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1 Facultad de Ingeniera.UNLP Matematica - Modulo 5: Espacios Vectoriales ~no 27

2 Temario: lase : Denicion de espacio vectorial. Ejemplos. Subespacios. Espacio nulo de una matriz. onjunto generador. Espacio generado. lase 2: Vectores linealmente independientes. onjuntos dependientes. onjunto minimal de generadores de un espacio. ases y dimension de un espacio vectorial. lase 3: oordenadas de un vector respecto de una base. ambio de base. Matrices: espacio la y espacio columna. Dimension de estos subespacios. lase 4: Rango de una matriz. Relacion entre el espacio la y el espacio nulo de una matriz. Igualdad de las dimensiones del espacio la y columna. plicacion a la resolucion de Sistemas de ecuaciones lineales del conocimiento del espacio la y espacio columna, rango de la matriz de los coecientes, y rango de la matriz ampliada. onclusiones sobre sistemas cuadrados y sistemas generales m n. 2

3 Introduccion a Espacios vectoriales El metodo de Gauss sistematicamente hace combinaciones lineales de las las de una matriz para llevarla a una forma escalonada que es mas amigable para resolver sistemas lineales. En el modulo previo, a veces se han combinado vectores de < 2, en otras oportunidades se han combinado vectores de < 3, y tambien vectores de mas alta dimension. s sera interesante trabajar en < n, para n arbitrario. Eso tiene como ventaja que cualquier resultado valido en < n, vale en particular en < 2,yen < 3. Pero, eso no bastara para generalizar. Hemos visto espacios cuyos elementos no son todo < 2,nitodo< 3. Por ejemplo, el conjunto solucion de un sistema homogeneo, si tiene innitas soluciones, es justamente una coleccion de vectores, de la misma magnitud del espacio de las incognitas, que satisfacen que la \combinacion lineal de ellos" tambien es solucion. hora hacemos un estudio mas general \ sobre combinaciones lineales". Estudiaremos conjuntos con el aditamento que se denen para sus elementos dos operaciones: adicion (+), y multiplicacion por un escalar ` ', cumpliendo ciertas condiciones especiales. Primero vemos, a modo de ejemplo, los bien conocidos espacios... 3

4 . Espacios Vectoriales Eucldeos: < 2, < 3, < n Denicion < 2 : Es el conjunto de pares ordenados (x x 2 ), de numeros reales, o de vectores columnas x de dimension 2 con dos operaciones: Suma de vectores: x = x x 2 u + v =(u u 2 )+(v v 2 )=(u + v u 2 + v 2 ) Multiplicacion de un vector por un escalar (numero real ): :x = : (x x 2 )=(:x :x 2 )... cumpliendo las dos condiciones siguientes (a) y (b). (a) Para cualquier par de vectores u y v en R 2, (u +v)es tambien un vector en R 2, y (b) Para cualquier vector x en R 2 y cualquier escalar, :x es tambien un vector en R 2... tales condiciones implican que < 2 es: (a) cerrado bajo la operacion suma de vectores y (b) cerrado bajo la multiplicacion por un escalar. Geometricamente, R 2 puede ser representado como el conjunto de todos los puntos en el plano bi ; dimensional....un vector (x x 2 ) puede ser representado como un segmento recto dirigido desde ( ) hasta (x x 2 ). 4

5 Eso ) que la suma de vectores y la multiplicacion por un escalar pueden ser interpretadas geometricamente, y se puede denir la longitud de un vector x como la longitud del segmento de recta que representa a x en el plano: q l = x 2 + x En el espacio R 3, se representa un vector x = (x x 2 x 3 ) como un punto en el espacio tri;dimensional, o como un segmento recto dirigido desde el origen ( ) hasta (x x 2 x 2 ). Su longitud es : q l = x 2 + x2 + 2 x Mas generalmente, R n : es el espacio de todas las n-uplas de numeros reales (x x 2 ::: x n ) o el espacio de los vectores columnas de dimension n x =... En este caso se diculta la visualizacion geometrica, aunque si podemos denir la longitud de x como l = x x 2. x n q x 2 + x x2 n (... Mas adelante llamaremos a esta longitud la norma del vector: kxk ) on las mismas deniciones de R 2 para suma de vectores y multiplicacion por un escalar, los espacios R 3 y R n resultan cerrados bajo estas operaciones. 2 Espacio vectorial omentarios Los ejemplos previos involucran conjuntos de vectores columnas con las operaciones usuales. Pero, los \espacios vectoriales" no necesariamente son una coleccion de vectores columnas, o de vectores las. bajo hay ejemplos de otros tipos de espacios vectoriales. El termino `espacio vectorial' no signica `coleccion de vectores columnas de numeros reales'. Mas bien signica `coleccion de elementos' en la que cualquier combinacion lineal de sus elementos tiene sentido y es un elemento de ese conjunto'. Ejemplo R mn : Es el conjunto de todas las matrices de m n cuyos coecientes son numeros reales.... Recordemos que hay dos operaciones para sus elementos: Suma de matrices y multiplicacion por un escalar, denidas : ( + ) ij = ij + ij (:) ij = : ij para cada elemento ij, i = ::: m, j = ::: n.... Este conjunto R mn, es \cerrado" bajo estas dos operaciones: Si y son dos vectores en R mn entonces + y : tambien son vectores de R mn. 5

6 2. xiomas. Denicion de Espacio vectorial omentarios La propiedad basica de \clausura" bajo las operaciones de adicion y multiplicacion por un escalar, es el ingrediente clave en la denicion formal de espacio vectorial V. Si esta condicion de clausura se cumple, entonces el conjunto V de vectores se dice que tiene la forma de un \espacio vectorial" \siempre y cuando se satisfagan las siguientes condiciones" ( axiomas):. x + y = y + x, para todo x, y en V. 2. (x + y)+z =x+(y + z), para todo x, y,z en V. 3. Existe un unico elementoenv tal que x +=x, para todo x en V. 4. Para cualquier x en V, existe otro elemento ;x en V tal que x +(;x) =. 5. : (x + y) =:x + :y, escalar. 6. ( + ) :x = :x + :x, para todo escalar,, x 2 V. 7. (:) :x = : (:x), para todo escalar,, x 2 V. 8. :x = x, para todo x 2 V. Observacion La denicion de espacio vectorial no dice nada sobre una multiplicacion entre vectores. En algunos espacios vectoriales se puede llegar a denir un producto de vectores (como en el caso de R nn )... pero este \ no es un requerimiento" para los espacios vectoriales.... Veamos el siguiente ejemplo: Ejemplo [a b] :denota \ el conjunto de funciones contnuas denidas en el intervalo cerrado [a b], con valores reales".... Es un nuevo tipo de espacio \vectorial", con las dos operaciones: Suma de vectores: Si f(t) y g(t) son vectores de este conjunto [a b], se dene la suma (f + g) mediante (f + g)(t) =f (t) +g (t)... y Multiplicacion por un escalar: Se dene (:f) mediante (:f)(t) =:f (t) El conjunto [a b] es \cerrado bajo la suma de vectores y la multiplicacion por un escalar",... ya que si f (t) y g (t) son dos funciones contnuas a valores reales, denidas en el intervalo cerrado [a b], entonces f (t)+g (t) y :f (t) son tambien funciones contnuas en el mismo intervalo. Los 8 axiomas necesarios se verican muy facilmente: Se toma como funcion cero: la f (t) =para todo t 2 [a b], y... se dene (;f) como : (;f)(t) =;f (t), para todo t 2 [a b]. 6

