la envolvene de la señal odulada en ángulo es consane por lo que es de esperar que la poencia de la poradora y de la señal FM es la isa.

29 Inerpreacion fasorial de una señal de FM 29 vfm() = V cos( ω + senω ) C c f ω() = ω + K V cosω f ω= c ω K V ω f = K V K V cosω cosω f K V ω f f = = = = ω f f θ ω θ c ω() v C() = ωω = K+ VKVcos( Vcos ωcos ω) ω ω c C ω ω c ω Suponga una señal con 3 pares de BL: v= V { J cosω + C 0 c J 3 V c + J [ 1 sen ( ω ) ( )] c+ ω + sen ωc ω + + J [cos( ω + 2 ω ) + cos( ω 2 ω )] + 2 c c + J [ ( 3 ) ( 3 )] 3 sen ωc+ ω + sen ωc ω + ω C ω J 0 V c V c ω ω 2 ω ω 2 c J 2 V c J 1 V c 3 ω

30 Ejeplos de Señales Moduladas en Angulo 30 Modulador de fase f c =10 MHz v ()en figura 2 V v () [V] θ Máx =90. 0,1s Calcular y Dibujar: k p p,θ y f 1s v ()=2cos6280.

31 Ejeplos de Señales Moduladas en Angulo 31 Modulador de fase f c =10MHz 2 V v () [V] v ()enfigura θ Máx =45. Calcular y Dibujar: k p p,θ y f π/4 θ() v ()=2cos s 0,1s θ () = K v () = p [ rad] f f áx f = 1 v() Kp 2π f c f ín

32 Ejeplos de Señales Moduladas en Angulo 32 Modulador de fase v () v ()=2cos6280. f áx f θ() 1s f c f ín π/4

33 Modulación de FM Usando Modulador de PM 33 v () = Acos[ ω + K v ()] PM c p v () = Acos[ ω + K v () d] FM c ω 0 v () Inegrador + - Señal oduladora v () Modulador PM + - v c () v FM () Señal odulada en frecuencia v () R C v () Inegrador

34 Influencia del Ruido en las señales Moduladas en Angulo 34. Suponga V c =1V y frecuencia ω c. La señal de ruido que inerfiere iene una apliud V N y una frecuencia angular ω N con ω N =ω c +ω d Enonces: gθ Si se cuple que 1>> V d VN senωd VN senωd = = V + V cosω 1+ V cosω C N d N d N cosω Para θ pequeño: gθd θd d Enonces: θ gθ = V senω d N d = V senω d N d El ángulo será: ϕ () = ω + V senω d c N d

35 Influencia del Ruido en las señales Moduladas en Angulo 35 Y la frecuencia: La desviación de frecuencia producida por el ruido: ϕ( ) ω() = = ωc+ VNωdcosωd d ω = V ω cosω d N d d La relación Señal/Ruido en el deodulador es : S N ω = V ω f = V f Los deoduladores de FM generan una ensión de salida que es proporcional a la f, y es igual a la diferencia enre la frecuencia de la poradora y la frecuencia de la señal de inerferencia. Por eso, los coponenes de ruido de ala frecuencia producen ás ruido al ser deodulado, que los coponenes de baja frecuencia. ω ω S = = dáx N d dáx N d Las frecuencias de ruido que producen coponenes en el exreo alo del especro de frecuencias de señal oduladora producen ás desviación de frecuencia, para la isa desviación de fase, que las frecuencias que esán en el exreo bajo. N KωV V ω N d

36 Influencia del Ruido en las señales Moduladas en Angulo 1) El ruido en las frecuencias ás alas de señal oduladora iene, en fora inherene, ayor apliud que en las frecuencias ás bajas. O sea, que el ruido afeca, ás a los onos alos que a los onos bajos ωdáx = VNωd fdáx = VN fd Muy iporane!! 2) Por ello, para señales oduladoras con nivel unifore apliud (respuesa plana), se produce una relación no unifore de señal /ruido, y las frecuencias ás alas de señal oduladora ienen enor relación de señal/ ruido que las frecuencias ás bajas. Para copensar eso, las señales oduladoras se enfaizan o refuerzan en apliud, en el ransisor, anes de hacer la odulación. Para copensar ese refuerzo, se aenúan, o desenfaizanlas señales de ala frecuencia en el recepor, después de hacer la deodulación. 36 En esencia, la red de preénfasis perie que las señales oduladoras de ala frecuencia odulen a la poradora a un grado ayor y así causen ayor desviación de frecuencia que la que producirían sus apliudes originales.

37 Influencia del Ruido en las señales Moduladas en Angulo 37 Una red de preénfasisproporciona un aueno consane de apliud de la señal oduladora con el aueno de la frecuencia oduladora Una red de deénfasisproporciona una disinución consane de apliud de la señal oduladora con el aueno de la frecuencia oduladora fc = 1 1 2,12KHz 2π 75µ s = 2πRC = En FM, se logra aproxiadaene una ejora de 12 db en cuano a desepeño conra ruido, cuando se usa preénfasis y deénfasis.

38 Influencia del Ruido en las señales Moduladas en Angulo 38 Una red de preénfasis es un filro pasaalos, es decir, un diferenciador. Una red de deénfasises un filro pasabajos, o sea un inegrador. L τ C = RC= = 75µ s R fc = 1 2πRC = 2,12KHz La frecuencia de core se deerina con la consane de iepo RC o L/R de la red. Para la banda coercial de FM, se usa una consane de iepo de 75µs. Por consiguiene, la frecuencia aproxiada de core es 2,12 KHz

39 Muliplicador X2 Objeivo: Obener a la salida una señal cuya frecuencia sea doble de la frecuencia de enrada v() = Vcosω i 1 1 Lacorrienedesalidaioes: bv Reeplazando: i () = avcosω + bv cos ω O b 2 cos ω 1 = V1 (1+ cos2ω ) 2 io ( ) = Io + avi( ) + bvi( ) + cv 3 i Apliud Frecuencia av 1 f 1 ½ bv 2 1 2f 1 39 ( ) La carga es un circuio sinonizadoa2f 1

40 Recuerde: Muliplicadores: Repaso Un uliplicador es un aplificador no lineal (polarizado en zona cuadráica o cubica) cargado con un circuio sinonizado al valor de una arónica, Así si se sinoniza 3 arónica es un riplicador. Solo se usan duplicadores y riplicadores f () = f + K V cosω = f + cosω FM c f c f 40 = + f = ( f + f ) f() fc f 2 () 2 C

41 Mezcladores: Repaso Enonces: Al pasar una señal de FM a ravés de un uliplicador de frecuencias, se uliplica n veces la frecuencia de la poradora, se efecúa abién una uliplicación por n de la desviación. Debe hacerse la diferenciación enre ezclador y uliplicador 41 f() = fc + f f() = OL OL ( C ) ( ) f + f + f f f + f C