Universidad Nacional de Río Cuarto. Facultad de Ingeniería. Área de Matemática I N G R E S O Matemática

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1 Universidad Nacional de Río Cuarto Facultad de Ingeniería Área de Matemática I N G R E S O 0 0 Matemática

2 Docentes ejecutores: Jorge Agustín Adaro: Adrián Barone: Alejandra Méndez: Jorge Morsetto: Gabriel Paisio: David Palumbo: Fabián Romero: María Nidia Ziletti: Javier Zizzias:

3 Algunos signos y símbolos utilizados en matemática = Igual a Idéntico a, se define como > Mayor que < Menor que Mayor o igual que Pertenece Está incluído Para todo y // Paralelo Entonces Eiste Unión / Tal que La sumatoria de Conjunto Vacío Diferente Aproimadamente igual >> Mucho mayor que << Mucho menor que Menor o igual No pertenece No está incluido! Eiste un único ó Perpendicular Sí y solo sí No eiste Intersección Por lo tanto La productoria de ALFABETO GRIEGO Alfa Α α Beta Β β Gamma Γ γ Delta Δ δ Epsilon Ε ε Zeta Ζ ζ Eta Η η Theta Θ θ Iota Ι ι Kappa Κ κ Lambda Λ λ Mu Μ μ Un Ν ν Xi Ξ ξ Omicron Ο ο Pi Π π Rho Ρ ρ Sigma Σ σ Tau Τ τ Ipsilon Υ υ Fi Φ φ Ji Χ χ Psi Ψ ψ Omega Ω ω

4 ÍNDICE Presentación Operaciones con Números Reales Funciones Funciones Lineales Funciones Cuadráticas Funciones Eponenciales y Logarítmicas Funciones Trigonométricas

5 Presentación Nos es muy grato comenzar con ustedes este CURSO INTRODUCTORIO DE MATEMÁTICA a través del cual intentamos rescatar sus eperiencias, conocimientos y hábitos de estudio en relación a la matemática para vincularlos con los nuevos temas y modos de tratamiento que hemos pensado, podrían favorecer el aprendizaje. También deseamos que esta sea una oportunidad para que comiencen a familiarizarse con todo lo que supone la vida universitaria: establecer relaciones con sus nuevos compañeros y los docentes, conocer el lugar donde pasarán gran parte de su tiempo,... Probablemente ustedes se pregunten cual es el aporte de la matemática a la ingeniería para que se halle incorporada al plan de estudios de la carrera. Intentando responder a esto hay quienes dicen que "ningún problema de ingeniería se puede resolver sin los recursos de la matemática" aunque puede ser "discutible la etensión y profundidad de la cultura matemática del ingeniero". También se afirma que "la matemática es uno de los más poderosos medios de que dispone el hombre para transformar la naturaleza en su beneficio (nosotros preferiríamos hablar de una transformación respetuosa del equilibrio de la naturaleza); además de economía de pensamiento es un instrumento de pensamiento constructivo". "El hombre común también necesita de un mínimo de conocimientos matemáticos para interpretar muchas cosas que lee en el diario. Por ejemplo, para entender al ministro de economía cuando menciona el sueldo medio, diferenciándolo del sueldo ganado por más cantidad de personas, o para interpretar el gráfico que muestra la variación del índice del costo de la vida en los últimos meses o la descripción de cualquier otro tipo de fenómeno". Siendo la matemática - por lo que hemos comentado - una disciplina tan importante para la vida cotidiana, para la carrera y para otras disciplinas, queremos que su aprendizaje sea significativo, de ahí que no abundaremos en detalles innecesarios que sólo producen cansancio y desorientación. Deteniéndonos solamente en los conceptos principales es posible llegar bastante lejos en poco tiempo. También formarán parte del desarrollo conceptual de los temas del curso, algunas lecturas que den cuenta del aporte y de la importancia de la matemática en diversos ámbitos, temas y problemas tanto de la ciencia como de la sociedad. Presentación Ingreso Facultad de Ingeniería Ingreso 00 (5)

6 Asimismo, debido a que pensamos que el aprendizaje de toda disciplina debe tener sentido y valor para el estudiante, hemos previsto la refleión y discusión acerca de lo que nos pasa con la enseñanza y aprendizaje de la matemática y las probables dificultades con las que nos vayamos encontrando. Esperamos que el tiempo compartido sea de valiosos y agradables aprendizajes (6) Presentación Ingreso Facultad de Ingeniería Ingreso 00

7 Operaciones con Números 0 Reales Objetivos: Los números reales. Pretendemos que a medida que avancemos con este tema seamos capaces de reconocer los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Que aprendamos a operar con epresiones algebraicas, aplicando las distintas propiedades que poseen. Operaciones con números reales. Potenciación de Números Reales. Radicación de Números Reales. Modalidad: Esta unidad es de revisión elemental y deberá desarrollarla cada alumno en forma personal y según las necesidades de reafirmación de conceptos que se presenten durante la lectura de los temas que se desarrollan en este capítulo. Potenciación de eponente racional. Racionalización de denominadores. Relaciones de Igualdad. Epresiones Algebraicas Polinomios. Epresiones Racionales Polinómicas. Actividades. Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00 ( 7 )

8 ( 8 ) Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00

9 LOS NÚMEROS REALES La noción de número es muy antigua, los pueblos primitivos usaban piedras para contar sus rebaños... En la actualidad de qué nos valemos para contar?... Los números que usamos para contar son los llamados NÚMEROS NATURALES, y designaremos al conjunto de estos números como N. Consideraremos al cero número natural y distinguiremos con N-{0} al conjunto que no contiene el cero. En este conjunto N, podemos sumar y multiplicar sin salirnos de él, (en este caso se dice que la suma y la multiplicación son cerradas), la resta no siempre es posible ya que si queremos resolver a-b donde b es mayor que a, necesitamos otros números... De aquí surgen los NÚMEROS NEGATIVOS, que junto a los naturales forman el conjunto de los NÚMEROS ENTEROS, que designaremos Z.. En este conjunto, la suma, la resta y la multiplicación son cerradas. Le proponemos a continuación que piensen si siempre es posible efectuar la división en Z. Los ayudamos con este ejemplo: 4: =? Debemos pensar en un número entero tal que al multiplicarlo por de por resultado 4. Qué número entero cumple con esta condición? Para poder resolver esta situación vamos a introducir otro conjunto numérico: los NÚMEROS RACIONALES. Los designaremos por la letra Q. Un número racional es el cociente de dos números enteros m y n siendo n 0 (recordamos que la división por cero no está definida). En este conjunto, la suma, la resta, la multiplicación y la división son cerradas. Veamos algunos ejemplos: 7 es racional porque 7 y 5 son enteros 5 0 es racional porque se puede epresar como 0 y ambos son enteros 0, es la epresión decimal del número racional 9 5 Todo número racional puede representarse como una epresión decimal periódica o limitada. Por ejemplo: 7 =,...=, periódica pura Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00 ( 9 )

10 ) = 0, = 0,5 90 periódica mita 9 = 0,45 decimal limitada 0 A continuación estableceremos cuando dos números racionales son iguales: m p m p Sean y dos números racionales, = si y solo si m.q = n.p n q n q Pueden representar todos los números que conocen mediante una epresión decimal limitada o periódica? Pidan a su calculadora el número π. El resultado que obtuvieron es sólo una aproimación. Hasta el año 98 dos japoneses habían calculado cifras decimales del número π. Todo número cuya epresión decimal no es limitada o periódica constituye un NÚMERO IRRACIONAL. Otros ejemplos de números irracionales son: ; ; 5 ; e =, ; ; 4 ; 5 Al conjunto de los números irracionales los designaremos con la letra I. La unión de los conjuntos I y Q constituye el conjunto de los reales R. Entonces, la relación de dependencia de estos conjuntos es: N Z Q ; Q I = R Estas relaciones nos muestran la importancia de conocer las operaciones y sus propiedades en R pues con ello conocemos las operaciones y propiedades en N, Z y Q. Es conveniente que ahora recordemos las propiedades que gozan algunas operaciones. La aplicación correcta de las mismas ayuda a un manejo fluido de las operaciones con números reales. Además trataremos de introducirnos en el lenguaje simbólico de la matemática. ( 0 ) Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00

11 OPERACIONES CON NÚMEROS REALES La suma cumple con las siguientes propiedades: Ley de cierre: Para cada par de números reales a y b eiste un único número real llamado suma denotado por a+b. a b R,! c R/ a + b =c Asociativa: En una adición de tres sumandos es igual sumar los dos primeros y a esto el tercero, que sumar al primero la suma del segundo y del tercero. a, b, c R, (a + b)+c = a +(b+c) Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma. a, b R, a + b = b + a Eistencia del elemento neutro: Eiste un número real llamado cero tal que sumado a cualquier número a da como resultado el mismo número a a R, 0 R / a + 0 = 0 + a = a Eistencia del inverso: Para cualquier número real a eiste un número real -a llamado inverso aditivo u opuesto, tal que sumado con a da como resultado el elemento neutro. a R, -a R / a + (-a) = (-a) + a = 0 Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma: a, b, c R, ( a + b). c = a.c + b.c (Realizar las actividades a 5) Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00 ( )

12 POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES Por definición: n N a n = a a... a si n 44 n veces a 0 = si a 0 a -n = (a - ) n = a n n N, a 0 Propiedades de la Potenciación: Distributiva respecto del producto: (a b) n = a n b n Distributiva respecto del cociente: a b n n a = b Producto de potencias de igual base: a m a n = a m+n n Cociente de potencias de igual base: Potencia de potencias: a a m n = a m n (a m ) n = a m n La potenciación no es distributiva respecto de la suma: (a+b) n a n + b n Verifiquemos esta afirmación con un contraejemplo: ( 5 + ) ( 5 + ) = 8 = 64 = = 4 ( 5 + ) 5 + ( ) Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00

13 RADICACIÓN DE NÚMEROS REALES Recordemos ahora la definición de radicación y sus propiedades: Dado un número natural "n" mayor que cero, y "a" un número real, se llama raíz n-ésima de "a" al número b, tal que la potencia n-ésima de "b" es igual a "a". n {} n a = b b = a, n N 0 n = índice a = radicando b = raíz Ejemplo: 8 = = 8 / 64 = -/4 (-/4) = -(/64) La radicación es siempre posible en R? Para dar respuesta a esta pregunta analicemos el siguiente ejemplo: Para calcular 9 debemos pensar que número elevado al cuadrado es -9. Eiste algún número real que verifique esta condición?... Ninguno, ya que el cuadrado de cualquier número real distinto de cero es siempre positivo. En general decimos que toda raíz de radicando negativo e índice par no tiene solución en el conjunto de los reales. En consecuencia: la radicación no es cerrada en R. Cuándo es posible su cálculo en R? Cuántas respuestas encontramos? Volvemos a plantear algunos ejemplos para dar respuesta a este interrogante: 64 = 4 4 = 64 8 =- (-) = -8 4 Cuando calculamos 6 encontraríamos dos respuestas: y - ya que 4 = 6 y (-) 4 = 6 Pero por definición la radicación admite un único resultado, quedándonos entonces con el mayor de los posibles resultados ( en el ejemplo) Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00 ( )

14 Entonces podemos resumir diciendo: ) Si el índice es impar, la raíz real es única y del mismo signo que el radicando. ) Si el índice es par y el radicando positivo, la raíz real es también única y por definición: positiva. Recordaremos las propiedades fundamentales de la radicación: n n Propiedades de la Radicación (Suponiendo que a y b eistan) Distributiva respecto del producto: n a.b n n = a. b n n n Distributiva respecto del cociente: a:b = a : b n m nm Raíz de raíz: a = a La radicación NO es distributiva respecto de las operaciones de adición o sustracción. n n n a+b a + b n n n ; a-b a - b Sean a R ; n, m y p N-{0}, consideremos simplificación de radicales? n a m np y a mp. Es posible efectuar la Analicemos los siguientes ejemplos: 6 Ejemplo : 4 = 64 = = 6 4 = 4 = vemos que en ambos casos los resultados coinciden. 5 5 Ejemplo : ( ) = = 5 5 ( ) = ( ) = 5 5 vemos que los resultados coinciden. 6 Ejemplo : ( 8) = 64 = 6 intentando aplicar el mismo procedimiento que en los ejemplos anteriores tendríamos: 6 ( 8) = ( 8) = ( 8) = 6 aquí los resultados no coinciden. Entonces: NO SIEMPRE ES POSIBLE SIMPLIFICAR UN RADICAL DE RADICANDO NEGATIVO. Veamos que sucede cuando el índice y el eponente del radicando coinciden. ( 4 ) Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00

15 a) "n" es impar: 9 = 79 = 9 ( ) = = ENTONCES: La raíz es igual a la base de la potencia del radicando. 6 6 b) "n" es par: = 64 = 6 = 5 5 = 5 RESUMIMOS DICIENDO: n n Si "n" es impar: a = a n n Si "n" es par: a = a Creemos conveniente recordar que la notación a, se lee VALOR ABSOLUTO de a ó MODULO de a y se define: a a si a 0 = a si a < 0 Por ejemplo: 5 = 5 = (Realizar las actividades 6 a ) Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00 ( 5 )

16 POTENCIACIÓN DE EXPONENTE RACIONAL En este párrafo recordaremos la potenciación de eponente racional Sea n Z, d N-{0}, a R + y n d fracción irreductible. Entonces: a n d d n = a si y solo si d a n eiste. Sea ahora a R< 0. Qué condición debe verificar "d" para que a d eista en R? Nos ayudaremos con algunos ejemplos para contestar a este interrogante: ( ) 8 = 8= 5 = 5 = ( 4) = 4 no tiene solución en R ( ) = 64 no tiene solución en R Entonces: si a R -, a d eiste si y solo si "d" es impar. Resumiendo: Sea n Z, d N - {0} d d si a > 0, a = a d d si a < 0, a a si a = 0, n n n y n d n = si d es impar n a d = 0 fracción irreducible (Realizar las actividades a 5) ( 6 ) Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00

17 RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES a Habrá encontrado en varias oportunidades con epresiones como la siguiente, donde b es un b irracional de la forma n q, q Q. A los efectos de determinados cálculos, es conveniente epresar a c dicho cociente como otro equivalente, donde d es un número racional. d El procedimiento que se emplea en esta transformación se conoce con el nombre de "racionalización de denominadores". A continuación recordaremos, mediante ejemplos, el procedimiento de tales transformaciones. Ejemplo: a). = =. b) = = = c) + 5 = ( 5) ( + 5)( 5) = ( ) 5 ( ) = 5 d) a b- c ab+ ( c) ( b- c)( b+ c) = = ( c) ab+ b c Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00 ( 7 )

18 RELACIONES DE IGUALDAD Recordemos que además en el conjunto de los reales se define la relación de igualdad y que se verifican las siguientes propiedades. Cualesquiera sean los números reales a, b y c, la igualdad de números reales es: ) REFLEXIVA: a R: a = a ( Todo número real a es igual a sí mismo) ) SIMÉTRICA: a, b R: si a = b entonces b = a (Para todo par de números reales a y b si a es igual a b, entonces b es igual a a ) ) TRANSITIVA: a, b, c R: si a = b y b = c entonces a = c (Si un número real a es igual a un número real b y b es igual al número real c, entonces a = c). 4) UNIFORME: Para la adición: a, b, c R, si igualdad se le suma un mismo número se obtiene otra igualdad). a = b entonces a+c=b+c (Si ambos miembros de una Para la Multiplicación: a, b, c R, si a = b entonces a. c = b. c (Si multiplicamos ambos miembros de una igualdad por un mismo número se obtiene otra igualdad). Sobre la base de estas propiedades se demuestran las leyes cancelativas de la adición y la multiplicación. # Para la adición a, b, c R : a + c = b + c entonces a = b. # Para la multiplicación a, b, c R y b 0 si a.b = c.b entonces a = c. Y también la ley de anulación del producto: a.b = 0, si a=0 ó b=0 ó a=b=0 Pasaremos ahora a considerar la diferencia entre números reales. a y b R ; a - b = a + (-b), a es el minuendo y b es el sustraendo. Por ejemplo: 5 = 5+ ( ) 4 4 Insistiremos un poco más en la aplicación de las leyes cancelativas y la anulación del producto. Si por ejemplo consideramos la ecuación: = Puede simplificar los sumandos 4? Y los 5 que también se repiten en ambos miembros? Es correcta ésta última cancelación? Sí, es posible cancelar porque en la suma se verifica la ley cancelativa sin ninguna restricción. Otro ejemplo: Sea la igualdad + 5 = + 5, efectuamos la cancelación =, entonces: - = 0 Qué propiedad se aplicó? De aquí obtenemos que = 0 Pero si en = se hubiera aplicado la ley cancelativa sin tener en cuenta que = 0, se obtendría =, que no es una identidad. ( 8 ) Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00

19 Dónde está el error? No se ha tenido en cuenta la restricción a ésta ley: "NO SE PUEDEN CANCELAR LOS FACTORES QUE SON IGUALES A CERO" Entonces cuando se emplee ésta ley, es decir la propiedad cancelativa de la multiplicación con un factor literal, se debe aclarar que la simplificación no es válida para todo valor que anule dicho factor. Si no se tiene en cuenta lo epresado se corre el riesgo de "perder soluciones" como se comprobó en el ejemplo. En cuanto a la ley de anulación del producto, Cómo se empleará? a. b = 0 a = 0 b = 0, esto quiere decir que se pueden dar alguna de éstas tres situaciones: a = 0 b 0 a 0 b = 0 ( se lee "ó"; se lee "y") a = 0 b = 0 Esta propiedad facilita la resolución de ecuaciones del tipo: ( + ). ( - 5 ) = 0 Como el producto es cero uno de los factores es cero, de ahí podemos obtener que una raíz es igual a - y la otra es 5. Verifiquen, luego, si éstos valores satisfacen la igualdad. Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00 ( 9 )

20 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Una epresión algebraica es aquella donde figuran números y letras relacionadas entre si por operaciones matemáticas. Ejemplo: v t ; a i t 00 ; a - b ; 4 a 7a Cada sumando de una epresión algebraica se denomina término. Cada término de una epresión algebraica consta de tres partes: signo, parte numérica ó coeficiente y parte literal. Por ejemplo: -7 ab consta de un signo negativo (-), la parte numérica es 7 y la parte literal ab Valor numérico de una epresión algebraica: Es el valor que se obtiene sustituyendo cada letra de la parte literal por un valor numérico, efectuando luego las operaciones para llegar al valor numérico de la epresión. Esto permite considerar igualdad o equivalencia entre epresiones algebraicas. Dos epresiones algebraicas son EQUIVALENTES si toman el mismo valor numérico para todos los valores en que estén definidas. ab - 6b + c b b y a - + 4c Estas dos epresiones algebraicas son equivalentes. Para demostrar la igualdad de estas dos epresiones se debe operar una de ellas hasta llegar a la otra. ( 0 ) Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00

21 POLINOMIOS Seguramente en algún momento de su ciclo secundario ha pasado por el laboratorio de su escuela para llevar a cabo algunas eperiencias. Por ejemplo: - Estudiar el alargamiento de un resorte al suspender un peso del mismo. - Estudiar la temperatura de una masa de agua en función del tiempo en que es sometida al calor. Una vez volcados los resultados en tablas y efectuando la representación gráfica habrá obtenido puntos relativamente alineados con el origen. Por lo tanto en cualquiera de estos casos podemos llegar a una ley aproimada para el intervalo considerado, que tendrá la forma: a) y = m + b Otros de los estudios que habrá efectuado es el del movimiento rectilíneo uniforme y la traducción de la relación posición tiempo (t) es: b) s t = v.t + s o o del movimiento uniforme variado donde la relación entre la posición tomada por el móvil y el tiempo está traducida en la siguiente epresión: c) s t = v o t + ½ a t o también d) s t = s o + v o t + ½ a t cuando s o 0 De todo lo dicho observamos que los segundos miembros de las igualdades a) y b) responden a la forma: a + a 0 y los de las igualdades c) y d) a la forma: a + a + a 0 Surge entonces la necesidad de estudiar las epresiones de la forma: P ( ) = a + a+ a + a + a a n n que llamaremos polinomios, donde los a 0, a, a,... a n son elementos de por ejemplo el conjunto de los números reales, llamados coeficientes, es una indeterminada, y los eponentes de la indeterminada son todos enteros no negativos. Al conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales lo simbolizamos R(). Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00 ( )

22 Si a n 0 diremos que el grado de P() es n ( gr P() = n). Se llama polinomio nulo al polinomio: n Por definición el polinomio nulo no tiene grado Según que el número de términos con coeficientes nulos sea,,,...el polinomio se llama monomio, binomio, trinomio, etc. ( ) Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00

23 Operaciones con monomios. - SUMA (RESTA) Para sumar (restar) dos monomios éstos deben ser semejantes (igual parte literal). "La suma (resta) de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es la suma (resta) de los coeficientes y tiene la misma parte literal que los monomios dados" Ejemplo: - ab + 5 ab = ( ) ab = ab - ab - 5 ab = ( ) ab = -7 ab - PRODUCTO "El producto de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y cuya parte literal es el producto de las partes literales". (Se aplica producto de potencias de igual). Ejemplo: ( - ab c ).5 ac = ( -.5 )ab c ac = - 0 a b c 5 - COCIENTE "El cociente de dos monomios es una epresión algebraica que se obtiene aplicando las propiedades de la división de números, en sus coeficientes, y del cociente de potencias de igual base, en sus partes literales ". Ejemplo: ( -8a b 4 c) : ( ab ) = -ab c Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00 ( )

24 Operaciones con polinomios. - SUMA Por la propiedad asociativa, se suman los monomios semejantes La suma de polinomios verifica la ley de cierre, es asociativa, conmutativa, posee elemento neutro( el polinomio nulo, 0()), e inverso aditivo u opuesto. - PRODUCTO Por la propiedad distributiva y asociativa, se multiplican todos los monomios y se asocian los semejantes. Es decir que esta operación se define de tal modo que satisfaga la propiedad de la multiplicación de potencias de igual base para la indeterminada, la conmutatividad de con los números reales y la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición. La multiplicación de polinomios es también una operación cerrada en R() que asocia, conmuta y tiene elemento neutro (E() =). Sin embargo no posee inverso multiplicativo. Como puede verse eiste una estrecha analogía entre el conjunto R() con la adición y multiplicación y el conjunto Z con dichas operaciones. - DIVISIÓN DE POLINOMIOS. Dados dos polinomios A() y B(), con B() distinto del polinomio nulo, es posible determinar Q() y R() tal que: A() = B() Q() + R(), siendo gr R() < gr B() o bien R() es el polinomio nulo. El polinomio Q se llama polinomio cociente y R() polinomio resto. Recordemos a continuación el algoritmo de la división. ) Se ordena el grado del polinomio según las potencias decrecientes. ) Se dividen los monomios de mayor grado. ) Se resta del dividendo el mayor multiplo del divisor contenido en él. 4) Se repiten las operaciones ) y ) hasta que el divisor sea de mayor grado que el dividendo. Ejemplo ( 4 ) Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00

25 Con frecuencia se nos presentan divisiones donde los divisores son monomios del tipo vez recuerden que en éstos casos es práctico aplicar la regla derufini. + a, tal Sean las siguientes epresiones: ( ) : ( + ) Entonces: a) b) c) El cociente es y el resto -7. Los pasos que se siguen son: a) En la primera fila se escriben los valores numéricos de cada coeficiente (previamente ordenado y completo) divisor. b) En el ángulo izquierdo se escribe el opuesto del término de grado cero de la epresión del c) En la tercera fila se obtienen los coeficientes del cociente donde: el primero de ellos es el primero del dividendo y los restantes se obtienen multiplicando el anterior por el número que se escribe en el ángulo izquierdo y sumado a este producto (que se escribe en la segunda fila ) el correspondiente de la primera. d) El último número que se obtiene en la tercera fila es el resto de la división. (Realizar actividades 6 y 7) Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00 ( 5 )

26 Divisibilidad en R(). Recordemos que en el conjunto Z, se dice que a divide a b si y sólo si eiste un k tal que k.a = b. Por lo tanto el resto de la división entre b y a es cero. También decimos que b es divisible por a. Haciendo la correspondiente analogía con el conjunto R() diremos que: A() divide a B() si y sólo si eiste un polinomio K() R() tal que palabras si cuando efectuamos la división entre A() y B() el resto es nulo. K().A() = B(). En otras Hemos dicho que con frecuencia aparecen divisores del tipo +a y que en estos casos se puede aplicar la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto y por lo tanto investigar si un polinomio es divisible por otro. Aquí veremos otros caminos para investigar la divisibilidad por +a. Para ello definiremos valor numérico de un polinomio : dado un polinomio P() R() llamamos valor numérico del mismo para igual a a R, al número que se obtiene reemplazando a por a y efectuando los cálculos. Ahora podemos enunciar el Teorema del Resto: el resto de la división de un polinomio P() por otro de la forma +a es igual a P(-a). ( 6 ) Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00

27 Factoreo de Polinomios. Así como para descomponer a un número natural en factores primos utilizamos criterios de divisibilidad, para descomponer a un polinomio en polinomios primos o irreductibles, también utilizamos algunos criterios que mostraremos a continuación. Antes de enunciarlos recordemos que en R() un polinomio A( ) tal que el grado de A() es primo o irreductible si no eisten dos polinomios P() y Q() de grado tales que: A() = P().Q(). Como consecuencia se puede decir que todo polinomio de grado uno es primo. Factor común Recordaremos, mediante ejemplos, las posibilidades de sacar factor común en una epresión algebraica: Ejemplo : + 8 = ( + 9 ) Ejemplo : + = ( + ) Ejemplo : = + Puede ocurrir que eistan factores comunes en algunos términos de la epresión, entonces podemos proceder como en el ejemplo: = ( - ) + 5( - ) = (como el binomio (-) es factor común, concluimos así) = ( - )( +5) Trinomio cuadrado perfecto Sean a y b dos monomios cualesquiera: ( a + b ). ( a + b ) = ( a + b ) = a + a.b + b ( a - b ). ( a - b ) = ( a - b ) = a - a.b + b El cuadrado de una suma (diferencia) es: "Suma del cuadrado del primer monomio más (menos) el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo monomio" Ejemplo: (-ab +c) = (-ab ) + (-ab )( c) + ( c) = 9a b 4 - ab c + 4c Diferencia de cuadrados Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00 ( 7 )

28 ( a + b ). (a - b ) = a - b "El resultado es la diferencia del cuadrado del primer monomio con el cuadrado de segundo" Ejemplo: ( - ab +c )( - ab - c ) = ( -ab ) -( c ) = 9a b 4-4c Cuatrinomio cubo perfecto Recordemos que: ( + a) = + a + a + a ( - a) = - a + a - a "El resultado es el cubo del primero más (menos) el triple del primero al cuadrado por el segundo más el triple del segundo al cuadrado por el primero más (menos) el cubo del segundo" Binomios de la forma ± a n n Para descomponer polinomios de este tipo en factores primos necesitaremos del concepto de cero o raíz de un polinomio: a es raíz de P() si y sólo si P() es divisible por -a. Vamos ahora a descomponer el polinomio P() = - 8: es una raíz de - 8, por lo tanto P() es divisible por - Si realizamos la división por Ruffini: ( - 8) : ( - ) = Entonces el polinomio original puede ser factorizado de la siguiente forma: - 8 = ( + + 4). ( - ) (Realizar actividades 8 a ) ( 8 ) Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00

29 EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINÓMICAS Al estudiar el conjunto Z, hemos visto que para todo número distinto de y -, ningún otro elemento admitía inverso multiplicativo y fue necesario ampliar el conjunto Z al conjunto Q. En el conjunto R() estamos ante una situación semejante y por lo tanto construiremos el conjunto de las epresiones racionales polinómicas. Definición: Si A() y B() R() y B() 0(), entonces: A ( ) B ( ) se llama epresión racional polinómica. Dichas epresiones aparecen por ejemplo al relacionar: a) Presión y volumen: p k = con k una constante. v b) Intensidad de iluminación y distancia: I c) velocidad y tiempo: v = e t k = d Operaciones con epresiones racionales polinómicas. - SIMPLIFICACIÓN Para simplificar la siguiente epresión buscaremos el divisor común máimo (o máimo común divisor) de las dos epresiones polinómicas. Para calcular el d.c.m. entre dos epresiones, se puede proceder así: Primero las dividimos entre ellas Después dividimos el divisor con el resto de la división anterior hasta llegar a un resto igual a cero Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00 ( 9 )

30 Este será el d.c.m Entonces el d.c.m. de y es Luego, como ( ) : ( ) = + ( ) : ( ) = + Tendremos que: ( ). ( + ) ( ). ( + ) + La fracción obtenida es equivalente a la dada para todo valor de que no anule el factor cancelado porque ello equivaldría a dividir por cero. En este caso para todo - ya que se anula para dicho valor. Este procedimiento permite resolver el problema de la simplificación, pero en la práctica cuando aparecen polinomios más sencillos aplicaremos los casos de factoreo. Por ejemplo: ( ) = ( ) = ( + )( ) ( )( ) = ( + ) ( ) ( / ) - ADICIÓN Si A B y C D son epresiones racionales, se define la suma como: A B C AD. + BC. + = D BD. Así por ejemplo: ( 0 ) Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00

31 ( )( ) ( ) ( + )( + ) = = Conviene en algunos casos calcular el Mínimo Común Múltiplo de B y D. - MÚLTIPLO COMÚN MÍNIMO o MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El Mínimo Común Múltiplo (m.c.m) de dos números ó de dos epresiones algebraicas A y B se denota m.c.m.(a,b) y es igual a: m.c.m.( A, B ) = AB. dcm...( AB, ) Por ejemplo vamos a hallar el m.c.m.( A, B ), siendo: A = ; B = - 9 Buscamos el d.c.m. (A,B) Ahora dividimos el divisor por el resto d.c.m. (A,B) = ó 6( + ) entonces el m.c.m (A,B) será: m.c.m.(a,b) = ( )( 9) ( + ) ( )( + ) = ( + ) 6 6 = ( + ) ( ) prescindiendo del factor numérico, que siempre es posible sacar, nos queda: m.c.m. (A,B) = ( +). ( - ) Nota: En virtud de la propiedad asociativa, para hallar el m.c.m.(a,b,c) hallamos m.c.m.(a,b) = M y luego m.c.m.(m,c) = M, o bien m.c.m.(b,c) = M y m.c.m.(m,a) = M. 4- MULTIPLICACIÓN Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00 ( )

32 En el conjunto de las epresiones racionales polinómicas se define como producto entre A B la epresión: y C D a A C AC =. B D BD. Así por ejemplo: = DIVISIÓN Así como para dividir a b y c d (con c d 0) multiplicamos a a b por el inverso multiplicativo de c d, en el conjunto de las epresiones racionales polinómicas a b : c d = a b. d c (siendo c d 0) Por ejemplo: + : = + = ( ) Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00

33 Actividades Ejercicio N Indicar cuáles de los siguientes números racionales son iguales: 7 5 ; ;,4 ;,40 ; 0,5 ; 7 4 ; ; 4 9 ; 7,5 ; 5 ; 4 8 ; 0 ; a ; ab a 90 ; a 9 ; a 7 Ejercicio N a. Complete el siguiente cuadro: Naturales Enteros Fraccionarios Reales Irracionales b. Tache los números que no correspondan a la clasificación: Naturales: 0 ; - ; 4 ; -0,8 ; ; ;, Enteros: -4 ; ; 0 ; π ; -0, ; ;,6 ; -,5. 4 Racionales: -4 ; 5 ; 0 ;, ;, 8 ; 5 ; π ; ; -,5 Irracionales: 4 ; ;,8 ; π ; 7, ; 7, ; ; 5 ; Ejercicio N La multiplicación tiene las mismas propiedades que las enumeradas para la suma. Traducir al lenguaje coloquial las propiedades de la multiplicación. Ejercicio N 4 Proponga ejemplos mostrando que no se cumplen las propiedades asociativa y conmutativa en la resta y en la división. Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00 ( )

34 Ejercicio N 5 Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En este último caso justificar las respuestas proponiendo un contra ejemplo. a. a. 0 = 0 b. (-a). (-b) = - (a.b) c) a + ( -b + c) = a - b + c d. a : ( b + c) = (a : b) + (a : c), siendo b+c 0 ; b 0 y c 0 e. a - ( b + c) = a - b + c f. ( b + c) : a = (b : a) + (c : a) con a 0 g. Si a = - y b = 0 entonces a : b = 0 h. el cociente entre un número y su opuesto es igual a -. i. a R, a : a - = j. a R, ( a - ) - = a k. a. ( -b) = a. b l. a. ( b -c) = a. b - a. c ll. la ecuación = tiene solución en Z m. - ( - a ) = a Ejercicio N 6 a. Dar contraejemplos mostrando que: ) la potenciación no es conmutativa ) la potenciación no es asociativa b. Demostrar que: ) ( a + b) = a + ab + b ) ( a + b) = a + a b + ab + b ) (- a - b) = ( a + b ) Ejercicio N 7 En los siguientes cálculos se han cometido errores al aplicar las propiedades. Se propone indicar cuáles son y corregirlos: ) ( ) = ( 4 ) = 6 ) ( 5 ) 4 : ( 5 - ) = 5 8 : 5-6 = 4 = ) ( 7 4. ( 7 ) 6 )/(7 9 ) = (7 4 7 )/ 7 8 = 7 - = (-7) = 49 4) (7. - 4) = ( 4 ) Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00

35 Ejercicio N 8 Aplicando las propiedades de la potenciación demostrar que: ) (a + ) - (a - ) - 4(a + ) = - 4 ) (. n+ + n+ ) : ( n+ ) = 8 ) (0. n+ ) : ( n+ ) = 000 4) -n. (. n+ + n+ ) = Ejercicio N 9 Proponga contraejemplos mostrando que la radicación no es conmutativa y no es distributiva respecto de la suma y la resta. Ejercicio N 0 Lea atentamente el siguiente planteo. En el se deslizó un error. Encuéntrelo: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) = = + = = + + = = + + = = + + = = + + Ejercicio N Calcular: a. = 4 b. ( ) = : 4 Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00 ( 5 )

36 c. + : 5 ( ) = + : 4 d. ( ) = e. + + = 6 Ejercicio N Calcular: a) = b) = = c) ( ). ( + a ). + a = d) 5 e). = 4 6 f) = g) h) a a + a = Ejercicio N a) Calcular: 05, 05, ) 6 ) 6 ). : ) 5 5) 6) 5.. ( ) ( 6 ) Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00

37 b) Eprese como potencia de eponentes fraccionario y calcule: 4 ). 7 ) (. ) ) ) a. a a c) Mostrar que: a a b b = a + b Ejercicio N 4 Racionalizar los denominadores de las siguientes epresiones: a) e) b) f) 5 9 y 5 c) + g) + d) y h) Ejercicio N 5 a) Eprese paso a paso las propiedades aplicadas en la resolución de la ecuación: ( - ). ( + ) = 0 b) Resolver las siguientes ecuaciones en R: ) ( - 4 ) = 0 ) ( - ). ( -9 ) = 0 ) ( -5 ). ( + ) =0 Ejercicio N 6 Obtener mediante la Regla de Ruffini el cociente y el resto de la división entre A() y B() en : ) A() = ; B() = - ) A() = ; B() = + ) A() = a + a 4 ; B() = - Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00 ( 7 )

38 4) A() = ( + ) ; B() = - 5) A() = ( + a - ) - a + a ; B() = - a 6) A() = ( - ) + (- +). ( - + ) ; B() = + Ejercicio N 7 Resolver aplicando la regla de Ruffini, y recordar que: si se multiplica al dividendo y al divisor por un mismo número distinto de cero, el cociente no varía, pero el resto queda multiplicado por dicho número. ) A() = - + ; B() = - + ) A() = ; B() = - ) A() = ; B() = - 6 Ejercicio N 8 Investigar si P() es divisible por Q(). ) P() = ; Q() = - ) P() = ; Q() = ) P() = 5 - ; Q() = Ejercicio N 9 Hallar "m" para que B() sea divisor de A(). ) A() = + m + m + 4 ; B() = - ) A() = m m - + m ; B() = - Ejercicio N 0 Factorizar en factores primos en R[] los siguientes polinomios. a) A() = 5 - b) B() = ( 8 ) Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00

39 c) C() = 64 - d) D() = e) E()= f) F() = - 4 g) G() = a 4 + 4a + 4a + b( + ) h) H() = 5 4 i) I() = j) J() = Ejercicio N Resolver las siguientes ecuaciones descomponiendo en factores primos en R[] los primeros miembros de la igualdad: ) 5 - = 0 ) = 0 ) = 0 4) = 0 (sugerencia: puede escribirse como ++-6=0) 5) = 0 Ejercicio N Simplificar: a) b) c) d) e) + + Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00 ( 9 )

40 Ejercicio N Efectuar: a) b) Ejercicio N 4 Efectuar: a) b) Ejercicio N 5 Resuelva las siguientes operaciones: a) + + b) c) 5 + d) e) ( 4 ) + ( 4 ) + 4 Ejercicio N 6 Resolver: a. b : : c. + + ( 40 ) Operaciones con Números Reales Facultad de Ingeniería Ingreso 00

41 Funciones 0 La elección de esta temática, FUNCIONES, se basa, entre otras razones, en que comprender este tema nos permite cultivar nuestra capacidad para establecer e interpretar relaciones. Porque está involucrado con nuestra cotidianeidad mucho más de lo que podamos darnos cuenta, porque nos permite una lectura más amplia de nuestro mundo vinculando el conocimiento matemático con lo concreto, alejándonos del pensamiento (a menudo prejuicioso) que la matemática es sólo una ciencia abstracta. Durante el desarrollo del tema las consignas de interpretación no están acabadas. Quisimos dejar lugar para que participen, creen, se epresen, hagan y digan, es decir se involucren. Buscando la manera de empezar este tema nos pusimos a pensar que sin darnos cuenta, estamos rodeados de funciones. La vida es un conjunto de relaciones, muchas de las cuales pueden ser funciones. Introducción. Qué es una relación? Qué es una función? Clasificación de funciones. Funciones Numéricas. Representación de las Funciones Numéricas. Buscando hacer una síntesis del tema. Actividades. Funciones Facultad de Ingeniería Ingreso 00 ( 4 )

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43 INTRODUCCIÓN Tratemos de recordar situaciones de nuestra vida que puedan ser funciones. De pronto, un día..., María se acercó despacio al oído de Alejandra para decirle quién sabe qué, tal vez un rumor. Si Alejandra contara ese rumor y a su vez estas personas lo volvieran a contar, entonces... El número de personas epuestas al rumor será función del tiempo?. Al tiempo, revisando bibliografía encontramos respuesta a la pregunta anterior, aquí le mostramos el gráfico que vimos: Número de personas epuestas a un rumor Días Este hallazgo nos puso muy contentos, habíamos confirmado lo que pensábamos: el número de personas epuestas a un rumor es función del tiempo. Nos preguntábamos si diferentes relaciones de nuestra vida cotidiana que hemos repetido, escuchado o leído, son funciones. Por ejemplo: (a) El consumo de energía en una planta es función de la producción. (b) El precio de venta es función de la demanda. (c) El sueldo cobrado por mes es función de la cantidad de días no trabajados. (d) Las toneladas producidas son función de los meses del año. (e) El producto es función de los componentes de la leche. (f) La concentración de grasa es función del tipo de leche elaborada. Vemos que la palabra función forma parte de nuestras epresiones cotidianas, indicando relación o dependencia, y es usada indistintamente. En matemática sin embargo el concepto de relación y el de función tienen significados diferentes, aunque estén estrechamente vinculados. Para entender estos conceptos adecuadamente comenzaremos presentando el concepto matemático de relación. Funciones Facultad de Ingeniería Ingreso 00 ( 4 )

44 QUÉ ES UNA RELACIÓN? Del mismo modo que la idea de número surge de la necesidad de contar elementos de un conjunto, la idea de función surge de la necesidad de relacionar elementos de dos conjuntos. Supongamos que formamos parte de una empresa. La empresa La vaca loca S.A. se dedica a la fabricación de productos lácteos y está organizada de la siguiente forma: División Fabricación Gerencia General Sección Producción Sección Relaciones Públicas y Marketing Sección Comercialización Sección Administración y finanzas División Mantenimiento División Control de Calidad División Abastecimiento División Ventas División Tesorería y Contaduría A partir del diagrama anterior podemos armar los conjuntos: A={Secciones} B={Divisiones} Vinculemos los elementos del conjunto A y B, mediante la epresión "formada por las divisiones", la cual a cada sección de la planta le hace corresponder sus divisiones. Ejemplo : Tenemos los siguientes datos, A = {Sección producción, Sección relaciones públicas y marketing, Sección comercialización, Sección administración y finanzas} B = {División fabricación, División mantenimiento, División control de calidad, División abastecimiento, División ventas, División contaduría y tesorería} ( 44 ) Funciones Facultad de Ingeniería Ingreso 00

45 Podemos graficar esta relación: Producción Relaciones Públicas y Marketing Comercialización Administración y Finanzas Fabricación Mantenimiento Abastecimiento Control de Calidad Ventas Tesorería y Contaduría Esta gráfica se llama diagrama sagital, donde se especifican los elementos del primer y segundo conjunto. Los elementos relacionados se muestran mediante flechas que parten desde elementos del primer conjunto a elementos del segundo conjunto. Como las flechas parten del conjunto A y llegan al conjunto B, estos conjuntos se llaman partida y llegada de la relación respectivamente. Observemos que pueden eistir elementos del conjunto A que no están relacionados con ningún elemento de B. Entonces el conjunto de los elementos de la partida que están asociados con alguno de la llegada puede estar estrictamente incluido en la partida o ser todo el conjunto de partida. Este subconjunto se denomina dominio de la relación y lo denotaremos Dom(R). Formalmente, esto puede epresarse de la siguiente manera: Dom (R) A, el símbolo se lee: "está incluido o es igual" Observando el diagrama sagital de la relación, el dominio está constituido por todos los elementos que son partida de alguna flecha. Así como hemos agrupado los elementos que son partida de alguna flecha, agrupamos los elementos que son llegada o punta de alguna flecha en el conjunto B para formar el subconjunto de la llegada llamado imagen de la relación. Así: Dominio = {Sección producción, Sección comercialización, Sección administración y finanzas} Imagen = {División fabricación, División mantenimiento, División control de calidad, División abastecimiento, División ventas, División contaduría y tesorería} Funciones Facultad de Ingeniería Ingreso 00 ( 45 )

46 Formalizando: Definición Una relación R de A en B hace corresponder a elementos del primer conjunto, elementos el segundo conjunto. El primer conjunto, A, se llama partida y el segundo conjunto, B, se llama llegada. Asociados a la relación tenemos otros dos subconjuntos: El dominio de la relación, Dom(R), es un subconjunto de A, y la imagen de la relación Img(R), es un subconjunto de B. Pensando que una relación es un conjunto de pares ordenados (a;b) donde el elemento a pertenece al conjunto A y b es el elemento que pertenece al conjunto B y está relacionado con a, en el ejemplo tenemos los siguientes pares ordenados: (Sección producción ; División fabricación), (Sección producción ; División mantenimiento), (Sección producción ; División control de calidad), (Sección producción ; División abastecimiento), (Sección comercialización ; División ventas) y (Sección administración y finanzas ; División contaduría y tesorería). ( 46 ) Funciones Facultad de Ingeniería Ingreso 00