7 Ejercicio Vericar que [a b] cumple los 8 axiomas. Otro ejemplo... Ejemplo Pn : el conjunto de todos los polinomios de grado menor que n (tienen n coecientes, pudiendo ser alguno o todos ), es otro tipo de "espacio de funciones",, donde cada... Vector: p (t) =a + a :t + a 2 :t a n;:t n;... con las operaciones denidas: Suma de vectores: se dene (p + q)(t) =p (t)+q (t) : on esa denicion,... el vector \nulo": p (t) =+:t + +:t n;. Multiplicacion por un escalar: se dene (:p)(t) =:p (t) Ejercicio Dado el conjunto P n, denido en el ejemplo previo: (i) Vericar que es \cerrado" para las dos operaciones y (ii) vericar que los 8 axiomas se satisfacen facilmente. Observacion (para futuras referencias) En P n, un vector p puede describirse (de manera unica) mediante sus coecientes fa a ::: a n;g, y estos pueden ser escritos en forma de matrices/arreglos columnas de n ~p = a a. a n; s podemos denir una correspondencia biyectiva (-) entre los vectores de P n y las n-uplas en R n : p (t) =a + a :t + a 2 :t a n;:t n; $ a a. a n; Denicion Mas adelante veremos que como existe esa clase de correspondencia biyectiva entre estos dos espacios vectoriales, estos espacios son isomorfos. 2.2 Subespacios Denicion Un subespacio de un espacio vectorial V es cualquier subconjunto (no vaco) S de V, S V, tal que el tambien es \un espacio vectorial". Esto es, un subconjunto de V que sea \cerrado" bajo las operaciones de \suma de vectores" y \multiplicacion por un escalar". 7

8 omentarios omo los vectores en S (los elementos de S) pertenecen todos a V, los 8 axiomas/condiciones se satisfacen automaticamente. Solo la condicion de clausura (ser cerrado) debe ser examinada y vericada para determinar si S es un \subespacio vectorial". Observar, que el elemento \" de V debe estar en S para ser un subespacio de V. Ejercicio (i)si S es un subespacio de V, > porque contiene al de V?. Reveer la denicion... (ii) Se puede armar que si S es un subespacio de V, > es S un conjunto no vaco?. >Porque?. Ejemplo El subconjunto S de R 2 formado por los vectores x =(x x 2 ) T que satisfacen x 2 = 2:x (gracamente es una recta que pasa por el origen)es un subespacio de < 2. Es decir,... los vectores de la forma: c 2:c c (:c) Multiplicando por un escalar: : = 2:c 2: (:c)... sumando dos vectores cualesquiera de S: c b c + b (c + b) + = 2:c 2:b 2:c +2:b 2: (c + b)... conduce a vectores de la misma forma de los de S, y as estan en S. Luego,... S es \cerrado" bajo las operaciones dadas, en consecuencia es \un subespacio" de < 2. Ejercicio En R 3, los vectores de la forma (x x 2 ) T forman un subespacio. Son los vectores que se encuentran en el plano x 3 = u + v = (u u 2 ) T +(v v 2 ) T =(u + v u 2 + v 2 ) T :u = : (u u 2 ) T =(:u :u 2 ) T - Vericar que es un conjunto \cerrado" para las operaciones y por tanto forma un subespacio de R 3. 8

9 omentarios ualquier subespacio de V distinto del mismo V, o del conjunto fg (conjunto que solo contiene al vector ), se llama \subespacio propio" de V. Problema nalizar si el conjunto S = f(x y) :x+y = (x y) 2< 2 g es un subespacio de < 2?. Problema Vericar que dado el espacio vectorial de las matrices < nn, son subespacios del mismo: (i) Las matrices simetricas. (ii) Las matrices triangulares superiores. (iii) Las matrices triangulares inferiores. (iv) Proponga algun otro subconjunto de este espacio de matrices que tambien sea un subespacio. Problema Vericar que \no es cierto" que el conjunto de \matrices singulares es un subespacio de las matrices nn". Lo mismo, para elconjunto de matrices \no-singulares" n n. Proponer, ejemplos para ver lo anterior. Problema El subconjunto S de R 2 formado por los vectores de la forma x = (x ) T no es un subespacio de R 2, ya que u + v = (u ) T +(v ) T =(u + v 2) T (no pertenece a S) :u = : (u ) T =(:u ) T (no pertenece a S) El conjunto S \no es cerrado" por las operaciones de suma o mutiplicacion por un escalar. >Puede ejemplicar para ver mas claramente el signicado?. Para practicar... 9

10 Ejercicios 2. Indicar cual es el vector \cero" en cada uno de los Espacios V ectoriales siguientes: (a) El espacio de los polinomios de grado 3, bajo las operaciones naturales. (b) El espacio de las matrices 24. (c) El espacio ff : [::]!< f es contnuag X 2.2 Encontrar el opuesto (o inverso respecto de la suma), en los espacios vectoriales, para los vectores siguientes en particular: (a) En P 3, si el vector es ;3 ; 2x + x 2 (b) En el espacio de matrices 22 con terminos reales bajo las usuales operaciones de suma y multiplicacion por un escalar, para el vector ; 3 X 2.3 Mostrar que cada uno de los siguientes conjuntos es un espacio vectorial. (a) El conjunto de los polinomios lineales P usuales operaciones. (b) El conjunto L = f x y z 2< 3 : x + y ; z =g bajo las operaciones inherentes a < 3. X 2.4 Mostrar que \no son subespacios" vectoriales, los casos: (a) ajo las operaciones usuales en < 3, el conjunto f x y z (b) ajo las operaciones de < 3, el conjunto f x y z 2< 3 x + y + z =g 2< 3 x 2 + y 2 + z 2 =g (c) ajo las usuales operaciones sobre matrices, a f b c (d) ajo las operaciones inherentes a < 2, f 2.5 Subespacios: a b c 2<g = fa + a x a a 2<g bajo las x y 2< 2 x +3y =4 y 2x ; y =3 y 6x +4y =g (a) Sean los vectores de < 3 : f g Vericar que el conjunto de los v 2 < 3 que son combinaciones de ellos, forman un subconjunto de < 3 que es un subespacio. Vercar que geometricamente es un plano que pasa por el origen (encontrar la ecuacion). (b) Dados dos(2) vectores de < 3 cualesquiera, >siempre el conjunto de sus combinaciones es un subespacio, que geometricamente es un plano?

