Métodos de Suavizado (smoothing)

Transcripción

1 Méodos de Suavizado (soohing)

2 Méodo LSP (leas squares polynoial) Méodo propueso en 964 por Savissky y Golay basado en una aproxiación polinóica ediane un crierio de ínios cuadrados. Soohing and Differeniaion of daa by siplified leas squares procedures ; A. Savizky, M.J.E. Golay, Analyical Cheisry 36, 67 (964). Coens on soohing and differeniaion of daa by siplified leas square procedure ; J. Seiner, Y. Teronia, J. Delour, Analyical Cheisry 44, 906 (97). Dealles aeáicos : Inroducion o nuerical analysis. F.B. Hildebrand, nd ediion, Dover Publicaions (987). Se usa para el suavizado de daos experienales (filrar ruido) y para calcular derivadas de orden superior. Suavizado: reover el ruido de la señal (especro XPS) pero sin degradar la inforación conenida en la isa (inensidad, anchura, fora del especro). Mejora de la relación señal/ruido.

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4 Es un procediieno de convolución: y () f ( ) * h( ) En el éodo LSP, la función de convolución h() represena un ajuse polinoial de grado n ediane un crierio de ínios cuadrados uilizando + punos ( a la derecha y a la izquierda del puno que quereos suavizar ). El puno original f(0) se susiuye por el puno suavizado y(0): C f ( ) y ( 0) NORM y(0) : es el puno suavizado, que corresponde al cenro de un inervalo con un núero ipar de punos, P = +. f() : punos experienales en el inervalo definido por los P punos. C : núeros eneros epleados en la convolución. NORM : facor de noralización. Por ejeplo, en el oving average, C = y NORM=P.

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6 Para una aproxiación eficiene según un crierio de ínios cuadrados en un inervalo discreo de + punos equiespaciados se uiliza una failia de polinoios orogonales en dicho inervalo. Esos polinoios se conocen coo polinoios de Gra, P r (,), donde r es el grado del polinoio. P (,) P (,) 0 i j (condición de orogonalidad) i j El conjuno de punos a ajusar es f() ( ). El conjuno aproxiado (suavizado) es y(u) ( u ). La aproxiación polinóica de grado n en el senido de ínios cuadrados es: y( u) n a r0 r P ( u,) r a0 P0 ( u,) a P ( u, ) P ( u,)... a donde: a r f ( ) P r (,) r ( r )!( y r Pr (,) (r )(!) r)!

7 Los polinoios de Gra ás iporanes oan la siguiene fora: 3) ) ) )( )( )( ( 30 (5 3) 35( 63 ), ( 3) )( )( ( )( ( 3 5) 6 5(6 35 ), ( ) )( ( ) 3 (3 5 ), ( ) ( ) ( 3 ), ( ), ( ), ( P P P P P P

8 Por ejeplo para n=0: y u) a P ( u,) ( n0 0 0 f ( ) El valor suavizado en cualquier puno del inervalo no es ás que el proedio de odos los punos en el inervalo ( oving average ). Para n=: y( u) n y( u) n0 a P ( u,) ( ( ) 3u) ( )( ) f ( ) Para n=: y( u) y( u) n a P ( u, n ) 5(3 ( )) u ( )( 3) u NORM ( )(3( ) 5 ) f ( ) siendo NORM (4 )( 3)( ) 3 Esas fórulas son válidas para calcular y(u) ( u ). Uiles para calcular los valores suavizados de los punos iniciales y punos finales de un especro.

9 Para el puno edio del inervalo, u=0, (es la aproxiación ás habiual) las expresiones aneriores se siplifican a las cenral poin soohing : n=0,: Para n=,3: Para n=4,5: y(0) n4,5 y( 0) n, a0 P0 ( u,) y 0 ( 0) n, 3 ( f ( ) ( )(3( ) 5 NORM 35 siendo ) f ( ) (4 NORM 50 ) 35( NORM 4(4 siendo NORM )( 3)( ) 3 3) )( ) f ( ) 9)( 5) Esas fórulas causan la pérdida de punos al principio y al final de los daos. El valor suavizado en dichos punos se obiene con las fórulas ás generales, y(u). Observar que los polinoios de Gra ipares se hacen cero en u=0, al que: y(0) n = y(0) n+, con n par.