47 QUÉ ES UNA FUNCIÓN? Ahora, consideremos los conjuntos: A={Divisiones} B={Secciones} Trabajemos con la relación "pertenece a la sección", que hace corresponder a cada división del conjunto A una sección del conjunto B. Ejemplo : Si consideramos: A = {División fabricación ; División mantenimiento ; División control de calidad ; División abastecimiento ; División ventas ; División contaduría y tesorería} B = {Sección producción ; Sección comercialización ; Sección relaciones públicas y marketing ; Sección administración y finanzas} Y con los datos aportados por el organigrama: Fabricación Mantenimiento Abastecimiento Control de Calidad Ventas Tesorería y Contaduría Producción Relaciones Públicas y Marketing Comercialización Administración y Finanzas En este caso vemos que Dom(R) = A, es decir, el dominio coincide con el conjunto de partida, esto es: de todos los elementos de la partida salen flechas. Vemos además, que de cada elemento de la partida sale una sola flecha. De ahora en más concentraremos nuestra atención en estas relaciones particulares, ellas se denominan FUNCIONES. Antes de seguir comentándote el tema, te acercamos la definición de función. Funciones Facultad de Ingeniería Ingreso 00 ( 47 )

48 Definición Una función de A en B es una regla, o una correspondencia, que relaciona estos dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y solo un elemento del segundo conjunto llamado imagen. Luego para que una relación sea una función de A en B, debe verificarse: Dom( R ) = A (a cada elemento de la partida le corresponde alguno en B) Cada elemento del dominio tiene una sola imagen. (a cada elemento de la partida le corresponde solo uno en B). Como las ideas gráficas son más fáciles de retener, estas condiciones las traduciremos en: De cada elemento de la partida salen flechas. De cada elemento de la partida sale una sola flecha. Ejemplo : Con estas ideas, volvamos al ejemplo, donde el conjunto de partida era A={Secciones} y el de llegada: B={Divisiones}, ambos estaban relacionados mediante la asignación: "formada por las divisiones". En el diagrama sagital se observaba que esta relación no es función por varias razones: Del elemento relaciones públicas y marketing no sale ninguna flecha. Del elemento producción salen cuatro flechas. Se podría hacer que esta relación fuera función, si quitáramos del conjunto de partida a los elementos que tienen problemas, en este caso sacaríamos a los elementos producción y a relaciones públicas y marketing. ( 48 ) Funciones Facultad de Ingeniería Ingreso 00

49 El diagrama sagital quedaría: Comercialización Administración y Finanzas Fabricación Mantenimiento Abastecimiento Control de Calidad Ventas Tesorería y Contaduría Usando la definición anterior, te proponemos que analicemos juntos, al menos algunas de las epresiones del punto de este teto. Ejemplo 4: Tomemos la epresión (a), matemáticamente podemos entenderla como: - A cada consumo de energía en una planta le corresponde un nivel de producción. Esta asignación llevada a diagrama sagital, donde en el conjunto de partida incorporamos como elementos los siguientes consumos de energía: {0 Kw/h, 5 Kw/h, 0 Kw/h} y en el conjunto de llegada los siguientes elementos: {5 Tn/h, 0 Tn/h, 5 Tn/h}. Consumo de energía Producción 0 Kw/h 5 Kw/h 0 Kw/h 5 Tn/h 0 Tn/h 5 Tn/h Como vemos la asignación anterior, bajo la mirada de la definición, es una función. Ejemplo 5: La asignación (e) el producto elaborado es función de los componentes utilizados de la leche llevada a diagrama sagital, donde el conjunto de partida esta formado por los distintos componentes de la leche, a saber: {grasa, suero, caseína} y el conjunto de llegada por los productos elaborados por la fábrica: {queso, crema, manteca}, quedaría: Funciones Facultad de Ingeniería Ingreso 00 ( 49 )

50 grasa crema suero caseína queso manteca Como bien podes ver en el diagrama, esta asignación no es una función. Qué eliminarías del conjunto de partida? Podrías transformarla en función? ( 50 ) Funciones Facultad de Ingeniería Ingreso 00

51 Actividades Parte.. Analiza si las reglas de asignación (d) y (f) cumplen con la definición de función. (d) Las toneladas producidas son función de los meses del año. Con los pares ordenados:{(enero, 5 Tn), (Febrero, 5 Tn), (Marzo, 5 Tn), (Abril, 6 Tn), (Mayo, 7 Tn), (Junio, 6 Tn), (Julio, 5 Tn), (Agosto, 6 Tn), (Septiembre, 7 Tn), (Octubre, 8 Tn), (Noviembre, 7 Tn), (Diciembre, 6 Tn)}. (f) La concentración de grasa es función del tipo de leche elaborada. Siendo los conjuntos de partida y llegada, A={leche entera, leche parcialmente descremada, leche descremada} y B={ %,,5 %, 0,5 %} respectivamente.. Con relación al ejemplo 5. Si la regla de asignación fuera compuesto por, la que a cada producto le asigna sus componentes de la leche, sería esta relación función?.. Analizando la siguiente tabla, si llevaras estos datos a diagrama sagital, podrías responder si: Las toneladas de residuos producidos son función de los litros de leche tratada? (Sugerencia: los elementos del conjunto de partida son costo de vida, los del conjunto de llegada toneladas de residuos producidos ). Justifica tu respuesta. Litros de leche tratada (l/h) Litros de residuos producidos (l/h) Escribirías alguna de tus epresiones diarias que tengan incorporada la palabra función? Define si estas epresiones son funciones desde el punto de vista de la matemática. A tu entender cuáles serían los elementos del conjunto de partida y cuáles los del conjunto de llegada. 5. Si fueras un empleado de la empresa "Vaca Loca S.A", perteneciente a la sección Relaciones Públicas y Marketing, a la cual se le ha encargado la organización de la fiesta aniversario de la empresa. Qué tipo de relaciones necesitarías plantear para un buen armado del festejo?. Piensa en la organización de la fiesta de tu cumpleaños Funciones Facultad de Ingeniería Ingreso 00 ( 5 )