11 2.6 (a) Probar que toda recta, o plano que pasa por el \origen" en < 3 es un subespacio vectorial bajo las operaciones inherentes a ese espacio. (b) > Que ocurre, si ellos no contienen al origen? 2.7 Denir adicion y multiplicacion por un escalar real para que el conjunto de los numeros complejos sea un espacio vectorial real. Las operaciones usuales son: (v + v i)+(w + w i)=(v + w )+(v + w )i, y r(v + v i)=(rv )+(rv )i. hequear todas las condiciones!. X 2.8 Para cada conjunto, decidir si es un espacio vectorial con las operaciones usuales. (a) Las matrices diagonales 22. a f b (b) El conjunto f x y z w a b 2<g 2<4 x + y + w =g (c) El conjunto de funciones que son solucion de: ff : <!< df=dx +2f =g ( Vericar si ese conjunto es cerrado bajo la suma y multiplicacion por un escalar). (d) El conjunto de funciones ff : <!< df=dx+2f =g. ( Observar si la funcion f(x) ==cte, esta en ese conjunto). X 2.9 Probar o dar un contraejemplo sobre si: \ es un espacio vectorial el conjunto de todas las matrices", bajo las operaciones usuales. 2. (a) > Es un espacio vectorial, bajo las usuales operaciones, el conjunto de las: funciones de una variable (con valores reales) que son diferenciables? (b) Es un subespacio de las matrices 22? a a + b =g f b c (c) Mostrar que un subconjunto no vaco S de un espacio vectorial real V es un subespacio \ sii " es cerrado bajo las combinaciones lineales de pares de vectores (si c c 2 2<y ~s ~s 2 2 S entonces la combinacion c ~v + c 2 ~v 2 esta en S).

12 2.3 Espacio nulo de una matriz Es un ejemplo de un subespacio, ya conocido como conjunto, y de particular importancia en el temario que sigue.... Si es una matriz de m n, denimos N (), espacio nulo de, al conjunto de todas las soluciones del sistema lineal homogeneo :x =. En la notacion de conjunto: N () =fx 2 R n : :x =g omo :x = siempre tiene al menos la solucion trivial x =,N () es no vaco.... Si x 2 N (), y es un numero real, ) :x es un elemento de N (), y si... x e y 2 N () entonces... : (:x) =: (:x) =: = : (x + y) =:x + :y =+= ) x + y 2 N (). Se obtiene de esos resultados que... N () es un subespacio de R n. s... Denicion El conjuntodetodas las soluciones de un sistema lineal de m n homogeneo :x =forma un subespacio de R n llamado espacio nulo de la matriz. Observacion El conjunto de soluciones de un sistema \no-homogeneo" :x = b (b 6= ) \no forma un subespacio" de < n. Por ejemplo,... si x e y son soluciones del sistema entonces : (x + y) = :x + :y = b + b =2:b ( 6= b a no ser que b =) : (:x) = ::x = :b ( 6= b a no ser que =) ) el conjunto de tales soluciones de x = b, \no es cerrado" bajo la operacion de la suma de vectores, ni lo es sobre la multiplicacion por un escalar. Ejemplo Encontrar N () para la siguiente matriz = 2 Usando el proceso de reduccion de Gauss-Jordan resolvemos :x =... ( j ) = ;! 2 ; ;2 ; ; ;! ;! ; ;2 2 ; 2

13 ... Tenemos las 2 variables independientes (libres) x 3 y x 4 x = x 3 ; x 4 x 2 = ;2:x 3 + x 4... Llamando = x 3, = x 4, la solucion general es x = ; ;2 + = : ;2 + : ; = : ( ;2 ) T + :(; ) T para cualquier par de numeros y... N () esta formado por todos los vectores de esta forma, yesunsubespacio de R 4. Problema (i)determinar el \conjunto nulo" de la matriz = [ ] ( m =, n = 2). Gracar. (ii)determinar el conjunto nulo de la matriz =[ ] (m =, n =3).Gracar. (iii)determinar el \espacio nulo" de la matriz = [ ;] (escrita como se usa en el MTL, con m =2, n =2). Explicar el resultado. 2.4 onjunto generador. Espacio generado. Denicion Dado un conjunto de vectores S = fv v 2 ::: v p g del espacio vectorial V, al \conjunto de todos" los vectores v que se obtienen como \combinacion lineal" de ellos, v = c :v + c 2 :v c p :v p = px i= c i :v i (los c i son numeros reales) se lo llama \el espacio generado por fv v 2 ::: v p g", y se escribe.... gen(s) =hv v 2 ::: v p i Ejemplo ()En R 3, el espacio generado por los vectores S = fe e 2 g consiste de todos los vectores de la forma v = :e + :e 2 = : + : = laramente, el conjunto gen(s) =he e 2 i es un subespacio de R 3 (pues es \cerrado" por la suma de vectores y la multiplicacion por un escalar. Vericar!). Geometricamente, en el ejemplo el gen(s) consiste de los vectores del espacio < 3 que permanecen en el plano de los (x x 2 ) (plano con ecuacion x 3 =). 3

14 Otro ejemplo: (2) El espacio generado por los vectores S = fe e 2 e 3 g esta formado por los vectores de la forma v = :e + 2 :e :e 3 = 2 3 que comprende todos los vectores de R En consecuencia, el \espacio generado" por este conjunto S, es : gen(s) =he e 2 e 3 i = R 3 Teorema Si S = fv v 2 ::: v k g son vectores del espacio vectorial V, entonces gen(s) =hv v 2 ::: v k i \es un subespacio" de V. Demostracion. Hay que mostrar que hv v 2 ::: v k i es cerrado por las operaciones del espacio V. Multiplicacion por un escalar: si v = :v + 2 :v k :v k es cualquier elemento de hv v 2 ::: v k i, entonces :v = : ( :v + 2 :v k :v k )=(: ) :v +(: 2 ) :v 2 + +(: k ) :v k que es un elemento de hv v 2 ::: v k i.... y, si tomamos v = :v + 2 :v k :v k y w = :v + 2 :v k :v k, entonces v + w =( + ) :v +( + 2 ) :v 2 + +( k + k ) :v k es tambien un elemento del conjunto gen(s) =hv v 2 ::: v k i. Por tanto, gen(s) esun subespacio de V,siS V. omentarios... En R 3, si dos vectores, S = fv wg, se pueden usar para denir un plano pasando por el \origen", entonces este plano es la representacion geometrica de gen(s) =hv wi. Dado un conjunto de vectores S = fv v 2 ::: v k g que estan en el espacio vectorial V.... Si gen(s) = hv v 2 ::: v k i, coincide con el espacio V, se dice que los vectores v v 2 ::: v k generan V yfv v 2 ::: v k g se dice que es un conjunto generador del espacio V.... Tenemos la siguiente denicion: Denicion El conjunto S = fv v 2 ::: v k g es un \ conjunto generador del espacio vectorial V " si y solo si todo vector de V puede escribirse como combinacion lineal de v v 2 ::: v k. 4

15 Ejercicio... > Son los siguientes conjuntos \ generadores" del espacio vectorial < 3? o. S = ne e 2 e 3 ( 2 3) T 2. S = n( ) T ( ) T ( To ) o 3. S = n( ) T ( ) T o 4. S = n( 2 4) T (2 3) T (4 ; ) T modo de ejemplo, hacemos el. y el 4.: Solucion... Para ver si S genera todo el espacio < 3 : En el caso.... S = n e e 2 e 3 ( 2 3) To : onsideramos un vector arbitrario en < 3, a b, c... sabemos que se puede escribir a b c a b = + + c = a:e + b:e 2 + c:e 3 +: ( 2 3) T ) que ese vector arbitario se puede expresar como una combinacion de los vectores de S. Eso quiere decir que... S es un \conjunto generador" de R 3. Observemos que el ultimo vector de S es superuo, ya que no se necesito para lograr la combinacion. astan los 3 primeros vectores! para generar todo < Queda como ejercicio. 3. Queda como ejercicio. En el caso 4. el conjunto S es: n ( 2 4) T (2 3) T (4 ; ) To De nuevo, tomamos un vector arbitrario de 4. S = < 3, y analizamos si es posible expresarlo como combinacion de los vectores de S? a b = : c : : 4 ; 5

16 ... Para saber si \realmente existen" tales coecientes para combinar,... resolvemos el sistema de ecuaciones lineales planteado para encontrar : 2 +4: 3 = a 2: + 2 ; 3 = b 4: +3: = c... En este caso, la matriz de coecientes es singular, pues aplicando el metodo de reduccion Gaussiana, usando la matriz aumentada, se obtiene 2 4 a 2 ; b 4 3 c ;! 2 4 a 2a;b 3 3 2a ; 3c +5b... Si 2a ; 3c +5b 6=, el sistema es inconsistente!. Quiere decir que \no hay solucion". s los vectores v = (a b c), para los cuales a,b,c cumplan 2a ; 3c +5b 6=, no se pueden generar a partir del conjunto S.... > uando hay solucion y se pueden hallar los coecientes de la combinacion planteada?. > uales vectores de < 3 si se pueden generar desde el conjunto S?.... Solamente se pueden obtener como combinacion de los vectores de S, los vectores de < 3, (a b c) T cuyas coordenadas cumplen 2a ; 3c +5b =. Es decir, los vectores que estan en ese plano. s S genera solamente un \subespacio propio" del < 3. En consecuencia,... S \no genera" a R Observar que los 3 vectores de S pertenecen a un mismo plano 2a +5b ; 3c = (ver que satisfacen esa ecuacion), as... solo los vectores (a b c) T en ese plano podran ser expresados como combinacion lineal de los vectores de S!. S \ es un conjunto generador del conjunto de puntos de ese plano" (... que pasa por el origen!).... demas, advertimos que en realidad no se necesitan los 3 vectores de S para generar ese plano! ( explicar >porque?) 3 Independencia lineal omentarios La ultima armacion, del ultimo ejemplo, nos lleva a preguntarnos... > uantos vectores son \necesarios" para generar el plano: 2a +5b ; 3c =.? Proxima pregunta: >omo encontrar el conjunto generador mas peque~no de un espacio vectorial V (conjuntos \generadores" de V con la menor cantidad posible de vectores).... Pasamos a dar respuesta a esa pregunta en lo que sigue... 6

17 omentarios Un conjunto de generadores \minimal" para V sera aquel conjunto S de vectores que no tenga elementos \redundantes" o innecesarios, es decir \todos los vectores del conjunto S deben ser necesarios" para generar V. Para decidir si un conjunto de vectores S = fv v 2 ::: v p g constituye un conjunto \generador minimal" de V, necesitamos......analizar \si los vectores que estan en S" \dependen unos de los otros ". on ese objetivo......introducimos la nocion de \dependencia lineal" e \independencia lineal" de vectores. onsiderar, por ejemplo, el subespacio generado V = hv v 2 v 3 i, siendo v = ; 2 v2 = ;2 3 v3 = ; 3 8 Sabemos que V es un subespacio de R 3. Pero tal V puede ser construido a partir de v y v 2, pues v 3 ya es una combinacion de los dos primeros, v 3 =3:v +2:v 2 : ()... v 3 ya esta en el espacio generado por v y v 2. Por tanto, cualquier combinacion lineal de v v 2 v 3 puede ser reducida a una combinacion lineal de v y v 2 : ) :v + 2 :v :v 3 = :v + 2 :v : (3:v +2:v 2 ) = ( +3 3 ) :v +( ) :v 2 = :v + 2 :v 2 V = hv v 2 v 3 i = hv v 2 i... ya quev 3 es "redundante", no agrega nada a las posibles combinaciones de fv v 2 g. Podemos reescribir la dependencia de v 3 con respecto a v y v 2 (expresion ()) como 3:v +2:v 2 ; v 3 =: En este caso, como ninguno de los 3 coecientes es cero, se puede despejar de la ecuacion cualquiera de los vectores en funcion de los otros dos restantes. s... el subespacio V esta generado por V = hv v 2 v 3 i = hv v 2 i = hv v 3 i = hv 2 v 3 i En este ejemplo, cualquiera de los tres vectores puede ser considerado como \redundante" o innecesario, ya que puede ser expresado como combinacion lineal de los \otros dos". < Solo 2 de ellos son necesarios!. demas, se podra preguntar... 7

18 ... >si no existe una relacion de \dependencia" entre v y v 2?. Es decir, si existen escalares c y c 2 (no simultaneamente nulos) tales que... c :v + c 2 :v 2 =? Si existieran esos escalares entonces podramos despejar uno de ellos en terminos del otro v = ; c 2 c :v 2 (si c 6= ) o v 2 = ; c c 2 :v (si c 2 6=)... eso dira que uno de los vectores es multiplo escalar del otro. Pero, a simple vista (repasar) se observa que esto es imposible para los vectores v y v 2. Lo mismo pasa con fv 2 v 3 g, e igualmente se observa para fv v 3 g. s... en este ejemplo, \solo los tres vectores juntos" tienen la propiedad de \dependencia lineal". Otra forma de decirlo: hv i y hv 2 i generan subespacios \propios" de hv v 2 i. Para generalizar: Importante!. Si los vectores fv v 2 ::: v p g generan V, y si alguno de los v i puede ser escrito como combinacion lineal de los restantes (p ; ) vectores, entonces estos (p ; ) vectores \generan V ". demas, se tiene la siguiente equivalencia: 2. Dados p vectores fv v 2 ::: v p g. \ Si alguno de estos vectores es combinacion lineal de los otros (p ; ) vectores, existen escalares c c 2 ::: c p (no todos nulos) tales que c :v + c 2 :v c p :v p = Demostracion de (). Supongamos que v p puede ser escrito como combinacion lineal de v v 2 ::: v p;, entonces v p = :v + 2 :v p;:v p; Si v es cualquier vector en V. omo fv v 2 ::: v p g generan a V se tiene que v = :v + 2 :v p;:v p; + p :v p = :v + 2 :v p;:v p; + p : ; :v + 2 :v p;:v p; = ( + n ) :v +( 2 + n 2 ) :v ; p; + p p; :vp;...esto es, cualquier vector v de V puede ser escrito como combinacion lineal de v v 2 ::: v p;. s estos vectores generan V. Demostracion de (2). La parte (2), se obtiene de suponer que uno (por ejemplo v p ) es combinacion de los otros. Luego, existen coecientes para los que v p = :v + 2 :v p;:v p; 8

19 ... entonces, pasando v p al segundo miembro se obtiene que existen coecientes, no todos nulos, que satisfacen: :v + 2 :v p;:v p; ; v p = Para ver la recproca, hay que seguir el razonamiento o procedimiento anterior hacia atras... Denicion Los vectores v v 2 ::: v p de un espacio V se dicen linealmente dependientes si existen escalares fc i g no todos nulos tales que c :v + c 2 :v c p :v p = Los vectores v v 2 ::: v p se dicen \linealmente independientes" si la com- Denicion binacion implica que \todos los c i son nulos". omentarios c :v + c 2 :v c p :v p = uando existe una eleccion de escalares c i \ no todos nulos " tal que la combinacion lineal c :v + c 2 :v c p :v p es el vector cero, entonces v v 2 ::: v p son linealmente dependientes. Por el contrario, si la unica manera de lograr que la combinacion lineal: c :v +c 2 :v c p :v p = (resulte = al vector nulo) es haciendo que todos los escalares c i \sean cero", entonces...los v v 2 ::: v p son linealemente independientes. 3. Interpretacion geometrica: En R 2, si dos vectores u y v son \linealmente dependientes", entonces En cada uno de estos casos se tiene: c :u + c 2 :v = (donde c 6=o c 2 6=) u = ; c 2 c :v (si c 6=) v = ; c c 2 :u (si c 2 6=) Es decir, uno de ellos es multiplo escalar del otro, son co-lineales. 9

20 Lo mismo pasa en R 3 : si dos vectores u y v son \linealmente independientes" no puede ser uno multiplo escalar del otro. Por tanto,... estos dos vectores \linealmente independientes" no pertenecen a una misma recta que pasa por el ( ). s denen un plano. Todo vector que este en este plano puede ser escrito como \combinacion lineal" de u y v. Luego cualquier otro w = (w w 2 w 3 ) que pertenece a este plano, junto con u y v, determinan un conjunto fu v wg que es \linealmente dependiente". En cambio tomando un w que no pertenece a este plano, el conjunto fu v wg resulta \linealmente independiente", ya que el ultimo no es combinacion de los otros dos. Ejemplo u = v = w = En este caso, son linealmente independientes. Para ver eso los combinamos e igualamos a cero: c :u + c 2 :v + c 3 :w = entonces c c c + c 2 c 2 + c 3 = c + c 2 + c 3 c + c 2 c = De tal igualdad se llega al sistema c + c 2 + c 3 = c + c 2 = c = que tiene solucion unica: c = c 2 = c 3 =.... Eso implica que los \tres vectores" dados son \linealmente independientes". 2

21 Ejemplo u = v = Se plantea la igualdad: c :u + c 2 :v =, la que implica... c c 2 c... se deduce que c = c 2 =. Eso... ) que son linealmente independientes. Otro ejemplo... = Ejemplo u = v = w = ; En ese caso, la igualdad c :u + c 2 :v + c 3 :w =implica c +2c 2 +4c 3 = 2c + c 2 ; c 3 = 4c +3c 2 + c 3 = Este sistema homogeneo, > cuantas soluciones tiene?. Para averiguarlo... (conocemos dos formas de hacerlo, cuales?) Una forma, analizando la matriz de coecientes de este sistema homogeneode3 3, si es singular o no-singular: ; 4 3 usando el det() = (;)+ : ; 3 +(;)2+ :2: 2 ; 4 +(;)3+ :4: = (+3); 2(2+4)+4(6 ; 4) = : En consecuencia, sabemos que el sistema homogeneo tiene soluciones no triviales (c c 2 c 3 ). Esto dice que... los vectores dados fu v wg son \linealmente dependientes". Este resultado puede resumirse y generalizarse de la siguiente manera: Teorema Dado el espacio vectorial < n. Si u u 2 ::: u n son vectores en R n, el conjunto fu u 2 ::: u n g es \linealmente dependiente" si y solo si la matriz U =(u u 2 ::: u n ) es singular. 2

22 Demostracion. La expresion es el sistema lineal homogeneo c : u + c 2 :u c n :u n = c : u + c 2 :u c n :u n = c : u 2 + c 2 :u c n :u 2n = c : u n + c 2 :u n2 + + c n :u nn =... que tendra solucion no trivial (c c 2 ::: c n )siysolo si la matriz de coecientes, la matriz U =(u u 2 ::: u n ) es singular. omentarios Luego la matriz U (de n n) es \no singular", si y solo si el conjunto fu u 2 ::: u n g \es linealmente independiente". Sntesis s para determinar si n vectores de R n, forman un conjunto \linealmente independiente", se construye una matriz de dimension n n cuyos vectores columnas son los vectores en cuestion (en cualquier orden) y luego se evalua el det(): Si det =) es singular, y los vectores son linealmente dependientes. Si det 6=, es \no singular" y los vectores son linealmente independientes. Importante! Una combinacion lineal de un conjunto S de vectores \linealmente independientes" es unica. Esto es,... existe una unica manera de expresar un \vector particular" como combinacion lineal de los vectores S \linealmente independientes ".... Teorema Si v v 2 ::: v p son vectores de un V. Todo vector v en el subespacio generado hv v 2 ::: v p i, puede escribirse de manera unica en combinacion de v v 2 ::: v p \si y solo si" los vectores fv v 2 ::: v p g son linealmente independientes. Demostracion. Supongamos que v v 2 ::: v p son linealmente independientes. Supongamos tambien que podemos escribir v de dos maneras diferentes como combinacion lineal de v v 2 ::: v p :..... y tambien v = :v + 2 :v p :v p v = :v + 2 :v p :v p 22

23 ... restando ambas ecuaciones tenemos =( ; ) :v +( 2 ; 2 ) :v ; p ; p :vp omo los vectores fv i g son linealmente independientes, cada i ; i debe ser, para i = ::: p.... Entonces, los coecientes de la combinaciones son iguales( son unicos!). Recprocamente: supongamos que todo v en el espacio generado por los vectores fv i g, puede escribirse de manera unica como combinacion lineal de ellos. s en particular el vector v = que esta en ese conjunto generado, puede escribirse de manera unica, = :v + 2 :v p :v p... entonces, por ser unica, deben ser los beta i =,i = ::: p!!. s los p vectores son linealmente independientes!. Ejercicios X 3. Mostrar que las las \no nulas " de una matriz en forma escalonada reducida forman un conjunto linealmente independiente de vectores. 3.2 (a) Mostrar que cualquier conjunto de 3 vectores en < 2 es linealmente dependiente. (b) Eso es verdad para un conjunto de cuatro?. (c) > ual es el maximo de elementos que un subconjunto linealmente independiente de < 2 puede tener? X 3.3 Hay algun conjunto de 4 vectores de < 3, tal que cualquier subconjunto de 3 vectores forme un conjunto linealmente independiente?. 3.4 > Todo conjunto linealmente dependiente, debe tener un subconjnto que es linealmente dependiente y un subconjunto independiente? 3.5 En < 4, > cual es el subconjunto mas grande de vectores linealmente independientes?. > Y el mas peque~no? X 3.6 (a) Mostrar que si el conjunto de vectores de un espacio vectorial V f~u ~v ~wg es un conjunto linealmente independiente entonces tambien lo es : f~u ~u + ~v ~u + ~v + ~wg. Pero que f~u ~v ~u + ~vg es dependiente. 3.7 El conjunto vaco es linealmente independiente. (a) > uando un conjunto de \un elemento" es linealmente independiente? (b) > Si el conjunto tiene 2 elementos, que deben cumplir para ser independientes? 3.2 Para practicar... 23

24 Ejercicios X 3. Decidir si cada uno de los siguientes subconjuntos de < 3 son linealmente independientes (pueden usar la P y el MTL para decidir). Para cada uno, cuando el conjunto es independiente debe probarse, y cuando es dependiente puede exponerse la dependencia (mediante un ejemplo). (a) f ;3 2 2 g 5 4 (b) f (c) f (d) f (e) f (f) f ; ;4 g g g ; ;4 2 4 ;3 2 ;4 g ; g X 3.2 Probar que cada conjunto ff ggdado, es linealmente independiente en el espacio vectorial de todas las funciones de < + a <. (a) f(x) =x y g(x) ==x (b) f(x) =cos(x) y g(x) = sin(x) (c) f(x) =e x y g(x) =ln(x) onsiderar Z la funcion cero: Z(x) =, para todo x. (yuda: ver que no son dependientes.) Otra forma: ver si es posible obtener la isma combinacion en particular, cuando x =,ocuando x = Mostrar que si f~x ~y ~zg es linealmente independiente entonces todos sus subconjuntos propios son linealmente independientes : f~x ~yg, f~x ~zg, f~y ~zg, f~xg,f~yg, f~zg, yfg. Vale la recproca?. 3.4 (a) Mostrar que el conjunto S = f ; 2 g es un subconjunto linealmente independiente de < 3. (b) Mostrar que

25 esta en el conjunto generado por S, encontrando los coecientes c y c 2 que determinan esa relacion: c + c2 ; 2 = 3 2 Mostrar que el par c, c 2 es unico. X 3.5 (a) Probar que un conjunto de dos vectores perpendiculares (no nulos) de < n es linealmente independiente si n>. (b) > Que pasa si n =? (c) Generalizar para mas que 2 vectores en < n ( alomas cuantos?). 3.6 Mostrar que, cuando S es un subespacio de V, si un subconjunto T de S es linealmente independiente en S entonces T es tambien linealmente independiente en V. La recproca, vale? 25

26 4 ases y dimension de los espacios vectoriales. Objetivo... un no sabemos cuando un conjunto generador de un espacio V es minimal!. En esta seccion veremos que un conjunto \generador" de un espacio vectorial V es \minimal" si los vectores en ese conjunto son \linealmente independientes".... Es decir, no sirve agregar \vectores superuos (que son dependientes de los otros)", ya que estos no agregan nada. Este tipo de conjunto \generador minimal", con vectores linealmente independientes, es un conjunto \ basico" de vectores, que provee las \piezas" para construir el espacio vectorial V. Denicion Un conjunto de vectores v v 2 ::: v p forma una base del espacio vectorial V, si y solo si:. fv v 2 ::: v p g son \linealmente independientes", y 2. fv v 2 ::: v p g generan V Ejemplo ases para R 3 : ase canonica: fe e 2 e 3 g = 8 9 < = : Vericar que cumplem () y (2). Otras bases de < 3 : etc < = < :. Tambien es una base : : ; 9 = Se debe vericar que son linealmente independientes y que generan al espacio total < 3. Ejemplo ases para R 22 : E =, E 2 =, E 3 = E 4 = Veamos que este conjunto es linealmente independiente... c c c :E + c 2 :E 2 + c 3 :E 3 + c 4 :E 2 4 = = c 3 c 4 y por tanto, c = c 2 = c 3 = c 4 =. Eso indica que son \linealmente independientes". Veamos ahora que \cualquier matriz de 2 2" puede ser generada a partir de esas matrices ( o que toda matriz de 2 2 se puede escribir como combinacion lineal de ellas) = a a 2 a 3 a 4 = a :E + a 2 :E 2 + a 3 :E 3 + a 4 :E 4 En consecuencia estos \cuatro" vectores son necesarios para formar una base de R 22., 26

27 Observacion Los vectores fe E 2 E 3 E 4 g se denotan tambien como fe E 2 E 2 E 22 g, son una base del espacio de las matrices de 2 2. Este resultado se puede extender para el caso de matrices de mn. Se necesitan ahora mn vectores(matrices) para formar una base de R mn. Otros ejemplos... Ejemplo Encontrar una \base" para el espacio nulo N(), si es la matriz de 2 4. = 2 El \espacio nulo" es un subespacio de < 4. En un ejemplo previo sobre espacio nulo, vimos que N () consiste de todos los vectores de la forma : ;2 + : donde y son dos numeros cualesquiera. Eso ) que los vectores de N () se pueden escribir como combinacion lineal de n = ; ;2 y n 2 = s... N () =gen(fn n 2 g = hn n 2 i...ese conjunto fn n 2 g, >es una base del N()?. Para ver eso,... hay que ver si el conjunto de los dos vectores fn n 2 g son linealmente independientes (observando los coecientes 3 y 4).... se concluye que son linealmente independientes!. En consecuencia, forman una \base" para N (), pues cumplen las \dos condiciones". Ejercicio Vericar que los vectores generadores de N(), del ejemplo previo, haciendo los calculos son linealmente independientes. ; 27

28 Ejercicio Usar el MTL: Dada una matriz (a) =[ ], siusa el comando: = null(), en da una base del N(), cuyos vectores son ortogonales, o sea una base ortogonal de N(). (b) Vericar que ese es el resultado que obtendra Ud., hallando N(), como se hizo antes. (c)si la matriz = [ ; ], hallar N() en su hoja, y luego usando el MTL, hallar un conjunto linealmente independiente de vectores de R 4 que genere a N(). Luego vericar:que toda combinacion de esos vectores del MTL, cumple que estan en N(). Ejercicio Resultado importante... Teorema Si S = fv v 2 ::: v n g forman un conjunto generador de V, entonces cualquier conjunto de m vectores de V, con m>n, es linealmente dependiente. Para demostrar ese resultado, es facil hacerlo si se piensa en que todo vector de V es una combinacion de los vectores de S. Usando el ultimo resultado... orolario Si = fv v 2 ::: v n g, y 2 = fu u 2 ::: u m g, son \dos bases" de V ) m = n. Demostracion. Si fv v 2 ::: v n g es una base de V entonces genera V. Los vectores fu u 2 ::: u m g son linealmente independientes, por ser base, y por lo tanto m n (por el teorema anterior). El mismo razonamiento dira que n m. Por lo tanto m = n. Dimension de un espacio vectorial Denicion Si una \base" de un espacio vectorial V tiene n vectores, se dice que V tiene dimension n. En particular, el subespacio fg, se dice que tiene dimension. Un espacio vectorial V se dice de dimension nita si existe un conjunto \nito" de vectores que lo generan. En caso contrario se dice que V tiene dimension innita. Ejemplos: () < n es de dimension nita pues todo vector se puede generar mediante un conjunto de \n vectores linealmente independientes", ejemplo: fe i g, i = ::: n. Ejemplo El espacio de todos polinomios de grado nito tiene una base con innito numero de vectores h x x 2 :::i. omentarios... Recordar que para determinar cuando \n vectores" de R n forman un conjunto \linealmente independiente" se puede construir una matriz de n n, cuyas columnas son los vectores en cuestion (en cualquier orden), y luego se evalua det().... Si det =, entonces es singular y los vectores son linealmente dependientes.... Si det 6=, entonces es \no singular" y los vectores son linealmente independientes. 28

29 Importante! Observacion Desde las sentencias anteriores se tiene:... Si es una matriz de n n, entonces no singular (det 6= ) implica que los vectores columna de son linealmente independientes. singular (det = ) implica que los vectores columna de son linealmente dependientes. omo det T = det, y los vectores columna de T son los vectores la de, se puede decir los mismo sobre los vectores las de... Si una matriz de n n es \no singular" (det 6= ), los vectores las y los vectores columnas de son linealmente independientes. Si es \singular" (det =), los vectores columnas y los vectores las de son linealmente dependientes. Sntesis Estas sentencias son consistentes con nuestros conocimientos anteriores: Un sistema lineal :x = b de n n siempre tiene una unica solucion si es no singular: Si es no singular, los vectores columnas de son linealmente independientes =) forman una base de R n =) cualquier vector columna b en R n puede escribirse (de forma unica) como combinacion lineal de los vectores columna de. =) :x = b tiene solucion unica. uando es singular, el sistema x = b, puede \tener innitas soluciones", o "no tener" solucion: Si es singular, los vectores columnas de son linealmente dependientes, =) no forman una base de R n =) no todos los vectores b de R n pueden escribirse como combinacion lineal de los vectores columnas de (porque esas columnas no forman una base de < n ) =) :x = b puede no tener solucion... o =) si :x = b tiene alguna solucion, esto es, si b puede escribirse como combinacion lineal de los vectores columna de, esta representacion no es unica: habra innitas soluciones ( porque?). Relacionando conocimientos... 29

30 Lista de equivalencias para matrices de n n (actualizacion) Lista Lista es no-singular (tiene inversa) es singuar (no tiene inversa) det 6= det = Los vectores columnas (los vectores las) de son linealmente independientes y generan R n. El sistema lineal :x = b tiene solucion unica x = ; :b. El sistema (homogeneo) :x = tiene solo la solucion trivial. El espacio nulo de contiene unicamente al vector nulo.(dimension = ) Los vectores columnas (los vectores las) de son linealmente dependientes y no generan R n. El sistema lineal :x = b no tiene solucion o tiene innitas soluciones (depende de b). El sistema (homogeneo) :x = tiene in- nitas soluciones. El espacio nulo de tiene dimension. es equivalente por las a I n. no es equivalente porlasai n. puede expresarse como producto de matrices no puede ser expresada como producto elementales. de matrices elementales. La denicion de dimension puede ser aplicada a subespacios:. Un vector no nulo x en R 3 genera un subespacio uni-dimensional de R 3 hxi = f:x : cualquier escalarg Un vector z pertenece a hxi si y solo si (z z 2 z 3 ) T es multiplo escalar de (x x 2 x 3 ) T. Geometricamente, un subespacio uni-dimensional de R 3 es una recta que pasa por el origen. 2. Dos vectores linealmente independientes, x e y en R 3 general un subespacio bidimensional de R 3 hx yi = f:x + :y : y escalares cualesquierag Un vector z pertenece a hx yi si y solo si (z z 2 z 3 ) T pertenece al plano generado por x, y y el origen. Geometricamente, un subespacio bi-dimensional de R 3 es un plano que pasa por el origen. Finalmemte... Teorema Si V es un espacio vectorial de \dimension n" (n >) entonces. ualquier conjunto de n vectores \linealmente independientes" de V genera todo V (forman una base de V ).demas 2. Todo conjunto de n vectores que generan V son \linealmente independientes" No lo demostramos aqu. onsultar la bibliografa. unque no es dicil pensarlo y hacerlo (el. es inmediato formando un sistema, y en el 2. pensar que ocurrira si fuesen dependientes, pueden generar todo el espacio de dimension n?. 3

31 onclusiones Es decir, que n-vectores linealmente independientes de un espacio V que tiene dimension n son una base de V. Las bases de V estan determinadas por n-vectores linealmente independientes. Ejemplo Determinar si los siguientes vectores forman una base de R 3 n( 2 3) T (;2 ) T ( ) T o omo la dimension de R 3 linealmente independientes ;2 2 3 es 3, solo necesitamos averiguar si estos 3 vectores son = (;) +3 :: ( ; 3) + (;) 2+3 :: (+6)+(;) 3+3 :: ( + 4) = ;3 +5=26= Por tanto, los vectores son \linealmente independientes" y forman una base de R 3. Ejercicios X 4. *** Hemos visto que toda base de < 3 contiene el mismo numero de vectores (= 3). (a) Mostrar que no hay subconjuntos de < 3 linealmente independientes, con mas de 3 elementos. (b) Dados los vectores a =[ ], y b =[ ] de < 3, analizar si son linealmente independientes, y si pueden generar a todo el espacio < 3. Por ejemplo: el vector [ ] se puede escribir como combinacion de esos vectores?. Hacerlo. (c) Mostrar que un subconjunto con menos de 3 elementos no genera < 3. Problema Demostrar que \ si V es un espacio vectorial de dimension n (n > )" entonces:. Ningun conjunto con menos de n vectores puede generar a V 2. ualquier conjunto con menos de n vectores linealmente independientes puede ser extendido para formar una base de V 3. ualquier conjunto con mas de n vectores que genere a V puede ser recortado para formar una base de V 4. Para practicar... 3

32 Ejercicios X 4. Decidir si son bases de < 3, los conjuntos que siguen: (a) (d) h i (b) h i (c) h 3 3 h 2 ; 3 i 4.2 Encontrar bases para el conjunto solucion del sistema: x ; 4x 2 +3x 3 ; x 4 = 2x ; 8x 2 +6x 3 ; 2x 4 = 2 ; Tener en cuenta que la reduccion (vericar) indica que ;4 3 ; ;2 + 2 ;4 3 ; ;! 2 ;8 6 ;2 da la unica condicion que x =4x 2 ; 3x 3 + x 4. El conjunto solucion es 4x 2 ; 3x 3 + x 4 f x 2 x 3 4 ;3 x2 x 3 x 4 2<g= fx 2 + x 3 + x 4 x 4 Observar que la candidata obvia para la base es: h 4 ;3 i 2 5 i x2 x 3 x 4 2<g Mostrar que es cierto!. X 4.3 Encontrar una base para M 22, las matrices de 22. X 4.4 Encontrar una base para : (a) El espacio de los vectores las de 3- componentes (x x2 x3), cuya suma de la componente y2escero. 4.5 Debe una base permanecer siendo base aunque sus terminos se permuten? 4.6 Puede una base de V contener al vector \cero" de V? X 4.7 Sea h ~ ~ 2 ~ 3 i una base de un espacio vectorial (de dimension 3). (a) Mostrar que hc ~ c 2 ~ 2 c 3 ~ 3 i es una base cuando c c 2 c 3 6=. >Que sucede cuando al menos algun c i es? (b) Probar que h~ ~ 2 ~ 3 i es una base si ~ i = ~ + ~ i. X 4.8 Si h ~ ::: ~ n i es una base, mostrar que en la ecuacion c ~ + + c k ~ k = c k+ ~ k+ + + c n ~ n todos los c i 's valen cero. Generalizar. 4.9 Para un conjunto base, hemos mostrado que todas sus combinaciones lineales son unicas. Si un conjunto \no es una base", >puede tener combinaciones lineales distintas que den el mismo vector? 32

