Semánticas de procesos y aplicaciones

Transcripción

1 Semánticas de procesos y aplicaciones Clase 09: Manipulación básica de procesos, parte 2 Qué vimos Definición precisa de lo que es que una derivación en lógica ecuacional. Reglas de derivación. Axiomas como funciones lambda. Definición de prueba formal. Pruebas Lineales. Resultados del lado matemático y del lado del calculo lambda. Fórmulas lógicas (informalmente) Inducción en constructores de datos. Representación del operador usando aplicación en el contexto de funciones lambda. The sum elimination lemma: d:d d e X (d) = X (e)

2 Algunas preguntas: 1. Hacía donde vamos? Qué estamos buscando? 2. Qué conclusiones sacamos hasta el momento? Continuamos... Objetivo: aprender a manipular procesos para demostrar igualdad. Para esto vamos a ver:... Tres principios para demostrar igualdad entre procesos: 1. Inducción en tipos de datos. 2. Recursive Specification Principle (RSP). 3. Koomen s Fair Abstracction Rule. Técnica de expasión para procesos paralelos.

3 Operadores de procesos (process operators) Mapean procesos a procesos. Los denotamos con ψ, φ,... Ejemplo: Si ψ = λx : P.a X entonces ψ(a + b c) = a (a + b c) Esto también vale para procesos con parámetros. El siguiente ejemplo es un operador que mapea un proceso que toma un N a otro proceso que toma un N: ψ = λx : N P.λn : N.a X (n + 1) El tipo de ψ es (N P) (N P) Operadores de procesos y ecuaciones Si ψ es un operador de procesos, la ecuación asociada a ψ es X = ψ X Si X (d 1 : D 1,..., d n : D n ) = p es una ecuación, entonces su operador asociado es λx : D 1... D n, d 1 : D 1,..., d n : D n.p Ejemplo ψ está asociada a X = a X. ψ está asociada a X (n : N) = a X (n + 1 : N).

4 Alguna vez dijimos que los guarded recursive specification definian inequivocamente un proceso. Ahora vamos a formalizar esto. En una guarded recursive specification, en la especificación p del proceso X, toda variable de proceso está precedida por una acción. Luego tenemos este tipo de ecuaciones X = p. Guarded Variables

5 Recursive Specification Principle Para cualquier guarded recursive equation, i.e. una ecuación de la forma X = p donde X es guarded en p, hay a lo sumo un proceso que es solución de X. En término de operadores de procesos: Si ψ = λx : D P, d : D.p y X es guarded en p, entonces decimos que ψ es un guarded process operator y ψ tiene solamente un punto fijo. Luego, solo existe un proceso Y tal que Y = ψ Y. Recursive Specification Principle, para operadores y de forma compacta

6 Ejemplo/Ejercicio del RSP Sean X = a X Y = a a Y para demostrar que son iguales usando RSP, hay que encontrar primero un guarded process operator ψ tal que X e Y sean solución de Z = ψ Z Encuentre ψ y demuentre que X e Y son soluciones de la ecuación. Ejemplo para ver en el pizzarón Sean X (b : B) = a(b) X ( b) Y (n : N) = a(n 2 0) Y (n + 1) Demostremos que X (true) = Y (0)

7 Un buffer con exceso de información Supongamos que sólo nos interesan los mensajes que se leen en el canal 1 y escriben en el 2. Vale? (En un contexto de branching bisimulación) τ {deliver1,read 2 }(Buffer) = read 1.deliver 2.τ {deliver1,read 2 }(Buffer) Koomen s fair abstraction rule La respuesta es NO. Lo máximo que se puede demostrar es τ.τ {deliver1,read 2 }(Buffer) = τ.read 1.deliver 2.τ {deliver1,read 2 }(Buffer) usando Koomen s fair abstraction rule: Por qué se usa el término fair?

8 Ejercicios Koomen s fair abstraction rule: 1. Use la regla para demostrar: τ.τ {deliver1,read 2 }(Buffer) = τ.read 1.deliver 2.τ {deliver1,read 2 }(Buffer) 2. Cómo puede interpresarse el τ al principio de cada término? 3. Sea X = cara.x + cruz. Demuestre τ.τ {cara} (X ) = τ.cruz Parallel expansion: la idea Eliminar el operador de paralelización usando los axiomas. Problema... muy facilmente esto se vuelve inmanejable... :(

9 Ejemplo (1/2): S es como está definido abajo. X 1 = a.x 1 y X 2 = b.c.x 2 Ejemplo (2/2): Todo esto se complejiza aún más con datos y tiempo.

10 Para qué La expansión de procesos paralelos es la única forma efectiva de analizar estos procesos, pero como mencionamos no es muy escalable... por esta razón introducimos un formato particular de procesos, el cual simplifica la expansión: linear process equation Procesos lineales Tres sabores: 1. linear process operator 2. linear process equations 3. clustered linear process equations Dos características: 1. todos estos procesos pueden transformarse a la forma lineal, 2. la cual resulta muy fácil de manipular.

11 Linear Process Equation (LPE) Un Linear Process Equation (LPE) es un proceso con la siguiente forma y además las variables son del tipo correcto. Reglas de tipo condición-acción-efecto. Cualquier especificación recursiva con guardas puede ser transformada en un proceso lineal. El proceso a veces es muy complicado, otras veces muy simple. Vamos a obviar las acciones α δj Ejemplo El siguiente proceso no es lineal X = a b c X Y (1) es la versión linearizada, donde: Y (s : N + ) = (s 1) a Y (2)+(s 2) b Y (3)+(s 3) b Y (1) Se puede demostrar que X = Y (1) usando RSP, cómo?