10 Tablas de Savisky y Golay (*Ojo en el rabajo original hay errores)

11 Esas aproxiaciones polinóicas se pueden uilizar para obener la derivada de los daos experienales. Por ejeplo: dy( u) n (0(3 ( )) u ( )( 3) f ( ) du NORM dy( 0) n ( )( 3) que para el puno cenral u=0 se reduce a du NORM f ( ) Para la derivada segunda: d y( u) n 0( 3 ( )) d u NORM f ( )

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14 Núero de punos a oar? f() (u.a.) Daos experienales n=; = n=; =3 n=; =6 n=; =8 n=; = n=; = (u.a.) 70

15 f() (u.a.) Daos experienales n=; = n=; =3 n=; =6 n=; =8 n=; = n=; = (u.a.)

16 El uso inadecuado de un filro LSP puede conducir a la pérdida de inforación: - Pérdida de esrucuras débiles en un especro. - Pérdida de resolución especral. - Inroducción de esrucuras arificiales en las colas de los picos. LSP soohing es un are : El grado de suavizado auena con el núero de punos. El grado de suavizado disinuye al auenar el grado n del polinoio. La relación señal/ruido ejora de fora propocional a en cada operación de suavizado (la operación de suavizado se puede repeir varias veces). La elección ópia de es aquella que conduce al ejor suavizado y a la enor disorsión del especro. Crierio: elegir el inervalo de suavizado (+) en el rango enre de la fwh del pico a suavizar. Con ese crierio se ha observado que la relación señal/ruido auena considerableene sin que se produzca una disorsión acusada del especro.

17 PROPIEDADES DESEABLES DE UN MÉTODO DE SUAVIZADO (FILTRO): Dado un conjuno de N daos {x k } equiespaciados (por ejeplo los punos de un especro XPS), los valores suavizados, {y k } se pueden expresar coo: y k C xk, donde {C } son los coeficienes del filro; (k=+,, N--) (*) Los daos del principio y los del final no se podrían suavizar. El n o oal de coeficienes del filro (+) se conoce coo anchura del filro. Las condiciones que deben cuplir los {C } para que consiuyan un filro son: () C y C. Asegura la conservación del área y un fondo consane en los daos. () Los coeficienes del filro deben ser siéricos en orno a C 0. Eso es C = C. Evia un cabio de fase enre la señal anes y después de suavizar. (3) La secuencia de coeficienes debe cuplir que: C 0 > C > > C > 0. Evia oscilaciones indeseadas a abos lados del pico (wing effecs) en la señal suavizada. La condición (3) no la cuplen los filros LSP, ya que C = C < 0.

18 FOURIER ANALYSIS - FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Una fora prácica de esudiar las propiedades de un éodo de suavizado (filro) esá basada en el uso de lo que se conoce coo función de ransferencia H(), que no es ás que la ransforada de Fourier de la secuencia {C }. Los coeficienes {C } definen la función de convolución h(). y( ) x( ) * h( ) y C x Y ( ) X ( ) H ( ) k k X() e Y() son las ransforadas de Fourier de x() e y(), respecivaene. Es ás cóodo suavizar (filrar) una señal en el doinio de frecuencias ya que no hay que hacer una convolución, sino an sólo un produco puno a puno. La ransforada de Fourier inversa de Y (), perie obener los daos suavizados y(). Doinio de iepos suavizado (soohing) y( ) x( ) * h( ) Doinio de frecuencias filrado Y ( ) X ( ) H ( )

19 Definiciones: Periodo de uesreo, T : inervalo enre dos punos consecuivos. Frecuencia de uesreo, f s =/T Teorea de Nyquis o eorea del uesreo: Una señal x() sólo puede ser consruida a parir de sus uesras x k (kt) si la frecuencia de uesreo f s =/T es ayor o igual que el doble de la ayor frecuencia, f c, presene en la señal. La frecuencia f c recibe el nobre de frecuencia de core. Frecuencia de Nyquis, f N =f s / = T : es la áxia frecuencia conenida en una señal uesreada con un periodo T.

20 Transforada de Fourier discrea (DFT): N i jk X j x k exp k0 N x k N N j 0 X j ijk exp N x k X j (k,j = 0,,, N) (Teneos N daos indexados de 0 a N) j = 0 f = 0 coponene conínua de la señal j N/ 0 < f = j/(nt) < f N frecuencias posiivas N/+ j N f N < f < 0 frecuencias negaivas j = N/ f = ±f N =/T frecuencia de Nyquis N j N/ X j =X Nj

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22 La función de ransferencia de una secuencia de coeficienes {C } viene dada por: () C C cos( ) H 0 Donde definios la variable frecuencia, f = j/(nt), y = f/f N = j/(n/) es la frecuencia noralizada. 0 j N/ (inervalo de Nyquis) 0 El valor j = 0 corresponde a f = 0 ( = 0). Los valores jn/ corresponden a las frecuencias posiivas 0 < f f N (0< ). (*) Frecuencias negaivas: Los valores N/ j N corresponden a las frecuencias negaivas f N f < 0, ( < 0); = (Nj)/(N/). Para consruir la función de ransferencia para frecuencias negaivas se hace uso de la siería de la isa en orno a j=n/. N j N/ H(j/(N/))= H((Nj)/(N/))

23 Ejeplo de funciones de ransferencia de filros LSP: n=, =: n=, =: n=3, =: n=3, =3: [,,] cos( ) C,0, H ( ) (0 ) 3 3 [,,,,] cos( ) cos() C,,0,, H ( ) 5 5 [ 3,,7,, 3] 7 4cos( ) 6cos() C,,0,, H ( ) [,3,6,7,6,3, ] C 3,,,0,,,3 7 cos( ) 6cos() 4cos(3) H ( )

24 Es deseable que H() enga un cero en =0, y H() enga un cero en =. Así iso, abién es deseable que 0 H(). Sin ebargo, para los filros LSP: - H(=)0. - Hay ceros de ransisión en valores de (ransission zeros). - Hay rangos de en los cuales H()<0. En esos rangos se produce un desfase de radianes (en vez de 0) enre la señal original y la suavizada (phase reversals). Ocurren siepre a frecuencias ayores que la frecuencia de core H( c ) = H ax ()/. - Algunos de los coeficienes C son negaivos. Eso produce undershoos y overshoos (wing effecs). Todos esos efecos (ransission zeros, phase reversals y overshoos) pueden conducir a severas disorsiones de la señal original durane el proceso de suavizado. Iporancia de elegir correcaene y n, o lo que es lo iso c. La aplicación repeida (p veces) de un filro LSP disinuye las pares negaivas en H () la función de ransferencia resulane. p

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26 En el filro binóico no ocurren ese ipo de probleas. FILTRO BINÓMICO Binoial soohing filer: a way o avoid soe pifalls of leas-squares polynoial soohing ; P. Marchand y L. Mare, Rev. Sci. Insru. 54, 034 (983). y k C xk ; (k=+,, N--) Los coeficienes C vienen dados por la fórula del binoio de Newon. =: C 4 ()! ( )!( )! 4 = 0,,, ; C - = C [,, ] p C,0, H ( ) cos (0 ) 4 siendo p el núero de veces que se aplica el filro con = (núero de suavizados) = C,,0,, [,4, 6,4,] 6 H ( ) 6 8cos( ) cos() 6

27 Ese filro produce enos efecos indeseables en el especro suavizado. Es decir H() es siepre posiiva y por lo ano no hay phase reversals Binóico = LSP n=; = LSP n=3; =

28 Cálculo: El filro binóico de (+) punos se calcula ás eficieneene aplicando veces un filro binóico de 3 punos (=). Cada filro binóico de res punos y k de una secuencia de N daos experienales equiespaciados, x k, se puede llevar a cabo ediane sólo (N) suas y divisiones por si se realiza en dos eapas. Es necesario inroducir una variable ineredia z k. Cada una de esas eapas es un filro de ipo [,]/. Priera eapa: k k k x x z x x z N N N x x z Segunda eapa: k k k z z y z z y N N N z z y y N x N x y Se ipone que los exreos esén fijos:

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