Anticipación de Turbulencia en Mercados Latinoamericanos: La Crisis Mexicana de 1994

Transcripción

1 1 Anticipación de Turbulencia en Mercados Latinoamericanos: La Crisis Mexicana de 1994 Rosales, L.F. Φ Posadas, A. Quiroz, R. Mayo de 2006 Φ Centro de Investigación de la Universidad del Pacífico (CIUP). Centro Internacional de la Papa (CIP).

2 Contenidos 2 Contenidos 1 Motivación 3 2 Fractales en la Naturaleza 11 3 Multifractales en la Naturaleza 32 4 Indicador de Crisis y Resultados Empíricos 44 5 Conclusiones 56

3 1 Motivación 3 1 Motivación

4 1 Motivación 4 Una pregunta vieja, Se Puede Predecir una Crisis Financiera?

5 1 Motivación 5 Respuestas (también viejas), Pregunta complicada. De eso ya se ha escrito bastante. Depende del tipo de crisis. Análisis técnico insuficiente. El cualitativo es mejor.

6 1 Motivación 6 Entonces no pensemos (por un momento) en finanzas. Pensemos mejor en cómo se previenen las crisis en otros ámbitos. Por ejemplo, los paros cardíacos. Figura 1: Pulsoxímetro. En Cardiología el ritmo cardíaco es uno de los principales indicadores de la salud del paciente.

7 1 Motivación 7 En años recientes el análisis multifractal del ritmo cardíaco ha brindado nueva evidencia para la detección de fallas cardíacas. Lin, D.C., y Hughson, R.L. (2001), Fischer, R., Akay, M., Castiglioni, P., y Di Rienzo, M. (2003), Ching, E.S., Lin, D.C., y Zhang, C. (2004). Estos estudios concluyen que pacientes con fallas cardíacas presentan un ritmo cardíaco más regular que una persona saludable, y que son ellos los que tienen una mayor probabilidad de sufrir un ataque cardíacos.

8 1 Motivación 8 Pero este incremento en la regularidad previo a algún tipo de comportamiento caótico, no se observa sólo en medicina.

9 1 Motivación 9 Entonces pensemos en otro ejemplo en el que una calma anómala anteceda el caos. Figura 2: Playas Tailandesas. Foto tomada en el año Es un hecho conocido que las olas más grandes son precedidas por periodos extráñamente calmos, y que en tanto más se prolongue la calma, la ola que vendrá será más fuerte.

10 1 Motivación 10 Volvamos, ahora sí, a pensar en finanzas. Es un hecho, también documentado, que antes del desenlace de una crisis financiera en un mercado determinado, se manifiesta una regularidad inusual en el proceso de retornos de su índice general. En estos periodos es posible encontrar correlaciones entre la serie y su pasado, i.e. el mercado se vuelve ineficiente. En este documento se aplican técnicas de análisis multifractal para identificar la calma anómala en índices bursátiles, y se construye un indicador de alerta que anteceda las crisis.

11 2 Fractales en la Naturaleza 11 2 Fractales en la Naturaleza

12 2 Fractales en la Naturaleza 12 Pero antes, Qué es un fractal? Definición 2.1 (Fractal) A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way.. Esta característica se denomina autosimilaridad. Mandelbrot(1986) Ejemplos de fractales determinísticos : el conjunto de Mandelbrot, el triángulo de Sierpinski, o la curva de triádica de Kotch.

13 2 Fractales en la Naturaleza 13 Ejemplo 2.1 (Curva Triádica de Kotch) Figura 3: Curva de Kotch. La curva es invariante en traslaciones y dilataciones. La primera figura muestra el conjunto generador (iteracíın 1), y la segunda la iteración 2.

14 2 Fractales en la Naturaleza Pero ma s alla que una curiosidad matema tica, no es difı cil encontrarse con alguno de manera cotidiana. Figura 4: Fractales en la Naturaleza. El primer gra fico muestra un Chou Romanesco, y el segundo un a rbol ordinario. 14

15 2 Fractales en la Naturaleza 15 De hecho una de las primeras aplicaciones de la geometría fractal consistió en medir la longitud de las costas. Figura 5: Ilha da Trauira. Costa Noreste de Brasil.

16 2 Fractales en la Naturaleza 16 Pero Cómo? Aprovechando su propiedad fundamental: la autosimilaridad, i.e. invarianza en traslaciones y dilataciones. De manera más formal, si la costa es fráctal, y es cubierta por una malla imaginaria formada por cuadrados de lado δ, se debe cumplir que L(δ) aδ 1 D (1) donde L(δ) es la longitud de la costa, a R, y D es su dimensión fractal box-counting.