12 Ejemplo El siguiente proceso: se lineariza mediante Notar que el proceso Y mandá cualquier valor (m) y el que recibe lo recibe por parámetro (n). Vale Y (n, true) = X para todo n N. Demostrar que vale la igualdad. Process operators a partir de LPE

13 Clustered LPE Linearización de procesos secuenciales Asumimos que los procesos que estamos linearizando no son procesos en paralelo. Cómo se lineariza un proceso: 1. El proceso se transforma al formato pre-gnf. 2. Luego al formato GNF. 3. Finalmente se obtiene la linearización.

14 (pre-)greibach Normal Form (GNF) Una ecuacion recursiva está en Greibach Normal Form (GNF) sii tiene la siguiente forma Los p k i,j (d i, e ij ) son variables X i, pero además, los p 1 i,j (d i, e ij ) pueden ser multiacciones. Si todos los p 1 i,j (d i, e ij ) son multiacciones entonces el proceso está en Greibach Normal Form (GNF). Pre-GNF a partir de procesos secuenciales recursivos. El proceso el lineal con respecto al espacio y tiempo. Es bastante directo.

15 Pre-GNF a partir de procesos secuenciales recursivos. Cómo transformarían el siguiente proceso? Transformación 1. Sea X (d : D) = p. X =a (X + Y ); Y =b X ; 2. Para cada subproceso q de p que no satisface el formato, reemplazo q por una variable X q. 3. Defino X q = q. 4. Repito el proceso para las nuevas variables. GNF a partir de pre-gnf La única diferencia entre GNF y pre-gnf es que para GNF, p 1 i,j (d i, e ij ) deben ser (multi)acciones. El proceso para realizar esto puede explotar, pero en la realidad usualemente no pasa.

16 GNF a partir de pre-gnf Cómo transformarían el siguiente proceso? Transformación 1. Sea X (d : D) = p. X =a Z; Z =X + Y ; Y =b X ; 2. Para cada variable p 1 i,j (d i, e ij ) de p que no es una multiacción, reemplazo p 1 i,j (d i, e ij ) por su definición. 3. Repito el proceso hasta lograr el formato deseado. Si el proceso original es guardado entonces la transformación termina! Ejercicio Cómo transformarían el siguiente proceso? X =a X b + c; Y =X δ;

17 Cosas que afectan la transformación La definición del proceso. Los tipos de datos que manejan los procesos. El libro menciona los problemas, pero no habla sobre como atarcarlos. ie, no menciona nada sobre como lograr procesos tal que su forma normal es la optima. Procesos lineales a partir de GNF Observación para realizar al transformación: Dado un estado particular del proceso, se debe ejecutar una acción y el comportamiento definido por una secuencia de variables de procesos. Para cada variable, sólo basta ver su definición para ver que que proceso define, es decir que acción ejecuta y cuáles nuevas variables definen su comportamiento.

18 Procesos lineales a partir de GNF A partir de una conjunto de ecuaciones GNF Construímos el siguiente proceso... Definición del stack

19 Procesos lineales a partir de GNF Comentarios finales: El uso de un stack no es bueno porque los datos están contenidos dentro de una estructura compleja Está demostrado que se puede veríficar el tamaño máximo del stack luego, se puede transformar el proceso a un proceso con un program counter. Una vez introducido el program counter, muchas veces es posible hacer más simplificaciones. Paralelización de procesos lineales Supongamos que queremos paralelizar Luego, obtenemos:

20 Linearización de n procesos paralelos Hay técnicas para hacer esto :) Muy por arriba: Reglas de pruebas para procesos lineales Existen dos reglas de prueba para procesos lineales que se derivan del RSP. Por ser derivaciones, no agregan poder de prueba Si las quieren ver, están en el libro, se llaman Convergent Linear Recursive Specification Principle (CL-RSP) CL-RSP con invariantes.

21 1. El LTS está asociado a la expresión: τ {b,c} {a,b,c,d} (a b c d) 2. Mucho lio para llegar a un estado final. Esto se llama confluencia(confluence). τ-priorización La tércnica consiste en darle prioridad a ciertas transiciones τ, eliminando ciertas acciones visibles, obteniendo un sistema igual (branching bisimilar). La técnica reduce el espacio de estado.

22 Transiciones τ-confluente Ejercicio

23 τ-priorización Si un sistema es τ-confluente y τ-convergente (no ejecuta infinitas secuencias de acciones τ), entonces la τ-priorización preserva la branching bisimulación. τ-priorización: Simplemente es ejecutar siempre la transición con acción τ perteneciente al conjunto τ-confluente. τ-priorización, formalmente Notar que está definida como una relación, no como un proceso/algoritmo. Luego la reducción es no determinista.

24 τ-priorización, ejemplo para el LTS del principio la τ-priorización reduce a los siguientes LTS (ambos τ (a d)) τ-priorización, formalmente II

25 τ-priorización en procesos lineales. Todo lo que vimos se puede generalizar para procesos lineales. No lo vamos a ver. A continuación, una tabla que muestra la efectividad de la técnica en este contexto: