Modelado Matemático del Cultivo en Lote y Continuo del Proceso Fermentativo del Tequila

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1 7 Congreso Anual 9 de la Asocacón de Méco de Control Automátco. Zacatecas, Méco. Modelado Matemátco del Cultvo en Lote y Contnuo del Proceso Fermentatvo del Tequla Enrque Herrera, Gullermo Hernández, Alonso Moran, Mguel Flores, Jesús Cordova Rcardo Femat, Dulce Díaz-Montaño.- Undad de Botecnología. CIATEJ. Av. Normalstas 8, Colnas de la Normal. C.P Guadalajara Jalsco, Méco. emal: eherreracatej@yahoo.com.m.- Deartamento de Ingenería Químca. Unversdad de Guadalajara. Boulevard Marcelno García Barragán 4. Guadalajara Jalsco, Méco..- Dvsón de Matemátcas Alcadas. IPICyT. Camno a la resa San José. Lomas 4a Secc. C.P San Luís Potosí, Méco. Teléfono: ()--4 Et. 4 Resumen La etaa de fermentacón es crucal en la roduccón de bebdas alcohólcas ya que en ésta se generan comuestos que dan el característco sabor a estas bebdas. La fermentacón en el roceso de roduccón de tequla se realza en cultvo or lote. A esar de las desventajas de los cultvos or lote no se han robado otro to de esquemas de fermentacón en el roceso de roduccón del tequla. El cultvo en contnuo resenta ventajas sobre el cultvo or lote; no obstante, a nvel ndustral es una técnca escasamente utlzada y que actualmente se encuentra bajo nvestgacón a nvel laboratoro y lanta loto. En ese trabajo se roone un modelo matemátco que toma en cuenta nhbcón or sustrato y roducto. Este modelo se alca ncalmente a un cultvo or lote y osterormente se etende a un cultvo en contnuo del roceso fermentatvo del tequla Se resenta el análss dnámco del sstema. Fnalmente se valda el modelo con datos eermentales reales de una fermentacón. Palabras clave: Proceso Fermentatvo, modelado matemátco, análss dnámco, establdad. I. INTRODUCCIÓN El tequla es una bebda reconocda a nvel naconal e nternaconal y su roduccón es una de las ndustras más mortantes del estado de Jalsco. En nuestro aís durante el año 8 se rodujeron 9 mllones de ltros entre tequla y tequla % agave de los cuales mllones se destnaron a eortacón (CTR, 9). El roceso de roduccón de tequla en muchas fábrcas se sgue realzando en forma tradconal. No obstante, avances mortantes se han realzado en este roceso; or ejemlo, los hornos de mamostería han sdo reemlazados or autoclaves de acero nodable logrando un cocmento más homogéneo y económco del agave. Se ha reducdo el temo de destlacón utlzando columnas de destlacón en lugar de alambques (Casas, 6). El control de temeratura y la roagacón de levaduras en los tanques tequleros han reducdo el temo de fermentacón obtenéndose un roducto de caldad homogénea. El mejoramento genétco de las levaduras y el uso de nuevas ceas han ermtdo ncrementar la roduccón de etanol en el roceso fermentatvo. La etaa de fermentacón es crucal en la roduccón de tequla ya que en ésta se forma el etanol y algunos comuestos volátles que dan el sabor característco a esta bebda destlada. La fermentacón del tequla en cultvo or lote se logra agregando, al nco de la fermentacón, los sustratos necesaros ara el crecmento de los mcroorgansmos y la formacón de etanol. Debdo al temo que dura la fermentacón y a los temos muertos entre cada lote, la fermentacón sgue sendo la etaa lmtante en la roduccón del tequla. Por lo tanto, es necesaro buscar nuevos esquemas de fermentacón ara mejorar esta etaa. Los sstemas de fermentacón en contnuo se ueden defnr como aquellos cultvos con adcón y etraccón de medo, logrando condcones fscoquímcas en el medo y fsológcas de la levadura constantes a lo largo de la fermentacón. A esar de las ventajas otencales del uso de los sstemas en contnuo, son escasos los estudos reortados en el roceso de roduccón del tequla (Díaz, 