17 2 Fractales en la Naturaleza 17 Es decir, la longitud depende positivamente de δ, pues una mayor resolución (menor δ) permite capturar más irregularidades. En términos más familiares, si se toma ln a (1), se obtiene la relación ln L(δ) = ln a + (1 D) ln δ + ɛ (2) que permite obtener D mediante una regresión ordinaria.

18 2 Fractales en la Naturaleza 18 De manera más formal, la dimensión de Hausdorff-Besicovitch (D) de un conjunto de puntos S es la dimensión crítica para la que la medida M d cambia de 0 a : M d = δ d = N(δ)δ d. (3) Donde d es tal que la medida no es 0 ni cuando δ 0. Además es fácil de computar regresionando N(δ) contra δ en N(δ) 1 δ D (4) y seleccionando el rango de escalamiento fractal [δ 0, δ 1 ] como en

19 2 Fractales en la Naturaleza 19 Figura 6: Escalamiento de la Medida (L(δ)) en función de δ.

20 2 Fractales en la Naturaleza 20 Un fractal modela adecuadamente algunos fenómenos naturales, pero se puede hablar de autosimilaridad en un proceso estocástico? Sí. Pero en este caso, se habla de autoafinidad. Y se verifica por la estabilidad de la ley de probabilidad en traslaciones y en dilataciones.

21 2 Fractales en la Naturaleza 21 Recordemos a un viejo conocido. Ejemplo 2.2 (Camino Muestral de un mbo) Figura 7: Movimiento Browniano Ordinario. Desde la tesis de Bachelier (1901) se convirtió en un modelo popular para describir la trayectoria de los precios.

22 2 Fractales en la Naturaleza 22 donde la autoafinidad se garantiza porque un en mbo se cumplen las siguientes proposiciones : Proposición 2.1 (Invarianza en Traslaciones mbo) Sea B(t) un mbo, para cualquier secuencia {0 < t 1 <... < t n } R y conjuntos borelianos {A 1,..., A n } R, se cumple que donde P {B(t 1 ) A 1,..., B(t n ) A n } (5) Z Z =... p(t 1, 0, x 1 )p(t 2 t 1, x 1, x 2 ) A 1 A n... p(t n t n 1, x n 1, x n ), p(t, x, y) = 1 (x y)2 exp( ) (6) 2πt 2t está definido para cualquier x, y R y t > 0.

23 2 Fractales en la Naturaleza 23 Proposición 2.2 (Invarianza en Dilataciones mbo) Sea B(t) un mbo, para todo c > 0 se cumple que es también un mbo. V (t) = 1 c B(c2 t) (7)

24 2 Fractales en la Naturaleza 24 De manera análoga, la generalización del mbo, o movimiento Browniano fraccional, es también un proceso fractal y se cumple que: Proposición 2.3 (Invarianza en Dilataciones mbf) Sea B H (t) un mbf, para todo c > 0 se cumple que V H (t) = 1 c B H(c 1 H t) (8) es también un mbf, y H es denominado exponente de Hurst. la cual es igual que la proposición anterior cuando H = 1 2.

25 2 Fractales en la Naturaleza 25 Ejemplo 2.3 (Camino Muestral de un mbf) Figura 8: Movimientos Brownianos Fraccionales. Se muestran 3 caminos muestrales con diferentes exponentes de Hurst.

26 2 Fractales en la Naturaleza 26 Es fácil ver que las señales más irregulares están asociadas a un exponente de Hurst menor. Es fácil intuir que existe una relación inversa entre D y H. De manera más formal, por la ecuación de Voss se sabe que D = 2 H (9)

27 2 Fractales en la Naturaleza 27 Muy bien, pero estos viejos (y no tan viejos) conocidos, funcionan bien? No tanto : el mbo implica procesos Gaussianos en retorno que no capturan la naturaleza de las series financieras (colas anchas, conglomerados de volatilidad, etc.), y los mbf generan arbitrage c.s. en la versión fraccional del modelo Black-Scholes. Pero, por qué no pasa esto?

28 2 Fractales en la Naturaleza 28 Recordemos la definición de Mandelbrot (1986), y veamos. Figura 9: Modelo Monofractal. Arriba se muestra el retorno del IGBVL. Abajo un proceso Gaussiano asociado al retorno del IGBVL.

29 2 Fractales en la Naturaleza 29 De hecho, en la ecuación (8) no se cumple que el exponente de H (y en consecuencia D) sea estable. Si no que es función de tiempo.

30 2 Fractales en la Naturaleza 30 Figura 10: Cómputo Local del Exponente de Hurst para el IGBVL.