33 4.2 ases canonicas Para R n, los vectores fe e 2 ::: e n g:.,.,,. Para R 22, los vectores (matrices de 2 2):,,, ase para P n : las funciones polinomicas: p (x) = p (x) =x ::: p n; (x) =x n; omentarios Estas bases parecen ser las mas simples y las mas \naturales" para ser usadas. Sin embargo,... en algunos contextos (y en algunas aplicaciones) no son convenientes o utiles. Esto nos lleva a considerar ::: 5 ases, coordenadas y cambio de base 5. oordenadas de un vector Un vector x = (x x 2 ) T de R 2 puede expresarse en terminos de la base canonica e e 2 como x = x :e + x 2 :e 2 Podemos considerar a x y a x 2 como las coordenadas de x con respecto a la base canonica fe e 2 g. Gracar.... Tambien podemos escribir a x como combinacion lineal de otras bases de R 2, es decir... se puede usar como base cualquier par de vectores y y z linealmente independientes x = :y + :z... hora y seran las coordenadas de x con respecto alabase fy zg. Si ordenamos los vectores de esta base, y y z (y es el primero en la base y z es el segundo), y... escribimos las base ordenada como... entonces podemos referirnos a respecto a la base [y z]. [y z] =( ) T como el vector de coordenadas de x con 33

34 Las coordenadas del vector x con respecto a la base canonica son(x x 2 ) T,pero esto no es cierto si consideramos cualquier otra base [y z]. Sobre el orden en los vectores de una base: Observacion El vector coordenadas de un vector x con respecto a una base ordenada [z y]... es ( ) T, y el vector coordenadas de x con respecto a la base ordenada [e 2 e ]... es (x 2 x ) T. omentarios El orden de los vectores en una base es importante, y se indica usualmente en forma explcita mediante los subndices [u u 2 ::: u n ] Ejemplo En R 2, sean: u = (2 ) T y u 2 = ( 4) T (como u y u 2 son linealmente independientes, forman una base de R 2 ). El vector puede ser escrito como x =(7 7) T =7:e +7:e 2 x =3:u + u 2... en consecuencia, el vector coordenadas de x con respecto a [u u 2 ] es... (3 ) T : Ejercicio Encontrar las coordenadas respecto de la base indicada, para el vector: ;, si la base es = h i<

35 5.2 ambio de base Objetivo... Pregunta: Si para un vector especco, se conocen las coordenadas respecto de una base,... >como se obtienen las coordenadas respecto de otra base?... >omo ir de una base a la otra, y conocer las coordenadas respecto de las respectivas bases?. En R 2, supongamos que queremos intercambiar las bases [e e 2 ] y [u u 2 ], siendo 3 u = y u 2 = 2 ) hay dos problemas distintos: Uno... x. Dado un vector x = = x x :e + x 2 :e 2, encontrar sus coordenadas con respecto 2 a[u u 2 ]. Otro Dado un vector con coordenadas respecto de la base u y u 2, c :u +c 2 :u 2, encontrar sus coordenadas con respecto alabase[e e 2 ]. Para resolver el segundo problema: ase "vieja": [u u 2 ] ase "nueva": [e e 2 ]... expresamos los vectores de la \base vieja" en terminos de los vectores de la \base nueva" Entonces... u = 3:e +2:e 2 u 2 = e + e 2 : x = c :u + c 2 :u 2 = (3c :e +2c :e 2 )+(c 2 :e + c 2 :e 2 ) = (3c + c 2 ) :e +(2c + c 2 ) :e 2 =) que el vector de coordenadas de x, x =(c :u + c 2 :u 2 ) con respecto a[e e 2 ] es 3c + c x 2 = = 2c + c 2... Por tanto, si consideramos la matriz... U =(u u 2 )= 3 2 3, 2 : c c 2 Si c = (c c 2 ) T es el vector de coordenadas respecto de la base fu u 2 g, entonces el producto U:c da el vector de las coordenadas de x, respecto de la base canonica. 35

36 onclusiones s dado cualquier vector de coordenadas c con respecto a la base [u u 2 ],... para encontrar el correspondiente vector de coordenadas x, con respecto a la base [e e 2 ], debemos multiplicar U por c: x = U:c La matriz U de 2 2 se llama matriz de transicion de la base ordenada [u u 2 ] a la base ordenada [e e 2 ].... hora, para responder al otro problema (el primer problema propuesto): conociendo las coordenadas de un vector respecto de la \base canonica", >como se procede para conocer las coordenadas respecto de la base dada por \ u y u 2 "?. Necesitamos la matriz de transicion de la base canonica a la \nueva" es decir de [e e 2 ] a[u u 2 ] Esto es simple, como los vectores columnas de la matriz U u y u 2 son linealmente independientes, la matriz U =(u u 2 )= 3 2 es \no singular". s \tiene inversa" U ;.... Luego, las coordenadas c respecto de la base fu u 2 g se obtienen... c = U ; :x... es decir, U ; es la matriz de transicion de [e e 2 ] a [u u 2 ]. Ejemplo Encontrar las coordenadas de x = Tomamos, de nuevo, U = U ; = 3 2 (3 ; 2) 7 con respecto a la base [u 4 u 2 ] anterior. ; = ;2 3 ; ;2 3 y por tantolas coordenadas c respecto de la otra base... c = U ; ; 7 :x = : = ; ;2, s eso signica que 3 y ;2 son las coordenadas respecto de la base nueva, o sea: x =3:u ; 2:u 2 36

37 Ejercicio Encontrar la matriz de transicion de [e e 2 ] a [b b 2 ], donde ;2 b =, b ; 2 = 3 La matriz de transicion de [b b 2 ] a [e e 2 ] es ;2 =(b b 2 )= ; 3 Por tanto, la matriz de transicion de [e e 2 ] a [b b 2 ] es 3 2 ; = Si x =, su vector de coordenadas c con respecto a la base [b b 2 ] es 2 c = ; :x = 3 2 : = hequeo... ;2 7:b +3:b 2 = 7: +3: ; 3 7 ;6 = + ;7 9 = = x 2 aso mas general: Llamemos S a la matriz de transicion de la base ordenada [v v 2 ] de R 2 a [u u 2 ]... >omo se hallan los coecientes s ij? omo s s S 2 = s 2 s 22 v =:v +:v 2,... su vector de coordenadas relativo a[u u 2 ] es... demas, como v 2 =:v +:v 2 37