4). Hernández y col. (8) realzaron fermentacones en cultvo contnuo con jugo de agave, encontrando que la caacdad fermentatva de la levadura no sufre nnguna modfcacón en comaracón con el cultvo or lote. Los rocesos fermentatvos son nfluencados or factores ambentales, fscoquímcos y bológcos, tales como la concentracón de sustrato y bomasa, H, temeratura, oígeno dsuelto e nhbdores del crecmento (Bastn y Dochan, 99). Modelar matemátcamente una fermentacón resenta varas ventajas, or ejemlo, la smulacón de rocesos, dsmnuyendo el alto costo de la eermentacón ndustral (Volesky y Votruba, 99), la otmzacón matemátca de algún metabolto de nterés (Modak y col, 986), el control del roceso (Kuhlmann y

2 Congreso Anual 9 de la Asocacón de Méco de Control Automátco. Zacatecas, Méco. col, 998; Smets y col, 4) entre otras alcacones. Un modelo matemátco ara el roceso fermentatvo del tequla fue rouesto recentemente (Arellano y col, 7); sn embargo, no se tenen reortes de que se hayan realzado modelos matemátcos del roceso de fermentacón en contnuo del tequla, así como del estudo dnámco del sstema en contnuo. En ese trabajo se roone un modelo dnámco ara un cultvo or lote del roceso fermentatvo del tequla. Este modelo toma en cuenta nhbcón or sustrato y roducto. El modelo se etende ara un cultvo en contnuo. Se resenta el análss de los untos de equlbro y su establdad. Fnalmente se valda el modelo con datos eermentales de una fermentacón. II. EL MODELO FERMENTATIVO La levadura Saccharomyces cerevsae, en ausenca de oígeno, consume los sustratos (S) del medo del cultvo ara formar medante una reaccón reductva etanol (E), bomasa (X) y bódo de carbono (CO ) tal como se muestra en la sguente reaccón µ S X + CO + E () Un modelo no lneal de un cultvo en contnuo ara la roduccón de etanol se uede reresentar or el sguente conjunto de ecuacones dferencales. ( µ ) () D ( s s ) µ s ( ) Y + Y m So + D αµ D () (4) donde es bomasa (g/l), es sustrato (g/l), es etanol (g/l), Ys (gx/gs) y Ys (gp/gs) son factores de rendmento de bomasa y roducto a artr del sustrato, So (g/l) es la concentracón de sustrato de almentacón, m s (g/l) es el coefcente de mantenmento celular, es un térmno asocado al crecmento y D (h - ) es la tasa de dlucón. En este caso (h - ) es la velocdad esecífca de crecmento que deende del sustrato y el etanol resente en el medo del cultvo. u µ (, ) k ( ) ma ks + + k donde k s (g/l) es un térmno de saturacón de sustrato, k (g/l) y k (g/l) son arámetros de nhbcón or sustrato y roducto resectvamente. Cuando en el sstema (-4) D se obtene un cultvo or lote. () Podemos defnr a (,, ) T como un vector de estados en es el conjunto de ecuacones R, asmsmo f ( ) dferencales lneales donde f() [f (), f (), f ()] reresenta el camo vectoral cuyas comonentes están dadas or la arte derecha de (-4). Los untos de equlbro se ueden obtener hacendo f() y de f ( ) soluconando el sstema, con lo que se obtene _ Ieq _ Ieq donde _ Ieq ( + ) D So YD + ms (6) γ ± γ 4ϕ (7) κ ma ( s ) D k + + k + µ (8) µ k s ( ma ( o ) s ) ( s ma s ) γ µ m + µ Y αk S DY + m D ϕ ψ + αµ D ks Y k m k m κ Dαµ k D k Y Dk m además s ma s ψ Dαµ k + D k + Dk m Y Y + Y ma s s Otro unto de equlbro llamado lavado está dado or, So, (9) _ IIeq _ IIeq _ IIeq Este últmo unto de equlbro es ndeseable dado que la bomasa y el roducto son lteralmente lavados del borreactor. III. AJUSTE DE PARÁMETROS DEL MODELO Fermentacones en lote con jugo de agave utlzando la cea Saccharomyces cerevsae GU4 fueron realzadas ara obtener datos eermentales. Las concentracones ncales de azúcares fueron de y 9 g/l. En el caso del cultvo en contnuo se ncó como lote con una concentracón de g/l de azúcares y a artr de las, 8, 78 y 64 horas se varó la tasa de dlucón de.4,.8,. y.6 resectvamente.

3 Congreso Anual 9 de la Asocacón de Méco de Control Automátco. Zacatecas, Méco. Se uede arecar ocho arámetros en el sstema, donde ahora defnmos a como un vector de f ( ) arámetros a ser dentfcados (, ma k,,,,,, s k k Ys Ys ms ) ξ µ α () El vector de arámetros tanto ara el cultvo or lote y contnuo fue encontrado utlzado la funcón fmnsearch del toolbo de otmzacón Matlab 6.. Para determnar la robustez del modelo se utlzó el coefcente de correlacón R SSE SST donde la suma del cuadrado de los errores está dado or y la suma total de errores n SSE ( y yˆ ) n SST ( y y) () donde y es el vector de datos eermentales, y es el vector ˆ de datos aromados or el modelo y y está dado or: n y n y IV. RESULTADOS Y DISCUSIONES En las Fguras y se uede arecar la smulacón del modelo matemátco ara la fermentacón en lote cuando la concentracón de sustrato ncal es de y 9 g/l resectvamente. Sustrato, Etanol, g/l 4 4 Fgura. Modelo en lote de la fermentacón del tequla con g/l de azúcares ncales. Los datos eermentales están dados or () Bomasa, () Sustrato y () Etanol Bomasa g/l Sustrato, Etanol g/l Fgura. Modelo en lote de la fermentacón del tequla con 9g/L de azúcares ncales. Los datos eermentales están dados or () Bomasa, () Sustrato y () Etanol Para obtener el vector de arámetros del modelo y los valores de bomasa, sustrato y roducto, las ecuacones (-) con D fueron ntegradas con la funcón ode y fmnsearch hasta que se cumló un crtero de error o un número mámo de teracones. Los coefcentes de correlacón calculados con la ecuacón () ara la cnétca de g/l son.998,.99 y.9797, ara la bomasa, sustrato y roducto resectvamente y de.948,.9988 y.9 ara la cnétca de 9 g/l. Tal como se uede arecar el modelo resenta mejor aromacón de los datos eermentales en la fermentacón de g/l. No obstante, la smulacón del modelo matemátco ara la fermentacón de 9 g/l fue satsfactora. A esar de algunos roblemas de convergenca del algortmo de mnmzacón fue osble encontrar vectores de arámetros que ajustarán satsfactoramente a los datos eermentales de las fermentacones en lote a y 9 g/l. Los valores del vector de arámetros están cercanos a los valores eermentalmente; or ejemlo los rendmentos Ys eermentales ara las fermentacones de y 9 g/l fueron de.4 y.4 gp/gs y la estmacón de arámetros en este modelo do como resultado (.6,.4) - que equvalen a.8 y.9 gp/gs, tal como se uede arecar en la tabla. Posteror al desarrollo del modelo matemátco del cultvo en lote, se realzó una fermentacón en cultvo contnuo varando la tasa de dlucón. La concentracón del sustrato de entrada (So) fue de g/l y la fermentacón duró cerca de horas. El cultvo ncó como lote y osterormente se ncrementó la tasa de dlucón ara observar el comortamento del sstema. Los arámetros del modelo ara el cultvo en contnuo rouesto tambén fueron ajustados con la funcón fmnsearch. El resultado de la smulacón del modelo matemátco y los datos eermentales se uede arecar en la fgura. 4 Bomasa g/l

4 Congreso Anual 9 de la Asocacón de Méco de Control Automátco. Zacatecas, Méco. Bomasa (g/l) Sustrato (g/l) Etanol (g/l) D (/h).. Temo (h) Fgura. Modelado del cultvo contnuo de la fermentacón del tequla. Los datos eermentales están dados or () Bomasa, () Sustrato, () Etanol y () es la tasa de dlucón. Acorde a lo eserado en el cultvo contnuo a medda que D ma se resenta el unto de lavado, esto se uede corroborar en la fgura 4, en donde los datos eermentales y So. Sn embargo, la bomasa no resenta el comortamento eserado ( ) y arece que ermanece estable o que resenta un gran retardo. En la tabla están los arámetros del modelo matemátco ara las dferentes fermentacones en lote a y 9 g/l, así como la del cultvo en contnuo. Se uede obtener mayor nformacón de este unto de y evaluando en equlbro lnealzando el sstema f ( ) el unto de equlbro deseado f ( ) () A ( _ Ieq, _ Ieq, _ Ieq) los valores roos de A se obtenen medante det(a - I) () Se uede conclur que este unto de equlbro es local asntótcamente estable dado que Re() <. Sn embargo el unto de equlbro de lavado ( _IIeq, _IIew, _IIeq ) [,, ] Es un unto slla dado que no todos lo valores roos son Re() <. En la fgura se uede arecar el dagrama de fase ara estos dos untos de equlbro bajo dferentes condcones ncales. Sustrato, Etanol (g/l) Bomasa (g/l) Tasa de dlucón (/h) Fgura 4. Modelado del cultvo contnuo de la fermentacón del tequla. Los datos eermentales están dados or () Bomasa romedo, () Sustrato romedo y () Etanol romedo a dstntas tasas de dlucón. De acuerdo a datos revos obtendos a nvel laboratoro una tasa adecuada de dlucón ara esta fermentacón es D.8 h -, tasas de dlucón mayores requeren de nutrentes adconales. De acuerdo a las ecuacones (6-8) los untos de equlbro del sstema con D.8 h - están dados or ( _Ieq, _Ieq, _Ieq ) [4., 8.8,.7] Fgura. Dagrama de fase ara el unto de equlbro ( _Ieq, _Ieq, _Ieq ) color azul y ara el unto de equlbro ( _IIeq, _IIeq, _IIeq ) en color rojo. Tabla. Parámetros del modelo en lote y contnuo. Parámetro Lote g/l Lote 9 g/l Contnuo µ ma k S k * k P* Ys* Ys* m s *Nota: los arámetros Y, Y, k y k fueron reresentados en s s el modelo (-) como Ys, Ys, k y k or convenenca algebraca.

5 Congreso Anual 9 de la Asocacón de Méco de Control Automátco. Zacatecas, Méco. El coefcente de correlacón ara el modelo en contnuo del roceso fermentatvo del tequla fue de.74,.8877 y.869, ara la bomasa, sustrato y roducto resectvamente. En la Fgura 6 se uede arecar la velocdad esecífca de crecmento (), con los arámetros ( ma, k s, k y k ) obtendos ara el cultvo en contnuo. Se uede ver que a medda que S So el valor de ma tene un comortamento monotónco; tal como el que resenta la ley cnétca de Monod (4); sn embargo, en la msma fgura se uede observar que a medda que el etanol se ncrementa se resenta la nhbcón or roducto. Para el caso del sustrato se uede conclur que el modelo en contnuo cuando es utlzado a bajas concentracones de sustrato se uede alcar la ley cnétca de Monod en lugar de la de nhbcón or sustrato. u ma (/h).... u µ ( ) k ma s + (4) VI. AGRADECIMIENTOS Al Consejo Naconal de Cenca y Tecnología (CONACYT) or el aoyo recbdo en los royectos 447 y REFERENCIAS Arellano M., Herrera E., Díaz D., Moran A. and Ramírez. J (7). Unstructured Knetc Model for Tequla Batch Fermentaton. Internatonal Journal of Mathematcs and Comuters n Smulaton, Issue, vol htt:// Bastn G. y D. Dochan (99). On-lne Estmaton and Adatve Control of Boreactors. Elsever. Amsterdam. Casas, R. (6). Between tradtons and modernty: Technologcal strateges at three tequla frms. Tech. Soc. 8(): CTR, Consejo Regulador del Tequla (9). htt:// Díaz M.D., (4) Estudo fsológco y cnétco de dos ceas de levaduras nvolucradas en la etaa fermentatva de la elaboracón de tequla, n SCD-INP., Unversdad de Guadalajara - Insttut Natonal Polytechnque de Toulouse Toulouse, France. Hernández C.G. Córdova.J., Herrera E., Moran M., Valle J., Díaz M.D. Effect of Aeraton, H and feedng Non-sterlzed agave juce n a Contnuous Tequla fermentaton, Journal of the Scence of Food and Agrculture. Acetado. Kuhlmann Ch., I.D.L. Bogle y Z.S. Chalab (998). Robust oeraton of fed-batch fermenters. Borocess Engneerng, 9, -9. Modak J.M, H.C. Lm y Y.J. Tayeb (986). General characterstcs of otmal feed rate rofles for varous fed-batch fermentaton rocesses.botechnology and Boengneerng, 8, Smets I.Y., J.E. Claes, E.J. November, G.P. Bastn y J.F. Van Ime (4). Otmal adatve control of (bo)chemcal reactors: ast, resent and future. Journal of Process Control, 4, Volesky B. y H. Votruba (99). Modelng and Otmzaton of Fermentaton Processes. Elsever. The Netherlands.. 4 Etanol (g/l) 4 6 Sustrato (g/l) Fgura 6. Reresentacón gráfca del la velocdad esecfca de crecmento (, ) ara el cultvo en contnuo de la fermentacón en jugo de agave. 8 V. CONCLUSIONES El desarrollo de modelos matemátcos del roceso fermentatvo del tequla en cultvos or lote y contnuo es una aortacón que one las bases ara futuras alcacones de controladores automátcos de este roceso. Todavía falta realzar mayor nvestgacón sobre este tóco, sn embargo las eectatvas son buenas. El trabajo a futuro contemla mejorar el modelo matemátco utlzando otros modelos cnétcos, un estudo de sensbldad y algortmos de mnmzacón de funcones con arámetros acotados. Posterormente se abordará el control del roceso fermentatvo.