31 2 Fractales en la Naturaleza 31 El modelo fractal fracasa. Es preciso buscar un modelo que considere más de un núcleo generador,que considere múltiples exponentes de Hurst y múltiples dimensiones fractales asociadas a ellos. Ese modelo es el multifractal.

32 3 Multifractales en la Naturaleza 32 3 Multifractales en la Naturaleza

33 3 Multifractales en la Naturaleza 33 Características básicas de un multifractal: El exponente de Hurst es inestable. Permite múltiples núcleos generadores. Es un proceso multiafin. Se analiza la señal y sus momentos estadísticos (q).

34 3 Multifractales en la Naturaleza 34 Figura 11: Paisaje Multifractal Generado Artificialmente. La autoafinidad es local.

35 3 Multifractales en la Naturaleza 35 Pues bien, ahora calculemos la medida multifractal como en (3) para dimensiones box-counting : M d (q, δ) = N T i=1 P q i δd = N(q, δ)δ d. (10) Donde d es tal que la medida no es 0 ni cuando δ 0, i es la masa o probabilidad de ubicarse en la i-ésima celda, y q R es el momento estadístico, i.e. si q = 2 es la varianza, si q = 3 es la curtosis. Donde la probabilidad de ubicarse en una celda δ es P i (δ) = N i(δ) N T, (11)

36 3 Multifractales en la Naturaleza 36 y escala con la anomaĺıa P i (δ) δ α i (12) que, análogamente a lo que ocurre en (4), cumple con N(α) δ f(α) (13) Muy bien, pero... en realidad esa cosa qué hace?.

37 3 Multifractales en la Naturaleza 37 Calcula una dimensión fractal para cada momento estadísitico.

38 3 Multifractales en la Naturaleza 38 Figura 12: Momentos Estadísticos del Retorno del IGBVL.

39 3 Multifractales en la Naturaleza 39 Esa familia de dimensiones se grafica mediante el espectro multifractal. Donde a cada dimensión se le asocia un tipo de singularidad. Y el tipo de singularidad es medido por exponentes de Hölder (α).

40 3 Multifractales en la Naturaleza 40 De manera más formal, los exponente de Hölder (α) se calculan localmente mediante Definición 3.1 (Exponentes de Hölder Punto a Punto) El exponente de Hölder punto a punto de una función f(x) es el supremo de los exponentes de Lipschitz α L de x tales que: f(x) P n (x x 0 ) < C x x 0 α L (14) donde C es una constante y P n es un polinomio de grado n. Siendo α L (x) = sup{α L : f(x) C α L x } (15)

41 3 Multifractales en la Naturaleza 41 De hecho, siguiendo Chhabra (1989) se puede encontrar una solución cerrada para el espectro multifractal en función de los exponentes de Hölder mediante: f(α(q)) = qα(q) τ(q) (16) con siendo α(q) = dτ(q) dq, (17) τ(q) = (q 1)D q (18) y para 1 D q = lim δ 0 q 1 ln N(δ) i=1 (δ) ln δ (19)

42 3 Multifractales en la Naturaleza 42 Y para señales financieras, esto se ve más o menos así...

43 3 Multifractales en la Naturaleza MERVAL SE IBOVESPA SE 0.95 IGBVL SE Figura 13: Espectros Multifractales de los retornos del MERVAL, IBOVESPA e IG- BVL

44 4 Indicador de Crisis y Resultados Empíricos 44 4 Indicador de Crisis y Resultados Empíricos

45 4 Indicador de Crisis y Resultados Empíricos 45 Objetivo : encontrar un patrón que anteceda la crisis. Método (Parte 1): Selección del Líder. Realizar el computo de espectros multifractales localmente, i.e. hacer rolling windows de 1000 observaciones y calcular los espectros para incrementos de una observación. Recoger estadísticos de los espectros (media, varianza, mínimo, máximo, etc.) Seleccionar un estadístico ĺıder que anteceda la crisis. Desarrollar un criterio de detección para el estadístico ĺıder.

46 4 Indicador de Crisis y Resultados Empíricos 46 Primero, hagamos una inspección preliminar de los datos. Tabla 1: Inspección de los Datos Índice Periodo Pre-crisis Periodo de Crisis MERVAL 10/19/89-04/06/94 04/07/94-03/31/00 IBOVESPA 01/02/89-07/05/93 07/06/93-08/02/99 IGBVL 01/30/87-06/27/91 06/28/91-07/01/97

47 4 Indicador de Crisis y Resultados Empíricos 47 E identifiquemos los periodos de Crisis Tabla 2: Días Importantes de la Crisis Dates Data Points Índice Contagio Climax Tequila Contagio Climax MERVAL 12/21/94 01/10/ IBOVESPA 12/21/94 01/10/ IGBVL 01/09/95 01/10/

48 4 Indicador de Crisis y Resultados Empíricos Min H Max H Inf H Tequila Effect Figura 14: Trayectorias Multifractales en MERVAL.

49 4 Indicador de Crisis y Resultados Empíricos Min H Max H Inf H Tequila Effect Figura 15: Trayectorias Multifractales en IBOVESPA.

50 4 Indicador de Crisis y Resultados Empíricos Max H Min H Inf H Tequila Effect Figura 16: Trayectorias Multifractales en IGBVL.

51 4 Indicador de Crisis y Resultados Empíricos 51 Método (Parte 2): Construcción del Indicador. Se modela el indicador seleccionado con una media móvil. Se estima el error del modelo. Se colocan bandas al error. Se dice que viene una crisis si se da un cruzamiento hacia arriba (con o sin movimiento pendular).

52 4 Indicador de Crisis y Resultados Empíricos Min H Sup Band Inf Band B C Min H Sup Band Inf Band D 0 E A Figura 17: Indicador de Crisis en MERVAL.

53 4 Indicador de Crisis y Resultados Empíricos Min H Sup Band Inf Bamd B Min H Sup Band Inf Bamd C D A Figura 18: Indicador de Crisis en IBOVESPA.

54 4 Indicador de Crisis y Resultados Empíricos Min H Sup Band Inf Band B D B E Min H Sup Band Inf Band A Figura 19: Indicador de Crisis en IGBVL.

55 4 Indicador de Crisis y Resultados Empíricos 55 Veamos algunos resultados Tabla 3: CSI Empirical Results Index Crossing Date Crossing Point MERVAL 09/05/ IBOVESPA 09/20/ IGBVL 01/03/95 874

56 5 Conclusiones 56 5 Conclusiones

57 5 Conclusiones 57 Existe un patrón aparente en la trayectoria de exponente de Hölder mínimos en MERVAL, IBOVESPA, e IGBVL. Esos patrones aparecen como saltos hacia arriba aproximadamente 60 días antes de que ocurriera la crisis mexicana. Estos cambios se pueden capturar mediante el indicador de alerta CSI. Los saltos hacia arriba implican un incremento extraño en la regularidad del proceso (como con las olas) que antecede el caos. La validación del método está condicionada a la experimentación con un mayor número de países y con otras crisis.

58 Referencias 58 Referencias [1] A. Arneodo, E. Bacry, and J.Muzy: Random Cascades of Wavelet Dyadic Trees. Journal of Mathematical Physics. Vol. 39. N. 8, [2] S. Droztz, J.Kawapien, P. Oswiecimka, y R. Rak: Investigating Multi-fractality of Stock Market Fluctuations Using Wavelet and Detrending Fluctuation Methods. Acta Physica Polonica B. Vol. 36, N. 8, [3] J. Feder: Fractals. Plenum Press, NY, [4] J. Hausdorff, Y. Ashkenazy, C. Peng, P. Ivanov, H. Stanley, A. Goldberger: When Human Walking Becomes Random Walking: Fractal Analysis and Modeling of Gait Rhythm Fluctuations. Physica A 302, [5] V. Lapenna, J. Makris, V. Saltas, L. Telesca, y F. Vallianatos: Monofractal and Multi-fractal Analysis in Short-Term Time Dynamics of ULF Geomagnetic Field Measured in Crete, Greece. Bulletin of the Geological Society of Greece. Vol. XXXVI, [6] S. Lovejoy, D. Schertzer: Multi-fractal Fluctuations in Finance. Int. J. Theor. Appl. Fin., Vol. 3, N. 3, 2002.

59 Referencias 59 [7] B. Mandelbrot: Fractals and Scaling in Finance: Discontinuity, Concentration and Risk. Springer-Verlag, [8] B. Mandelbrot: Forecast of Future Prices, Unibiased Markets, and Martingale Models. Journal of Business, Vol. 39, pp [9] C. Parodi: Globalización y Crisis Financieras Internacionales. Universidad del Pacífico, Centro de Investigación, [10] R. Riedi: Multi-fractal Processes. In. P. Doukhan, G. Oppenheim, y M. Taqqu: Theory and Applications of Long-Range Dependence, pp Birkhauser, [11] A. Shiryaev: Essentials of Stochastic Finance: Facts, Models, Theory. Advanced Series on Statistical Science & Applied Probability, 3, [12] R. Yalamova et al.: Multifractal Spectral Analysis of the 1987 Stock Market Crash. Ken State University, Department of Finance, 2004.